Giải quyết mõu thuẫn Bài toỏn

b. GiảM là R-mụ đun bất khả quy ta cần chứng minh M đẳng cấu (như một mụđun) với mụđun thương R/ với  là ideal phải tối đạ

3.4. Giải quyết mõu thuẫn Bài toỏn

Cho D là một vành chia được và K là một trường. D là đại số trờn K khi và chỉ khi K được chứa trong tõm của D.

Giải bài toỏn 1

Nếu K được chứa trong tõm của D thỡ hiển nhiờn D là đại số trờn K. Ngược lại, do D là đại số trờn K nờn  .1D với mọi  K và 1 là phần tử đơn vị của D. Thậm chớ  .1Z(D), thật vậy với mọi xD ta luụn cú: ( .1)x= (1x)= (x1)=x( .1). Do đú, đồng cấu K Z(D) biến mỗi K thành .1Z(D) là đơn cấu vỡ K là một trường. Vậy K được chứa trong tõm của D Bài toỏn 2

Cho D là một vành chia được và K là một trường đúng đại số nằm trong tõm của D. Nếu f(x)K[x] cú một nghiệm a trờn vành chia được D thỡ aK.

Giải bài toỏn 2

Vỡ K là một trường đúng đại số nờn ta luụn cú sự phõn tớch

f(x)=(x i),i K. Ta sẽ chứng minh kết quả của bài toỏn bằng quy nạp theo bậc n của đa thức f(x).

Hiển nhiờn a =1K.

*n = 2: ta cú sự ta cú sự phõn tớch f(x)=(x-1)(x-2), iK

Nếu a là nghiệm của h(x)=(x-2) thỡ a = 2K. Nếu a khụng là nghiệm của h(x) mà a lại là nghiệm của f(x) thỡ theo bổ đề 3.3 g(x) = x-1cú một nghiệm là (a-2)a(a-2)-1 tức là

(a-2)a(a-2)-1= 1  (a-2)a = 1(a-2)  a2-2a = 1a - 12  a2-1a - a2+12= 0 (2a=a2 vỡ KZ(D))  (a - 1)(a-2) = 0  a = 1 (vỡ D khụng cú ước của 0 và a 2). *n = k: ta cú sự phõn tớch f(x) dưới dạng f(x)= k x i K i i     (  ), 1 . Giả sử

luụn tồn tại i để a = i. Ta chứng minh cho trường hợp n = k+1. Ta

cú f(x)=k x g x x i K i i k      1(  ) ( )(   ), 1 1 và g(x) =    k i i x 1 ) (  ,iK.

Nếu a = k1thỡ chứng minh xong. Nếu khụng thỡ theo bổ đề 3.3 ta được g(x) cú một nghiệm là (a-k1)a(a-k1)-1. Theo giả thuyết quy nạp ta được:

(a-k1)a(a-k1)-1 = i với i =1..k

a2-ia-ak1+ik1=0 (k1a=ak1 vỡ KZ(D))

(a - i)(a-k1) = 0

Vậy theo kết quả quy nạp luụn tồn tại 1K để a = i tức là aK.

Giải quyết mõu thuẫn

Trong chứng minh bổđề 10.6.8, Pierre Grillet đó lấy một phần tử

a  D và chỉ ra cú một đa thức f(x) K[x] nhận a làm nghiệm. Vỡ K là

đúng đại số nờn f(x)=(xi),iK. Sau đú, tỏc giả đó thay a vào

đẳng thức trờn để được f(a)=(ai),iK. Điều này thỡ chưa chắc

đỳng (đó chỉ ra trong chỳ ý của mục 3.2 và nội dung mệnh đề 3.3). Như

vậy, ta khụng thể cú kết luận bổ đề 10.6.8 của Pierre Grillet. Do đú, khụng thể dẫn đến C = H tức là khụng thể cú sự mõu thuẫn xảy ra trong trường hợp này.

Trong phỏt biểu bổ đề 2.1.5, I. N. Herstein đó chỉ rừ D là đại số trờn K nờn theo kết quả của bài toỏn 1 thỡ K được chứa trong tõm của D. Mặt khỏc, trong phỏt biểu cũng chỉ rừ mọi phần tử của D đều đại số

trờn K nờn lấy bất kỳ phần tử aD thỡ luụn tồn tại đa thức f(x) thuộc

K[x] nhận a làm nghiệm, theo kết quả bài toỏn 2 cho ta aK, tức là

D=K. Như vậy, phỏt biểu bổ đề 2.1.5, I. N. Herstein hoàn toàn chớnh

xỏc. So sỏnh giữa bổ đề 2.1.5, I. N. Herstein và bổ đề 10.6.8 của Pierre Grillet ta nhận thấy nếu tỏc giả bổ sung thờm giả thuyết K thuộc tõm D (hoặc D là đại số trờn K) thỡ hai bổđề này là như nhau.

Giữa định lý Frobenius và bổ đề 2.1.5 của I. N. Herstein cũng

khụng cú sự mõu thuẫn vỡ theo kết quả bài toỏn 1 và theo cỏch chứng

minh của định lý Frobenius ta thấy H là khụng gian vectơ hai chiều trờn C nhưng H khụng là đại số trờn C vỡ CZ(H) = R. Thật vậy:

Lấy = 1 - 2i là phần tử của C và x = 1+2i-3j+4k, y=2-4i+5j-k là hai phần tử của H ta cú:

Điều này cho ta hai cấu trỳc vành và khụng gian vectơ trờn H khụng thỏa món điều kiện (A3) của định nghĩa đại số trờn trường.

KẾT LUẬN

Định lý Frobenius là một trong những định lý đẹp của đại số. Qua việc nghiờn cứu định lý và đối chiếu một số kết quả khỏc (bổ đề 2.1.5 trong quyển

Noncommutative rings của I. N. Herstein và bổ đề 10.6.8 trong quyển Algebra

của Pierre Grillet), chỳng tụi phỏt hiện ra dường như cú sự mõu thuẫn. Việc nghiờn cứu và lý giải đến tận gốc những mõu thuẫn này, một phần làm chỳng ta hiểu sõu sắc hơn định lý Frobenius, mặt khỏc cũng phỏt hiện đụi điều khụng chớnh xỏc trong phỏt biểu bổ đề 10.6.8 của Pierre Grillet.

Vỡ thời gian nghiờn cứu ớt và khả năng cũn nhiều hạn chế nờn nội dung luận văn chắc cũn nhiều thiếu sút. Kớnh mong được sự chỉ dẫn của quý thầy

cụ và cỏc bạn đồng nghiệp. Chõn thành cỏm ơn và kớnh chỳc sức khỏe quý