Bồi dưỡng đại số 8

Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán Bồi dỡng đại số Chơng I: Nhân chia đa thức Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với Ví dụ 1: Làm tính nhân: a) 3x(5x2 - 2x - 2); b) x y (2 x xy 1) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) 3x(x-2) - 5x(1-x) -8(x2-3); b) x(5x - 3) - x2(x - 1) + x(x2 - 6x) - 10 + 3x Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức: A = x4 - 17x3 + 17x2 - 17x + 20 x = 16 (Cách 1: Thay 17 = x+1; Cách 2: biến đổi biểu thức A dạng chứa biểu thức x-16) Ví dụ 4: Tính chất: Nếu hai đa thức f(x) g(x) với x hệ số hạng tử bậc hai đa thức áp dụng tính chất trên, tìm hệ số a, b, c biết -3x3(2ax2 - bx + c) = -6x5 + 9x4 - 3x3 với x Bài tập Làm tính nhân: a) 4x3y2(14x - x3y + 2xyz - 7y2);b) (8m2x - 3my +y2 - 4ny)(-7mxy2) Tính giá trị biểu thức: a) M= 2x(x - 3y) - 3y(x + 2) - 2(x2 - 3y - 4xy) Với x = 3,y= 4; 1 290 2 337 291 291 337 291.337 1 (Hớng dẫn: Đặt = a, = b, rút gọn) 337 291 b) N = Giải phơng trình 1 a) x2 x ữ x = 14 ; b) 2y(y - 1) - y(4 - y) = Rút gọn biểu thức a) 5n+1 - 2.5n; b) 2xn-1(xn+1 - yn+1) + yn+1(2xn-1 - yn-1) Chứng minh rằng: a) 85 + 164 chia hết cho 3; b) 28 + 29 + 210 chia hết cho Bài tập nâng cao Thực phép tính: a) {4x-2(x-3)-3[x-3(4-2x)+8]}.(-3x); b) 5(3x2-4y3)+[9(2x2-y3)-2(x2-5y3)] c) 3x2(2y-1)-[2x2(5y-3)-2x(3x2+1)]; d) 3xn(6xn+3+1)-2xn(9xn+3-1) Tìm x biết a) 4(x+2)-7(2x-1)+9(3x-4) = 30; b) 2(5x-8)-3(4x-5) = 4(3x-4)+11; c) 5x(1-2x)-3x(x+18) = d) 5x-3{4x-2[4x-3(5x-2)]} = 182; e) 5(3x+5)-4(2x-3) = 5x+3(2x+12)+1; f) 4(18-5x)-12(3x-7) = 15(2x-16)-6(x+14); Tính giá trị biểu thức: a) A = 3x(5x2-4)+x2(8-15x2)-8x2 với |x| = 3; b) B = x3(x2-y2)+y2(x3-y3) với x=2, |y| = 1; c) C = x3-30x2-31x+1 x = 31; Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán d) D = x -15x +16x -29x +13x x = 14; e) E = x14-10x13+10x12-10x11++10x2-10x+10 x = Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biểu thức: a) x(3x+12)-(7x-20)+x2(2x-3)-x(2x2+5); b) 3(2x-1)-5(x-3)+6(3x-4)-19x; c) 5(3xn+1-yn-1)+3(xn+1+5yn-1)-5(3xn+1+2yn-1)-(3xn+1-10) a) Tìm hệ số a, b, c biết rằng: 3x2(ax2-2bx-3c) = 3x4-12x3+27x2 với x b) Tìm hệ số m, n, p biết rằng: -3xk(mx2+nx+p) = 3xk+2-12xk+1+3xk với x Bài 2: Nhân đa thức với đa thức Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với (A + B).(C + D) = AC + AD + BC + BD Chú ý: Kết phép nhân đa thức với đa thức đa thức (khi cha thu gọn hạng tử đồng dạng) có số hạng tích số hạng hai đa thức ban đầu Ví dụ 1: Làm tính nhân: a) (2x3 + 3y)(2x4y - 3x2y2 + 4y3); b) (2x + y2)(3x2 - 2y + 1); c) (2a - +3a)(a - + 2a) Ví dụ 2: Cho P = (2x + y)(4x2 - 2xy + y2) 1 Tính giá trị biểu thức P với x = , y = Ví dụ 3: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết cộng ba tích hai ba số ấy, ta đợc 242 Ví dụ 4: Cho đa thức: A = -2x2 + 3x +5; B = x2 - x + a) Tính A.B; b) Tính giá trị A.B với |x| = Bài tập Làm tính nhân: a) (x3+2x2y-5xy2-3y3)(5x-4y); b) (x+1)(x-2)(2x-1) Thực phép tính: a) 2x2 + 3(x-1)(x+1)-5x(x+1); b) (8-5x)(x+2)+4(x-2)(x+1)+2(x-2)(x+2)+10 c) 4(x-1)(x+5)-(x+2)(x+5)-3(x-1)(x+2); c) (x2n+xnyn+y2n)(xn-yn)(x3n+y3n) Chứng minh đẳng thức sau: a) (a-1)(a-2) + (a-3)(a+4)-(2a2+5a-34) = -7a + 24; b) (a+c)(a-c) - b(2a-b) - (a-b+c)(a-b-c) = 0; c) (a-b)(a2+ab+b2) - (a+b)(a2-ab+b2) = -2b3 Chứng minh đẳng thức sau: a) (a3+a2b+ab2+b3)(a-b) = a4-b4; b) (a4-a3b+a2b2-ab3+b4)(a+b) = a5+b5 c) (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab; d) (x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x + abc Cho a+b+c = Chứng minh M = N = P với M = a(a+b)(a+c); N = b(b+c)(b+a); P = c(c+a)(c+b) Cho A = (2x+3)(x-1)-(x+1)(2x-5)-2; 1 B = (x-4)(x-2)-(3x+1)( x 2) + x 10 3 Tìm công thức liên hệ hai biểu thức A B Tính giá trị biểu thức sau cách nhanh chóng: Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán 1 116 118 M= 117 119 117 119 119 Giải phơng trình sau: a) 3(1-4x)(x-1)+4(3x-2)(x+3) = -27; b) 5(2y+3)(y+2)-2(5y-4)(y-1) = 75 c) (x+2)(x+3)-(x-2)(x+5) = 0; d) (2x+3)(x-4)+(x-5)(x-2)=(3x-5)(x-4) Bài 3: Những đẳng thức đáng nhớ (A+B)2 = A2+2AB+B2 (A-B)2 = A2-2AB+B2 A2-B2 = (A-B)(A+B) (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3 = A3-3A2B+3AB2-B3 A3+B3 = (A+B)( A2-AB+B2) A3-B3 = (A-B)( A2+AB+B2) Ví dụ 1: Điền vào dấu ? sau để đợc đẳng thức đúng: a) (?+?)2 = x2+?+4y4; b) (?-?)2 = a2-6ab+?; c) (?+?)2 = ? + m + ; d) ?-16y4 = (x+?)(x-?); 1 e) 25a2-? = (?+ b)(?- b) 2 Ví dụ 2: Tính nhanh: A = 572+114.43+432; b) 54.34-(152-1)(152+1); C = 502-492+482-472+ +22-12 Ví dụ 3: So sánh hai số sau a) A = 1999.2001 B = 20002 b) C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) D = 216 Ví dụ 4: Thực phép tính a) (x+y+z)(x+y-z); b) (a+b+c-d)(a+b-c+d); c) (x-a)2-(2x-3a)2+(x+2a)(3x+4a); d) (x+y)3-(x-y)3 1 Ví dụ 5: Rút gọn tính giá trị biểu thức sau với x = , y = P = 5(x+2y)2-(3y+2x)2+(4x-y)2+3(x-2y)(x+2y) Ví dụ 6: Giải phơng trình sau a) (5x+1)2-(5x+3)(5x-3)=30; Bài tập: 1, Tính A, (3+xy2)2 b, (10-2m2n)2 2 C, (a-b )(a+b ) d, (a2+2a+3)(a2+2a-3) E, (2y-1) f, (2y-5)(4y2+10y+25) 2, Viết đa thức sau dới dạng tích nhân tử A, x4 - 4x2+4 b, 9a2+24a2b2+16b4 16 16 C, x -y d, a3+27 3, Hãy điền vào dấu ? để biểu thức trở thành bình phơng tổng hay hiệu A, 4a2x2+4abx+? B, 1+4x2+? C, 25m -40mn+? D, x2+px+? Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức thành tích nhiều đơn thức đa thức khác Việc giải nhiều toán đòi hỏi phải biết phân tích đa thức thành nhân tử Có nhiều phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phơng pháp thờng đợc xét đến trớc tiên phơng pháp đặt nhân tử chung, dựa vào tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức: A.B + A.C = A.(B + C) Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2y2+20x2y-35xy2; b) 3x(x-2y)+6y(2y-x) Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3x(x-2)-x+2 = Bài tập: Phân tích thành nhân tử: a) 40a3b3c2x+12a3b4c2-16a4b5cx; b) (b-2c)(a-b)-(a+b)(2c-b) Tính nhanh: a) 3,71.34+66.3,71; b) 170.22,89-128,9.17 Chứng minh 79m+1-79m chia hết cho 78 (mN) Giải phơng trình: a) x2(x+1)+2x(x+1) = 0; b) x(2x-3)-2(3-2x) = Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức Trong nhiều trờng hợp, ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ vế đa thức sang vế tích nhân tử luỹ thừa đa thức đơn giản Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 12 2 4 a)9x2+30x+25; c) x y x4 y ; 25 b) x4-16y2; d) 80x3+60x2y+150xy2+125y3 Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên n ta có: (4n+3)2-25 chia hết cho Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a2y2+b2x2-2abxy; c) 100-(3x-y)2; 2 b) 64x -(8a+b) ; d) 27x3-a3b3 Tính nhẩm: a) 252-152; b) 2052-592; 2 c) 36 -14 ; d) 9502-8502 Tính giá trị biểu thức sau: M = (x+2)2-2(x+2)(x-8)+(x-8)2 với x = 4 Chứng minh với nZ, biểu thức (2n+3)2-9 chia hết cho Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: (x+y-z-t)2-(z+t-x-y)2 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán phơng pháp nhóm nhiều hạng tử Khi sử dụng phơng pháp ta cần nhận xét đặc điểm hạng tử, nhóm hạng tử thích hợp nhằm làm xuất dạng đẳng thức xuất nhân tử chung nhóm Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3a2c2+bd+3abc+acd; b) x3 -2x2-x+2 Bài tập: Phân tích thành nhân tử: a) a2c-a2d-b2d+b2c; b) 8x2+4xy-2ax-ay Phân tích thành nhân tử: a) x2-y2-2yz-z2; b) 3a2-6ab+3b2-12c2 Phân tích thành nhân tử: a) x2-2xy+y2-m2+2mn-n2; b) a210a+25-y2-2yz-4z2 Phân tích thành nhân tử: a) 1-2a+2bc+a2-b2-c2; b) x2+3cd(2-3cd)-10xy-1+25y2 Bài tập nâng cao: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (ab-1)2+(a+b)2; b) x3+2x2+2x+1; c) x3-4x2+12x-27; 4 d) x +2x +2x +2x+1; e) x -2x +2x-1 Phân tích thành nhân tử: a) x2-2x-4y2-4y; b) x4+2x3-4x-4; c) x2(1-x2)-4-4x2; 2 2 d) x +y -x y +xy-x-y; e) (1+2x)(1-2x)-x(x+2)(x-2); Chứng minh 1993-199 chia hết cho 200 Tính giá trị biểu thức sau, biết x3-x = 6: A = x6-2x4+x3+x2-x Phân tích thành nhân tử: a) a(b2+c2+bc)+b(c2+a2+ac)+c(a2+b2+ab); b) (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc; c*) a(a+2b)3-b(2a+b)3 Phân tích thành nhân tử: a) ab(a+b)-bc(b+c)+ac(a-c); b) a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)+2abc; c) a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b); d) a3(c-b2)+b3(a-c2)+c3(b-a3)+abc(abc-1); 2 2 e) (a+b)(a -b )+(b+c)(b -c )+(c+a)(c2-a2) 7* Phân tích thành nhân tử: a) a(b+c)2(b-c)+b(c+a)2(c-a)+c(a+b)2(a-b); b) a(b-c)3+b(c-a)3+c(a-b)3; 2 2 2 c) a b (a-b)+b c (b-c)+c a (c-a); d) a4(b-c)+b4(c-a)+c4(a-b); e) a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)-2abc-a3-b3-c3 Phân tích thành nhân tử: a) (a+b+c)3-(a+b-c)3-(b+c-a)3-(c+a-b)3; b) abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1 Chứng minh số a, b, c tồn hai số nhau, nếu: a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) = 10 Chứng minh a2+b2 = 2ab a = b 11* Chứng minh a3+b3+c3 = 3abc a, b, c số dơng a = b = c 12* Chứng minh a4+b4+c4+d4 = 4abcd a, b, c, d số dơng a = b = c = d 13 Chứng minh m = a+b+c thì: (am+bc)(bm+ac)(cm+ab) = (a+b)2(b+c)2(c+a)2 14 Cho a2+b2 = 1, c2+d2 = 1, ac+bd = Chứng minh ab+cd = 15 Xét đẳng thức (x+1)2 = x2+2x+1 Lần lợt cho x 1, 2, 3, , n cộng vế n đẳng thức để tính giá trị biểu thức S1 = 1+2+3++n 16* Bằng phơng pháp tơng tự nh tập 15, tính giá trị biểu thức S 3=13+23+33+ +n3 Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử số phơng pháp khác Bồi dỡng toán I Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2 - 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ 3x2 - 8x + = 3x2 - 6x - 2x + = 3x(x - 2) - 2(x-2) = (x-2)(3x-2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 - 8x + = 4x2 - 8x + - x2 = (2x-2)2 - x2 = (2x-2+x)(2x-2-x) = (x-2)(3x-2) Chú ý: Khi phân tích tam thức f(x) = ax 2+bx+c thành nhân tử, ta tách hạng tử thức bx thành b1x + b2x cho b1.b2 = ac Trong thực hành ta làm nh sau: Bớc 1: Tìm tích ac; Bớc 2: Phân tích ac tích hai số nguyên cách; Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x2-4x-3 Cách 1: Tách hạng tử thứ 4x2 - 4x - = 4x2 + 2x - 6x - = (2x+1)(2x-3) Cách 2: Tách hạng tử thứ ba: 4x2 - 4x - = 4x2 - 4x + - = (2x+1)(2x-3) Nhận xét: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm làm xuất hiện: + Các hệ số tỉ lệ, nhờ làm xuất nhân tử chung + Làm xuất hiệu hai bình phơng Với đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hệ số tỉ lệ, ng ời ta thờng sử dụng cách tìm nghiệm đa thức Một số định lý: * Nếu đa thức f(x) có nghiệm x=p/q phân tích thành nhân tử đa thức có thừa số bx-a [Tức f(x) = (qx-p)g(x)] * Đặc biệt đa thức f(x) có nghiệm x=a phân tích thành nhân tử đa thức có thừa số x-a [Tức f(x) = (x-a)g(x)] * Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ x=p/q p ớc hệ số tự do, q ớc hệ số bậc cao * Đa thức f(x) có nghiệm nguyên x=p p ớc hệ số tự * Nếu tổng hệ số đa thức f(x) đa thức có nghiệm x=1 * Nếu tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ đa thức có nghiệm x=-1 * Nếu a nghiệm nguyên đa thức f(x) f(1), f(-1) khác f(1)/(a-1) f(-1)/(a+1) số nguyên Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3-x2-4; b) x3-3x2+5x-3; c) x3-5x2+3x+9; 3 d) 4x -13x +9x-18; e) 3x -7x +17x-5 II Phơng pháp thêm bớt hạng tử 1) Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phơng: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x4 + 81; b) 64x4 + y4 2) Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung: a) x5+x-1 = (x2 - x + 1)(x3+x2-1) b) x7+x2+1 3m+1 3n+2 Chú ý: - Các đa thức dạng x + x + chứa nhân tử x2 + x + 6m+4 - Các đa thức dạng x + x6n+2 + chứa nhân tử x2 - x + III Phơng pháp đổi biến: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x(x+4)(x+6)(x+10)+128; b) x4+6x3+7x2-6x+1 (dạng đối xứng đặt x-1/x=t) IV Phơng pháp xét giá trị riêng Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên (Thay x y ta đợc P = đa thức có thừa số x-y Tơng tự ta có đa thức có thừa số x-y, y-z, z-x Vậy ta có P = k(x-y)(y-z)(z-x) => x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) = k(x-y)(y-z)(z-x) Xét giá trị riêng x, y, z ta đợc k=-1 Bồi dỡng toán Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 6x2-11x+3; b) 2x2+3x-27; c) 2x2-5xy-3y2 3 a) x +2x-3; b) x -7x+6; c) x3+5x2+8x+4; 3 d) x -9x +6x+16; e) x -x -x-2; g) x3+x2-x+2; h) x3-6x2-x+30; i) x3-7x-6 (bằng nhiều cách) 3 a) 27x -27x +18x-4; b) 2x3-x2+5x+3; c) (x2-3)2+16 2 2 a) (x +x) -2(x +x)-15; b) x +2xy+y -x-y-12; c) (x2+x+1)(x2+x+2)-12; d) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 a) (x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2 (đặt a= x2+y2+z2; b = xy+yz+zx) b) (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a4 (Đặt x2+5ax+5a2 = t) Đề kiểm tra cuối chơng I Đề 1: a) Viết dạng tổng quát chia hai luỹ thừa số với số mũ tự nhiên trờng hợp phép chia hết b) Viết kết dới dạng luỹ thừa: ( x 1) m : ( x 1) m ;985 : (3) 40 Rút gọn biểu thức: 3( x y ) 2( x + y ) ( x y )( x + y ) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3- x2-x+1 b) x3-3x2-3x+1 Làm phép chia: (2x4-10x3-x2+15x-3) : (2x2-3) 5.* Chứng minh với giá trị nguyên n, giá trị biểu thức n 3+3n2+2n viết đợc dới dạng tích ba số nguyên liên tiếp Đề 2: Khi ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B? Tìm giá trị tự nhiên m để A chia hết cho B: A=-5xmy7 B=3x3ym Rút gọn biểu thức: 2(2x+5)2-3(4x+1)(1-4x) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3+x2y-4x-4y b) x3-4x2+4x-1 Làm phép chia (x4-2x3+4x2-8x): (x2+4) 5.* Chứng minh biểu thức x2-xy+y2 giá trị âm với giá trị x y Đề Viết bảy đẳng thức đáng nhớ dới dạng phân tích đa thức thành nhân tử GiảI phơng trình: 3(x-1)2-3x(x-5)=2 phân tích đa thức thành nhân tử a) x4-x3y-x+y b) x3-4x2-8x+8 Làm phép chia (x4-x3-3x2+x+2): (x2-1) Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán 5.* Chứng minh hiệu bình phơng hai số lẻ chia hết cho Chơng II Phân thức đại số Bài 1: Định nghĩa phân thức đại số A Phân thức đại số biểu thức có dạng , A, B đa thức B B A tử thức , B mẫu thức Tập xác định phân thức biến tập hợp giá trị biến làm cho mẫu thức khác A( x) Phân thức có tập xác định là: B ( x) TXĐ = {xQ / B(x) 0} Ví Dụ: Tìm tập xác định phân thức sau: 2xy x+3 a) b) x + y2 x x2 Ví dụ ( x + 2)( x 3) Với giá trị x phân thức có giá trị 2x Bài tập tìm tập xác định phân thức sau: 2x y 3x 5 x a) ; b) ; c) ; d) ( x 1) + ( y + 3) 16 x x + x 15 x2 + x( x + 2) e) x 2x + 2 tính giá trị phân thức sau: 3x x a) với x=1/3 x + 3x + x3 b) với x=3; x=2; x=0 x2 c) (x-2)(x2+2x+4)-x(x+3)(x-3) với x=8/9; xy y + d) với x=- 3/4, y=0 y + 3x y y + Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán với giá trị biến phân thức sau có giá trị xy x y + xyz a) ; b) 2 x + y +1 x + y2 + z2 + Bài Tính chất phân thức đại số Tính chất phân thức đại số: Nếu nhân chia tử thức mẫu thức phân thức với đa thức khác đợc phân thức phân thức cho A/B=A.C/B.C; A/B=A:C/B:C (C 0) Quy tắc đổi dấu thứ Nếu đổi dấu tử mẫu thức phân thức đợc phân thức phân thức cho A/B=-A/-B Ví dụ: Với x y, viết phân thức sau dới dạng phân thức có tử x2-y2: a) x+y; b) x-y/x+y; c) 1/x+y Ví dụ: Giải thích đẳng thức sau đúng: x x3 + = x (1 x)( x x + 4) Bài Tập Chứng minh đẳng thức: b b + b2 = xy x x 3ax 15amx a) ; b) a a + ab ; c) = = y xy y 8b 40bmx Viết biểu thức sau dới dạng phân thức có tử: x xy + y x3 y xy x+ y a) ; b) xy x + xy xy y x 3.Viết phân thức sau dới dạng phân thức có tử mẫu đa thức với hệ số nguyên: x+2 15 a) ; x + 21 2x + 3y b) m (m,nZ; m 0, n 0) y x n Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán Bài 3: Rút gọn phân thức Muốn rút gọn phân thức ta phải: - Phân tích tử mẫu thành nhân tử - Chia tử mẫu cho nhân tử chung Ví dụ: Rút gọn phân thức sau: 12acx 7a x + 7ax a) ; b) 26a 2c x a4 x4 Ví dụ: Chứng minh đẳng thức: 2x y + 3y 2x = ( y 1) y + y y (1 y )2 Ví dụ: Rút gọn phân thức sau đây: x4 x + x 20 Bài tập Rút gọn phân thức sau: 38m n p 57 a 2b a) b) ; 57m n p 19a x 2ax + a x8 c) ; d) x (a + b) x + ab ( x + 1)( x 1) Rút gọn phân thức sau: 25 10 x + x x + 12 x + a) ; b) xy y 2x2 x 2 2 xy x + z y x4 c) ; d) 2 x + z y + xz x 3x 36 Chứng minh đẳng thức: a 4a a a +1 x + x3 + x + ( x + 1) a) ; b) = = a a + 14a a x x3 + x x + x + Tính giá trị biểu thức: m3 n3 3mn( m n) với m=6.75, n=-3.25 m + n 2mn Giải phơng trình: a) 2ax + a= 4a2 + x ( a ) b) ax- b2+2ab= a2+ bx (a b) Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán Tìm mẫu thức chung Muốn tìm mẫu thức chung phân thức cho ta phải: - Phân tích mẫu thức thành nhân tử - Lờy tích BCNN hệ số với luỹ thừa có mặt mẫu thức, số mũ luỹ thừa số mũ cao nó2 Quy đồng mẫu thức Muốn quy đồng mẫu thức ta phải: -Tìm mẫu thức chung - Nhân tử thức mẫu thức phân thức với nhân tử phụ nó.( nhân tử phụ thơng mẫu thức chung với mẫu thức) Ví dụ: Quy đồng mẫu thức phân thức sau: 2x y 13z 20 ; ; a) b) ; ; 2 y z 15 xz 63x y x3 x x x 2 x2 + x Bài tập Quy đồng mẫu thức phân thức sau: ; ; ; a) ; b) 3 3 2 8a x 12a x y 3ax y 36a b (6ab + 1) (6ab 1) x 2x c) ; ; x 27 x x + x + 3x + x + x 3xy y Cho phân thức P= 6x 3y a) Tìm tập xác định phân thức P b) Rút gọn phân thức P tìm giá trị với x=-1, y=3 x x3 x + Cho phân thức Q= Rút gọn chứng tỏ phân thức Q x + x + 3x + x + luôn có giá trị không âm với giá trị x Bài 5: Phép cộng phân thức đại số Quy tắc cộng nhiều phân thức mẫu thức Muốn cộng nhiều phân thức mẫu thức ta: - Cộng tử thức với - Giữ nguyên mẫu thức - Rút gọn phân thức vừa tìm đợc Quy tắc cộng nhiều phân thức có mẫu thức khác Muốn cộng nhiều phân thức có mẫu thức khác ta phải: - Quy đồng mẫu thức - Cộng phân thức có mẫu thức vừa tìm đợc Phép cộng phân thức có tính chất giao hoán, kết hợp Ví Dụ: Cộng phân thức sau: x y ( x a )( y a ) ( x b )( y b ) x3 x2 1 a) ; b) 2 + + + + + ab a (a b ) b (b a ) x +1 x x +1 x Ví dụ: Thực phép tính 1 + + a) x (1 x)(2 x) ( x 2)( x 3) Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên 1 3a b) + + + a a 1 a2 + + c) ( x 1)( x 2) (2 x)(3 x) (1 x)( x 3) Bồi dỡng toán Bài tập Thực phép tính 2x x 4x a2 a) a+ ; b) + + + x x + x 1 a a +1 x2 y x c) a x + ; d) x + y + x y a+x Làm tính cộng: 4a a + 10 x a) ; b) + + + a +1 a 1 + x x 1 x2 3.* Biết a-2b=5 tính giá trị biểu thức sau: 3a 2b 3b a M= + 2a + b5 Bài 6: phép trừ phân thức đại số phân thức đối -A/B đợc gọi phân thức đối A/B Quy tắc đổi dấu (thứ 2) Nếu đổi dấu tử thức mẫu thức đồng thời đổi dấu phân thức đợc phân thức phân thức cho A A A = = B B B Phép trừ phép trừ phân thức phép cộng phân thức bị trừ với phân thức đối phân thức trừ: A C A C = + ữ B D B D Ví dụ: Thực phép tính: x3 x2 1 2x + x2 a) ; b) + x x x +1 x x +1 2+ x Ví dụ: a) Chứng minh đẳng thức 1 = n(n + 1) n n + b) áp dụng kết để tính tổng sau: 1 1 S= + + + a + a a + 3a + a + 5a + a + Bài tập thực phép tính: ab(a + b3 ) a) ab(a+b)- a + 2ab + b Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên 1 + b) ( x 3)( x 4) ( x 4)(2 x) (2 x)( x 3) Biết 2a-b= tính giá trị biểu thức sau: 5a b 3b 2a 3a + 2b chứng minh đẳng thức : x ( x 3) x2 (2 x 3) x + = ( x 1; x 3) 9( x 1) (2 x + 3) x x ( x + 3) Tính tổng 2 + + + x( x + 2) ( x + 2)( x + 4) ( x + 1)( x + 6) x + Giải phơng trình a( a x) b(b + x ) = x( ab 0) b a Bài 7: Phép nhân phân thức đại số Bồi dỡng toán Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức đại số, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với Kết phân thức với tử thức tích tử thức, mẫu thức tích mâu thức phân thức cho A C A.C = B D B.D Phép nhân phân thức có tính chất: giao hoán, kết hợp, phân phối phép cộng Ví dụ: Thực phép tính: x y 2a + a 2a a) ; b) m a + ữ.(m + a ) 4a a xy + m + a Bài tập Làm tính nhân 3ab 4b 2c 5ac m2 x3 x a) ; b) ( ).( ) x m + 2m 2 x c) + 1ữ ữ + x x x Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: 2 a+b a) ( a b) 7c a + b 7c 1+ x x x b) ( )( + x) x + x 4x Chứng minh đẳng thức x + x + x + x 12 y y 15 y = x x x + 3x y y 10 y + y Rút gon tính giá trị biểu thức y x x y + xy x xy xy y ữ x y với x=1/2, y=-1/3 Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán Bài 8: phép chia phân thức đại số phân thức nghịch đảo A Phân thức nghịch đảo phân thức A/B đợc kí hiệu ữ B A A B Với 0, ữ = B A B phép chia A C A Thơng phân thức phân thức với phân thức nghịch đảo tích B D B C C A C A D 0, : = D D B D B C Ví dụ: Thực phép tính x + xy + y x3 y a) ; : x3 + y x xy + y a + b a + b a b a b3 b) + : ữ ữ a b a b a +b a +b Bài tập 1) Thực phép tính a+b x + y x2 y2 a) ; b) ; : ( a + b) : ab x y x+ y xa x+a x3 4x2 c) + d) : : ữ ữ x+a xa x y x + xy + y 2) Giải phơng trình: a) ax - 2a2 = bx - 2b2 ( a b) xa xa 2ax b) = ( a b ) a b a + b a b2 3) Làm tính chia: a + b 2(a b) x2 y2 m3 n3 mn + m a) : ; b) c) : ( x + y) ; : a bc abc x + y2 (mn n ) m n Bài 9: Biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ - Các biểu thức nguyên biểu thức phân gọi chung biểu thức hữu tỉ - Thực phép tính biểu thức gọi biến đổi đồng biểu thức - Cần ý đến thứ tự thực phép tính Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Bồi dỡng toán [...]... + 3) 2 4 Tính tổng 2 2 2 1 + + + x( x + 2) ( x + 2)( x + 4) ( x + 1)( x + 6) x + 6 5 Giải phơng trình a( a x) b(b + x ) = x( ab 0) b a Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số Bồi dỡng toán 8 1 Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức đại số, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau Kết quả là một phân thức với tử thức bằng tích các tử thức, mẫu thức bằng tích các mâu thức của 2 phân thức đã cho...Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán 8 1 Tìm mẫu thức chung Muốn tìm mẫu thức chung của các phân thức đã cho ta phải: - Phân tích các mẫu thức thành nhân tử - Lờy tích của BCNN của các hệ số với các luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức, số mũ của mỗi luỹ thừa là số mũ cao nhất của nó2 2 Quy đồng mẫu thức Muốn quy đồng mẫu thức ta phải: -Tìm mẫu... y 10 y 2 + y 6 4 Rút gon rồi tính giá trị của biểu thức y x x 2 y + xy 2 x 2 xy xy y 2 ữ x 2 y 2 với x=1/2, y=-1/3 Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán 8 Bài 8: phép chia các phân thức đại số 1 phân thức nghịch đảo 1 A Phân thức nghịch đảo của phân thức A/B đợc kí hiệu ữ B 1 A A B Với 0, ữ = B A B 2 phép chia A C A Thơng của phân thức và phân thức với phân thức... 2) (2 x)(3 x) (1 x)( x 3) Bồi dỡng toán 8 Bài tập 1 Thực hiện phép tính 2x 3 1 x 4x a2 1 a) a+ ; b) + + + x x + 2 x 1 1 a a +1 2 x2 y 2 x c) a x + ; d) x + y + x y a+x 2 Làm tính cộng: 4a a + 1 6 4 10 x a) ; b) + + + a +1 a 1 1 + x x 1 1 x2 3.* Biết rằng a-2b=5 hãy tính giá trị của biểu thức sau: 3a 2b 3b a M= + 2a + 5 b5 Bài 6: phép trừ các phân thức đại số 1 phân thức đối -A/B đợc gọi... nó với x=-1, y=3 x 4 x3 x + 1 3 Cho phân thức Q= 4 Rút gọn và chứng tỏ rằng phân thức Q x + x 3 + 3x 2 + 2 x + 2 luôn luôn có giá trị không âm với mọi giá trị của x Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số 1 Quy tắc cộng nhiều phân thức cùng mẫu thức Muốn cộng nhiều phân thức cùng mẫu thức ta: - Cộng các tử thức với nhau - Giữ nguyên mẫu thức - Rút gọn phân thức vừa tìm đợc 2 Quy tắc cộng nhiều phân... các phép tính trong một biểu thức gọi là biến đổi đồng nhất biểu thức đó - Cần chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Bồi dỡng toán 8 ... a) ; : x3 + y 3 x 2 xy + y 2 a + b a 2 + b 2 a b a 3 b3 b) + 2 : 3 2 ữ 3 ữ a b a b a +b a +b Bài tập 1) Thực hiện phép tính a+b x + y x2 y2 a) ; b) ; : ( a + b) : ab x y x+ y xa x+a 8 x3 4x2 c) 1 + d) : 1 : ữ ữ x+a xa x 3 y 3 x 2 + xy + y 2 2) Giải phơng trình: a) ax - 2a2 = bx - 2b2 ( a b) xa xa 2ax b) = 2 ( a b ) a b a + b a b2 3) Làm tính chia: a + b 2(a b) x2 y2... đồng mẫu thức các phân thức sau: 2x y 13z 20 4 7 ; ; a) b) ; ; 2 2 2 3 9 y z 15 xz 63x y 4 x3 x x 2 x 2 2 x2 + x Bài tập 1 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 1 7 5 2 1 3 ; ; ; a) 2 ; b) 3 3 3 3 2 2 2 8a x 12a x y 3ax y 36a b 1 (6ab + 1) (6ab 1) 2 x 2x 1 c) 3 ; 2 ; 2 x 27 x 6 x + 9 x + 3x + 9 6 x 2 + 2 x 3xy y 2 Cho phân thức P= 6x 3y a) Tìm tập xác định của phân thức P b) Rút gọn phân thức P ... x3-4x2-8x +8 Làm phép chia (x4-x3-3x2+x+2): (x2-1) Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ Trờng THCS Đông Phơng Yên Bồi dỡng toán 5.* Chứng minh hiệu bình phơng hai số lẻ chia hết cho Chơng II Phân thức đại số Bài... số tự do, q ớc hệ số bậc cao * Đa thức f(x) có nghiệm nguyên x=p p ớc hệ số tự * Nếu tổng hệ số đa thức f(x) đa thức có nghiệm x=1 * Nếu tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ... trình a( a x) b(b + x ) = x( ab 0) b a Bài 7: Phép nhân phân thức đại số Bồi dỡng toán Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức đại số, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với Kết phân thức với tử thức