Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS

Vì vậy, ngoài việc cung cấp cho học sinh THCS các kiến thức toán học cần thiết và yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức đã học để vận dụng vào việc giải bài tập toán, chúng ta còn phải

Trang 1

LỜI MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây chúng ta đang thực hiện việc thay sách giáo khoa và giảng dạy theo hướng đổi mới, lấy người học làm trung tâm Vì vậy, ngoài việc cung cấp cho học sinh THCS các kiến thức toán học cần thiết và yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức đã học để vận dụng vào việc giải bài tập toán, chúng ta còn phải quan tâm đến việc giúp học sinh có được phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích luỹ được trong quá trình học tập, rèn luyện để việc giải bài tập toán được thuận tiện hơn

Thực tế hiện nay cho chúng ta thấy, cách giải bài tập của phần lớn học sinh còn mang tính chất cảm tính, chưa có một phương pháp giải khoa học Ngoài ra, trong môn toán ở trường THCS, có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán chung để giải Đối với những bài toán này, chúng ta cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi cách giải và trình bày lời giải Để thực hiện được việc này, tôi đã tham khảo một số sách và kết hợp với kinh nghiệm riêng của mình để biên soạn nên tài liệu này, nhằm mục đích như là những lời khuyên của một người có chút ít kinh nghiệm về giải toán để truyền đạt lại cho các em, chứ không phải là một bản chỉ dẫn có tính chất thuật toán Tuy nhiên, do thời gian hướng dẫn một chuyên đề theo qui định còn hạn chế, nên trong tập tài liệu này chỉ đề cập chủ yếu đến việc hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải một bài toán chứ chưa đặt nặng đến vấn đề trình bày lời giải đạt đủ các yêu cầu: Chính xác, ngắn gọn và đầy đủ (nếu có điều kiện tôi sẽ trình bày vấn đề này vào một dịp khác)

Trong tập tài liệu này, ngoài những kinh nghiệm riêng, tôi còn tham khảo chủ yếu ở cuốn “Thực hành giải toán” do nhà xuất bản Giáo dục phát hành và một số tài liệu khác Tuy nhiên để phù hợp với điều kiện tâm sinh lý của học sinh THCS nên tôi đã giảm nhẹ về phần mục tiêu Vì mục đích đào tạo chung, mong các tác giả của các tài liệu tôi đã tham khảo thông cảm

Vì mới biên soạn lần đầu và trong khuôn khổ một chuyên đề nhỏ, nên chắc chắn không thể không thiếu sót Vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến giúp đỡ của các em học sinh, của quý bậc phụ huynh học sinh và nhất là của quý đồng nghiệp gần xa

Ninh Sơn, tháng 1 năm 2005 Người biên soạn

Trang 2

http://www.ebook.edu.vn Phương pháp tìm tòi lời giải bài tập toán THCS - Trang 2

MỤC LỤC

Trang

Phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS 04 Các ví dụ minh họa 07

Trang 3

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

*** Tổng số: 08 tiết Mỗi tuần: 02 tiết

Tiết 01: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS

Tiết 02: Gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán ở THCS (tt)

Tiết 05: Các ví dụ minh họa – Số học

Tiết 06: Các ví dụ minh họa (tt) – Đại số

Tiết 07: Các ví dụ minh họa (tt) – Hình học

Tiết 08: Kiễm tra 1 tiết

Trang 4

GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP TÌM TÒI LỜI GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN

Ở TRƯỜNG THCS

Phương pháp tìm tòi lời giải một bài toán theo gợi ý của Pôlya bao gồm bốn bước:

- Tìm hiểu đề toán

- Xây dựng chương trình giải

- Thực hiện chương trình giải

- Kiễm tra và nghiên cứu lời giải

1/ Tìm hiểu đề toán: Việc tìm hiểu đề chính là việc đọc đề một cách có khoa học, có thể thực hiện theo gợi ý sau:

- Đọc đề lần thứ nhất: Lần đọc này chủ yếu là đọc qua một lần để làm quen với đề tránh vội vàng đi sâu vào chi tiết Tuy nhiên cần đọc một cách chậm rãi để nhận dạng bài toán

- Đọc đề lần thứ hai: vừa đọc vừa nghắt câu cho đúng chỗ để tìm hiểu sâu vào các chi tiết của đề Nếu là bài hình học thì cần kết hợp với việc vẽ hình, cần nắm rõ trình tự vẽ cho chính xác, yếu tố nào cần vẽ trước, yếu tố nào vẽ sau Khi vẽ hình cần chú ý:

+ hình vẽ phải mang tính tổng quát, tránh vẽ các trường hợp đặc biệt để khỏi bị ngộ nhận

+ hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, có thể vẽ nét đậm, nát nhạt, nét liền, nét đứt, hoặc dùng nhiều màu khác nhau

- Đọc đề lần thứ ba: đọc thật chậm, thật kỷ để phân tích đề để tách ra các yếu tố chính, xem xét kỷ các yếu tố chính này nhiều lần và ở nhiều mặt khác nhau, sau đó tóm tắt lại đề Nếu là bài hình học thì cần kết hợp với hình vẽ để ghi phần giả thiết kết luận

- Đối với những bài toán khó có thể đọc đề thêm một số lần nữa

2/ Xây dựng chương trình giải: Xây dưng chương trình giải tức là tìm tòi cách giải quyết bài toán Đây chính là bước quan trọng nhất quyết định cho việc đưa ra một lời giải đúng, nhanh Điều cơ bản làbiết định hướng đúng dể tìm ra được đường đi đúng Có thể thực hiện bước này theo những gợi ý sau:

a/ Sử dụng các bài toán đã giải: Xem có bài toán nào tương tự hoặc gần giống bài toán cần giải mà ta đã giải được Hãy xét cho kỹ cái chưa biết và thử nghĩ đến một bài toán quen thuộc cũng chứa cái chưa biết đó hay một cái chưa biết tương tự Cần nhớ lại một bài toán đã được giải và gần giống với bài đang xét Cần phải sử dụng bài toán đã giải này về phương pháp giải, về kết quả, về kinh nghiệm…

b/ Biến đổi bài toán: Cần phải huy động và tổ chức những kiến thức đã học để biến đổi bài toán tạo ra những liên hệ mới, khả năng mới, gợi lại trong trí nhớ những gì liên quan đến bài toán đang xét

Ví dụ: Chứng minh 3

m −m chia hết cho 6 với mọi số nguyên m

Trang 5

Ta biến đổi như sau: 3

m −m = ( 2 ) ( ) ( )

m m − = m− m m+ Đến đây, ta nhận xét: m – 1; m; m + 1 là ba số nguyên liên tiếp và nhớ lại rằng: trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chẵn, trong ba số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3 vậy bài toán đã có hướng giải quyết

c/ Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn: cách làm này thường gặp ở những bài toán khó, những bài toán loại này, thường được kết hợp từ những bài toán khác đơn giản hơn Vì vậy người giải cần phải phân tích bài toán thành những bài toán nhỏ để giải, sau đó lại kết hợp chúng lại với nhau

Ví dụ: Chứng minh rằng: 4

1

p − chia hết cho 240 Với p là số nguyên tố lớn hơn 5

Ta nhận xét: 240 = 3.5.16 và 3; 5; 16 là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta chia bài toán thành ba bài toán nhỏ như sau:

- Chứng minh rằng: 4

1

p − chia hết cho3

1

p − chia hết cho 5

1

p − chia hết cho 16

Sau đó ta kết hợp với tính chất chia hết của một tích để đi dến kết luận cho bài toán cần giải

d/ Mò mẫm, dự đoán bằng cách thử một số trường hợp có thể xãy ra:

ví dụ: Qua điểm M trên cạnh BC của tam giác ABC hãy dựng một đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau

Ta xét một số trường hợp đặc biệt:

-M là trung điểm của cạnh BC Lúc này đường thẳng cần dựng chính là trung tuyến

AM

-M trùng với một trong hai đầu mút của canh BC (chẳng hạn trùng với B) Lúc này đường thẳng cần tìm là trung tuyến BI

Từ đây ta dưa ra việc giải bài toán tổng quát bằng cách đưa về một trong hai trường hợp trên

BẢN GỢI Ý XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI

-Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay dã gặp bài toán tương tự?

-Bạn có biết bài toán nào có liên quan không? Một định lý có thể vận dụng để giải bài này không?

-Xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán tương tự có cùng cái chưa biết hay có cái chưa biết tương tự

- Có thể sử dụng một bài toán liên quan mà bạn dã giải và xét xem có thể sử dụng nó không? Sử dụng kết quả hay sử dụng phương pháp? Có cần thêm yếu tố phụ không?

-Thử phát biểu bài toán theo cách khác dễ hơn

Trang 6

-Nếu gặp bài toán khó, hãy thử giải một bài toán khác có liên quan mà dễ hơn, một bài toán tổng quát, một trường hợp riêng, một bài toán tương tự hoặc bạn có thể giải một phần của bài toán không?

-Kiễm tra xem bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu có trong bài toán chưa?

3/ Thực hiện chương trình giải:

Dựa vào xây dựng chương trình giải, ta tiến hành trình bày lời giải theo một trình tự có thể không giống như trình tự của việc xây dựng chương trình giải Tuy nhiên, cần kiểm nghiệm lại từng chi tiết để trình bày lời giải một cách mạch lạc, hợp lôgic và nhất là phải hội đủ các yêu cầu: chính xác (kể cả nội dung và trình tự), đầy đủ và ngắn gọn

4/ Kiễm tra và nghiên cứu lời giải:

Đây là bước cần thiết và bổ ích, giúp học giỏi toán hơn nhưng trong thực tế học sinh ít khi thực hiện nó Bước này bao gồm:

-Kiễm tra để phát hiện những cái sai (về thuật ngữ, về lôgic, về nội dung các khái niệm, định lý v.v…), những cái sót (ghi thiếu câu, thiếu dòng, bỏ qua các bước cần thiết v.v…) việc sửa chữa những sai, sót này giúp ta phong phú thêm về kinh nghiệm giải toán, qua đó sẽ củng cố và phát triễn năng lực giải toán cho bản thân

-Phát triễn bài toán:

+Xem bài toán còn có cách giải nào khác không? Hãy giải lại bài toán bằng nhiều cách khác (nếu có thể), thông qua đó tìm ra cách giải ngắn gọn nhất, hay nhất

+Thử thêm, bớt các dữ kiện của giả thiết hoặc kết luận, để tạo ra bài toán mới liên quan hoặc tương tự bài toán vừa làm Các bài toán mới này có thể khó hơn hoặc dễ hơn bài toán vừa làm Việc làm này giúp người giải toán gặp nhiều thuận lợi hơn khi gặp những bài toán liên quan hoặc tương tự bài toán vừa làm (dành cho giáo viên và học sinh giỏi)

Trang 7

MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

1/ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: (2x + 1)(2y + 3) = 63 (1)

Giải:

a/ Xây dựng chương trình giải: Ta chú ý rằng x, y ∈ N và do (1) nên 2x + 1 và 2y + 3

là những ước số của 63 Ta thấy 2y + 3 ≥ 3 nên lần lượt cho 2y + 3 bằng các ước số lớn hơn hay bằng 3 của 63, ta sẽ tìm được các giá trị của y và các giá trị của x tương ứng

b/ Lời giải: Từ (2x + 1)(2y + 3) = 63 và x, y ∈ N ta có: 63 M 2y + 3 ≥ 3

3 7 nên có 4 khả năng sau:

* ⎧⎨⎩22x y+ =+ =13 213 ⇔⎧⎨⎩x y==100

* ⎧⎨⎩22x y+ =+ =1 93 7⇔⎧⎨⎩x y==42

* ⎧⎨⎩22x y+ =+ =13 79⇔⎧⎨⎩x y==33

* ⎧⎨⎩22x y+ =+ =13 163⇔⎧⎨⎩y x==030

c/ Phát triển bài toán: Với phương pháp giải trên ta có thể giải các phương trình nghiệm nguyên có dạng X.Y… = m

Chẳng hạn: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

(x –1)(y – x – 1) = 7

2/ Hãy thêm vào bên trái của số 1995 một chữ số và bên phải một chữ số để được số mới chia hết cho 45

Giải:

a/ Xây dựng chương trình giải: Ta phân tích 45 = 5.9 là tích của hai số nguyên tố cùng nhau Từ đó suy ra số chia hết cho 45 khi và chỉ khi nó vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho

9 Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5 ta sẽ tìm đựơc chữ số bên phải và dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để ta tìm được chữ số bên trái

b/ Lời giải: Gọi x là chữ số thêm vào bên trái, y là chữ số thêm vào bên phải

x, y ∈ N; 0 ≤x y, ≤ 9 và x≠ 0 ta có:

1995 5

1995 45

1995 9

⎧⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

M M

M Nên xãy ra 2 trường hợp: 0

3

y x

=

⎧

⎨ =

7

y x

=

⎧

⎨ =

⎩ c/ Phát triển bài toán: từ lời giải của bài toán này, kết hợp với những dấu hiệu chia hết khác, có thể nêu và giải nhiều bài toán tương tự như: Tìm các chữ số x và y sao cho:

Trang 8

1995 15

x yM ; x1995 18yM ; x1995yM 55; …

3/ Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) 2

f x =x − x+ a/ Xây dựng chương trình giải: ta nhận thấy không thể áp dụng các phương pháp thông thường để phân tích được Vì vậy cần phải biến đổi đa thức để đưa về các dạng như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử … Bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử

f x =x − −x x+ =x x− − x− = −x x− c/ Phát triển bài toán: Ta cũng có thể biến đổi theo nhiều cách khác nhau để phân tích Sau đây là 7 cách khác với cách vừa phân tích trên:

f x = x − x+ − = −x − = −x x−

f x = x − x+ − x+ = −x − x− = −x x−

f x = x − − x+ = −x x+ − x− = −x x−

f x = x − x+ − x + = x− − x − = −x x−

f x = x − x+ − x + x= x− − x x− = −x x−

f x = x − x − x + = x x− − x − = −x x−

* Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0, nên f(x) chia hết cho x – 1 Thực hiện phép chia f(x) cho x – 1, ta được thương là x – 5 Vậy: f x( ) (= −x 1)(x− 5)

4/ Chứng minh rằng đa thức 9 7 5

x + +x x chia hết cho 2

1

x + +x a/ Xây dựng chương trình giải: từ yêu cầu của bài toán ta có thể thực hiện phép chia

9 7 5

x +x +x cho 2

1

x + +x và tìm ra số dư bằng 0

b/ Lời giải: Ta thực hiện phép chia như sau:

x9 + x7 + x5 x2 + x + 1

x9 + x8 + x7 x7 – x6 + x5

– x8

– x8 – x7 – x6

x7 + x6 + x5

0

x +x +x chia hết cho 2

1

x + +x c/ Phát triển bài toán: có thể giải bài toán bằng cách khác như sau: Phân tích đa thức

9 7 5

x +x +x thành nhân tử, trong đó có một nhân tử là 2

1

x + +x :

1

x +x +x chia hết cho 2

1

x + +x 5/ Cho tam giác đều ABC có AP là phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ tia Px sao cho góc CPx bằng góc BAC, tia nàycắt AC tại E chứng minh PB = PE

Trang 9

A

x

E

B P C

a/ Xây dựng chương trình giải: Với giả thiết đã cho có rất nhiều cách để di đến chứng minh

PB = PE Sau đây chỉ là một cách

Ta chứng minh PB = PE , nhưng PB =

2

AB (theo giả thiết) nên ta đi chứng minh cho được:

2

AB = PE (1) Để chứng minh (1) ta phải chứng minh PE // AB và PB = PC

Ta có: PB = PC (giả thiết) và CPE = CBA = BAC = 600, từ đây ta suy ra điều cần chứng minh

b/ Lời giải: (tóm tắt)

Ta có: CPE = CBA = BAC = 600 (giả thiết)

Mà: PB = PC (giả thiết)

Suy ra: PE là đường trung bình ABC

Vậy PB = PE =

2

AB c/ Phát triển bài toán: Hãy thay điều kiện tam giác đều ABC bằng tam giác cân và thiết lập được bái toán tương tự (Học sinh tự chứng minh)

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	76,1 KB