GIẢI QUYẾT MỘT BÀI TOÁN ĐẶT RA KHI TÌM HIỂU SÂU VỀ ĐỊNH LÝ FROBENIUS

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Nguyn Vit Mi GII QUYT MT BI TON T RA KHI TèM HIU SU V NH Lí FROBENIUS Chuyờn ngnh : i s v lý thuyt s Mó s : 60 46 05 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS BI TNG TR Thnh ph H Chớ Minh 2008 LờI CảM ƠN Lời nói xin đợc by tỏ lòng biết ơn chân thnh đến Ban giám hiệu, Ban lãnh đạo Phòng KHCN & Sau đại học v Ban lãnh đạo khoa Toán - Tin học Trờng Đại học S phạm Thnh phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho học viên cao học đại số khóa 16 hon thnh tốt nhiệm vụ học tập Xin chân thnh cám ơn thầy: PGS TS Bùi Tờng Trí, PGS TS Mỵ Vinh Quang, TS Trần Huyên, TS Bùi Xuân Hải khoa Toán - Tin học hai trờng Đại học S phạm v Đại học Khoa học Tự nhiên Thnh phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy v giúp đỡ suốt trình học tập Đặc biệt, xin by tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Bùi Tờng Trí, ngời đề ti v trực tiếp hớng dẫn để hon thnh tốt luận văn ny M U Lý chn ti Nm 1843 nghiờn cu tỡm cỏch nhõn nhng b ba s (a, b, c) thuc R3, Sir William Rowan Hamilton ó tỡnh c phỏt hin quaternions Sau ny, quaternions c bit n nh l mt vớ d chun v vnh chia tht s Thm chớ, nú cũn c chng minh l vnh chia vụ hn (Joseph Henry Maclagan Wedderburn chng minh vo nm 1905) Da trờn nn tng ca quaternions nm 1877 Frobenius ó xỏc nh i s i s cú phộp chia trờn trng s thc R v a n nh lý ni ting - nh lý Frobenius Khi nghiờn cu v nh lý Frobenius chỳng ta thy rừ trng s phc C l trng m rng bc ca trng s thc R, th quaternions H l m rng ca trng s phc C v nú cú s chiu trờn C l 2, s chiu trờn R l Tuy nhiờn, quyn Lý thuyt cỏc vnh khụng giao hoỏn (Noncommutative rings) ca I N Herstein mun lm sỏng t nh lý ca Wedderburn-Artin v cu trỳc cỏc vnh Artin na n b 2.1.5 Herstein cú núi Cho K l mt trng úng i s Nu D l i s chia c, i s trờn K thỡ D=K v quyn i s (Algebra) ca Pierre Grillet cú b 10.6.8 c Grille phỏt biu Cho D l mt vnh chia c hu hn chiu trờn mt trng K Nu K l úng i s thỡ D=K Vy phi chng t cỏc kt qu ny ta suy H=C Mc ớch nghiờn cu Gii quyt bi toỏn c t v hiu rừ, sõu sc hn v nh lý Frobenius i tng v phm vi nghiờn cu Kt hp gia i s hin i v lý thuyt vnh í ngha khoa hc thc tin ca ti Gii quyt mõu thun t gia nh lý Frobenius v hai b : B 2.1.5 quyn Lý thuyt cỏc vnh khụng giao hoỏn (Noncommutative rings) ca I N Herstein, B 10.6.8 quyn i s (Algebra) ca Pierre Grillet Cu trỳc lun Ni dung ca lun gm ba chng: Chng 1: Cỏc kin thc c s Nhc li mt s kin thc c bn v vnh, vnh chia, trng, i s trờn mt trng, trng úng i s, mt s tớnh cht ca vnh chia c bit chng cng xõy dng th quaternions H, i s quaternions H v chng minh li nh lý Frobenius Chng 2: nh lý Wedderburn - Artin v cỏc h qu ca nú Ni dung ca chng trỡnh by mt s nh ngha ca i s khụng giao hoỏn v chng minh mt s kt qu c bn ca i s khụng giao hoỏn lm c s chng minh nh lý Wedderburn - Artin v cỏc h qu ca nú c bit chng cng phỏt biu v chng minh li b 2.1.5 quyn Lý thuyt cỏc vnh khụng giao hoỏn (Noncommutative rings) ca I N Herstein, b 10.6.8 quyn i s (Algebra) ca Pierre Grillet lm c s cho chng Chng 3: Gii quyt mõu thun t cui chng Xõy dng khỏi nim a thc trờn mt th v mt s tớnh cht lm c s gii quyt Mõu thun gia nh lý Frobenius v cỏc b 2.1.5 ca I N Herstein, b 10.6.8 quyn Algebra ca Pierre Grillet ó c gii quyt mc 3.4 ca lun Chng 1: CC KIN THC C S 1.1 Vnh 1.1.1 nh ngha Ta gi l mt vnh mi hp R cựng vi hai phộp toỏn hai ngụi, gm phộp cng +: RxR R (x, y) x + y, v phộp nhõn : RxR R (x, y) xy, tho ba iu kin sau õy: (R1) R l mt nhúm abel i vi phộp toỏn cng (R2) Phộp nhõn cú tớnh kt hp (R3) Phộp nhõn phõn phi v hai phớa i vi phộp cng: (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy vi mi x, y, z R Khi hai phộp toỏn iu ó rừ, ta s núi n gin: R l mt vnh Nhúm (R, +) c gi l nhúm cng ca vnh Phn t trung lp ca nú ký hiu bi 0, phn t i ca x R c ký hiu l (-x) Ký hiu x - y := x+(-y) 1.1.2 nh ngha Vnh R c gi l giao hoỏn nu phộp nhõn ca nú giao hoỏn Vnh R c gi l cú n v nu phộp nhõn ca nú cú n v, tc l cú phn t R cho 1.x = x.1 = x, x R 1.1.3 Vớ d (a) Mi hp s sau õy Z, Q, R, C u lp thnh mt vnh (giao hoỏn, cú n v) i vi hai phộp toỏn cng v nhõn cỏc s nh thng l (b) Tp hp N cỏc s t nhiờn khụng lp nờn mt vnh vi hai phộp toỏn trờn, vỡ N khụng khộp kớn i vi phộp tr (c) Ta trang b cho nhúm cng Z/n cỏc s nguyờn modulo n (n > 0) mt phộp nhõn nh sau: [a][b] = [ab] D kim tra rng nh ngha ny khụng ph thuc i biu Nhúm cng Z/n cựng vi phộp nhõn ú lp thnh mt vnh giao hoỏn, cú n v l [1], c gi l vnh cỏc s nguyờn modulo n (d) Gi M(n, R) l hp tt c ma trn vuụng cp n (n > 0) vi cỏc phn t mt vnh R Cựng vi hai phộp toỏn cng v nhõn cỏc ma trn, M(n, R) l mt vnh Nú cú n v nu R cú n v Nhng M(n, R) núi chung khụng giao hoỏn nu n > 1, c R giao hoỏn Chng hn 1 1 1 , 0 1 1 0 1 M(2,R), vi gi thit rng R (e) Gi s A l mt nhúm abel (vi phộp toỏn vit theo li cng) Gi End(A) l hp cỏc t ng cu ca nhúm A Tp ny cựng vi hai phộp toỏn sau õy ( )(x) = (x) + (x), ( )(x) = ( (x)), , End(A), x A, lp nờn mt vnh, gi l vnh cỏc t ng cu ca A Phn t ca End(A) l ng cu 0, cũn phn t n v l ng cu ng nht idA 1.1.4 nh ngha Cho R l mt vnh giao hoỏn, phn t a thuc R c gi l bi ca phn t b thuc R (hay a chia ht cho b, ký hiu a b) nu cú c thuc R cho a=bc Trong trng hp ny ta cũn núi rng b l c ca a (hay b chia ht a, ký hiu b | a) 1.1.5 nh ngha Nu a 0, b l cỏc phn t ca mt vnh R vi tớch ab = 0, thỡ a c gi l mt c trỏi ca v b c gi l mt c phi ca Nu vnh R giao hoỏn thỡ a v b c gi l cỏc c ca Chng hn, [2] v [3] l cỏc c ca Z/6 vỡ [2] 0, [3] nhng [2][3] = [6] = [0] 1.1.6 nh ngha Cho R l mt vnh giao hoỏn cú n v ký hiu l 1, mt phn t a thuc R c gi l c ca n v nu tn ti mt phn t b thuc R cho ab=1 Mt phn t nh th cng gi l kh nghch, nghch o ca nú c ký hiu l a-1 Nh vy cỏc c ca n v mt vnh giao hoỏn R lp thnh mt nhúm giao hoỏn i vi phộp nhõn 1.2 Trng 1.2.1 nh ngha (a) Vnh cú n v R c gi l mt th (vnh chia c) nu v mi phn t khỏc R u kh nghch, núi cỏch khỏc, nu R\{0} l mt nhúm i vi phộp nhõn (b) Mi th giao hoỏn c gi l mt trng Nh vy trng l mt vnh giao hoỏn, cú n v cho mi phn t khỏc ca nú u kh nghch iu kin tng ng vi iu kin R khụng tm thng: R {0} 1.2.2 Vớ d: (a) Mi vnh Q, R, C u l mt trng Trong ú vnh Z khụng l trng, vỡ cỏc phn t khỏc u khụng kh nghch Z (b) Vnh Z/n cỏc s nguyờn modulo n l mt trng nu v ch nu n l mt s nguyờn t Tht vy, Z/n l mt trng v ch mi lp [m] u kh nghch Z/n iu ny tng ng vi r Z: [r][m]=[1], r , s Z: rm +sn =1, m v n nguyờn t cựng Mi lp [m] u cú mt i biu m tho 0[...]... 1 )(x-  1 ) 1.3.5 Định nghĩa Giả sử F là một trường Ta nói phần tử c thuộc F là một nghiệm của đa thức f(x) = a0 + a1x + … + anxn thuộc F[x] hay là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 nếu f(c) = a0 + a1c + … + ancn = 0 1.3.6 Định lý Bézout Phần tử c thuộc F là một nghiệm của đa thức f(x) thuộc F[x] nếu và chỉ nếu (x-c) chia hết f(x) trong vành F[x] 1.3.7 Định lý Giả sử f(x) là một đa thức bất khả... Z[x] =Char Q[x] = Char R[x] = Char C[x] = 0 (d) Char (Z/m [x]) = m 1.4.3 Định lý Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0, hoặc là một số nguyên tố 1.4.4 Mệnh đề Trong nhóm cộng của một miền nguyên R, mọi phần tử khác 0 đều có cùng một cấp, cấp này bằng Char R nếu Char R > 0 và bằng  nếu Char R=0 1.4.5 Định lý Giả sử F là một trường Khi đó trường con của F sinh bởi phần tử đơn vị hoặc là đẳng cấu với Z/p...v Cho x, x' là hai phần tử thuộc R Một quan hệ S xác định như sau: xSx' khi tồn tại một phần tử khả nghịch u của R sao cho x'=ux, là một quan hệ tương đương; x và x' gọi là liên kết 1.2.7 Bổ đề Cho R là một miền nguyên, hai phần tử x, x’ của R liên kết khi và chỉ khi x | x’ và x’ | x 1.2.8 Định nghĩa Các phần tử liên kết với phần tử x thuộc miền nguyên R và các... tức rr1  A(M) M là một R/A(M) môđun trung thành Ta xác định phép nhân ngoài như sau: m(r + A(M)) = mr với mọi m  M và với mọi r + A(M)  R/A(M) Định nghĩa này hợp lý vì r + A(M) = r’ + A(M) thì r-r’  A(M) tức m(r-r’) = 0 Điều này cho ta mr = mr’ Từ đó ta được: m(r+A(M)) = mr = mr’ = m(r’ + A(M)) Với phép toán nhân ngoài trên dễ dàng kiểm tra M là một R/A(M) môđun Ta kiểm tra nó là một R/A(M) môđun... z =  rR (điều này là vô lý) Ngược lại nếu z2 là một nhóm con của nhóm