PHÒNG GD & ĐT CON CUÔNG Trường THCS Châu Khê KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2013 - 2014 Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ RA Câu (3 điểm): Tìm x biết: a x − x − x + 30 = b x − x − = Câu 2: (5 điểm) a Cho f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30 Tính M = 2x −1 −1 f (12) + f (−8) + 25 10 b Tìm số có ba chữ số chia hết cho cho thương số phép chia số cho tổng bình phương chữ số số Câu (4 điểm): Hướng dẫn học sinh lớp giải bài toán sau: Cho phương trình x + 2kx + = ; x1 ; x là hai nghiệm phân biệt phương trình Tìm giá trị k để: Q = x 14 + x 42 − 196( x 12 + x 22 ) đạt giá trị nhỏ nhất, xác định giá trị nhỏ đó? Câu (8 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính r Lấy điểm M đường thẳng d (d không cắt đường tròn O) vẽ tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm), OM cắt AB N Chứng minh OM.ON không đổi Khi điểm M di chuyển đường thẳng d a) Tìm quỹ tích tâm O’ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM b) Tìm quỹ tích điểm N? c) Với bài toán trên, khoảng cách từ tâm đường tròn (O) tới đường thẳng d r , quỹ tích điểm N thay đổi nào? Hết đề PHÒNG GD & ĐT CON CUÔNG Trường THCS Châu Khê HƯỚNG DẪN CHẤM KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2013 - 2014 Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu Nội dung ĐKXĐ: x ≥ Điểm 0.5 x − x − x + 30 = ⇔ ( x − 10 x + 25) + ( x − x + 5) = 2 ⇔ ( x − 5) + ( x − 5) = x − = ⇔ ⇔ x− =0⇔ x=5 x − = Vậy nghiệm PT là x=5 (TMĐKXĐ) ĐKXĐ: x ≥ ) 2x −1 −1 = 2x −1 −1 ⇔ a Đặt g(x) = f(x) - 10x g(1) = 0; g(2) = 0; g(3) = Vì g(x) là đa thức bậc 4, hệ số x4 là 1, có nghiệm là 1; 2; Nên g(x) biểu diễn dưới dạng: g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - xo) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - xo) + 10x Vậy M= 0.5 1,5 đ 2x −1 −1 = 2x −1 −1 ⇔ 2x −1 −1 ≥ ⇔ 2x −1 ≥ ⇔ 2x −1 ≥ ⇔ 2x ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp với ĐKXĐ ta có nghiệm PT là x ≥ 0.5 2x −1 −1 ⇔ x − x − = x − − ⇔ 2x − 2x − = 2x − − ⇔ 2x − − 2x − + = 2x − − ( 1.5 đ 0.5 x − 2x −1 = ⇔ 0.5 11.10.9.(12 − x0 ) + 120 + 9.10.11(8 + x0 ) − 80 f (12) + f (−8) + 25 = + 25 10 10 ⇒ M = 11.9.12 + 9.8.11 + +25 ⇒ M = 2009 b Gọi số phải tìm là abc ( < a ≤ 9;0 ≤ b, c ≤ ) Theo bài ta có abc = 9(a2 + b2 + c2) (1) 2 Hay 9(11a + b) + (a + b + c) = 9(a + b + c2) (2) a + b + c M Vì abcM9 nên suy a + b + c = 9; 18; 27 * Nếu a + b + c = 27 suy a = b = c = ta thấy (1) không thoả mãn * Nếu a + b + c = 18 ta có c = 18 - (a + b) (3) 2 ⇒ Từ (2) 11a + b + = a + b + c 0.5 0.5 0.5 2,0đ 0.5 0.5 0.5 0.5 3,0 đ Thay c vào (3) ta có Từ (3) ⇒ a + b = 2(a2 + b2 + ab - 23a - 18b + 161) (4) 0.5 a + b là số chẵn từ suy c là số chẵn Đặt c = 2n, n ∈ N , thay giá trị này c và b = 18 - (a + c) vào (4) ta có phương trình bậc hai đối với a a2 - (23 - 2n)a + (4n2 - 35n + 152) = Suy ∆ = −12(n − 4n + 4) − 31 < Phương trình vô nghiệm Nghĩa là không tồn abc 0.5 ⇒ * Nếu a + b + c = c = - (a + b) Từ (2) ⇒ 11a + b + = a2 + b2 + c2 (5) Thay c vào (5) ta có Từ (5) ⇒ a + b = 2(a2 + b2 + ab - 14a - 9b) (6) Vậy a + b là số chẵn, suy c là số lẻ Đặt c = 2m + 1, m ∈ N suy a + b = - 2m ⇒ b = - 2m - a Thay giá trị c và b vào (5) ta có phương trình bậc hai đối với ẩn a a2 + (2m - 13)a + (4m2 - 13m + 28) = (7) ( ) ⇒ ∆ = ( 2m − 13) − 4m − 13m + 28 = 57 − 12m 2 Phương trình (7) có nghiệm và ∆ ≥ 57 − 12m ≥ ⇔ m2 ≤ 57 ⇒ m = 0;1; 12 0.5 Mặt khác phương trình (7) đòi hỏi có nghiệm nguyên nên ∆ phải là số phương Ta thấy có giá trị m = mới cho ta ∆ = 57 − 48 = là số phương 9±3 ⇒ a = a = Nếu a = c = ⇒ b = - (loại) Nếu m = a = Nếu a = c = ⇒ b = Vậy trường hợp này số phải tìm là abc = 315 Vậy số phải tìm thoả mãn yêu cầu bài toán là 315 Thử lại ta thấy 315 = 9(32 + 12 + 52) Dẫn dắt học sinh tìm lời giải, cách chiết điểm các ý sau: k < −1 k > ' Điều kiện để PT có hai nghiệm phân biệt ∆ > ↔ k − > ↔ 0.5 (1) 0.5 x + x = −2 k x x = Theo Vi-et ta có 0.5 Biến đổi Q = x 14 + x 42 − 196( x 12 + x 22 ) = ( x 12 + x 22 ) − x 12 x 22 - 196( x 12 + x 22 ) = [( x + x ) − x x ] − x12 x 22 - 196[ ( x1 + x ) − x1x ] = [(-2k)2 – 2]2 – – 196[(- 2k)2 – 2] = [4k2 – 2]2 – – 196[4k2 – 2] = [4k2 – 2]2 – [4k2 – 2]98 + 982 - 982 – = [(4k2 – 2) - 98] – (982 + 2) ≥ – (982 + 2) k = 0.5 4,0 đ 0.5 0.5 0.5 0.5 Q đạt giá trị nhỏ [(4k2 – 100]2 = ↔ 4k2 – 100 = ↔ thõa mãn điều k = −5 kiện (1) PT có nghiệm, Qmin = – (982 + 2).= -9606 0.5 * 1) Vẽ hình 1,0 đ Từ MA, MB là hai tiếp tuyến cắt M; A và B là tiếp điểm, suy ra: ∆ MAO vuông A, AN ⊥ OM 2,0 đ OM.ON = OA2 = r2 không đổi 2,0 đ a) Trên OM lấy O’ cho OO’ = O’M, OO’ = O’M = O’A = O’B; O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABM; 0.25 đ Gọi giao điểm d và (O’) là K MK OK; OK là khoảng cách từ O tới ⊥ 1,0 đ 4,0 đ 1,0 đ đường thẳng d, đặt OK = h Ta có OK không đổi (do tâm O và đường thẳng d cố định) 0.25 đ Kẻ O’E//MK, E ∈ OK; kết hợp O’M=O’O (bán kính đường tròn O’), MK ⊥ OK h không đổi 0.25 đ Tâm O’của đường tròn ngoại tiếp ∆ ABM thuộc đường trung trực đoạn thẳng O’E ⊥ OK và EO=EK= OK = OK 0.25 đ 2b) Gọi H là giao điểm AB và OK; ∆ ONH đồng dạng với ∆ OKM ( ∆ ONH có góc N vuông, ∆ OKM có góc K vuông, hai tam giác này có chung góc nhọn MOK) 0.25 đ 1,0 đ ON OH OM.ON r2 r2 = = OH = = không đổi, nên OH cố định 0.5 đ OK OM OK OK h r2 N thuộc đường tròn đường kính OH = , trừ điểm O ( r là bán kính đường h tròn O; h là khoảng cách từ O tới đường thẳng d) 2c) Khoảng cách từ d tới (O) theo bài ra: h = 0.25 đ r ( hình vẽ bên) Khi d cắt (O) L và L’ Xét hai trường hợp: Khi M chuyển động tia Lx và L’y ta vẽ tiếp tuyến với (O) Khi M chuyển động đoạn thẳng LL’ không vẽ tiếp tuyến với (O) trừ điểm L, L’ 0.25 đ r2 r - Xét M chuyển động tia Lx, tương tự câu 2b ta có: OH = = r : = 2r h quỹ tích điểm N là cung tròn ONL nhận OH =2r làm đường kính (hình trên), trừ điểm O 0.25 đ Tương tự M chuyển động tia L’y quỹ tích điểm N là cung tròn ON’L’nhận OH =2r làm đường kính, trừ điểm O 0.25 đ Vậy h = r điểm M thay đổi d quỹ tích N là cung tròn LOL’nhận OH = 2r làm đường kính (hình trên), trừ điểm O 0.25 đ 1,0 đ ... Trường THCS Châu Khê HƯỚNG DẪN CHẤM KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2013 - 2014 Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu Nội dung ĐKXĐ: x ≥ Điểm 0.5 x − x − x + 30 = ⇔... = ⇒ b = Vậy trường hợp này số phải tìm là abc = 315 Vậy số phải tìm thoả mãn yêu cầu bài toán là 315 Thử lại ta thấy 315 = 9(32 + 12 + 52) Dẫn dắt học sinh tìm lời giải, cách chiết