Định nghĩa và ký hiệu

Chương 2: ĐỊNH Lí WEDDERBURN-ARTIN VÀ CÁC HỆ QUẢ

2.7. Định nghĩa và ký hiệu

Cho R là một vành bất kỳ và M là một R- mụđun

a. Định nghĩa A(M) là tập tất cả cỏc phần tử của R linh húa toàn bộ M. A(M) = {xR: Mx=(0)}.

b. Ký hiệu E(M) = {f: M  M: f là cỏc tự đồng cấu của nhúm cộng M}

Một số chỳ ý và kết quả:

A(M) là ideal hai phớa của R và M là R/A(M) mụđun trung thành.

Với mọi r1, r2 thuộc A(M) ta cú M(r1-r2)=Mr1-Mr2=0 nờn r1-r2 thuộc A(M)

Với mọi r  R và mọi r1  A(M) ta cú: M(r1r) = (Mr1)r = (0)r = (0) nờn r1r  A(M)

M(rr1) = (Mr)r1Mr1 = (0) nờn M(rr1) = (0) tức rr1  A(M)

M là một R/A(M) mụđun trung thành

Ta xỏc định phộp nhõn ngoài như sau: m(r + A(M)) = mr với mọi m  M và với mọi r + A(M)  R/A(M).

Định nghĩa này hợp lý vỡ r + A(M) = r’ + A(M) thỡ r-r’  A(M) tức m(r-r’) = 0. Điều này cho ta mr = mr’. Từ đú ta được:

m(r+A(M)) = mr = mr’ = m(r’ + A(M))

Với phộp toỏn nhõn ngoài trờn dễ dàng kiểm tra M là một R/A(M) mụđun. Ta kiểm tra nú là một R/A(M) mụđun trung thành.

Với mọi m thuộc M ta cú m(r + A(M))=0 thỡ mr = 0 nờn r thuộc A(M) do đú r + A(M) = 0.

M là R-mụđun trung thành khi và chỉ khi A(M) = (0)

Cho M là R-mụđun, với mọi r R ta định nghĩa Tr: M M

mmTr =

mr

thỡ Tr là tự đồng cấu của nhúm cộng M, do đú TrE(M)

Với phộp toỏn cộng và hợp của cỏc đồng cấu cho ta E(M) là một vành. Ta cũng cú kết quả R/A(M) đẳng cấu với vành con của vành cỏc tự đồng cấu E(M).

Do Tr là một tự đồng cấu của nhúm cộng của M nờn (m1+m2)Tr=m1Tr+m2Tr. Dễ dàng chứng tỏ được Tr1+r2=Tr1+Tr2 và Tr1.r2=Tr1.Tr2

Xột ỏnh xạ :RE(M) cho bởi (r) = Tr . Ta cú

(r1+r2)=(r1)+(r2) và (r1r2)=(r1).(r2) do đú  là một đồng cấu vành. Lỳc đú Ker={r  R: (r) =Tr = 0} = {r  R: mr = 0 với mọi m  M}=A(M). Từ đõy cho ta kết quả R/A(M)Im.

2.8. Định nghĩa

Cho M là R-mụđun. Vành giao hoỏn tử của R trờn M ký hiệu là C(M) và được định nghĩa C(M) = {fE(M): fTr = Trf, với mọi rR}

2.9. Bổđề