Nhóm SU(2) các biến đổi unita với định thức bằng 1 trong không gian euclide phức 2 chiều

Nhóm SU(2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều Nhóm SU(2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Trong đoạn khảo sát chi tiết nhóm SU(2) biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng có định thức không gian Euclide phức hai chiều Nhiều công thức số lập luận trình bày thường hay áp dụng nghiên cứu vấn đề nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử Trong hệ vectơ đơn vị sở giao chuẩn hoa smooix phép biến đổi thuộc nhóm SU(2) diễn tả ma trận x unita U U+ = U-1, Và có định thức bẳng 1, det U = Yếu tố đơn vị nhóm ma trận đơn vị I Yếu tố có ma trận U-1 nghịch đảo yếu tố có ma trận U Để tìm tham số độc lập vi tử tương ứng ta xét biến đổi vô gần yếu tố đơn vị, nghĩa phép biến đổi mà ma trận có dạng U( δαi) = I – i X ( δαi), Trong ma trận X( δαi) đại lượng cấp tham số thực vô bé δαi Bỏ qua số hạng cấp 2, ta có [U(δαi)]-1 = I + i X ( δαi), 1/9 Nhóm SU(2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều Mặt khác, [U(δαi)]+ = I + [X(δαi)]+ Từ điều kiện ma trận U( δαi) phải ma trận unita U( δαi)-1 = [U(δαi)]+ suy ma trận X ( δαi) phải tự liên hợp, nghĩa X ( δαi)+ = X ( δαi) Do hai yếu tố chéo ma trận X ( δαi) phải hai số thực [X(δαi)]jj = [X(δαi)]jj, j = 1, Còn hai yếu tố không chéo ma trận phải liên hợp phức với [X(δαi)]12 = [X(δαi)]21 Nếu không đặt thêm điều kiện khác ma trận tự liên hợp X ( δαi) chứa bốn tham số thực độc lập với Nhưng ta có điều kiện định thức U( δαi) phải Bỏ qua số hạng cấp cao ta có det [U(δαi)] = – i Tr [X(δαi)] Vậy ma trận X ( δαi) phái có vết không Tr [X(δαi)] = hai yếu tố chéo phải có độ lớn ngược dấu Tóm lại, ma trận x tự liên hợp có vết không X ( δαi) biểu diễn qua bat ham số thực độc lập vo bé δαi, i = 1, 2, ta có U ( δαi) = I – i δαisi = I – i δα ⋅ s Trong vi tử si, i = 1, 2, ma trận x tự liên hợp độc lập tuyến tính có vết không, δαlà vectơ ba chiều với thành phần δαi, s ma trận vectơ ba chiều với thành phần si Để cho sau thuận tiện ta chọn ma trận si ma trận Pauli σi nhân với 12 : 2/9 Nhóm SU(2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều si = 12 σi σ1= [ ] [ ] [ ] 1 , σ2= −i i , σ3= 0 -1 Dễ thử lại ma trận Pauli có bình phương ma trận đơn vị σ21 = σ22 = σ23 = I , hai ma trận Pauli khác phản giao hoán với có tích σ1σ2 = - σ2σ1 = iσ3, σ2σ3= - σ3σ2 = i σ1, σ3σ1 = - σ1σ3 = i σ2 Các hệ thức bình phương ma trận Pauli tích hai ma trận Pauli khác viết gộp lại sau σiσj = δijI + iεijkσk Từ suy hệ thức giao hoán [σi,σj] = 2iεijkσk Chia ma trận σi cho ta ma trận si thỏa mãn hệ thức giao hoán giống hệ thức giao hoán vi tử Si nhóm SO(3), cụ thể [si,sj] = iεijksk Coi ma trận si, i = 1, 2, yếu tố giao hoán tử [si,sj] tích hai yếu tố si sj, ta thiết lập đại số Lie nhóm SU(2) Ta thấy đại số Lie nhóm SO(3) thành lập Sau thu biểu thức biến đổi U( δαi) gần yếu tố đơn vị, với tham số vô bé δαi, mở rộng lập luận để thiết laapjbieeru thức phép biến đổi U( αi) nhóm SU(2) phụ thuộc vào tham số thực αi , có giá trị hữu hạn Ta thấy có ba tham số độc lập Trước hết ta ý ma trận unita U( αi) viết dạng U(αi) = e −iX (αi), Trong X( αi) ma trận tự liên hợp + [X(αi)] = X(αi) 3/9 Nhóm SU(2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều Làm phép biến đổi thích hợp hệ tọa độ để đưa ma trận tự liên hợp X( αi) dạng chéo, ta chứng minh định thức ma trận U( αi) biểu diễn qua vết ma trận X(αi)như sau det[U(αi)] = e [ ( )] − 1Tr X αi Từ điều kiện định thức U( αi) phải suy vết ma trận X( αi) phải không [X(αi)] = Vì có ba ma trận x độc lập tuyến tính, tự liên hợp có vết không, ma trận x tự liên hợp có vết không X( αi) phụ thuộc vào ba tham số thực αi , i = 1, 2, viết sau [X(αi)] = 12 αiσi = 12 ασ Vậy ma trận phép biến đổi thuộc nhóm SU(2) có dạng tổng quát 1 U( αi) = e − αiσi = e − ασ Xét trường hợp mà có tham số αk ba tham số α1, α2, α3 khác không, hai tham số không Ta có U( αk = φ,αi ≠ k = 0) = U (k)( φ) = e − ϕσk Khai triển hàm mũ thành chuỗi lũy dùng tính chất δ k = 1, ta thu n − 1) U(k)( φ) = ∑n∞= ((2n)! ( φ2 ) 2n n ( − 1) φ - i σk∑n∞= (2n + 1)! ( ) 2n + = cos φ - i σk sin φ2 Với k = 1, ta có 4/9 Nhóm SU(2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều Còn với k = Mỗi loạt phép biến đổi U(k)( φ) với k cố định tạo thành nhóm tham số nhóm SU(2) Các ma trận U(k)( φ) hàm khả vi φ nhóm SU(2) nhóm Lie Bây ta quay lại yếu tố có dạng tổng quát U (αi) ký hiệu n vectơ đơn vị hướng theo vectơ α α n = α Dùng hệ thức viết tích ma trận Pauli, dễ thử lại (σn) = 1 Khai triển hàm mũ e − α(σn) thành chuỗi lũy thừa, ta lại thu n − 1) U( αi) = ∑n∞= ((2n)! ( α2 ) 2n n ( − 1) α - i (σn)∑n∞= (2n + 1)! ( ) 2n + = cos α - i σk sin α Vậy biểu thức sau yếu tố nhóm SU(2) U( αi) = cos α α - i σα α sin Các ma trận thuộc nhóm SU(2) có định thức Nếu ta không đòi hỏi định thức ma trận x phép biến đổi unita phải ta có nhóm U(2) Bây ma trận X( αi) không thiết phải có vết không phụ thuộc bốn tham số, ba tham số thành phần vectơ ba chiều αđã xét tham số α0 Ma trận x 5/9 Nhóm SU(2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều tự liên hợp ( αi) phụ thuộc bốn tham số biểu diễn qua bốn ma trận x tự liên hợp độc lập tuyến tính ba ma trận Pauli σi, i = 1, 2, ma trận đơn vị I ký hiệu σ0, X( αi) = 12 α0σ0 + 12 ασ Ngoài ba nhóm tham số gồm biến đổi U(k)( φ) xét ta có thêm nhóm tham số nhóm U(1) với phép biến đổi U(0) ( φ) = e − φ Các biến đổi giao hoán với biến đổi nhóm SU(2) nhóm U(2) tích trực tiếp nhóm U(1) nhóm SU(2) U(2) = U(1) ⊗SU(2) Bây ta dẫn số công thức ma trận Pauli mà ta thường dùng nghiên cứu vấn đề thuộc nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử Trước hết ta ý vết ma trận Pauli không Tr ( σi) = (σi)αα = tích hai ma trận Pauli có vết Tr ( σiσj) = (σi)αβ(σi)βα= δij Ba ma trận Pauli σivà ma trận đơn vị I tạo thành bốn ma trận n x n độc lập tuyến tính Mọi ma trận x triển khai theo bốn ma trận sau Aαβ = A0δαβ + Ai(σi)αβ = A0δαβ + A (σ)αβ, α,β = 1, A = A I + A i σi = A I + A σ Lấy vết hai vế hệ thức trên, ta có 1 A0 = Aαα = Tr(A) Còn nhân hai vế hệ thức với σk xong lấy vết ta thu 1 Ak = Aαβ(σk)βα = Tr(Aσk) 6/9 Nhóm SU(2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều 1 A = Aαβ(σ)βα = Tr(Aσ) Các ma trận σ1 σ3là đối xứng ( σ1)T = σ1, ( σ3)T = σ3 nghĩa (σ1)αβ = (σ1)βα, (σ3)αβ = (σ3)βα, ma trận σ2là phản đối xứng ( σ2)T = - σ2, nghĩa (σ2)αβ = - (σ2)βα Từ tính chất đối xứng phản đối xứng cá ma trận Pauli tính chất phản giao hoán ma trận Pauli khác suy hệ thức σ2σiσ2 = − σTi Nhân hai vế hệ thức với σ2 từ bên phải từ bên trái thực phép tính toán thích hợp tiếp theo, ta có T σ2σi = − σTi σ2 = σTi σT2 = (σ2σ1) , T σiσ2 = − σ2σTi = σT2 σTi = (σiσ2) Vậy ma trận σ2σi σiσ2là ma trận đối xứng, (σ2σi)T = ( σ2σi), ( σiσ2)T = ( σiσ2), nghĩa (σ2σi)αβ= (σ2σi)βα, (σiσ2)αβ= (σiσ2)βα, So sánh kết vừa thu nhóm SU(2) kết trình bày nhóm quay SO(3), ta thấy có tương tự: hai nhóm nhóm Lie bat 7/9 ⇒ Nhóm SU(2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều ham số, vi tử chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán giống hệt Ta chứng minh nhóm SO(3) đồng cấu với nhóm SU(2) Xét vectơ r không gian ba chiều Từ ba thành phần r1 = x, r2 = y, r3 = z vectơ ta lập ma trận R sau Dùng tính chất ma trận Pauli σi mà ta trình bày trên, dễ thấy thành phần vectơ r biểu diễn ngược lại qua ma trận R sau ri = Tr(Rσi) r = Tr(Rσ) Tính định thức ma trận R, ta thu det R = - r Cho U yếu tố nhóm SU(2) xét phép biến đổi tuyến tính sau ma trận R R → R ’ = U RU + Ký hiệu vectơ không gian ba chiều tương ứng với ma trận R’ r’: R ’ = r’ σ Trong phép biến đổi R thành R’, vectơ r chuyển thành r’ R → R’ r → r’ Ta ký hiệu phép biến đổi không gian ba chiều O, r ’ = O r, thiết lập tương ứng yếu tố U nhóm SU(2) với phép biến đổi O không gian ba chiều U → O 8/9 Nhóm SU(2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều Trước hết, ta chứng minh phép biến đổi O bảo toàn chiều dài vectơ không gian ba chiều Thực vậy, ta có r ’2 = - det R ’ = - det(U RU +) = - (detU) (det R) (det U +) = - det R = r Vậy O phép quay tổ hợp phép quay phép nghịch đảo / phép phản xạ gương Dùng biểu thức cho yếu tố U (k)(φ), k = 1, 2, 3, nhóm tham số nhóm SU(2) thực phép nhân ma trận để tìm ma trận U (k)( φ ) RU (k) ( φ ) + ta thu ma trận phép biến đổi biến đổi O tương ứng không gian ba chiều Kết ta có tương ứng sau yếu tố U (k)( φ), k = 1, 2, phép quay Cx (φ), Cy (φ), Cz (φ),: U(1) (φ) → Cx (φ), U(2) (φ) → Cy (φ), U(3) (φ) → Cz (φ) Dễ thử lại tương ứng nói yếu tố hai nhóm bảo toàn phép nhân nhóm Vậy ta thiết lập đồng cấu nhóm SU(2) lên nhóm SO(3) Chú ý tat hay U –U ta phép quay O Vậy phép đồng cấu nhóm SU(2) lên nhóm SO(3) hai yếu tố trái dấu nhóm SU(2) tương ứng với yếu tố nhóm SO(3) Nhóm SO(3) đồng cấu không đẳng cấu với nhóm SU(2) 9/9 ... ) 2n + = cos φ - i σk sin 2 Với k = 1, ta có 4/9 Nhóm SU (2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều Còn với k = Mỗi loạt phép biến đổi U(k)( φ) với k cố định tạo thành nhóm. .. O không gian ba chiều U → O 8/9 Nhóm SU (2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều Trước hết, ta chứng minh phép biến đổi O bảo toàn chiều dài vectơ không gian ba chiều Thực... (σi 2) αβ= (σi 2) βα, So sánh kết vừa thu nhóm SU (2) kết trình bày nhóm quay SO(3), ta thấy có tương tự: hai nhóm nhóm Lie bat 7/9 ⇒ Nhóm SU (2) biến đổi unita với định thức không gian Euclide phức chiều