Một số vấn đề về lý thuyết chiều

KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Kí hiệu Nghĩa kí hiệu Trang TRƯỜNG ĐẠI HỌC5 AN GIANG ■ Kết thúc chứng minh Căn iđêan q KHOA MỘT SỐSư KÍPHẠM HIỆU S-\R) Vành thương vành R theo s Bộ MỒN TOÁN Dịa phương hóa vành R theo p Rp 10 J(R) Căn Jacobson vành R 10 N(R) Linh vành R 12 {Rn n e N} Lọc vành Mục lục 12 Vành phân bậc hên kết gr ( R ) Ằa Dồng cấu nhân a 16 S~1(M) 16 Dịa phương hóa môđưn M theo s ẢssR(ứ) Tập iđêan nguyên tố liên kết mô đun 19 20 z(M) Tập ước không môđưn M Dịa phương hóa mô đun M theo p 23 Mp MỘT SỐ KÍ HIỆU Supp(M) Giá môđun M 23 Tập iđêan nguyên tố chứa / 24 vự) Ann(M) Cái triệt môđưn M 24 IR(M) Dộ dài R—môđưn M 31 {Mn n e N} Lọc môđun 34 gr(M) Môđun phân bậc hên 34 HỌC CÁP TRƯỜNG ĐỀkết TÀI NGHIÊN CỨU KHOA H(M, n) Hàm Hilbert môđưn M 37 MỞ ĐẦU F(M,t) Chuỗi Hilbert môđưn M 37 Pi(M,n) Hàm Hilbert-Samuel môđưn M 38 MỘT SỐ VẤN ĐÈ VÈ LÝ THUYẾT CHIỀU d(M) Bậc đa thức Hilbert-Samuel môđưn M 39 dim M Chiều Krull môđưn M 41 dim R Chiều Krull vành R 41 iđêan VÀNH ht(/) Dộ cao I NOETHER VÀ VÀNH ARTIN 41 Cohtự) Dối độ cao iđêannguyên I 41 củaIđêan tố, iđêan cực đại iđêan nguyên sơ Ỗ(M) Chiều Chcvalley môđun M 42 Ext Hàm tử Ext 48 depth(M) Dộ sâu 49 môđun VànhMNoethcr Vành Artin Vành phân bậc 11 Chủ nhiệm đề tài: Ths LÊ VĂN CHUA 2 PHÂN TÍCH NGUYÊN sơ VÀ IĐÊAN NGUYÊN Tố LIÊN KET 14 Môđun Noether 14 Phân tích nguyên sơ môđun Noether 16 Tập iđêan nguyên tố liên kết 19 Giá môđun 23 Long Xuyên, tháng năm 2009 Ths Lê Lê Vẫn Vẫn Chua Văn Chua Ths 11 11 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường MỞ ĐẦU Mục tiêu nghiên cứu Dồ tài nghiên cứu đặc trưng chiều vành môđun Từ đến việc nghiên cứu hai lớp vành quan trọng Đại số giao hoán đại vành Cohen-Macaulay vành địa phương quy, mối quan hệ chúng Nội dung nghiên cứu Lý thuyết chiều lý thuyết trọng tâm Dại số giao hoán đại Mọi toán khảo sát cấu trúc vành hay môđun Dại số giao hoán việc xcm xét chiều chúng Khái niệm chiều mà nhắc đến có nguồn gốc từ Hình học dạng đại số khái niệm chiều đa tạp đại số Dồ tài gồm chương Chương Vành Noether vành Artin, Chương nghiên cứu hai lớp vành quan trọng vành Noethcr vành Artin Chúng tảng để xây dựng sở lý thuyết chiều Nội dung chương gồm vấn đề san: Iđêan nguyên tố, Iđêan cực đại iđêan nguyên sơ; Vành Noether; Vành Artin; Vành phân bậc Chương Phân tích nguyên sơ iđêan nguyên tố liên kết, Chương nghiên cứu lớp môđun Noether phân tích nguyên sơ nó, bên cạnh nghiên cứu lớp iđêan nguyên tố liên kết giá mô đun Nội dung chương gồm vấn đề sau: Môđun Noether; Phân tích nguyên sơ môđun Noether; Tập iđêan nguyên tố liên kết; Giá môđun Chương Hàm chuỗi Hilbert, Chương nghicn cứu lớp môđưn Artin, đặc biệt mối quan hệ vành Noethcr vành Artin thông qua khái niệm độ dài hữu hạn môđun Cùng với cấu trúc môđun phân bậc, tiếp tục nghiên cứu hai đối tượng quan trọng khác đại số giao hoán hàm Hilbert Da thức Hilbert-Samưel rnôđun Nôi dưng chương gồm vấn đề sau: Môđun Artin; Môđun có độ Ths Lê Vẫn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường vành Cohen-Macaulay vành địa phương quy, mối quan hệ chúng Cơ sở lý luận phương pháp nghiên cứu Dồ tài "Một số vấn đề lý thuyết chiều" chủ yếu dựa sở lý thuyết vành lý thuyết môđun Ths Lê Vẫn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chương VÀNH NOETHER VÀ VÀNH ARTIN Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại iđêan nguyên sơ Định nghĩa 1.1 Một iđêan p vành R gọi nguyên tố R p khác R với ữ, b G R cho ab G p a G p b £ p Một iđêan m vành R gọi cực đại R m khác R với J iđêan tùy ý R cho m c J c R m = J J = R Định lý 1.2 Một iđêan p vành R nguyên tố R/p miền nguyên Một iđêan m vành R cực đại R/m trường Chứng minh Giả sử p iđêan nguyên tố R Dể chứng minh R/p miền nguyên ta cần chứng minh R/p ước không Thật vậy, (a+p)(ò+p) = 0+p ab+p = + p kéo theo ab E p Do p iđêan nguyên tố nên a E p b E p hay a + p = + p b + p = + p Vậy R/p miền nguyên Dảo lại, R/p miền nguyên R/p vành giao hoán có đơn v ị l + p 7^0 + p suy ị p p Ỷ R- Giả sử ab E p Khi ab + p = + p kéo theo (ữ + p)(ò + p) = + p Ths Lê Vẫn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường suy = ab — m G J Vậy J = R m iđêan cực đại R Dảo lại, giả sử m iđêan cực đại R Khi ta có RỊm vành giao hoán có đơn vị + m + m Dể chứng minh R/m trường, ta phải chứng minh phần tử khác không R/m khả nghịch Nếu a + m G R/m khác không a ị m Xét J = m + Ra = {m + I m G m: r G R} Dễ dàng kiểm tra J iđêan R chứa m Vì a = + la G J nên J iđêan thực chứa m Do m iđêan cực đại nên J = R Khi tồn m G m ò G R cho = m + ab suy ab — = —m G m kéo theo (a + m)(ò + m) = + m Vậy a + m khả nghịch R/m trường ■ Hệ 1.3 Mọi iđêan cực đại vành R iđêan nguyên tố Định lý 1.4 Mỗi vành R tồn iđêan cực đại Chứng minh Gọi 3? tập tất iđêan khác với R Vì G 3Ễ nên 3? khác rỗng Bây giờ, giả sử {Jị I i G 1} họ tùy ý iđêan R cho Jo c Ji c • • • c Jn c • • • Dặt J = ui£jjị Ta chứng minh J iđêan R Nếu a, b G J tồn số i,j G / cho a G Ji b G Jj Ta giả sử Jj c Jị Khi ữ, b G Jị Vì Jị iđêan R nên a — b G Jị G Jị với r G R, mà Jị c J nên a — b G J G J với r G R Vậy J iđêan R Hơn J G 3Ễ Bởi vì, G J có số ỉ để G Jị kéo theo Ji = R Diều dẫn đến mâu thuẫn Rõ ràng J chặn họ {Ji I i G /} Theo Bổ đề Zorn 3Í với quan hệ bao hàm phải có phần tử cực đại m Hiển nhiên m iđêan cực đại R ■ Hệ 1.5 Mọi iđêan thực vành R nằm iđêan cực đại Chứng minh Giả sử / iđêan thực R Theo Dịnh lý 1.4 vành thương RỊ ỉ có iđêan cực đại T Khi T iđêan có dạng m// với m iđêan chứa I Ta có (R/I)ỊT = (R/I)/(m/I) = RỊm Do T iđêan cực đại nên (R/I)/(m/I) trường Diều dẫn đến R/m trường m iđêan cực đại Ths Lê Văn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Định lý 1.7 Giả sử pi, p2, , pn deal nguyên tố vành R Khi I iđêan cho I c u”=1pi tồn số i cho I c pi Chứng minh Giả sử / không chứa pi với ỉ Khi ta giả sử I không chứa p! u p2 u • • • u pị_i u pi+1 u • • • u pn Với i, ta có phần tử flj G / ^ Pi u p2 u • • • u pị_i u pj+1 u • • • u pn Theo giả thiết I c U”=1pj nên ũị G pj Nếu n = I không chứa p! p2 Khi a1 G Pi a2 ị Pi suy ữi + a2 ị PiTương tự, ữi ị p2 a2 G p2 suy ữi + ữ2 ị p2- Do ẩố a\ + a2 ị I c pi u p2 Diều dẫn đến mâu thuẫn với ữl5 a2 G I Nếu n > ta thấy aia2 ■ ■ ■ an_i G Pi n • • • n pn_i an ị pi u • • • u pn-1- Dặt a = (ữiữ2 • • • an_i) + an không thuộc pi u • • • u pn1Vì al5 a2 , , an_i không thuộc pn nên aia2 ■ ■ • an_i ị pn Do an G Pn nên a ị pn Vậy a G / a ị U”=1pị Diều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ■ Định nghĩa Một iđêan q vành R gọi iđêan nguyên sơ q khác R với ữ, b G R cho ab G q a G q tồn số nguyên dương n cho bn G q Nhận xét Mọi iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ Định lý 1.8 Nếu q iđêan nguyên sơ R q, kí hiệu s/q = {a G R I tồn số nguyên dương n cho an G q} iđêan nguyên tố Chứng minh Giả sử ab G y/q a ị y/q Khi tồn số nguyên dương n Ths Lê Vẫn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Vành Noether Định nghĩa 2.1 Một vành R gọi Noethcr dãy tăng iđêan R có dạng h c /2 c • • • c Im c • • • bị dừng, nghĩa tồn số nguyên dương n cho Ik = ỉn với k > n Định lý 2.2 Một vành R Noether tập khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại Chứng minh Giả sử 3? tập khác rỗng iđêan R Ta chọn /1 G Nếu /1 không cực đại chọn /2 G 3Ỉ cho lị c /2 Nếu /2 không cực đại chọn /3 G 3Ỉ cho lị c /2 c /3 Tiếp tục trình sau hữu hạn bước ta có phần tử cực đại In G 3h Vậy 3Ễ có phần tử cực đại Đảo lại, giả sử I\ c /2 c • • • c Im c • • • dãy tăng iđêan R Theo giả thiết tập ĩ? = {lị I i > 1} có phần tử cực đại In Với k > n, ta có In c Ik In c Ik tính cực đại Ik = In với k > n Vậy R vành Noether ■ Định lý 2.3 Một vành R Noether iđêan R hữu hạn sinh Chứng minh Giả sử / iđêan tùy ý R Gọi 3? tập tất iđêan hữu hạn sinh R chứa I Ta có G 3? nên tồn phần tử cực đại J G 3£ Gọi al5 a , , am phần tử sinh J Với b G /, ta gọi Kb iđêan sinh ò, ữi, ữ , , am Khi Kịy G 3£ J c Kb Từ tính cực đại J, ta có J = Kb với b G / suy I c J Do cách xây dựng tập 3Í nên J c I Vậy I = J = Kb iđêan hữu hạn sinh R Dảo lại, giả sử /1 c /2 c • • • c Jm c • • • dãy tăng iđêan R Dỗ dàng kiểm tra Ufc>i li iđêan R Theo giả thiết, ỊJfc>1 li iđêan hữu hạn sinh Gọi ữi, ữ2) • • • am phần tử sinh iđêan Vì ak G Ij nên tồn số nguyên dương n cho ak G In với k Ufc>i Ik V In- Từ suy Ik = In với k > n Vậy R vành Noether ■ Định lý 2.4 Anh đồng cấu vành Noether vành Noether Ths Lê Văn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường cho J = 5-1/ Do R vành Noether nên / iđêan hữu hạn sinh Giả sử ữi, ữ2, • • •, ơm phần tử sinh I Ta chứng minh ữi/1, (22/1, • •., CLm/1 phần tử sinh J Thật vậy, với b G J có phần tử a G I cho b = a/s Ta có a = ỴyỊLi riai với Ti £ R vầ ĨĨI m b = a/s = (^v^/s = i= s)(ai/l) i=1 Vậy J iđêan hữu hạn sinh S~lR vành Noethcr ■ Hệ 2.7 Nếu p iđêan nguyên tố vành Noether R vành địa phương hóa Rp vành Noether Định lý 2.8 (Định lý sở Hilbert) Nếu R vành Noether vành đa thức R[x\ vành Noether xét Chứng minh Giả sử I iđêan khác iđêan vành R[x] Với n > ta tập In = {a G R I tồn f(x) = ữo + • • • + axn G J} Dễ dàng kiểm tra In iđêan R Vì x(ao H- b axn) = aoX-\ b nên axn+1 ta có /1 c /2 c /3 c • • •, R vành Noethcr ncn tồn n G N cho In = Im với m > n Hơn /m iđêan hữu hạn sinh Gọi c^n\ c2U\ , éị^ phần tử sinh iđêan /m Giả sử fjm\x) = -b Cjn'>xm G / với < m < n v l < j < km Ta chứng minh I iđêan sinh tập hữu hạn s = { f j ( x ) I < m < n; < j < km} Rõ ràng (S) c I Giả sử f(x) = ữo + • • • + axm G / đa thức bậc m Ta chứng minh f(x) G (s ) phương pháp quy nạp theo m Nếu m = f{x) = «0 đa thức I c (s) Giả sử (S) chứa tất đa thức có bậc nhỏ m I Nếu m < n a G Im tồn ơj G R cho a = ơjCj Chú ý đa thức Y2 a j f j ( x ) có hệ số cao a bậc m, đa thức f ( x ) — Ỵ2ajfj(x) Ths Lê Văn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Vành Artin Định nghĩa 3.1 Một vành R gọi Artin dãy giảm iđêan R có dạng h D h D • • • D In D • • • bị dừng, nghĩa tồn số nguyên dương m cho Ik = Im với k > m Định lý 3.2 Một vành R Artin tập khác rỗng iđêan R có phần tử cực tiểu Chứng minh Giả sử ĩỉ tập khác rỗng iđêan R Ta chọn lị E Nếu /1 không cực tiểu tồn /2 E ĩỉ cho /1 D 12 Nếu /2 không cực tiểu tồn /3 E cho /1 D /2 D /3 Tiếp tục trình sau hữu hạn bước ta có phần tử cực tiểu /m€» Dảo lại, giả sử I\ D /2 D • • • D ỉn D • • • dãy giảm iđêan R Khi tập K = u* I * > 1} CÓ phần tử cực tiểu Im Với k > m, ta có /m D lỵ giả thiết Im c Ik tính cực tiểu Im Do Ik = Im với k > m Vậy R vành Artin ■ Định lý 3.3 Ánh đồng cấu vành Artin vành Artin Chứng minh Giả sử R vành Artin : R —» T toàn cấu Ta chứng minh T vành Artin Thật vậy, giả sử Ji D J2 D • • • D Jn D • • • dãy giảm iđêan T Khi ta có u_1(Ji D ơ~1ụ2) D • • • D m Do toàn cấu nên Jk = Jm với k > m Vậy T vành Artin ■ Hệ 3.4 Vành thương vành Artin vành Artin Chứng minh Giả sử I iđêan vành Artin R Xét toàn cấu tắc 7T : R —> RỊ ỉ Theo Định lý 3.3, RỊI vành Artin ■ Định lý 3.5 Mỗi iđêan nguyên tố vành Artin R iđêan cực đại Chứng minh Giả sử p iđêan nguyên tố vành Artin R Khi vành thương T = R/p miền nguyên Artin Với a E T a khác 0, ta có dãy giảm Ths Lê Văn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chứng minh Gọi 3Ỉ tập tất giao số hữu hạn iđêan cực đại vành Artin R Vì R vành giao hoán có đơn vị nên tồn iđêan cực đại R tập khác rỗng Giả sử / = tĩii n tn2 n • • • n phần tử cực tiểu 3? Ta chứng minh {mi,rri2, , mn} tập iđêan cực đại R Thật vậy, m iđêan cực đại R I D m n / G 3Í Từ tính cực tiểu / ta có I = m n / hay I c m Do tồn i để mị c m suy mi = m Vậy có số hữu hạn iđêan cực đại vành Artin R ■ Định lý 3.8 Nếu R vành Artin lũy linh N(R) iđêan lũy linh, nghĩa tồn số nguyên dương k cho N(R)k = Chứng minh Dặt / = N(R) ta có dãy iđêan I D ĩ2 D • • • D In D • • •, R vành Artin nên tồn k e N cho Ik = Ik+1 = • • • = J Nếu J = I iđêan lũy linh Nếu J khác ta nhận mâu thuẫn sau: Gọi 3? tập tất iđêan K R cho KJ khác Vì J = J2 = JJ khác nên J e 3Ỉ 3? khác rỗng Gọi KQ phần tử cực tiểu 3Ễ Khi tồn phần tử a G KQ cho aJ khác Ra c Ko kéo theo Ra = KQ Ta có (aJ)J = aJ2 = aJ khác ncn aJ £ 3? aJ c KQ suy aJ = Ko = Ra Do tồn b £ J cho a = ab Vì b £ J c ĩ nên tồn m £ N cho bm = Ta có a = ab = ab2 = ab3 = • • • = abm = a0 = kéo theo KQ J = aJ = Diều mâu thuẫn với việc chọn KQ Vậy J phải iđêan ■ Hệ 3.9 Căn Jacobson vành Artin R iđêan lũy linh Định lý 3.10 (Dịnh lý cấu trúc vành Artin) Mỗi vành Artin đẳng cấu với tích trực tiếp hữu hạn vành địa phương Artin Chứng minh Giả sử {mi, rri2, , m„} tập tất iđêan cực đại vành Artin R Khi mi, m , , mn đối cực đại đôi n n J(R) = P|mt = i=i i=1 Do J(R) iđêan lũy linh nên tồn số nguyên dương k cho J(R)k = Ta có n n Ths Lê Văn Chua 10 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường rỗng Mệnh đề 3.4, Chương Gọi p iđêan nguyên tố liên kết M cho dim M = Coht(p) = dim R / p Theo Mệnh đề 3.2, Chương 2, ta có đơn cấu từ R / p vào M nên R / p = N, với N môđưn M Theo Hộ 4.10, Chương 3, ta có d{R/p) = d(N) < d(M) Như vậy, để kết thúc việc chứng minh dim M < d ( M ) ta cần chứng minh dim R / p < d ( R / p ) Thật vậy, xét xích iđêan nguyên tố po c pi c p c ••• c p t Khi ta có t < d ( R / p ) Ta chứng minh nhận định quy nạp theo t Nếu t = R / p khác vành không d { R / p ) > Vậy kết với t = Giả sử t > kết với trường hợp nhỏ t — Chọn a e p i - p xét iđêan nguyên tố Q G AssR ( R / p + R a ) cho i?ữ+p c Q c pi Ta nhận xích iđêan nguyên tố có độ dài t — 1: Q c p2 c ••• c p t Theo giả thiết quy nạp ta có í — < d ( R / Q ) Vì R / Q đẳng cấu với môđun R/(Ra-\-p) nên d ( R / Q ) < d ( R / (i?ữ+p)) Từ ta suy í—1 < d ( R / (J? ữ+p)) Xét dãy khớp ngắn —> R / p ^ R / p —> R Ị { R a + p) —> Àa đồng cấu nhân a Theo Dịnh lý 4.8, Chương PmiR/più) + Pm(R/(Ra + p),n) = Pm(R/p,n) + r{n) r(n) hàm đa thức có bậc nhỏ d ( R / p ) Ta có t - < d ( R / ( R a + p)) = deg P m ( R / { R a + p ) , n ) = deg r(n) < d ( R / p ) Ths Lê Văn Chua 43 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường S ( M ) < dim M Nếu dim M = — M môđun không Ỗ ( M ) = — Giả sử M khác môđun không Nếu dim M = I R ( M ) hữu hạn Ỗ ( M ) = Bây giờ, giả sử dim M > Gọi pi, p2, • • •, p t iđêan nguyên tố liên kết M cho Coht(pi) = dim M với ỉ = , , , t Vì dim M > nên p j c m với i m ^ u*=1pị Chọn a G m mà a ị u*=1pj đặt N = M / a M Khi ta có Supp(_/V) c Supp(M) - { p i , p 2, , p í } Do dim N < dim M Nếu Ỗ ( N ) = — M = a M theo Bổ đề Nakayama ta có M môđun không Diều dẫn đến mâu thuẫn với điều giả sử dim M > Vậy ta phải có Ỗ ( N ) = r > Khi tồn ữi,a2, ,ftrGm cho ỈR(N/(ữi, ữ , , a r ) N ) hữu hạn Chú ý M/(a, ữI,ữ2, • • • , a r ) M = i V / ( a i , a , , a r ) N V ậ y I R ( M / ( a , ữ i , a , , a r ) M ) hữu hạn S ( M ) < r + Theo giả thiết quy nạp Ỗ ( N ) < dim N Vậy Ỗ ( M ) < r + = Ỗ ( N ) + < dim N + < dim M ■ Hệ 1.8 Giả sử M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether R Khi dim M hữu hạn Dặc biệt dim R hữu hạn dim R = số phần tử sinh cực tiểu iđêan xác định R Chứng minh Ta có dim M = d(M) hữu hạn Nếu I iđêan xác định vành R R/I vành Artin I R { R / I ) hữu hạn Gọi ữl5 a , , a r số phần tử sinh cực tiểu I Khi I R ( R / I ) = l R ( R / ( a i , a 2, , ữ r ) ) hữu hạn Vậy dim R = Ô ( R ) = r ■ Hệ 1.9 Giả sử R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m trường thặng dư K = R/m Khi dim R < dimx(tn/m2) Chứng minh Giả sử ữl5 a2, , ar G m s a o c h o ãỵ, ã , , ãr lập thành sở không gian véc tơ m/m2 trường K Khi m = ( Như chứng minh phần định lý lý thuyết chiều, lấy M = R N = R / { a ) ta dim R / { a ) < dim R Do dim R / ( a ) < dim R — Giả sử dim R / ( a ) = r ữl5 a , , a r G m s a o c h o ã 1, ã 2, , ã r tương ứng ảnh a , a , , a r R Ị ( a ) làm cho (ãl5 ữ , , ã r ) trở thành iđêan m/(ữ)— nguyên sơ vành R / ( a ) Khi ( a , a , a ỉ , a r ) iđêan m—nguyên sơ vành R Theo Hệ qưả 1.8, ta có dim R < l - h r = l + dim RỊ (a) Vậy dim RỊ (a) = dim R — ■ Hệ 1.13 Nếu p iđêan nguyên tố vành Noether R a G p không ước không ht(p/(a)) = ht(p) - Độ sâu môđun Cho R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m M môđun hữu hạn sinh chiều n R Khi tồn phần tử ữi, a , , a n G m cho R —môđưn thương M / ( a i , ữ 2, , n ) M có độ dài hữu hạn định lý lý thuyết chiều Định nghĩa 2.1 Cho R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m M môđun hữu hạn sinh chiều n R Một tập phần tử ữi, a , , a n G m Ths Lê Văn Chua 45 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Cho R vành địa phương Noether chiều d , ữi, ữ2, , ( L d tập sinh iđêan xác định R Khi ữi, ữ2, , d hệ tham số R Tập phần tử Xi, X2, , x n hệ tham số vành R = K [ [ x 1, £2, , xn]] với K trường Định lý 2.2 Cho R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m M môđun hữu hạn sinh chiều n R Khi oq, Ơ2, , ar phần tử tùy ý thuộc m dim M/(ứi, ữ2, • • •, a r ) M > n — r H n n ữ a dim M/(ữi, ữ2, , a r ) M = n — r ữi, Ũ2, , ar phần hệ tham số M Chứng minh Trước hết ta ý rằng: Nếu / J iđêan Rvầ N = MỊ ỈM hợp thành ánh xạ M —» MỊ ỈM = N —» N / J N toàn cấu với hạt nhân (/ + J ) M M / ự + J ) M = N / J N Đặc biệt, lấy I = ( a i , ữ 2, , ữi-i) J = ( a i ) M / (ữi, Ơ2, , aì)M = N / ị N với N = M / (ai, ữ2, , i - i ) M Bây giờ, ta chứng minh định lý phép quy nạp theo r Với r = 1, đặt N = M Ị a \ M Chọn Theo giả thiết quy nạp, dim N > dim M — ( r — 1) Do dim M / ( a , ữ2, • • •, a r ) M = dim N / a r N > dim N — > dim M — ( r — 1) — = dim M — r Nếu dimM/(«1, ữ2, , a r ) M = n — r ta chọn a r + 1, a r + 2, , an hệ tham số môđun N = M / (ữi, ữ2, , a r ) M Vì N Ị (ữr-|-i, ữr_|_25 • • •) n ) N = M / [ \ , ữ2ĩ • • •) ỵ i ^ M nên M/(ữi, a , , a n ) M c ó độ dài hữu hạn Do ữ i , a , , a n hệ tham số M Dảo lại, ữx, ữ2, • • •, r phần hệ tham số tồn phần tử ar+1, ữr+2, , a n s a o c h o ữ i , Ũ 2, , a n hệ tham số M Dặt N = M/(ữi, a , , a r ) M dim M / ( ữ i , a 2, , a r ) M = d i m N = n — r ■ Ths Lê Văn Chua 46 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Hệ q u ả 2.3 Cho R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m v ữ i , a 2, , a r G m phần hệ tham số R cho iđêan I = (ữi, a , , a r) c ó đ ộ c a o r K h i đ ó ht(/) + Coht(/) = dim R Chứng minh Theo Định lý 2.2, ta có dim R / I = dim R — r ■ Định nghĩa 2.4 Cho M R — môđun Một dãy thứ tự phần tử khác không a i , a , , a n R gọi dãy qui (còn gọi M —dãy qui hay M — dãy) điều kiện sau thỏa mãn (ữi, a , • • • a n ) M 7^ M ũ ị không ước không M Ị (al5 a , , M Chú ý Với = điều kiện có nghĩa ị không ước không Ví dụ aq, x ì ■ , x n R —dãy vành R = K [ X I , X , , £ „ ] với K trường X , 2/(1 — x ) , z { — X ) R —dãy vành R = K [ x 2/, z ] với K trường Định lý 2.5 Cho M R—môđun ữl5 a , , an phần tử khác không R Khi ữ i , a2, , an M — d ẫ y k h i v c h ỉ k h i ữi,a , , ị l m ộ t M—dẫy a i+!, d i + 2, , an tò m ộ t M / (ữi, a , , ã i ) M — d ã y v i i = , , n Chứng minh Nếu ữ i , ữ 2, , a n M—dãy ữi,a , : ị M—dãy ữi+1 không ước không N = M / ( ũ i , a ì : a ì ) M , ơị+2 không ước không M/(ữi, a2, • • •, Cbi+i)M = N / d i + i N , tiếp tục ơị+s không ước không M / ( a i , a , ,ai+1,ai+2)M = N/(ai+1,ai+2)N Diều dẫn đến ai+i, ai+2, ai+3 làiV-dãy Tiếp tục lập luận ta ãi+i,ai+ ì , ữn V—dãy Dảo lại hiển nhiên ■ Định lý 2.6 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether R Khi a , , ar G R M — d ã y ữ l5 a2 , , ar phần hệ tham số M Ths Lê Vẫn Chua 47 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường không R — dãy Tuy nhiên, phần tử R — dãy thuộc vào Jacobson J(R) hoán vị R — dãy lại R — dãy Diều thể định lý sau Định lý 2.8 Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R ữi, 02, , an thuộc J(R) M — d ã y Khi hoán vị phần tử a l5 a2 , , an M — d ẫ y Chứng minh Ta cần chứng minh mệnh đề sau: Nếu a ĩ : a M — dãy a , oq M — dãy Trước hết ta chứng minh ữi không ước không M/a2M Nếu X G M / a M a \ X = a \ X G a M Chọn y G M cho a\X = a2y Vì a2 không ước không M Ị a \ M nên y G a \ M Vậy tồn z G M để y = a\Z a \ X = a y = a2a\Z Vì ữi không ước không M nên X = a z suy X = Tiếp theo ta chứng minh a không ước không M Xét môđun N = { x G M I a x = 0} M Nếu X G N a x = Vì a không ước không M j a \ M nên X G a \ M Khi tồn y G M cho X = ứiy kéo theo dia y = a x = Do M / a M —* Aa đồng cấu nhân a cho M Khi ta nhận dãy khớp —> Hom R { R / p , M ) HomR { R / P , M) —* HomR { R / P , M / a M ) Nếu Homfí(J?/p, M / a M ) = Hom/ĩ(/?/p, M ) = Honi/ỉ(ir?/p, M ) nHoni/ỉ(/?/p, M ) = HomR ( R / P , M ) Theo Bổ đề Nakayama, ta có Homf í ( R / p , M ) = Diều dẫn đến mâu thuẫn Vậy HomR ( R / ( P + R a ), M / a M ) = HomR ( R / P , M / a M ) Ỷ Ths Lê Văn Chua 50 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chứng minh Vì p D Ann(M) nên dim R / p < dim R/ Aĩiĩí(M) Do M R— môđun C.M nên depth(M) < dim R/p < dim R / A n n ( M ) = dim M = depth(M) Vậy depth(M) = dim R / p = dim M với p E AssR { M ) ■ Hệ 3.4 Nếu M R—môđun C.M p £ AssR ( M ) cực tiểu Chứng minh Nếu p D Q E AssR ( M ) dim R / p = dim M = dim R / Q kéo theo p = Q Vậy p cực tiểu tập AssR ( M ) ■ Mệnh đề 3.5 Cho M R—môđun C.M a G m Khi {ữ} M — d ã y v c h ỉ k h i dim M / a M = dim M — Trong trường hợp này, M / a M R— môđun C.M Chứng minh Nếu {ữ} M—dãy {ữ} phần hệ tham số M dim M / a M = dim M — Dịnh lý 2.2 Dảo lại, {ữ} không M —dãy tồn p G AssR ( M ) để a G p dim M = dim R / p Hộ 3.3 Nếu p G Supp(M/ữM) dim M / a M > dim M (mâu thuẫn) Vậy p ị Supp(M/ữM) Chú ý M / a M = M R Ị ( a ) Do Supp(M/ữM) = Supp(M) n Supp(i?/(o)) Vì p G Supp(M) nên p ị Supp(i?/ (a)) Vậy a ị p điều dẫn đến mâu thuẫn Do {ữ} M — dãy Nếu M R —môđun C.M dim M / a M = dim M — depth(M/ữM) = depth(M) — = dim M — = dim M / a M Vậy M / a M R—môđun C.M ■ Định lý 3.6 Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether R Khi M môđun C.M hệ tham số M M — d ã y Chứng minh Nếu dim M = n al5a , , an hệ tham số M ữi, a , , a n M — dãy Do depth(M) > n = dim M Theo Dịnh lý 2.14, ta có depth(M) < dim M Vậy depth(M) = dim M M môđun C.M Dảo lại, giả sử Gq, a , , a n hệ tham số M Ta chứng minh quy nạp theo r ữi, a , , a r M —dãy M /(ữi, a , , a r ) M môđun Ths Lê Vẫn Chua 51 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chứng minh Nếu ữi, a2, • • •, 0>r M—dãy cực đại ữi, a2, • • •, CLr phần hệ tham số M Ta có r = depth(M) = dim M nên ữi, a2, , ar hệ tham số M ■ Định lý 3.9 Nếu M R—môđun C.M p iđêan nguyên tố R Mp Rp—môđun C.M Chứng minh Nếu p không chứa Ann(M) Mp = Do ta giả sử p D Ann(M) Khi dim Mp = ht(p/Ann(M)) depth(Mp) = depthp(M) Bây giờ, ta chứng minh định lý phép quy nạp theo depthp(M) Nếu depthp(M) = tồn Q G AssR { M ) cho p c Q Vì M môđun C.M nên Q phần tử cực tiểu tập AssR ( M ) p = Q Từ dẫn đến dim Mp = ht(p/Ann(M)) = Vậy depth(Ap) = depth(Mp) — < depth(Mp) Vì N R—môđun C.M nên theo giả thiết quy nạp N p R p — môđun C.M dcpth(Ap) = dim Ap Từ suy depth(Mp) = dim M p Vậy M p R p — môđun C.M ■ Hệ 3.10 Nếu R vành C.M p iđêan nguyên tố R Rp vành C.M Chứng minh Lấy M = R Dịnh lý 3.8 ■ Định lý 3.11 Cho R vành C.M I iđêan thực R Khi ht(7) + Coht(/) = dim R Chứng minh Nếu p iđêan R có độ cao r Rp vành M.c chiều r Do tồn R—dãy a-L, a2, , ar G p D ặ t J = ( a l5 a , , ar ) Vì ht(p/J) = ht(p) — r = nên p iđêan nguyên tố cực tiểu J Do dim R/p = depth(i?/J).Vậy Coht(p) = dim R/p = dimR — r = dim R — ht(p) hay ht(p) + Coht(p) = dim R Bây giờ, Ilà iđêan thực R có độ cao r Ths Lê Văn Chua 52 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Vành địa phương quy Giả sử R vành địa phương Noether với iđêan cực đại m trường thặng dư K = R/m dim/? = d Theo định lý lý thuyết chiều, m có d phần tử sinh Định nghĩa 4.1 Giả sử R vành địa phương Noethcr chiều d với iđêan cực đại m Ta nói R vành địa phương quy m sinh tập có d phần tử Nếu R vành địa phương quy chiều d tập sinh gồm d phần tử sinh m gọi hệ tham số quy R Ví dụ Nếu dim R = R vành địa phương quy R trường Nếu K trường vành R = K [ [ x i , x , ■., x n ] ] vành địa phương quy chiều n { x i , x2 , , x n } hệ tham số quy R m = (aq, x2 , , xn) iđêan cực đại R Định lý 4.2 Cho R vành địa phương Noether chiều d với iđêan cực đại m trường thặng dư K = R/m Khi điều kiện sau đương đương: R vành địa phương quy grm(i?) = K [ X ! , X , , x d ] gr m { R ) = K [ b i , b , , & „ ] = K [ x i , x 2, , x d ] Vậy n = d dim^(m/m2) = d => Giả sử dimK(tn/m2) = dim R = d Ci, c2 , , Cd G m s a o c h o Ci, Õ 2, , Cd sở không gian véc tơ m/m2 trường K Khi m = (c1? c , , Cd) + m2 m = (ci, C2, , Cd) Vậy R vành địa phương quy ■ Định lý 4.3 Mọi vành địa phương quy miền nguyên Ths Lê Văn Chua 53 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường số nguyên không âm m vàn cho a G rnm — mm+1 ò G mn — mn+1 Gọi õ ảnh a mm/mm+1 b ảnh b mn/mn+1 Ta có ã phần tử khác không miền nguyên grm ( R ) ã b khác không grm ( R ) Vì ãb = ab ảnh ab mm+n/nrm+n+1 Từ suy ab khác không R Vậy R miền nguyên ■ Định lý 4.4 Giả sử R vành địa phương quy chiều d ữi, ữ2, , at G m với < t < d Khi điều kiện sau tương đương ữi, a , , at phần hệ tham số quy R ã \ , ã , ,at độc lập tuyến tính K, ãị = ơị + m Vành thương R / ( d i , a2, , at) vành địa phương quy chiều d — t Chứng minh Các phần tử a i , a , , ữ í phần hệ tham số quy al5 a2 , , ad ã1?ã , , ã t phần sở ã i , ã 2, , ã d không gian véc tơ m/m2 trường K Diều tương đương với ãi, ã , , ã t độc lập tuyến tính K = > Dặt R = R / ( a , a , , a t ) m = m/(a1, a , , a t ) G i ả s ữi, a2 , , atì at+1 , , ad hệ tham số quy R Khi dim R = d — t ãt+u ãt+2, ■ ■, ãd sinh iđêan th Vậy R vành địa phương quy chiều d — t => Giả sử at+i,at+2, , ad phần tử m cho ãt+i, ãt+2, ■, ãd G rũ hệ tham số quy R Nếu X G m X G m Khi tồn ct+1, ct+2, ,cd G R cho X — (ct+iữt+1 + • • • + cdad) G (ữi, Ơ2, , a t ) D o đ ó t n t i C i , C2, , C ị G R đ ể X = Ciữi + c2ữ + • • ■ + cdad V ậ y ữ i , Ơ 2, , a d sinh m Vì R vành địa phương quy nên ữi, Ơ 2, , Ths Lê Văn Chua 54 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Định lý 4.6 Mọi vành địa phương quy vành Cohen-Macaulay Chứng minh Giả sử R vành địa phương quy chiều d với iđêan cực đại m Khi m sinh R—dãy ữi, Ơ2, , ơd- Theo định nghĩa độ sâu, ta có d < depth(J?) Ths Lê Văn Chua 55 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường KẾT LUẬN Dề tài đạt kết định số vấn đề lý thuyết chiều Truớc hết thống bất biến môđun: chiều Krull, chiều Chevalley bậc đa thức Hilbert-Samuel Sự thống dẫn đến số kết sau: chiều Krull vành R nhỏ chiều không gian véc tơ m/m2 trường thăng dư K = R/m (Hộ 1.9, Chương 4); chiều Krull vành đa thức n biến K[x 1,^2, n (Hộ 1.14, Chương 4) Bộn cạnh việc nghiên cứu chiều Krull môđun vành, nghiên cứu độ sâu chúng Từ nhận kết là: Dộ sâu môđun nhỏ chiều Krull (Dịnh lý 2.14, Chương 4) Trong trường hợp độ sâu trùng với chiều Krull ta cấu trúc môđun Cohcn-Macaulay (C.M) đặc biệt vành Cohen-Macaulay Môđun vành Cohen-Macaulay có đặc trưng Ths Lê Văn Chua 56 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường TÀI LIỆU THAM KHẢO D Eisenbud 1995 Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geomctry, Springer-Verlag D.G Northcott 1968 Lcssons on rings, module and multiplicities, Cambridge University Press Dương Quốc Việt 2008 Lí Thuyết Chiều, NXB DHSP H Matsumura 1986 Commutative Ring Theory, Cambridge University Press M Atiyah and I G MacDonal 1969 Introduction to Commutative Algebra, Addision- Ths Lê Văn Chua 57 [...]... Ths Lê Văn Chua 13 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chương 2 PHÂN TÍCH NGUYÊN sơ VÀ IĐÊAN NGUYÊN Tố LIÊN KET 1 Môđun Noether Mệnh đề 1.1 Cho M là một R—môđun Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương 1 Mọi dẫy tăng các môđun con của M đều dừng, nghĩa là nếu Mị c M2 c M3 c • • • c Mm c • • • là một dẫy giảm các môđun con của M thì tồn tại một số nguyên dương n... V(Ann(M)) Ths Lê Văn Chua 26 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chương 3 HÀM VÀ CHUỖI HILBERT 1 Môđun Artin Mệnh đề 1.1 Cho M là một R—môđun Khi đó các khẳng định sau là tương đương Mị D M2D M3D • • • D Mm D ■ ■ • là một dẫy giảm các môđun con của M thì tồn tại một số nguyên dương n sao cho Mk = Mn với mọi k > n 2 Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu... cấu hoặc là lũy linh Mệnh đề 2.2 N là một môđun con nguyên sơ của R—môđun M khi và chỉ khi với mỗi a G R,x G M sao cho ax G N thì X G N hoặc tồn tại một số nguyên dương n để anM c N Chứng minh N là một môđun con nguyên sơ của R—môđun M khi và chỉ khi đồng cấu nhân Aa : MỊN —* MỊN với mọi a G R hoặc đơn cấu hoặc lũy linh Với mỗi Ths Lê Vẫn Chua 16 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa... Ths Lê Văn Chua 23 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Mệnh đề 4.2 Cho M là một R—môđun Khi đó các mệnh đề sau là tương đương 1 M = 0 2 Mp = 0 với mọi iđêan nguyên tố p của R 3 Mm = 0 với mọi iđêan cực đại m của R Chứng minh Các mệnh đề 1 => 2 =>- 3 là hiển nhiên Bây giờ, ta sẽ chứng minh mệnh đề 3 => 1 Giả sử M khác môđun không Khi đó tồn tại một phần tử khác không... mâu thuẫn với giả thiết Vậy trong 3? có một phần tử cực đại Ths Lê Văn Chua 14 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường là một dãy tăng các môđưn con của M Khi đó dễ dàng kiểm tra được uieiMi là một môđnn con của M Theo giả thiết uieiMị là môđun hữu hạn sinh Gọi X i , x2 , , xm là các phần tử sinh của uisiMị Khi đó tồn tại một số nguyên duơng n sao cho Xi,x2,,xm G Mn... Một vành R là Artin nếu và chỉ nếu R là vành Noether và mọi iđêan nguyên tố của R đều cực đại Chứng minh Nếu R là vành Noether và mọi iđêan nguyên tố của R đều cực đại thì R là vành Artin bởi Mệnh đề 2.10 Dảo lại, nếu R là vành Artin thì I R ( R ) hữu hạn Ths Lê Văn Chua 33 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường 3 Môđun phân bậc Định nghĩa 3.1 Giả sử R = ©neN-^n là một. .. Định nghĩa 3.2 Cho {Rn I n G N}n€N là một lọc của vành R và M là một R— môđun Một họ {Mn I n G N} các môđun con của M được gọi là một lọc của M nếu các điều kiện sau thỏa mãn 1 Mo - M 2 Mn+1 c Mn với mọi n G N 3 RrnMn c Mm+n với mọi ra, n G N Ví dụ 1 Giả sử M là một R—môđun và R có lọc tầm thường {Rn I n G N} Ta đặt Mo Ths Lê Văn Chua 34 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp... định của M Khi đó nếu N là một môđun con của M thì {N n Mn I n G N} là một lọc I — ổ n định của N Chứng minh Ta có I(N n Mn) c IN n IMn c N n Mn+ị Do đó {N n Mn I n G N} là /—lọc của N và N* = ®n&n{N n Mn) là một R*—môđun phân bậc Vì {Mn I n G N} là lọc /—ổn định của M nên M* là một R*— môđưn hữu hạn sinh bởi Dịnh lý 3.4 Vậy Ths Lê Văn Chua 35 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa... M3 D • • • D Mm D • • • là một dãy giảm các môđun con của M Khi đó tập {Mị I i > 1} có một phần tử cực tiểu Mn Khi đó ta có Mn D Mk và Mn c Mỵ với mọi k > n bởi tính cực tiểu của Mn Vậy Mk = Mn với mọi k > n và do đó mỗi dãy giảm các môđun con của M đều dừng ■ Ths Lê Văn Chua 27 Một số vấn đề về lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chứng minh 1 Giả sử N là một môđưn con của R—môđun... tơ có chiều n với một cơ sở là {vi,v2ì ,vn} và Vn_i là không gian con sinh bởi {ui, v2: , Vi\ Khi đó ta có V = Vo D Ví D v2 - • • D vn = 0 Ths Lê Văn Chua 29 Một số vấn đề về lý thuyết chiều 3 Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Một R —môđun M có thể không có dãy hợp thành Chẳng hạn, Z—môđun M = z không có dãy hợp thành Giả sử R —môđun M có dãy hợp thành và l ( M ) là độ dài nhỏ nhất của một dãy ... quan hệ chúng Cơ sở lý luận phương pháp nghiên cứu Dồ tài "Một số vấn đề lý thuyết chiều" chủ yếu dựa sở lý thuyết vành lý thuyết môđun Ths Lê Vẫn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên... quan trọng khác đại số giao hoán hàm Hilbert Da thức Hilbert-Samưel rnôđun Nôi dưng chương gồm vấn đề sau: Môđun Artin; Môđun có độ Ths Lê Vẫn Chua Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên... Định lý 2.4, I K Ì A U ) = I K Ì B U ) + I K ( mn/mn+1) hay H(grjR),n) = Crn-+1r_1-lK(Bn) (*) Ths Lê Văn Chua 40 Một số vấn đề lý thuyết chiều Dề tài nghiên cứu khoa học cấp trường Chương LÝ THUYẾT