Khái niệm về nhóm

Khái niệm nhóm Khái niệm nhóm Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Định nghĩa nhóm Tập hợp G yếu tố a, b, c,… gọi nhóm có tính chất sau đây: 1) Trên tập hợp G tồn phép tính gọi phép nhân nhóm Phép tính đặt tương ứng với cặp hai yếu tố a b tập hợp G yếu tố c thuộc tập hợp này, gọi tích a ba ký hiệu ab : a ∈ G, b ∈ G tendsto: args.ab = c ∈ G 2) Phép nhân nhóm có tính chất kết hợp, nghĩa với yếu tố a, b, c tập hợp G ta có (ab) c = a (bc) 3) Trân tập hợp G tồn yếu tố e, gọi yếu tố đơn vị, mà với yếu tố a ∈ G ta luôn có ea=ae=a 4) Với yếu tố a ∈ G có yếu tố (a−1) ∈ G , gọi nghịch đảo a, cho a -1a = a a -1 = e Do tính chất kết hợp phép nhân ta viết 1/6 Khái niệm nhóm Các định nghĩa khác Nếu phép nhân nhóm G có tính chất giao hoán, nghĩa với cặp yếu tố a ∈ G, b ∈ G ta luôn có hệ thức a b = b a, nhóm G gọi nhóm giao hoán hay nhóm Abel Nếu nhóm G có số hữu hạn yếu tố khác nhóm gọi nhóm hữu hạn, số lượng yếu tố khác gọi cấp nhóm Trong trường hợp ngược lại, nhóm G có vô số yếu tố khác nhau, gọi nhóm vô hạn Với nhóm hữu hạn ta trình bày quy tắc phân nhóm cách cụ thể dạng bảng nhân nhóm thiết lập sau Ta kẻ bảng vuông với số số cột số yếu tố nhóm Ở phía trái bảng, đầu hang, bảng, đầu cột, ta ghi tất yếu tố khác nhóm theo thứ tự g1, g2, …, gn Sau ô chung hang thứ j cột thứ j ta ghi yếu tố tích gjgi Nhìn bảng phân nhóm ta thấy quy tắc nhân nhóm cặp yếu tố Bảng nhân nhóm Nếu nhóm G có tập hợp yếu tố a1, a2, …, an với tính chất sau đây: yếu tố nhóm G viết dạng tích mà thừa số yếu tố (một yếu tố dùng làm thừa số nhiều lần), ta nói nhóm G 2/6 Khái niệm nhóm sinh yếu tố a1, a2, …, an, yếu tố gọi yếu tố sinh Nhóm hữu hạn sinh yếu tố a, nghĩa gồm yếu tố có dạng a, a2, …, an = e, gọi nhóm vòng Nếu yếu tố nhóm G hàm liên tục thông số hoàn toàn xác định giá trị thông số này, nhóm G gọi nhóm liên tục Ta quy ước thông số biến số độc lập Nếu yếu tố nhóm liên tục G hàm khả vi thông số độc lập, nhóm G gọi nhóm Lie Từ định nghĩa nhóm phát biểu suy số mệnh đề sau Mỗi nhóm có yếu tố đơn vị Nghịch đảo tích hai yếu tố tích nghịch đảo chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa (a b)-1 = b-1 a-1 Mỗi yếu tố nhóm có yêu tố nghịch đảo Định nghĩa yếu tố liên hợp Yếu tố a nhóm G gọi liên hợp với yếu tố b nhóm có yếu tố c G mà a c a-1 = b Có thể chứng minh quan hệ liên hợp quan hệ tương đương, nghĩa 1o) Nếu a liên hợp với b b liên hợp với a (tính chất đối xứng) 2o) Yếu tố a liên hợp với (tính tự liên hợp) 3o) Nếu a liên hợp với b, b liên hợp với c a liên hợp với a (tính chuyển tiếp) Lớp yếu tố liên hợp Vì mối quan hệ liên hợp quan hệ tương đương tất yếu tố nhóm G liên hợp với yếu tố xác định liên hợp với nhau, ta chia nhóm G thành tập hợp mà tất yếu tố tập hợp liên hợp với Mỗi tập hợp yếu tố liên hợp với nhóm G gội 3/6 ⇒ Khái niệm nhóm lớp yếu tố liên hợp Chú ý hai lớp khác yếu tố chung cả, nghĩ không giao Định nghĩa nhóm Một tập hợp G1 nhóm G gọi nhóm nhóm G phép nhân nhóm G tập hợp G1 tạo thành nhóm, nghĩa G1 thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) Nếu a b hai yếu tố G1 tích ab yếu tố G1: a ∈ G1 ,b ∈ G1implies: args a b ∈ G1 Ta nói tập hợp G1 kín phép nhân nhóm: G1G1 G1 2) Tập hợp G1 chứa yếu tố đơn vị e nhóm G: e ∈ G1 3) Nếu a yếu tố G1 a-1 yếu tố G1: a ∈ G1 a -1 in: args.G Ta nói tập hợp G1 kín phép nghịch đảo: G−11 G1 Dễ thấy từ điều kiện 1) 3) suy điều kiện 2) Thực vậy, lấy yếu tố tùy ý a tập hợp G1 Theo điều kiện 3) ta có a ∈ G1 ⇒ a -1 in: args G1 Theo điều kiện 1) a ∈ G1 , a -1 in: args G1 ⇒ e = a a -1 in: args G1 Đó điều kiện 2) Chú ý phép nhân nhóm G1 chắn có tính chất kết hợp, phép nhân nhóm G 4/6 Khái niệm nhóm Định nghĩa tích trực tiếp hai nhóm Cho hai nhóm G1 G2 hoàn toàn độc lập với nhau, với yếu tố a1, b1, c1, … G1 a2, b2, c2, … G2 Xét tập hợp G1 ⊗ G2 mà yếu tố cặp {a1,a2}, {b1,b2}, {c1,c2} , … gồm hai yếu tố hai nhóm Ta định nghĩa tích hai yếu tố G1 ⊗ G2 nhau: {a1,a2}{b1,b2} = {a1b1,a2b2} Gọi e1 e2 hai yếu tố đơn vị G1 G2, a1-1 a2-1 hai yếu tố nghịch đảo a1 a2 G1 G2 Ta coi yếu tố đơn vị G1 ⊗ G2, {a1-1 a21} yếu tố nghịch đảo {a1, a2}trong G1 ⊗ G2 Tập hợp G1 ⊗ G2 với phép nhân nhóm, với yếu tố đơn vị yếu tố nghịch đảo định nghĩa tạo thành nhóm, gọi tích trực tiếp G1 ⊗ G2 hai nhóm cho Tính chất kết hợp phép nhân G1 ⊗ G2 suy từ tính chất kết hợp phép nhân nhóm G1 G2 Có nhóm mà yếu tố có chất khác phép tính toán dóc độ yếu tố nhóm lại tương tự Sự tương tự phát biểu sau Định nghĩa đồng cấu đẳng cấu Nhóm G1 gọi đồng cấu với nhóm G2 có phép tương ứng yếu tố a1, b1, c1… G1 với yếu tố a2, b2, c2… G2, G1 ∋ a1 → a2 ∈ G2 , Sao cho ứng với yếu tố a1 in: args G1 có yếu tố a2 in: args G2 gọi ảnh hưởng a1 G2, yếu tố a2 in: args G2 ảnh hưởng yếu tố a1 in: args G1, phép tương ứng bảo toàn phép nhân nhóm, nghĩa tương ứng với a1 in: args G1 có a2 in: args G2, tương ứng b1 in: args G1 có b2 in: args G2 , tương ứng có a1b1 in: args G1 , có a2b2 in: args G2 : Nếu tương ứng nói theo hai chiều, nghĩa yếu tố a2 in: args G2 ảnh hưởng yếu tố a1 in: args G1, có phép tương ứng ngược lại G2 ∋ a2 → G1 ∈ a1 5/6 Khái niệm nhóm gọi có phép tương ứng chiều G1 ∋ a1↔a2 ∈ G2 ta gọi hai nhóm G1 G2 đẳng cấu Từ điều kiện bảo toàn phép nhân nhóm suy ảnh hưởng yếu tố đơn vị e1 G1 phải yếu tố đơn vị e2 G2, ảnh hưởng hai yếu tố nghịch đảo với a1 a2-1 G2 Về phương diện cấu trúc đại số hai nhóm đẳng cấu có cấu trúc đại giống hệt xem nhóm, nghĩa ta không phân biệt nhóm đẳng cấp với ta quan tâm đến cấu trúc đại số chúng 6/6 .. .Khái niệm nhóm Các định nghĩa khác Nếu phép nhân nhóm G có tính chất giao hoán, nghĩa với cặp yếu tố a ∈ G, b ∈ G ta luôn có hệ thức a b = b a, nhóm G gọi nhóm giao hoán hay nhóm Abel Nếu nhóm. .. tố khác nhóm gọi nhóm hữu hạn, số lượng yếu tố khác gọi cấp nhóm Trong trường hợp ngược lại, nhóm G có vô số yếu tố khác nhau, gọi nhóm vô hạn Với nhóm hữu hạn ta trình bày quy tắc phân nhóm cách... lần), ta nói nhóm G 2/6 Khái niệm nhóm sinh yếu tố a1, a2, …, an, yếu tố gọi yếu tố sinh Nhóm hữu hạn sinh yếu tố a, nghĩa gồm yếu tố có dạng a, a2, …, an = e, gọi nhóm vòng Nếu yếu tố nhóm G hàm