CHUỖI FOURIER VÀ HAI BÀI TOÁN VẬT LÝ- Toán Giải Tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Dương Minh Hiển Tố CHUỖI FOURIER VÀ HAI BÀI TỐN VẬT LÝ Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CẢM ƠN Qua thời gian học tập lớp cao học chun ngành tốn giải tích (khóa 15), tơi xin chân thành gởi lời cảm ơn đến thầy, khoa tốn hai trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh hết lòng tham gia giảng tri thức kinh nghiệm q báu tốn học Kiến thức tốn học mà thầy, truyền thụ cho chúng tơi hiểu biết sâu sắc, đầy đủ học bậc đại học Hơn nữa, thầy, cho chúng tơi tự tin, niềm say mê nghiên cứu khoa học, dù bước đầu chập chững Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến TS Lê Thị Thiên Hương dành nhiều thời gian q báu, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình viết luận văn Sau cùng, tơi xin gởi lời cảm ơn đến bạn học viên khố 15 giúp đỡ tơi nhiều suốt khóa học MỞ ĐẦU Chuỗi Fourier (Joseph Fourier, 1768-1830) hàm tuần hồn biểu diễn hàm dạng tổng hàm tuần hồn có dạng f ( x)  ao     an cos nx  bn sin nx  n 1 (1) hay dạng phức f ( x)   ce n  inx n (2) Việc nghiên cứu chuỗi bắt nguồn từ ngành vật lí lí thuyết dao động lí thuyết truyền nhiệt J Fourier người nghiên cứu chuỗi lượng giác theo cơng trình trước Euler, d’Alembert Daniel Bernoulli J Fourier áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình nhiệt, cơng trình ơng cơng bố vào năm 1807 1811, Lí thuyết giải tích nhiệt học (Théorie analytique de la chaleur) ơng cơng bố vào năm 1822 Nhiều nhà tốn học tiếng, có Riemann, Cantor Lebesgue gắn liền với ngành Hồn tồn nói rằng, thời đại chúng ta, với sức hấp dẫn phát triển mình, chuỗi Fourier chiếm vị trí quan trọng giải tích Luận văn nghiên cứu chuỗi Fourier ứng dụng hai tốn vật lí dao động dây truyền nhiệt Nội dung luận văn bao gồm chương mục sau Chương trình bày lí thuyết chuỗi Fourier Chương trình bày ứng dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt Chương trình bày ứng dụng chuỗi Fourier để giải phương trình dao động dây Sau kết luận danh mục tài liệu tham khảo Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng q trình nghiên cứu viết luận văn, nhiên, kiến thức tốn học thân hạn chế thời gian nghiên cứu khơng nhiều nên luận văn khó tránh khỏi sai sót Rất mong góp ý q thầy, bạn đồng nghiệp Tác giả Chương CHUỖI FOURIER 1.1.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM TUẦN HỒN CHU KÌ 2 1.1.1.Hàm tuần hồn Hàm f(x) xác định D gọi hàm tuần hồn tồn số dương T cho với x thuộc D i) x  T  D ii)f(x+T)=f(x) (1.1) Số T>0 nhỏ có tính chất gọi chu kì tuần hồn hàm f(x) Các hàm tuần hồn quen biết hàm sinx, cosx, tanx, cotx,…Ta thường gặp hàm tuần hồn nhiều ứng dụng tốn học vào tốn vật lí kĩ thuật Tổng, hiệu, tích, thương hàm tuần hồn có chu kì T ln ln hàm tuần hồn có chu kì T Nếu ta dựng đồ thị hàm tuần hồn y=f(x) giá trị x thuộc đoạn [a,a+T] đó, đồ thị tồn hàm nhận cách lặp lại tuần hồn phần dựng (hình 1.1) f(x) x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 Hình 1.1 1.1.2.Chuỗi Fourier hàm tuần hồn chu kì 2 Giả sử hàm f(x) có chu kì 2 ta có khai triển sau f ( x)  ao     ak cos kx  bk sin kx  k 1 (1.2) Số hạng số kí hiệu ao cơng thức có tính đối xứng Ta lập tốn tính hệ số ao , ak , bk với k=1, 2,… biết hàm f(x) Muốn ta giả thiết chuỗi (1.2) chuỗi nhận có tích phân tổng tổng tích phân (ta giả thiết tính khả tích f(x)) Lấy tích phân đẳng thức (1.2) đoạn [-;], ta có    a f ( x)dx  o        dx a cos kxdx b sin kxdx    k  k   k 1       Do    sin kx   cos kxdx   k       cos kx   sin kxdx   k    nên   f ( x)dx   a (1.3) o  Nhân hai vế đẳng thức (1.2) với cosnx lấy tích phân đoạn [-;], ta          ao f ( x)cos nxdx   cos nxdx   ak  cos kx cos nxdx  bk  sin kx cos nxdx   k 1     Ta có    sin nx   cos nxdx   n     Khi k  n :   cos kx cos nxdx [cos(k  n) x  cos(k  n) xdx      Khi k = n:  cos  nxdx      cos 2nx dx    Như  f ( x) cos nxdx  a  n (1.4)   Tương tự ta tìm  f ( x) sin nxdx  b  n  Từ (1.3), (1.4) (1.5) suy (1.5)   an   f ( x) cos nxdx      b  f ( x) sin nxdx  n     (n  0,1, 2, ) 1.6  (n  1, 2, ) Vậy, hàm f(x) khả tích khai triển thành chuỗi lượng giác hệ số an , bn tính theo cơng thức (1.6) Bây cho trước hàm khả tích có chu kì 2 đó, ta muốn biểu diễn hàm dạng chuỗi lượng giác Các hệ số an , bn tính theo cơng thức (1.6) gọi hệ số Fourier hàm f(x), chuỗi lượng giác với hệ số gọi chuỗi Fourier Ta ý cơng thức (1.6) có tính tích phân hàm có chu kì 2 Vì đoạn tích phân [-;] thay đoạn có độ dài 2 Ngồi cơng thức (1.6) ta có a  2  f ( x) cos nxdx  an   a   a  2 b   n   f ( x) sin nxdx a  (n  0,1, 2, ) 1.7  (n  1, 2, ) Khi lập chuỗi Fourier hàm f(x) chưa biết có hội tụ đến f(x) hay khơng, ta viết f ( x) ao     ak cos kx  bk sin kx  k 1 Cách viết có nghĩa hàm f(x) tương ứng với chuỗi Fourier vế phải Khi ta chứng minh tính hội tụ chuỗi tổng f(x) ta viết f ( x)  ao     ak cos kx  bk sin kx  k 1 Ví dụ 1.1: Tìm chuỗi Fourier hàm f xác định 0 -  x[...]... (n=1,n=3) 1.3.CHUỖI FOURIER CỦA HÀM TUẦN HỒN CHU KÌ TÙY Ý 1.3.1 .Chuỗi Fourier của hàm có chu kì tùy ý Nếu một hàm f tuần hồn có chu kì khác 2, ta tìm chuỗi Fourier của nó bằng phép đổi biến số Giả sử hàm f(x) có chu kì 2l , nghĩa là f(x+2l)=f(x) với mọi x Đặt t x l  lt     và g (t )  f ( x)  f  thì ta xác định được hàm g có chu kì 2 và x  l tương ứng với t   Chuỗi Fourier của hàm... phụ thuộc vào hướng của pháp tuyến với s Gọi q là dòng nhiệt, tức là nhiệt lượng đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian Khi đó từ (2.1) suy ra q  k u n (2.2) k>0 là hằng số nếu vật đẳng hướng và đồng chất Ta xét một thể tích V bất kì trong vật rắn G giới hạn bởi một mặt kín trơn S và tính sự thay đổi nhiệt lượng trong thể tích V trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 bằng hai cách... x f ( x ) sin dx sin dx  l a l 2 1 2 b bn  1 1 1 2  n x     cos 0 2 n  2  1 Vậy chuỗi Fourier của hàm f là f ( x) 1 2  ( 1) k  2k  1  cos   x   2  k  0 2k  1 2   f(x) 1 x 1 2 Hình 1.20 (n=5,n=13) 1.4.3.Khai triển chuỗi Fourier trên đoạn [0,l] Để khai triển f(x) thành chuỗi theo hàm cosin ta lí luận như sau: Ta thác triển f(x) một cách chẵn từ đoạn [0,l] ra đoạn [-l,0]... 1  2  1 1 n  n  2 Khi n chẵn, n=2k: a2k=0 Khi n lẻ, n=2k+1: a2 k 1  và 4 n 2 2 bn  0 Vậy chuỗi Fourier của hàm f là 1 4 f ( x) ~  2 2    k 0 1  2k  1 2 cos  (2k  1) x  (n=1,n=5) f(x) 1 x Hình 1.23 1 Ví dụ 1.15: Tìm chuỗi Fourier sin của hàm f(x)=x trên đoạn [0,1] Giải Từ (1.42) ta có các hệ số fourier là an  0 (n  0,1, 2, ) 2 n x f ( x )sin dx  2 x sin  n x  dx l 0... n n 1 Vậy chuỗi Fourier của hàm f là f ( x) n 1  1  1   (1) n  1 sin(n x)     2 2 cos(n x)  4 n 1  n  n   y 1 x 1 Hình 1.19 (n=5,n=12) 1.4.2.Khai triển hàm số trên đoạn [a;b] Nếu hàm f(x) xác định trên đoạn [a;b], thì chuỗi Fourier của nó được biểu diễn bởi cơng thức f ( x) ao   n x n x     an cos  bn sin  l l  2 n 1  trong đó l  ba và các hệ số Fourier xác định... kho?ng th?i gian (t1,t2) và th? tích V ddđu?c l?y tùy ý nên từ đẳng thức (2.9) suy ra với mọi (x,y,z)G và với mọi t, biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng 0 Do đó C u   u    u    u   k  k  k  F t x  x  y  y  z  z  (2.10) Phương trình (2.10) được gọi là phương trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hướng, khơng đồng chất Nếu vật thể đẳng hướng và đồng chất thì C, ,... cos 0   0   2  0 2 bn  0 , với mọi n≥1 Vậy chuỗi Fourier của hàm f là f(x)  sin x 2   2    n2  1 n 1 n2  1 cos nx n=2 f(x) 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 n=4 f(x) 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Hình 1.16 Ví dụ 1.10: Tìm chuỗi Fourier của hàm số f ( x)  x, x   2; 2 và f(x+4)=f(x) Giải Ð? th? c?a hàm f du?c bi?u di?n ? hình (1.17) f(x)...  i  1 nên (1) n 1 cn  in Do đó f ( x)   n 1  1 n 1 in ein x  e in x  1.4.KHAI TRIỂN FOURIER CỦA MỘT HÀM SỐ 1.4.1.Khai triển hàm số trên đoạn [-l;l] Giả sử hàm f liên tục trên đoạn [-l;l] Đặt t x l  lt     và g (t )  f ( x)  f  thì g khả tích trên đoạn   ;   Chu?i Fourier c?a hàm g là g (t ) ao     an cos nt  bn sin nt  2 n 1 trong đó   1  a g (t ) cos... lại biến x ban đầu ta có chuỗi Fourier của hàm f(x) là ao   n x n x     an cos  bn sin  l l  2 n 1  f ( x) (1.37) trong đó l  1 n x dx an   f ( x) cos l l l   l b  1 f ( x) sin n x dx  n l l l  ( n  0,1, 2, ) (1.38) ( n  1, 2, ) Ví dụ 1.12: Tìm chuỗi Fourier của hàm 0, khi 1  x  0 f ( x)    x, khi 0  x  1 Giải Ta có l  1 , các hệ số Fourier là 1 1 1 b  x2 ... Tìm chuỗi Fourier sin của hàm f(x)=1 với x   0,   Giải Theo (1.23) ta có an  0 (n  0,1, 2, ) bn  2    2  f ( x) sin nxdx    sin nxdx 0 0 2 2 ( cos nx  1)  (1  (1) n ) (n  1, 2, ) n n  Do đó 4 1 1   sin x  sin 3 x  sin 5 x    3 5  f ( x) n=5 n=1 f(x) f(x) 1 1 x x 1 2 3 1 4 2 3 4 Hình 1.9 Ví dụ 1.6: Tìm chuỗi Fourier của hàm f(x)=x2 với   x   , f(x+2)=f(x) Giải