công thức lượng giác

Nội dung Công thức cộng Công thức nhân đôi Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức cộng: cos ( a − b ) = cos a.cos b + sin a.sin b (1) cos ( a + b ) = cos a.cos b − sin a.sin b (2) sin ( a − b ) = sin a.cos b − sin b.cos a (3) sin ( a + b ) = sin a.cos b + sin b.cos a (4) tan a − tan b tan ( a − b ) = + tan a.tan b (5) tan a + tan b tan ( a + b ) = − tan a.tan b (6) Ví dụ: Áp dụng công thức cộng để tính: a ) cos105 π b) tan 12 * Phương pháp: Biến đổi cung dạng tổng hiệu cung mà giá trị lượng giác biết, áp dụng công thức cộng GIẢI a) Ta có: ( cos105 = cos 60 + 45 0 ) 0 0 cos 60 cos 45 − sin 60 sin 45 = = 2− = − = 2 2 π b) tan 12  4π 3π  π π  = tan  − ÷ = tan  − ÷  12 12  3 4 π π tan − tan = π π + tan tan −1 −1 = = + 3.1 +1 Công thức nhân đôi Cho a = b công thức cộng ta công thức nhân đôi (7) sin 2a = 2sin a.cos a cos 2a = cos a − sin a 2 (8) = cos a − (8a) = − 2sin a (8b) 2 tan a tan 2a = − tan a (9) * Ví dụ: Tính sin2a biết sina = -0,8 π < a < 3π/2 GIẢI Áp dụng công thức: sin2a + cos2a =1 suy ra: cos2a = – sin2a = – 0,64 = 0,36 3π Vì π < a < nên cosa < đó: cos a = − 0,36 = −0, Vậy sin2a = 2sina.cosa = (-0,8).(-0,6) = 0,96 * Công thức hạ bậc + cos 2a cos a = (10) − cos 2a sin a = (11) − cos 2a tan a = + cos 2a (12) 2 Công thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb = cos ( a − b ) + cos ( a + b )  (13) sin a.sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )  (14) sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b )  (15) * Ví dụ: Không dùng máy tính tính biểu thức: 7π π A = cos cos 24 24 Giải   7π π  7π π  7π π   = cos  − ÷+ cos  + ÷ A = cos cos   24 24  24 24  24 24   1 π π   1 = cos + cos  =  + = 2   2 ( ) +1 Công thức biến đổi tổng thành tích u+v a= Đặt: u = a + b ta có: v=a-b u −v b= Khi công thức biến đổi tổng thành tích là: u+v u −v cos u + cos v = cos cos 2 u+v u −v cos u − cos v = −2sin sin 2 u+v u −v sin u + sin v = 2sin cos 2 u+v u −v sin u − sin v = cos sin 2 (16) (17) (18) (19) Ví dụ: Tính π 5π 7π A = cos + cos + cos 9 GIẢI Ta có: π 7π  5π  A =  cos + cos ÷+ cos 9   4π π 5π   = cos cos − cos  π − ÷ 9   4π 4π = cos − cos =0 9 Ta có: sin2a =sin(a + a) = sina.cosa + sina.cosa =2 sina.cosa (7) cos2a = cos(a + a) = cosa.cosa - sina sina = cos2a – sin2a (8) Mà: cos2a + sin2a = => sin2a = – cos2a => cos2a = cos2a – (1 – cos2a) = 2cos2a - (8a) Và: cos2a + sin2a = => cos2a = – sin2a => cos2a = – sin2a – sin2a = – 2sin2a (8b) tan a + tan a tan 2a = tan(a + a) = = − tan a.tan a tan a = (9) − tan a Ta có: ⇒ cos a = cos 2a + cos2a = 2cos a - cos 2a + (10) ⇒ cos a = 2 ⇒ 2sin a = − cos 2a cos2a = – 2sin a − cos 2a ⇒ sin a = 2 (11) sin a tan a = cos a − cos 2a = + cos 2a − cos 2a = + cos 2a (12) Ta có: + cos ( a − b ) = cos a.cos b + sin a.sin b cos ( a + b ) = cos a.cos b − sin a.sin b cos ( a − b ) + cos ( a + b ) = cos a.cos b ⇒ cos a.cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b ) = cos ( a − b ) + cos ( a + b )  (13) Ta có: - cos ( a − b ) = cos a.cos b + sin a.sin b cos ( a + b ) = cos a.cos b − sin a.sin b cos ( a − b ) − cos ( a + b ) = 2sin a.sin b ⇒ sin a.sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b ) = cos ( a − b ) − cos ( a + b )  (14) Ta có: sin ( a − b ) = sin a.cos b − sin b.cos a + sin ( a + b ) = sin a.cos b + sin b.cos a sin ( a − b ) + sin ( a + b ) = 2sin a.cos b ⇒ sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b ) = sin ( a − b ) + sin ( a + b )  (15) [...]...4 Công thức biến đổi tổng thành tích u+v a= Đặt: u = a + b ta có: 2 v=a-b u −v b= 2 Khi đó công thức biến đổi tổng thành tích là: u+v u −v cos u + cos v = 2 cos cos 2 2 u+v u −v cos u − cos v = −2sin sin 2 2 u+v u −v sin u + sin v = 2sin cos 2 2 u+v ...Nội dung Công thức cộng Công thức nhân đôi Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức cộng: cos ( a − b ) = cos a.cos b +... a.tan b (6) Ví dụ: Áp dụng công thức cộng để tính: a ) cos105 π b) tan 12 * Phương pháp: Biến đổi cung dạng tổng hiệu cung mà giá trị lượng giác biết, áp dụng công thức cộng GIẢI a) Ta có: (... − ÷  12 12  3 4 π π tan − tan = π π + tan tan −1 −1 = = + 3.1 +1 Công thức nhân đôi Cho a = b công thức cộng ta công thức nhân đôi (7) sin 2a = 2sin a.cos a cos 2a = cos a − sin a 2 (8) =