Bài tập parapol

Dẫn nhập : Trong mặt phẳng cho đường thẳng D cố định và một điểm F cố định không thuộc D.. Tìm tập hợp những điểm M của mặt phẳng sao cho khoảng cách từ đó đến F bằng khoảng cách từ

Bài tập 1 : Cho hypebol 9x2 – 16y2 – 144 = 0 Các tiêu điểm của nó là :

a F 1 (–4, 0) ; F 2 (4, 0)

b F 1 (–3, 0) ; F 2 (3, 0)

c F 1 (–5, 0) ; F 2 (5, 0)

d F 1 (0, –5) ; F 2 (0, 5)

c F 1 (–5, 0) ; F 2 (5, 0)

Bài tập 2 : Tiệm cận của hypebol – = 1 là :

a y = x

b y = x

c y = x

d y = x

x 2 y 2

16 9 +–

+–

+–

4 5

4 3

5 4

+– 3 4

+– 3 4

b y = x +– 3

4

Bài tập 3 : Tâm sai e của hypebol – = 1 là :

a

b

c

d

c a 4 5 5 4 a c

x 2 y 2

16 9

c 54

Bài tập 4 : Cho hypebol (H) : – = 1 Câu nào sau đây sai ?

a (H) có trục thực là x'x.

b (H) có hai tiêu điểm F 1 (–5, 0) ; F 2 (5, 0).

c (H) có 4 đỉnh.

d (H) có tâm sai e =

x 2 y 2

9 16

5 3

c (H) có 4 đỉnh.

Dẫn nhập :

Trong mặt phẳng cho đường thẳng

D cố định và một điểm F cố định

không thuộc D

Tìm tập hợp những điểm M của

mặt phẳng sao cho khoảng cách từ

đó đến F bằng khoảng cách từ đó

đến đường thẳng D

* Tập hợp các điểm M này là gì ?

1 Định nghĩa :

Parabol là tập hợp các điểm của

mặt phẳng cách đều một đường thẳng

∆ cố định và một điểm F cố định

không thuộc ∆

Như vậy :

* M ∈ parabol <=> MF = MH.

(H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống ∆).

* Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol.

* Đường thẳng ∆ được gọi là đường chuẩn

2 Phương trình chính tắc của parabol :

Cho trước đường chuẩn ∆ và tiêu điểm F.

Để lập phương trình parabol, ta

chọn hệ tọa độ như sau :

- Trục Ox đi qua tiêu điểm F và

vuông góc với đường chuẩn ∆, cắt

nhau tại P.

- Trục Oy là trung trực của PF Gốc

tọa độ là trung điểm PF.

- Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến

đường chuẩn là p, (hiển nhiên p > 0)

Khi đó : F = ( ; 0), P = (– ; 0).

Như vậy đường chuẩn D có phương trình x = –

p

2

p

2

p

2

2 Phương trình chính tắc của parabol :

Gọi M(x ; y) là một điểm nào đó thì

hình chiếu H của M trên D có tọa độ : H = ( – p ; y).

2

Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của parabol,

p được gọi là tham số tiêu, p > 0 => nếu M(x ; y) ∈ parabol y 2 = 2x thì : MF = x + p

2

Điểm M(x ; y) thuộc parabol khi và

chỉ khi MF = MH, hay :

√(x – )p 2 + y 2 = √(x + ) 2

2

p

2

Vì cả hai vế đều dương, nên phương trình

trên tương đương với : (x – ) 2 + y 2 = (x + ) 2

hay x 2 – px + + y 2 = x 2 + px + <=>

p

2

p

2

p 2

4

p 2

3 Hình dạng của parabol :

a Phương trình chính tắc của parabol

y 2 = 2px chỉ chứa số hạng bậc chẵn của y, (ta có : (–y) 2 = y 2 ) nên parabol nhận

Ox làm trục đối xứng.

b Giao của parabol với trục đối xứng

Ox gọi là đỉnh của parabol.

Dễ thấy rằng, đó là gốc tọa độ O(0 ; 0).

c Từ phương trình chính tắc y 2 = 2px,

ta thấy x > 0, tức là các điểm của parabol đều nằm ở phía phải trục Oy, cùng với

tiêu điểm F( ; 0) Vậy xp M x F > 0.

2

Chú ý :

* Ngoài dạng chính tắc y 2 = 2px, parabol còn có các dạng phương trình sau đây :

Parabol có y bậc chẵn

=> trục đối xứng là Ox.

=> tiêu điểm trên Ox.

Gọi M(x,y) thuộc parabol và M khác O,

ta có : y 2

M = –2px M > 0 => x M < 0

Vì x M x F > 0

=> x F < 0

Do đó :

Tiêu điểm F : (– ; 0)

Đường chuẩn ∆ : ( ; 0)

p 2 p 2

y2 = –2px.

Chú ý :

* Ngoài dạng chính tắc y 2 = 2px, parabol còn có các dạng phương trình sau đây :

Parabol có y bậc chẵn

=> trục đối xứng là Ox.

=> tiêu điểm trên Ox.

Gọi M(x,y) thuộc parabol và M khác

O, ta có : y 2

M = –2px M > 0 => x M < 0

Vì x M x F > 0

=> x F < 0

Do đó :

Tiêu điểm F : (– ; 0)

Đường chuẩn ∆ : ( ; 0)

p 2 p 2

y2 = –2px.

Ví dụ : x 2 = 4y

x = 16y

Chú ý :

* Ngoài dạng chính tắc y 2 = 2px, parabol còn có các dạng phương trình sau đây :

Parabol có y bậc chẵn

=> trục đối xứng là Ox.

=> tiêu điểm trên Ox.

Gọi M(x,y) thuộc parabol và M khác

O, ta có : y 2

M = –2px M > 0 => x M < 0

Vì x M x F > 0

=> x F < 0

Do đó :

Tiêu điểm F : (– ; 0)

Đường chuẩn ∆ : ( ; 0)

p 2 p 2

y2 = –2px.

Ví dụ : x 2 = –4y

x = –2y

Ví dụ 1 :

Xác định tiêu điểm và đường chuẩn của parabol : y 2 = 8x Phương trình parabol này có bậc của y chẵn

⇒ trục đối xứng là Ox

⇒ tiêu điểm trên Ox

Do đó :

Tiêu điểm : F(2,0)

Đường chuẩn D : x = –2

Gọi M(x,y) thuộc parabol và M khác O, ta có:

y 2 = 2px ⇔ 2px = 8x ⇔ p = 4

y 2 = 8x > 0 ⇒ x M > 0

Vì x M x F > 0 ⇒ x F = = 2 p 2

Ví dụ 2 : Xác định tiêu điểm và đường chuẩn của parabol :

x 2 = (– )y

1 2 Phương trình parabol này có bậc của x chẵn

=> trục đối xứng là Oy.

=> tiêu điểm trên Oy.

Gọi M(x, y) thuộc parabol và M khác O, ta có :

x 2 = (– )y <=> –2py = –( )y

<=> p = 1/4

x 2 = (– )y > 0 => y M < 0

Vì y M y F > 0 => y F < 0 ; y F =

= –

(– ) 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 8

Do đó :

Tiêu điểm : F(0, – )

Đường chuẩn ∆ : y =

1

8 1

Ví dụ 3 : Xác định tiêu điểm và đường chuẩn của parabol :

y 2 = –8x

Phương trình parabol này có bậc của y chẵn

=> trục đối xứng là Ox

=> tiêu điểm trên Ox

Do đó :

Tiêu điểm : F(–2 ; 0)

Gọi M(x,y) thuộc parabol và M khác O, ta có :

y 2 = –8x <=> –2px = –8x

<=> p = 4

y 2 = –8x > 0 => x M < 0

Vì x M x F > 0 => x F < 0 ; x F = – = –2 P 2

Ví dụ 4 : Xác định tiêu điểm và đường chuẩn của parabol : x 2 = 4y

Phương trình parabol này có bậc của x chẵn

=> trục đối xứng là Oy.

=> tiêu điểm trên Oy.

Do đó :

Tiêu điểm : F(0 ; 1)

Đường chuẩn D : y = –1

Gọi M(x,y) thuộc parabol và M khác O, ta có :

x 2 = 4y <=> 2py = 4

<=> p = 2

x 2 = 4y > 0 => y M > 0

Vì y M y F > 0 => y F > 0 ; y F = = 1 P 2

Xác định các yếu tố của parabol :

1 Trục đối xứng :

Ox : nếu phương trình chính tắc có bậc 2 theo y.

Oy : nếu phương trình chính tắc có bậc 2 theo x.

2 Tiêu điểm F : nằm trên trục đối xứng.

Parabol và tiêu điểm cùng ở một phía so với tiếp tuyến tại đỉnh, nghĩa là : x M x F > 0 (y M y F > 0).