Phép biến đổi z

Ý nghĩa của phép biến đổi Z Giả sử xt là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu xt với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc xk = xkT... Biểu thức lấy mẫu xt:Biểu thức biến đổi

Phép biến đổi Z

Bởi:

Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên

Định nghĩa

Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc Biến đổi Z của x(k) là:

(7.7)

trong đó: z = eTs (s là biến Laplace)

Ký hiệu:

Nếu x(k) = 0,

k < 0thì biểu thức định nghĩa trở thành:

Miền hội tụ (Region of Convergence - ROC)

ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn

Ý nghĩa của phép biến đổi Z

Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT).

Biểu thức lấy mẫu x(t):

Biểu thức biến đổi Z:

Vì z = eTs nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như nhau, do đó bản chất của

việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó

Phép biến đổi Z ngược

Cho X(z) là hàm theo biến phức z Biến đổi Z ngược của X(z) là:

với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao gốc tọa độ.

Tính chất của phép biến đổi Z

Tính tuyến tính

Nếu:

Thì:

Dời trong miền thời gian

Làm trễ tín hiệu Ko mẫu

Nếu:

Thì:

Nhận xét:

Nếu trong miền Z ta nhân X(z) với

thì tương đương với trong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) ko chu kỳ lấy mẫu.

Vì:

nên z–1được gọi là toán tử làm trễ một chu kỳ lấy mẫu

Tỉ lệ trong miền Z

Nếu:

Thì:

Đạo hàm trong miền Z

Nếu:

Thì:

Định lý giá trị đầu

Nếu:

Thì:

Định lý giá trị cuối

Nếu:

Thì:

Biến đổi Z của các hàm cơ bản

Hàm dirac

Theo định nghĩa:

Vậy:

(ROC: toàn bộ mặt phẳng Z)

Hàm nấc đơn vị

Hàm nấc đơn vị (liên tục trong miền thời gian):

Lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được:

Theo định nghĩa:

Nếu |z-1| < 1thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta dễ dàng suy ra:

Vậy:

Hàm dốc đơn vị

Hàm dốc đơn vị (liên tục trong miền thời gian):

Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được:

Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tính chất tỉ lệ trong miền Z:

Ta có:

Vậy:

Hàm mũ

Hàm mũ liên tục trong miền thời gian:

Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được:

Theo định nghĩa:

Nếu

thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta suy ra:

Vậy:

Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:

Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược

Cho hàm ( ) X z , bài toán đặt ra là tìm ( ) x k Theo công thức biến đổi Z ngược, ta có:

với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của

và bao gốc tọa độ

Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường áp dụng các cách sau:

Cách 1: Phân tích X( z ) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bảng biến đổi Z

Ví dụ 7.1 Cho:

Tìm x(k)

Giải Phân tích

, ta được:

Tra bảng biến đổi Z:

Suy ra: x(k) = (–2k + 3k) u(k)

Cách 2: Phân tích ( ) X z thành chuỗi lũy thừa

Theo định nghĩa biến đổi z:

Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuỗi lũy thừa ta sẽ được giá trị x(k) chính là

hệ số của thành phần z–k

Ví dụ : Cho:

Tìm x(k).

Giải:

Chia đa thức ta được:

Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,

Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ qui

Ví dụ : Cho:

Tìm x(k).

Giải: Ta có:

Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời trong miền thời gian), ta được:

Với điều kiện đầu: x( k – 1) = 0; x(k – 2) = 0

Thay vào công thức trên ta tìm được:

x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,

Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư

Nếu

là cực bậc một thì:

Nếu

là cực bậc p thì:

Ví dụ : Cho:

Tìm x(k)

Giải Áp dụng công thức thặng dư, ta được:

Mà:

Do đó: x(k) = –2k + 3k