công thức lượng giác

Nội dung chính1.. Công thức nhân đôi 3.. Công thức biến đổi tích thành tổng 4.. Công thức biến đổi tổng thành tích... Công thức nhân đôiCho a = b trong các công thức cộng ta được công th

Nội dung chính

1 Công thức cộng

2 Công thức nhân đôi

3 Công thức biến đổi tích thành tổng

4 Công thức biến đổi tổng thành tích

1 Công thức cộng:

cos a b− = cos cosa b + sin sina b (1)

cos a b+ = cos cosa b − sin sina b

sin a b− = sin cosa b − sin cosb a

(2) (3)

sin a b+ = sin cosa b + sin cosb a (4)

tan

1 tan tan

a b

−

− =

( ) tan a + tan b

Ví dụ: Áp dụng công thức cộng để tính:

0 ) cos105

a

cos105 = cos 60 + 45 =

) tan

12

b π

* Phương pháp: Biến đổi các cung về dạng tổng hoặc hiệu của các cung mà giá trị lượng giác của chúng ta đã biết, rồi áp dụng công thức cộng.

GIẢI

a) Ta có:

cos 60 cos 45 − sin 60 sin 45 =

1 2 3 2

) tan

12

tan

12 12

π π

1 tan tan

−

=

+

2 Công thức nhân đôi

Cho a = b trong các công thức cộng ta được công thức nhân đôi.

sin 2a = 2sin cosa a (7)

cos 2 a = cos a − sin a (8)

2

2cos a 1

2

1 2sin a

2

2 tan tan 2

1 tan

a a

a

=

* Ví dụ: Tính sin2a biết sina = -0,8 và π < a < 3π/2

GIẢI

Áp dụng công thức: sin2a + cos2a =1

suy ra: cos2a = 1 – sin2a = 1 – 0,64 = 0,36

2

π < < nên cosa < 0

do đó: cos a = − 0,36 = −0,6

Vậy sin2a = 2sina.cosa = 2 (-0,8).(-0,6) = 0,96

* Công thức hạ bậc

cos

2

c

a = + (10)

sin

2

c

a = − (11)

tan

1 os 2a

c a

c

−

=

3 Công thức biến đổi tích thành tổng

1 osa.cosb = cos cos

2

1 sin a.sin b = cos cos

2  a b− − a b+  (14)

1 sin a.cos b = sin sin

2  a b− + a b+  (15)

* Ví dụ: Không dùng máy tính hãy tính biểu thức:

7 cos cos

24 24

Giải

7 cos cos

24 24

cos cos

2 24 24 24 24

1

cos cos

2 1

4 Công thức biến đổi tổng thành tích

2 2

u v a

u v b

+

=

−

=

Đặt: u = a + b ta có:

v = a - b

Khi đó công thức biến đổi tổng thành tích là:

cos cos 2cos cos

(16)

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

Ví dụ: Tính

GIẢI

Ta có:

Ta có:

sin2a =sin(a + a) = sina.cosa + sina.cosa

=2 sina.cosa cos2a = cos(a + a) = cosa.cosa - sina sina

= cos2a – sin2a

(7)

(8)

Mà: cos2a + sin2a = 1 => sin2a = 1 – cos2a

=> cos2a = cos2a – (1 – cos2a) = 2cos2a - 1 (8a)

Và: cos2a + sin2a = 1 => cos2a = 1 – sin2a

tan 2a = tan(a a+ =) tan tan

1 tan tan

−

2

2 tan

1 tan

a a

=

Ta có:

cos2a = 2cos2a - 1

2 cos 2 1 cos

2

a

2

2 cos a cos 2a 1

(10)

cos2a = 1 – 2sin2a ⇒ 2sin2 a = −1 cos 2a

2 1 cos 2 sin

2

a

2 2

2

sin tan

cos

a a

a

=

.

a

a

−

=

+

1 cos 2

1 cos 2

a a

−

=

Ta có:

cos a b− = cos cosa b + sin sina b

cos a b+ = cos cosa b − sin sina b

+

cos a b− + cos a b+ = 2cos cosa b

cos cos

2

1

Ta có:

cos a b− = cos cosa b + sin sina b

cos a b+ = cos cosa b − sin sina b

cos a b− − cos a b+ = 2sin sina b

sin sin

2

1

Ta có:

sin a b+ = sin cosa b + sin cosb a

+

sin a b− + sin a b+ = 2sin cosa b

sin cos

2

1