Nhóm SO(3) các phép quay không gian euclide thực ba chiều

Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Trong mục ta khảo sát chi tiết nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều, nhóm đối xứng thường gặp nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử: vật lý nguyên tử, vật lý hạt nhân, vật lý hạt sơ cấp Ta việc nghiên cứu phép quay mặt phẳng xOy quanh gốc tọa độ, tạo thành nhóm SO(2) Đó nhóm quay không gian ba chiều quanh trục cố định Oz, nhóm nhóm SO(3) Mỗi phép quay mặt phẳng xOy đặc trưng góc quay φ ký hiệu O(φ) Thực liên tiếp hai phép quay góc φ1 φ2, ta phép quay góc φ1 + φ2 tích hai phép quay nói O(φ1) O(φ2) = O (φ1 + φ2) Tất phép quay giao hoán với SO(2) nhóm giao hoán Mọi yếu tố O(φ) nhóm hoàn toàn xác định giá trị thông số φ thay đổi liên tục từ đến Π Do SO (2) nhóm liên tục thông số Trong phép quay O(φ) vectơ đơn vị sở i j chuyển thành vectơ đơn vị i’ j’ liên hệ với i j hệ thức (xem hình 1.1) 1/8 Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều i ' = i cos φ + j sin φ j ' = -i sin φ + j cos φ Hai công thức viết lại dạng ma trận sau: (i ' j ')=(i j ) [ cos φ −sin φ sin φ cos φ ] Vậy ma trận phép biến đổi O (φ) O (φ)= [ cos φ −sin φ sin φ cos φ ] Dễ dàng thử lại O (φ) ma trận trực giao O (φ)TO (φ) = O (φ)O (φ)T = I có định mức 1, det O (ϕ) = 1, thỏa mãn điều kiện O (φ1) O (φ2) = O (φ1 + φ2) Ma trận O (φ) hoàn toàn xác định phép quay tương ứng Vì yếu tố ma trận hàm khả vi φ O (φ) nhóm Lie Trong phép quay O (φ)vectơ r với thành phần x y, r= xi + yj, chuyển thành vectơ r’ với thành phần x’ y’, r ’ = x i ’ + y j ’ Mặt khác, r ’, i ’, j ’ thu từ r, i, j sau phép quay hệ thức r ’ i ’, j ’ có dạng giống hệt hệ thức r i, j, cụ thể r’=xi’+yj’ 2/8 Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều Thay vào biểu thức diễn tả i ’ j ’ theo ivà j, ta suy x ’ = cos φ x - sin φy y ’ = sin φx + cos φy Các công thức viết dạng ma trận sau [ ][ x' y' = cos φ −sin φ sin φ cos φ ][ ] x y Các phép quay mặt phẳng xOy xung quanh gốc tọa độ O đồng thời phép quay không gian ba chiều quanh trục Oz Ký hiệu vectơ đơn vị sở không gian Euclide ba chiều i, j, k, phép quay góc φ quanh trục Oz Cz(φ) Phép quay chuyển vectơ đơn vị sở nói thành vectơ đơn vị sở sau i ’ = i cos φ + j sin φ, j ’ = -i cos φ + j cos φ, k’=k Do ma trận phép quay Cz(φ) có dạng Cz(φ)= [ cos φ −sin φ sin φ cos φ 0 ] Tương tự vậy, ma trận phép quay góc φ quanh trục Ox Oy, ký hiệu Cz(φ) Cy(φ), có dạng [ 0 Cx(φ)= cos φ −sin φ Cy(φ)= [ sin φ cos φ cos φ sin φ −sin φ cos φ ] ] 3/8 Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều Xét nhóm quay không gian ba chiều SO(3) Mọi phép quay không gian ba chiều quanh gốc tọa độ O thực dạng tổ hợp ba phép quay liên tiếp sau đây: phép quay góc φ quanh trục Oz chuyển trục tọa độ Ox Oy thành Ox’ Oy’, phép quay góc θ quanh trục Ox’ chuyển trục Oy’ Ox thành Oy’’ Oz’’, phép quay góc ψ quanh trục Oz’’ (xem hình 1.2) Ba thông số φ, θ, ψ gọi ba góc Euler Ký hiệu phép quay với ba góc Euler φ, θ, ψ O( ψ, θ,φ) Ma trận phép quay tích ba ma trận tương ứng với phép quay quanh trục Oz, Ox’ Oz’’, cụ thể O( ψ, θ,φ) = Cz( ψ) Cx( θ) Cz(φ) Thay vào biểu thức Cx(φ), Cz( ψ) Cx( θ), ta thu O (ψ, θ, φ) = 4/8 Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều Các góc ψ φ thay đổi từ đến π, góc θ thay đổi từ đến π Nhóm SO(3) nhóm Lie ba thông số Trong đoạn trước ta định nghĩa yếu tố liên hợp Bây ta chứng minh tính chất liên hợp hai phép quay góc quanh hai trục khác Mệnh đề Trong nhóm quay SO(3) hai phép quay góc quanh hai trục quay khác luôn liên hợp với Chứng minh Ký hiệu vectơ đơn vị sở i, j, k hệ tọa độ Descartes ei, i = 1, 2, giả sử n n’ hai vectơ đơn vị có chung điểm đầu gốc tọa độ O Có phép quay R chuyển vectơ n thành vectơ n’ giả sử phép quay vectơ đơn vị sở ei chuyển thành e' Các phép quay góc φ quanh trục n n’ ký i hiệu Cn(φ) Cn’(φ) Trong hệ tọa độ với vectơ đơn vị sở e' phép quay Cn’(φ) i có yếu tố ma trận giống hệt yếu tố má trận phép quay Cn(φ) hệ tọa độ với vectơ đơn vị sở ei Nói khác đi, C n(φ) ei=ej A ji C n' (φ) ei '=ej ' A ji Thay e ' = R ei i vào hệ thức (4) Cn’ (φ) R ei = Rej Aji nhân hai vế với R-1 từ bên trái, ta thu R-1Cn’ (φ) Rei = ej Aji So sánh với hệ thức (3), ta suy R-1Cn’ (φ) R = Cn(φ) 5/8 Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều Cn’(φ) = RCn(φ)R-1 Ta viết lại hệ thức sau CRn (φ)=RCn (φ)R -1 Vậy CRn (φ) Cn (φ) hai yếu tố liên hợp với nhóm SO(3) Bây bẳng lập luận tổng quát thiết lập biểu thức phép quay Cn(δφ) góc vô bé δφ quanh trục quay hướng theo vectơ đơn vị n phép gần cấp theo δφ Ta đặc trưng phép quay góc δφ quanh trục quay hướng theo vectơ n vectơ δφ có giá trị δφ hướng theo trục quay, δφ = nδφ Ma trận Cn (δφ) phải quy ma trận đơn vị I đặt δφ = 0, có dạng Cn (δφ) = I + X (δφ) Trong ma trận X (δφ) đại lượng bé cấp theo δφ Bỏ qua số hạng cấp 2, ta có [Cn(δφ)] −1 = I − X(δφ) Mặt khác T [Cn(δφ)] = I + [X(δφ)] T Từ điều kiện ma trận Cn( δφ) ma trận trực giao T [Cn(δφ)] = [Cn(δφ)] −1 suy ma trận X (δφ) phải ma trận phản đối xứng T [X(δφ)] = − X(δφ) T Ta thấy số chín yếu tố ma trận X (δφ) ba yếu tố chéo phải không [X(δφ)]ii = sáu yếu tố không nằm đường chéo chia thành ba cặp, cặp gồm hai yếu tố độ lớn ngược dấu nhau, 6/8 Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều [X(δφ)]ij = − [X(δφ)]ji,i ≠ j Vậy ma trận X( δφ) chứa ba thông số độc lập Ta chọn ba thàn phần δφk, k = 1, 2, 3, vectơ δφ làm ba thông số độc lập viết X( δ φ) = - i δ φ S = - i δ φ k S k Sk, k = 1, 2, 3, ba ma trận phản đối xứng x độc lập tuyến tính với Ta đưa them đơn vị ảo –i vào công thức vừa viết thuận tiện sau Vì yếu tố ma trậ X( δφ) phải số thực yếu tố ma trận ma trận Sk phải số ảo Từ biểu thức vừa viết Cn (δφ) X (δφ) suy phép quay góc vô bé δφ quanh trục Ox, Oy, Oz có ma trận sau Cx (δφ)= I - i δφ S1 Cy (δφ)= I - i δφ S2 Cz (δφ)= I - i δφ S3 Các ma trận Sk, k = 1, 2, 3, gọi vi tử phép quay quanh ba trục tọa độ Ta lại biết biểu thức (1a) - (1c) phép quay Cx( φ), Cy( φ), Cz( φ) với góc quay φ Dùng biểu thức thay φ δφ vô bé giữ lại số hạng cấp theo δφ, ta suy [ [ [ Cx(δφ)= Cy(δφ)= 0 δφ 1 δφ −δφ 1 ] ] ] −δφ , −δφ , Cz(δφ)= δφ , 0 7/8 Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều So sánh biểu thức với công thức biểu diễn ma trận Cx( δφ), Cy( δφ) Cz( δφ) qua vi tử S1, S2, S3 mà ta viết trên, ta thu [ ] [ ] [ ] 0 S1 = 0 −i i 0 i S2 = 0 −i 0 −i S3 = i 0 0 Dễ thử lại ba ma trận S1, S2, S3 thỏa mãn hệ thức giao hoán sau [S1,S2]= i S3, [S2,S3]= i S1, [S3,S1]= i S2 dạng thu gọn [Si,Sj]= i εijk Sk, Trong εijk tenxơ hoàn toàn phản đối xứng hạng không gian ba chiều, với ε123 = 8/8 ... φ ] ] 3/8 Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều Xét nhóm quay không gian ba chiều SO(3) Mọi phép quay không gian ba chiều quanh gốc tọa độ O thực dạng tổ hợp ba phép quay liên... Cx( θ), ta thu O (ψ, θ, φ) = 4/8 Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều Các góc ψ φ thay đổi từ đến π, góc θ thay đổi từ đến π Nhóm SO(3) nhóm Lie ba thông số Trong đoạn trước ta... (δφ) ba yếu tố chéo phải không [X(δφ)]ii = sáu yếu tố không nằm đường chéo chia thành ba cặp, cặp gồm hai yếu tố độ lớn ngược dấu nhau, 6/8 Nhóm SO(3) phép quay không gian Euclide thực ba chiều