http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang LỜI MỞ ĐẦU Trong năm gần thực việc thay sách giáo khoa giảng dạy theo hướng đổi mới, lấy người học làm trung tâm Vì vậy, việc cung cấp cho học sinh THCS kiến thức toán học cần thiết yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức học để vận dụng vào việc giải tập toán, phải quan tâm đến việc giúp học sinh có phương pháp suy nghó khoa học với kinh nghiệm cá nhân tích luỹ trình học tập, rèn luyện để việc giải tập toán thuận tiện Thực tế cho thấy, cách giải tập phần lớn học sinh mang tính chất cảm tính, chưa có phương pháp giải khoa học Ngoài ra, môn toán trường THCS, có nhiều toán chưa có thuật toán chung để giải Đối với toán này, cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghó tìm tòi cách giải trình bày lời giải Để thực việc này, tham khảo số sách kết hợp với kinh nghiệm riêng để biên soạn nên tài liệu này, nhằm mục đích lời khuyên người có chút kinh nghiệm giải toán để truyền đạt lại cho em, dẫn có tính chất thuật toán Tuy nhiên, thời gian hướng dẫn chuyên đề theo qui đònh hạn chế, nên tập tài liệu đề cập chủ yếu đến việc hướng dẫn học sinh tìm cách giải toán chưa đặt nặng đến vấn đề trình bày lời giải đạt đủ yêu cầu: Chính xác, ngắn gọn đầy đủ (nếu có điều kiện trình bày vấn đề vào dòp khác) Trong tập tài liệu này, kinh nghiệm riêng, tham khảo chủ yếu “Thực hành giải toán” nhà xuất Giáo dục phát hành số tài liệu khác Tuy nhiên để phù hợp với điều kiện tâm sinh lý học sinh THCS nên giảm nhẹ phần mục tiêu Vì mục đích đào tạo chung, mong tác giả tài liệu tham khảo thông cảm Vì biên soạn lần đầu khuôn khổ chuyên đề nhỏ, nên chắn không thiếu sót Vì mong đóng góp ý kiến giúp đỡ em học sinh, quý bậc phụ huynh học sinh quý đồng nghiệp gần xa Ninh Sơn, tháng năm 2005 Người biên soạn http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang MỤC LỤC Lời mở đầu Mục lục Phân phối chương trình Phương pháp tìm tòi lời giải cho toán THCS Các ví dụ minh họa Trang 01 02 03 04 07 http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH *** Tổng số: 08 tiết Mỗi tuần: 02 tiết Tiết 01: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho toán THCS Tiết 02: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho toán THCS (tt) Tiết 03: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho toán THCS (tt) Tiết 04: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho toán THCS (tt) Tiết 05: Các ví dụ minh họa – Số học Tiết 06: Các ví dụ minh họa (tt) – Đại số Tiết 07: Các ví dụ minh họa (tt) – Hình học Tiết 08: Kiễm tra tiết http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang GI Ý PHƯƠNG PHÁP TÌM TÒI LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN Ở TRƯỜNG THCS Phương pháp tìm tòi lời giải toán theo gợi ý Pôlya bao gồm bốn bước: - Tìm hiểu đề toán - Xây dựng chương trình giải - Thực chương trình giải - Kiễm tra nghiên cứu lời giải 1/ Tìm hiểu đề toán: Việc tìm hiểu đề việc đọc đề cách có khoa học, thực theo gợi ý sau: - Đọc đề lần thứ nhất: Lần đọc chủ yếu đọc qua lần để làm quen với đề tránh vội vàng sâu vào chi tiết Tuy nhiên cần đọc cách chậm rãi để nhận dạng toán - Đọc đề lần thứ hai: vừa đọc vừa nghắt câu cho chỗ để tìm hiểu sâu vào chi tiết đề Nếu hình học cần kết hợp với việc vẽ hình, cần nắm rõ trình tự vẽ cho xác, yếu tố cần vẽ trước, yếu tố vẽ sau Khi vẽ hình cần ý: + hình vẽ phải mang tính tổng quát, tránh vẽ trường hợp đặc biệt để khỏi bò ngộ nhận + hình vẽ phải rõ ràng, xác, vẽ nét đậm, nát nhạt, nét liền, nét đứt, dùng nhiều màu khác - Đọc đề lần thứ ba: đọc thật chậm, thật kỷ để phân tích đề để tách yếu tố chính, xem xét kỷ yếu tố nhiều lần nhiều mặt khác nhau, sau tóm tắt lại đề Nếu hình học cần kết hợp với hình vẽ để ghi phần giả thiết kết luận - Đối với toán khó đọc đề thêm số lần 2/ Xây dựng chương trình giải: Xây dưng chương trình giải tức tìm tòi cách giải toán Đây bước quan trọng đònh cho việc đưa lời giải đúng, nhanh Điều làbiết đònh hướng dể tìm đường Có thể thực bước theo gợi ý sau: a/ Sử dụng toán giải: Xem có toán tương tự gần giống toán cần giải mà ta giải Hãy xét cho kỹ chưa biết thử nghó đến toán quen thuộc chứa chưa biết hay chưa biết tương tự Cần nhớ lại toán giải gần giống với xét Cần phải sử dụng toán giải phương pháp giải, kết quả, kinh nghiệm… b/ Biến đổi toán: Cần phải huy động tổ chức kiến thức học để biến đổi toán tạo liên hệ mới, khả mới, gợi lại trí nhớ liên quan đến toán xét Ví dụ: Chứng minh m3 − m chia hết cho với số nguyên m http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang Ta biến đổi sau: m − m = m ( m − 1) = ( m − 1) m ( m + 1) Đến đây, ta nhận xét: m – 1; m; m + ba số nguyên liên tiếp nhớ lại rằng: hai số nguyên liên tiếp có số chẵn, ba số nguyên liên tiếp có số chia hết cho toán có hướng giải c/ Phân tích toán thành toán đơn giản hơn: cách làm thường gặp toán khó, toán loại này, thường kết hợp từ toán khác đơn giản Vì người giải cần phải phân tích toán thành toán nhỏ để giải, sau lại kết hợp chúng lại với Ví dụ: Chứng minh rằng: p − chia hết cho 240 Với p số nguyên tố lớn Ta nhận xét: 240 = 3.5.16 3; 5; 16 ba số đôi nguyên tố nên ta chia toán thành ba toán nhỏ sau: - Chứng minh rằng: p − chia hết cho3 - Chứng minh rằng: p − chia hết cho - Chứng minh rằng: p − chia hết cho 16 Sau ta kết hợp với tính chất chia hết tích để dến kết luận cho toán cần giải d/ Mò mẫm, dự đoán cách thử số trường hợp xãy ra: ví dụ: Qua điểm M cạnh BC tam giác ABC dựng đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích Ta xét số trường hợp đặc biệt: -M trung điểm cạnh BC Lúc đường thẳng cần dựng trung tuyến AM -M trùng với hai đầu mút canh BC (chẳng hạn trùng với B) Lúc đường thẳng cần tìm trung tuyến BI Từ ta dưa việc giải toán tổng quát cách đưa hai trường hợp BẢN GI Ý XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI -Bạn gặp toán lần chưa? Hay dã gặp toán tương tự? -Bạn có biết toán có liên quan không? Một đònh lý vận dụng để giải không? -Xét kỹ chưa biết thử nhớ lại toán tương tự có chưa biết hay có chưa biết tương tự - Có thể sử dụng toán liên quan mà bạn dã giải xét xem sử dụng không? Sử dụng kết hay sử dụng phương pháp? Có cần thêm yếu tố phụ không? -Thử phát biểu toán theo cách khác dễ http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang -Nếu gặp toán khó, thử giải toán khác có liên quan mà dễ hơn, toán tổng quát, trường hợp riêng, toán tương tự bạn giải phần toán không? -Kiễm tra xem bạn sử dụng hết kiện chưa? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu có toán chưa? 3/ Thực chương trình giải: Dựa vào xây dựng chương trình giải, ta tiến hành trình bày lời giải theo trình tự không giống trình tự việc xây dựng chương trình giải Tuy nhiên, cần kiểm nghiệm lại chi tiết để trình bày lời giải cách mạch lạc, hợp lôgic phải hội đủ yêu cầu: xác (kể nội dung trình tự), đầy đủ ngắn gọn 4/ Kiễm tra nghiên cứu lời giải: Đây bước cần thiết bổ ích, giúp học giỏi toán thực tế học sinh thực Bước bao gồm: -Kiễm tra để phát sai (về thuật ngữ, lôgic, nội dung khái niệm, đònh lý v.v…), sót (ghi thiếu câu, thiếu dòng, bỏ qua bước cần thiết v.v…) việc sửa chữa sai, sót giúp ta phong phú thêm kinh nghiệm giải toán, qua củng cố phát triễn lực giải toán cho thân -Phát triễn toán: +Xem toán có cách giải khác không? Hãy giải lại toán nhiều cách khác (nếu có thể), thông qua tìm cách giải ngắn gọn nhất, hay +Thử thêm, bớt kiện giả thiết kết luận, để tạo toán liên quan tương tự toán vừa làm Các toán khó dễ toán vừa làm Việc làm giúp người giải toán gặp nhiều thuận lợi gặp toán liên quan tương tự toán vừa làm (dành cho giáo viên học sinh giỏi) http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 1/ Tìm số tự nhiên x, y cho: (2x + 1)(2y + 3) = 63 (1) Giải: a/ Xây dựng chương trình giải: Ta ý x, y ∈ N (1) nên 2x + 2y + ước số 63 Ta thấy 2y + ≥ nên cho 2y + ước số lớn hay 63, ta tìm giá trò y giá trò x tương ứng b/ Lời giải: Từ (2x + 1)(2y + 3) = 63 x, y ∈ N ta có: 63M 2y + ≥ Mà 63 = 32.7 nên có khả sau: * ⎧ x + = 21 ⎧ y = ⇔⎨ ⎨ ⎩2 y + = ⎩ x = 10 * ⎧2 x + = ⎧y = ⇔⎨ ⎨ ⎩2 y + = ⎩x = * ⎧2 x + = ⎧y = ⇔⎨ ⎨ ⎩2 y + = ⎩x = * ⎧ x + = 63 ⎧ y = 30 ⇔⎨ ⎨ ⎩2 y + = ⎩x = c/ Phát triển toán: Với phương pháp giải ta giải phương trình nghiệm nguyên có dạng X.Y… = m Chẳng hạn: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (x –1)(y – x – 1) = 2/ Hãy thêm vào bên trái số 1995 chữ số bên phải chữ số để số chia hết cho 45 Giải: a/ Xây dựng chương trình giải: Ta phân tích 45 = 5.9 tích hai số nguyên tố Từ suy số chia hết cho 45 vừa chia hết cho vừa chia hết cho Dựa vào dấu hiệu chia hết cho ta tìm đựơc chữ số bên phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho để ta tìm chữ số bên trái b/ Lời giải: Gọi x chữ số thêm vào bên trái, y chữ số thêm vào bên phải x, y ∈ N; ≤ x, y ≤ x ≠ ta có: ⎧⎪ x1995 y M x1995 y M 45 ⇔ ⎨ ⎪⎩ x1995 y M ⎧y = ⎧y = ⎨ ⎩x = ⎩x = Nên xãy trường hợp: ⎨ c/ Phát triển toán: từ lời giải toán này, kết hợp với dấu hiệu chia hết khác, nêu giải nhiều toán tương tự như: Tìm chữ số x y cho: http://www.ebook.edu.vn x1995 yM15 ; x1995 yM18 ; Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang x1995 yM 55 ; … 3/ Phân tích đa thức thành nhân tử: f ( x ) = x − x + a/ Xây dựng chương trình giải: ta nhận thấy áp dụng phương pháp thông thường để phân tích Vì cần phải biến đổi đa thức để đưa dạng đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử … Bằng cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử thêm bớt hạng tử b/ Lời giải: f ( x ) = x − x − x + = x ( x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1)( x − 5) c/ Phát triển toán: Ta biến đổi theo nhiều cách khác để phân tích Sau cách khác với cách vừa phân tích trên: * f ( x ) = ( x − x + ) − = ( x − 3) − 22 = ( x − 1)( x − ) * f ( x ) = ( x − x + 1) − x + = ( x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1)( x − 5) * f ( x ) = ( x − 1) − x + = ( x − 1)( x + 1) − ( x − 1) = ( x − 1)( x − 5) * f ( x ) = ( 3x − x + 3) − x + = ( x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1)( x − 5) * f ( x ) = ( x − 10 x + 5) − x + x = ( x − 1) − x ( x − 1) = ( x − 1)( x − 5) * f ( x ) = ( x − x ) − x + = x ( x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1)( x − 5) * Dễ thấy tổng hệ số f(x) 0, nên f(x) chia hết cho x – Thực phép chia f(x) cho x – 1, ta thương x – Vậy: f ( x ) = ( x − 1)( x − 5) 4/ Chứng minh đa thức x9 + x + x5 chia hết cho x + x + a/ Xây dựng chương trình giải: từ yêu cầu toán ta thực phép chia x + x + x cho x + x + tìm số dư b/ Lời giải: Ta thực phép chia sau: x9 + x7 + x5 x2 + x + x9 + x8 + x7 x – x + x5 – x8 – x8 – x7 – x6 x7 + x6 + x5 x7 + x6 + x5 Vậy x + x + x chia hết cho x + x + c/ Phát triển toán: giải toán cách khác sau: Phân tích đa thức x + x + x thành nhân tử, có nhân tử x + x + : x9 + x + x5 = ( x9 + x8 + x ) − ( x8 + x + x ) + ( x + x + x ) = x ( x + x + 1) − x ( x + x + 1) + x5 ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + x ) Vậy x + x + x chia hết cho x + x + 5/ Cho tam giác ABC có AP phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ tia Px , tia nàycắt AC E chứng minh PB = PE cho góc CPx góc BAC http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang A x E B P C a/ Xây dựng chương trình giải: Với giả thiết cho có nhiều cách để di đến chứng minh PB = PE Sau cách Ta chứng minh PB = PE , PB = được: AB (theo giả thiết) nên ta chứng minh cho AB = PE (1) Để chứng minh (1) ta phải chứng minh PE // AB PB = PC Ta có: PB = PC (giả thiết) CPE = CBA = BAC = 600, từ ta suy điều cần chứng minh b/ Lời giải: (tóm tắt) Ta có: CPE = CBA = BAC = 600 (giả thiết) Mà: PB = PC (giả thiết) Suy ra: PE đường trung bình ABC Vậy PB = PE = AB c/ Phát triển toán: Hãy thay điều kiện tam giác ABC tam giác cân thiết lập bái toán tương tự (Học sinh tự chứng minh) ... http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang GI Ý PHƯƠNG PHÁP TÌM TÒI LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN Ở TRƯỜNG THCS Phương pháp tìm tòi lời giải toán theo gợi ý Pôlya bao gồm bốn bước: - Tìm. .. 02: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho toán THCS (tt) Tiết 03: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho toán THCS (tt) Tiết 04: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho toán THCS (tt) Tiết 05:...http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải tập toán THCS - Trang MỤC LỤC Lời mở đầu Mục lục Phân phối chương trình Phương pháp tìm tòi lời giải cho toán THCS Các ví dụ minh họa Trang