CHUỖI FOURIER VÀ HAI BÀI TOÁN VẬT LÝ- Toán Giải Tích

Hoàn toàn có thể nói rằng, trong thời đại của chúng ta, với sức hấp dẫn và sự phát triển của mình, chuỗi Fourier đang chiếm một vị trí quan trọng trong giải tích.. Luận văn nghiên cứu ch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-Dương Minh Hiển Tố

CHUỖI FOURIER

VÀ HAI BÀI TOÁN VẬT LÝ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

LỜI CẢM ƠN

Qua thời gian học tập lớp cao học chuyên ngành toán giải tích (khóa 15), tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn đến các thầy, cô khoa toán hai trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh và Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh đã hết lòng tham gia giảng dạyï những tri thức và kinh nghiệm quý báu về toán học Kiến thức toán học mà các thầy, cô truyền thụ đã cho chúng tôi sự hiểu biết sâu sắc, đầy đủ hơn những gì đã được học ở bậc đại học Hơn nữa, các thầy, cô đã cho chúng tôi sự tự tin, niềm say mê nghiên cứu khoa học, dù chỉ là bước đầu chập chững

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cô TS Lê Thị Thiên Hương đã dành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình viết luận văn

Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn học viên khoá 15 đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt khóa học

các công trình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811, cuốn Lí thuyết giải tích về nhiệt

học (Théorie analytique de la chaleur) của ông được công bố vào năm 1822 Nhiều nhà toán học nổi

tiếng, trong đó có Riemann, Cantor và Lebesgue gắn liền với ngành này Hoàn toàn có thể nói rằng, trong thời đại của chúng ta, với sức hấp dẫn và sự phát triển của mình, chuỗi Fourier đang chiếm một

vị trí quan trọng trong giải tích

Luận văn nghiên cứu chuỗi Fourier và ứng dụng của nó trong hai bài toán vật lí là dao động của dây và truyền nhiệt trong thanh Nội dung của luận văn bao gồm các chương mục sau

Chương 1 trình bày lí thuyết chuỗi Fourier

Chương 2 trình bày ứng dụng của chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt trong thanh Chương 3 trình bày ứng dụng của chuỗi Fourier để giải phương trình

dao động của dây

Sau cùng là kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn, tuy nhiên, do kiến thức toán học của bản thân còn hạn chế và thời gian nghiên cứu không nhiều nên luận văn khó tránh khỏi những sai sót Rất mong được sự góp ý của quí thầy, cô và các bạn đồng nghiệp

Tác giả

Chương 1 CHUỖI FOURIER

1.1.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM TUẦN HOÀN CHU KÌ 2 

Số T>0 nhỏ nhất có tính chất như vậy được gọi là chu kì tuần hoàn của hàm f(x)

Các hàm tuần hoàn quen biết nhất là các hàm sinx, cosx, tanx, cotx,…Ta thường gặp các hàm tuần hoàn trong nhiều ứng dụng của toán học vào các bài toán vật lí và kĩ thuật

Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm tuần hoàn có cùng chu kì T cũng luôn luôn là hàm tuần hoàn có chu kì T

Nếu ta dựng đồ thị của hàm tuần hoàn y=f(x) đối với các giá trị của x thuộc một đoạn [a,a+T] nào đó, thì đồ thị của toàn bộ hàm này sẽ nhận được bằng cách lặp lại tuần hoàn phần đã dựng được (hình 1.1)

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x f(x)

Hình 1.1

1.1.2.Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kì 2 

Giả sử đối với hàm f(x) có chu kì 2 ta có khai triển sau

Số hạng hằng số ở đây được kí hiệu

2

o để cho các công thức này có tính đối xứng Ta lập bài toán

tính các hệ k,b k với k=1, 2,… khi biết hàm f(x) Muốn vậy ta giả thiết chuỗi (1.2) và các chuỗi

sẽ nhận được có tích phân của tổng bằng tổng các tích phân (ta giả thiết cả tính khả tích của f(x)

k kx kxdx

 

1

1.61

lượng giác với các hệ số này được gọi là chuỗi Fourier của nó Ta chú ý rằng trong các công thức (1.6)

có tính tích phân các hàm có chu kì 2 Vì vậy đoạn tích phân [-;] có thể được thay bằng đoạn bất kì

có độ dài 2 Ngoài các công thức (1.6) ta còn có

a n

a a n

Cách viết này có nghĩa là hàm f(x) tương ứng với chuỗi Fourier ở vế phải

Khi ta chứng minh được tính hội tụ của chuỗi và tổng của nó bằng f(x) thì ta

nó, ngoại trừ tại các điểm mà f không liên tục

1.1.3.Dấu hiệu hội tụ của chuỗi Fourier

Định lí: Cho hàm f tuần hoàn với chu kì 2, bị chặn và đơn điệu từng khúc trên mỗi chu kì Khi đó chuỗi Fourier của hàm f hội tụ, tổng của chuỗi Fourier bằng f(x) tại mọi điểm x mà hàm f liên tục Tại những điểm xo mà hàm f không liên tục, tổng chuỗi fourier hội tụ về giá trị

0 0

1.1.4.Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì 2 

Giả sử hàm f(x) khả tích trên đoạn [-;] Đối với hàm này ta lập chuỗi Fourier

f x  c e



Đây là dạng phức của chuỗi Fourier của hàm f(x) Tính hội tụ của chuỗi (1.13) được hiểu như tính tồn

tại giới hạn khi m  của các tổng đối xứng (1.12)

Các hệ số cncho bởi công thức (1.11) được gọi là các hệ số Fourier phức của hàm f(x) Đối với các hệ

Đối với hàm thực f(x) có các hệ số cn và c-n là các số phức liên hợp Điều này suy ra từ (1.11)

Ta nhận thấy các công thức (1.14) có thể nhận được bằng cách tính trực tiếp giống như các công thức (1.9), nếu giả thiết rằng trong (1.13) thay dấu () bởi dấu (=) và phép tích phân từng phần của các

tức là tất cả các tích phân ở vế phải sẽ bằng 0, trừ tích phân tương ứng khi k=n ta được 2  cn Các

công thức (1.14) được suy ra từ (1.15)

1.2.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM CHẴN, HÀM LẺ CHU KÌ 2 

1.2.1.Hàm chẵn, hàm lẻ

Giả sử hàm f(x) cho trước trên toàn trục Ox, hay trên một đoạn nào đó đối xứng qua gốc tọa độ

Ta nói f(x) là hàm chẵn nếu với mọi x ta có

với mọi l ( chỉ cần f(x) xác định và khả tích trên đoạn [-l;l])

Ví dụ 1.2: Hàm số y x 2cosx là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy (hình 1.4)

-1.5 -1 -0.5

0.5

x f(x)

với mọi l ( chỉ cần f(x) xác định và khả tích trên đoạn [-l;l])

Ví dụ 1.3: Hàm số y=x3-2x là hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc O (hình 1.5)

-2 -1

1 2

x f(x)

Hình 1.5

Từ định nghĩa hàm chẵn và hàm lẻ dễ dàng suy ra

1)Tích của hai hàm chẵn, hay hai hàm lẻ là một hàm chẵn

Như vậy tính chất 1) đã được chứng minh

Nếu ( )x là hàm chẵn, ( )x là hàm lẻ thì đối với f x( )( ) ( )x  x ta có :

( ) ( ) ( ) ( ).[ ( )] ( ) ( ) ( )

f   x  x   x  x  x   x  x  f x

Như vậy tính chất 2) đã được chứng minh

1.2.2 Chuỗi Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ chu kì 2 

Giả sử f(x) là hàm chẵn, tuần hoàn, có chu kì 2 Vì hàm cosnx (n=0,1,2, ) là hàm chẵn nên theo tính chất 1) ở 1.2.1) ta có f(x).cosnx là hàm chẵn Vì hàm sinnx (n=1,2, ) là hàm lẻ, nên theo tính chất 2) ở (1.2.1) ta có f(x).sinnx là hàm lẻ

Khi đó do (1.6), (1.16) và (1.17), đối với các hệ số Fourier của hàm chẵn f(x) ta có

0

(1.18)1

a

f x  a



trong đó các hệ số an được tính theo các công thức (1.18)

Bây giờ giả sử f(x) là hàm lẻ, tuần hoàn có chu kì 2 Vì cosnx (n=0,1,2, ) là hàm chẵn nên theo tính chất 2) ở (1.2.1) ta có f(x).cosnx là hàm lẻ, còn hàm sinnx (n=1,2, ) là hàm lẻ, nên f(x).sinnx là hàm chẵn

Khi đó do (1.6), (1.16) và (1.17), đối với các hệ số Fourier của hàm lẻ f(x) ta có

Ta thường gặp bài toán khai triển hàm f(x) trên đoạn [0,] theo hàm cosin hay hàm sin

Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm cosin ta có thể lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách chẵn

từ đoạn [0,] ra đoạn [-,0] (hình 1.6)

1

( ),0( )

1 2 3 4

x f(x)

Hình 1.6 Khi đó với hàm chẵn vừa thác triển, thì tất cả các lí luận ở trên đều đúng, do đó các hệ số Fourier có thể được tính theo các công thức

0

2

(1.22)0( 1, 2, )

Khi đó các hệ số Fourier được tính theo công thức

0( 0,1, 2, )

(1.23)2

1 2 3 4

x f(x)

Vì ở đây chỉ có giá trị f(x) trên đoạn [0,] nên cũng như trong trường hợp chuỗi theo hàm cosin, thực

tế không cần thực hiện phép thác triển hàm f(x) từ đoạn [0,] ra đoạn [-,0]

Tuy nhiên để khỏi mắc sai lầm khi sử dụng dấu hiệu hội tụ trong (1.1.3), ta cần phác vẽ đồ thị của hàm f(x) với thác triển chẵn hay lẻ của nó trên đoạn [-,0] và với thác triển tuần hoàn (theo chu kì 2) trên trục Ox

Ví dụ 1.4: Tìm chuỗi Fourier cosin của hàm f(x)=x với x 0,

1 2 3

x f(x)

x f(x)

Vì f liên tục, trơn từng khúc nên theo dấu hiệu hội tụ ở (1.1.3), chuỗi Fourier sẽ hội tụ khắp nơi về hàm

x f(x)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x f(x)

x f(x)

Hình 1.12 Theo (1.23) ta có:

0 1

1 2 3

x f(x)

-3 -2 -1

1 2 3

x f(x)

1.3.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM TUẦN HOÀN CHU KÌ TÙY Ý

1.3.1.Chuỗi Fourier của hàm có chu kì tùy ý

Nếu một hàm f tuần hoàn có chu kì khác 2, ta tìm chuỗi Fourier của nó bằng phép đổi biến số Giả sử

hàm f(x) có chu kì 2l , nghĩa là f(x+2l)=f(x) với mọi x Đặt

Trở lại biến x ban đầu ta có chuỗi Fourier của hàm f(x) là

l n

l l n

2 2

0 1

1

l n

(Do x cos(n x ) là hàm chẵn, xsin(n x ) là hàm lẻ)

Từ đó, chuỗi Fourier của hàm f là

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

1

x f(x)

Hình 1.15

1.3.2.Chuỗi Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ chu kì tùy ý

Giả sử f(x) là hàm chẵn, tuần hoàn có chu kì 2l Tương tự trường hợp hàm có chu kì 2, ta có thể

định nghĩa chuỗi Fourier của f trong các trường hợp f là hàm chẵn hay hàm lẻ

Từ kết quả ở (1.3.1), với phép đổi biến

l l n

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

x f(x)

1 2

x f(x)

Ta có f là hàm lẻ, tuần hoàn, có chu kì T=2l=4

Từ (1.30) ta có các hệ số Fourier

1 2

x f(x)

n=7

-2 -1

1 2

x f(x)

1.3.3.Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì tùy ý

Gi? s? hàm f(x) cĩ chu kì 2l Theo (1.25) ta cĩ chu?i Fourier c?a hàm f(x) là

l o

f x e dx l

trong đó

1

( ) 2

l n

n

in x in x n

1.4.KHAI TRIỂN FOURIER CỦA MỘT HÀM SỐ

1.4.1.Khai triển hàm số trên đoạn [-l;l]

Giả sử hàm f liên tục trên đoạn [-l;l]

Đặt

x t

Trở lại biến x ban đầu ta có chuỗi Fourier của hàm f(x) là

l l n

1

b n

n n

cos

b n

1

x y

1.4.2.Khai triển hàm số trên đoạn [a;b]

Nếu hàm f(x) xác định trên đoạn [a;b], thì chuỗi Fourier của nó được biểu diễn bởi công thức

( )1

( ) cos1

( )sin

b o

a b n

a b n

b n

1 1

1 2

n x n

n n

k k

1.4.3.Khai triển chuỗi Fourier trên đoạn [0,l]

Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm cosin ta lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách chẵn từ

đoạn [0,l] ra đoạn [-l,0] (hình 1.21)

1

( ),0( )

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1 2 3 4

x f(x)

Hình 1.21 Khi đó với hàm chẵn vừa thác triển, thì tất cả các lí luận ở trên vẫn đúng, do đó các hệ số Fourier được tính theo các công thức

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x f(x)

Khi đó các hệ số Fourier được tính theo các công thức:

0 ( 0,1, 2, )

(1.42)2

n

l n

4

k a

 

 

1 2

0 1

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

2.1.PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

Ta xét một vật rắn G và gọi u(x,y,z,t) là nhiệt độ của nó tại điểm (x,y,z) G ở thời điểm t Nếu tại những điểm khác nhau của vật G có nhiệt độ khác nhau thì nhiệt sẽ truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp

Giả sử s là một mảnh mặt bất kì khá bé trong vật G Khi đó, theo định luật về sự truyền nhiệt, nhiệt

n



 , với n là pháp tuyến của s theo chiều truyền nhiệt (tức là theo chiều giảm của nhiệt độ)

Giả sử vật đang xét là đẳng hướng, tức là tại mọi điểm (x,y,z), nhiệt truyền theo hướng nào cũng như nhau, thì hệ số k chỉ phụ thuộc (x,y,z) mà không phụ thuộc vào hướng của pháp tuyến với s

Gọi q là dòng nhiệt, tức là nhiệt lượng đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian Khi đó

Ta xét một thể tích V bất kì trong vật rắn G giới hạn bởi một mặt kín trơn S và tính sự thay đổi nhiệt lượng trong thể tích V trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 bằng hai cách

Cách 1: Gọi C(x,y,z) là nhiệt dung và (x,y,z) là tỉ khối (mật độ khối) của vật thể tại điểm (x,y,z) thì nhiệt lượng cần thiết để trong phần thể tích V của vật thể có sự thay đổi nhiệt độ từ u(x,y,z,t1) đến u(x,y,z,t2) là







Cách 2: Q1  Q2  Q3 (2.4)

trong đó

Q2 là nhiệt lượng từ ngoài truyền vào thể tích V qua mặt S trong khoảng thời gian từ t1 đến t2;

Q3 là nhiệt lượng sinh ra ở trong thể tích V cũng trong khoảng thời gian đó do các nguồn nhiệt trong thể tích V

với là pháp tuyến ngoài với mặt S n

Gọi F(x,y,z,t) là mật độ nguồn nhiệt trong thể tích V tại điểm (x,y,z) ở thời điểm t, tức là nhiệt lượng sinh ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích, thì

2 2 2 2

Ta xét hai trường hợp riêng

1)Nhiệt độ u chỉ phụ thuộc x,y,t, chẳng hạn, nếu ta xét sự truyền nhiệt trong một bản phẳng đẳng hướng, đồng chất rất mỏng đặt trên mặt phẳng Oxy, thì nhiệt độ u(x,y,t) tại điểm (x,y) ở thời điểm t thỏa mãn phương trình

2 2

2.2.CÁC ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT

Cho vật thể V với mặt S bao xung quanh, các điều kiện biên khác nhau có thể đặt trên biên S như sau 1)Điều kiện Dirichlet (hay bài toán biên loại 1) đòi hỏi nhiệt độ được xác định trên biên của miền, mà tại đó phương trình nhiệt giải được Loại điều kiện biên này có dạng

( , , , ) x y z S ( , , , )

u x y z t   f x y z t (2.15)

trong đó f1 là nhiệt độ đã được xác định

2)Điều kiện biên Neumann (hay bài toán biên loại 2) đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được Loại điều kiện biên này có dạng

trong đó f2 là dòng nhiệt đã được xác định

3)Điều kiện biên Robin (hay bài toán biên loại 3) đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên và nhiệt độ trao đổi với môi trường xung quanh được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được Loại điều kiện biên này có dạng

trong đó h>0 là hằng số, f3 là dòng nhiệt đã được xác định

Chú ý rằng, dòng nhiệt trao đổi với môi trường xung quanh phụ thuộc vào cả nhiệt độ của môi trường 4)Điều kiện hỗn hợp là kết quả của các điều kiện loại 1 và loại 2

2.3.NGUYÊN LÍ CỰC ĐẠI

Giả sử  R3 là miền bị chặn Trong không gian (x,y,z,t) xét hình trụ Q có đáy là miền  và các đường sinh song song Ot QT là phần của hình trụ đó giới hạn phía dưới bởi mặt phẳng t=0 và phía trên bởi mặt phẳng t=T>0 Phần biên của hình trụ QT cấu tạo từ đáy dưới của nó và mặt xung quanh, ta

Suy ra v nhận giá trị cực đại ngoài 

Giả sử v nhận giá trị cực đại trong QT tại ( , , , ) x y z t1 1 1 1 với ( , , )x y z1 1 1  , 0<t1<T Khi đó ta có

Đây là điều kiện Dirichlet xác định nhiệt độ tại các đầu mút của thanh và f(x) là nhiệt độ phân bố lúc ban đầu, f là hàm liên tục, C1 từng khúc và f(0)=f(l)=0

Theo phương pháp tách biến Fourier, ta tìm nghiệm của phương trình (2.24) dưới dạng

Vì f là hàm liên tục, C1 từng khúc và f(0)=f(l)=0 nên chuỗi (2.40), với các hệ số xác định theo công

thức (2.41), hội tụ tuyệt đối và đều tới hàm f(x)

Ví d? 2.1: Gi?i phuong trình

2 2

Thay (2.45) vào (2.42) ta được:

2 2 2

( , ) n( , ) n( ) ( )

u x t u x t  X x T t n

2 2 2

2 3 1

3

n t n

Vậy nghiệm của bài toán được cho bởi chuỗi (2.56) với các hệ số An xác định ở các công thức (2.57)

2.5.PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHÔNG THUẦN NHẤT

Xét bài toán

2 2

 liên tục từng khúc và với mọi t>0 thỏa mãn f(0,t)=f(l,t)=0

Ta tìm nghiệm của bài toán (2.58),(2.59), (2.60) dưới dạng

Như vậy điều kiện biên (2.60) được thỏa mãn Xét f(x,t) như hàm của x và phân tích nó thành chuỗi

Fourier theo sin trên (0,l)

Từ đó ta nhận được các điều kiện ban đầu của Tn(t) là Tn(0)=0 (2.65)

Nghiệm của bài toán (2.64),(2.65) được cho bởi công thức

0

t t

2

n x t l n

Khai triển hàm 2x thành chuỗi

0 0

n t n

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY

3.1.PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY

Xét một sợi dây có chiều dài l cố định ở hai đầu mút Khi ở trạng thái tĩnh, dây có dạng đường thẳng

Ta chọn đường thẳng này làm trục Ox và xem các đầu dây trùng với các điểm x=0 và x=l Mỗi điểm

của sợi dây có thể biểu thị bằng hoành độ x của nó Ta mô tả quá trình dao động của dây theo vị trí của mỗi điểm đã cho của sợi dây tại các thời điểm khác nhau, bằng cách đưa vectơ dịch chuyển của sợi dây tại vị trí x và tại thời điểm t có dạng

 1( ; ), ( ; ), ( ; )2 3 

u  u x t u x t u x t

Để đơn giản, ta giả sử quá trình dao động của sợi dây chỉ nằm trong mặt phẳng (u,x) và vectơ dịch chuyển vuông góc với trục Ox tại thời điểm bất kì Như vậy, việc mô tả quá trình dao động chỉ cần một hàm u(x;t) đặc trưng cho độ dịch chuyển vuông góc với sợi dây

Xét sợi dây như sợi chỉ đàn hồi dễ uốn, về mặt toán học, khái niệm dễ uốn thể hiện ở chỗ sức căng xuất hiện trong dây luôn luôn hướng theo tiếp tuyến với dạng đường cong tức thời của nó, điều đó biểu thị dây không bị cản trở khi uốn cong

-Sức căng dây t tại mỗi điểm không phụ thuộc thời gian Thật vậy, độ lớn của sức căng xuất hiện trong

dây do đàn hồi có thể được tính theo định luật Hooke Xét dao động nhỏ của dây và bỏ qua bình phương của ux so với 1 ( (ux)2 <<1 ) Khi sử dụng điều kiện này, ta tính được độ dài đường cong của sợi dây khi dao động trên đoạn [x1,x2]