Khái niệm về biểu diễn nhóm

Khái niệm biểu diễn nhóm Khái niệm biểu diễn nhóm Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Định nghĩa biểu diễn nhóm Cho nhóm G gồm yếu tố e, a, b, c,… mà chất tùy ý nhóm T phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ L Ta gọi nhóm T phép biến đổi không gian L biểu diễn nhóm G có phép đồng cấu nhóm G lên nhóm T, nghĩa ứng với yếu tố a, b, c,… nhóm G có phép biến đổi T(a), T(b), T(c),… nhóm T mà tương ứng bảo toàn phép nhân nhóm: Ta nói có biểu diễn nhóm G không gian L không gian L thực biểu diễn T nhóm G Thứ nguyên không gian L gọi thứ nguyên biểu diễn T Ma trận phép biến đổi T(a) hệ sở không gian L ký hiệu T(a) Từ định nghĩa suy tính chất sau 1) Ứng với yếu tố đơn vị e nhóm G phép biến đổi đồng I khong gian L: T(e) = I Thực vậy, ta có Với ∀ lacks bvar a in: args G Nhưng ae = ea = a, T(ae) = T(ea) = T(a) Vậy T(a), T(e) = T(e), T(a) = T(a), 1/9 Khái niệm biểu diễn nhóm biến đổi T(e) phải yếu tố đơn vị nhóm T 2) Biến đổi T(a -1) ứng với yếu tố nghịch đảo a -1 a nghịch đảo biến đổi T(a) ứng với yếu tố a: T(a -1) = [T(a)] -1 Thực vậy, Với ∀ ain: args.G Nhưng aa -1 = a -1a = e, T(a) T(a -1) = T(a -1) T(a) = T(e) = I Vậy biến đổi T(a -1) phải nghịch đảo [T(a)]-1 T(a) Ta biết nhóm SU(2) đồng cấu với nhóm SO(3) Ta thấy biến đổi nhóm SO(3) tạo thành biểu diễn nhóm SU(2) Trong vật lý người ta mở rộng khái niệm biểu diễn coi nhóm SU(2) biểu diễn nhóm quay SO(3) Trong trường hợp ứng với yếu tố nhóm SO(3) có hai biến đổi khác thuộc nhóm SU(2) Ta nói nhóm SU(2) biểu diễn lưỡng trị nhóm SO(3) Mỗi nhóm có nhiều biểu diễn, có biểu diễn tương đương với theo định nghĩa sau Định nghĩa biểu diễn tương đương Cho hai biểu diễn T(1) T(2) nhóm G hai không gian vectơ L1 L2 Hai biểu diễn gọi tương đương với hai không gian vectơ L1 L2 có phép ánh xạ tuyến tính đơn giá theo hai chiều X : L → L 2, X-1 : L2 → L1 (ứng với vectơ L1 có vectơ L2 ứng với vectơ L2 có vectơ L1) mà với yếu tố a nhóm G hai phép biến đổi tuyến tính T(1)(a) vàT(2)(a) liên hệ với công thức 2/9 Khái niệm biểu diễn nhóm Các biểu diễn tương đương có giống sâu sắc diễn tả mệnh đề Mệnh đề Nếu T (1) T (2) hai biểu diễn tương đương ta chọn hai vectơ sở hai không gian vectơ L L thực hai biểu diễn để yếu tố ma trận phép biến đổi T (1) (a) T (2) (a) hoàn toàn trùng với a G Do nghiên cứu biểu diễn nhóm ta không phân biệt biểu diễn tương đương với coi tất biểu diễn tương đương với biểu diễn Không gian L thực biểu diễn T nhóm G lớn bao gồm không gian bất biến L1 theo nghĩa sau Tất phép biến đổi T(a) với aG tác dụng lên vectơ L1 cho kết vectơ hoàn toàn nằm L1: ∀ aG, ∀ r1L1 : T(a)r1L1 Khi phép biến đổi T(a) xem phép biến đổi T1(a) không gian L1 T1(a) r1đn T(a)r1, ∀ r1L1 ? ? Các phép biến đổi T1(a) ứng với tất yếu tố a nhóm G tạo thành biểu diễn T1 nhóm không gian L1 Ta nói không gian bất biến L1 biểu diễn T quy biểu diễn T1, có định nghĩa sau đây, Định nghĩa biểu diễn khả quy biểu diễn tối giản Cho biểu diễn T nhóm G không gian vectơ L Nếu L có không gian L1 bất biến tất phép biến đổi T(a) biểu diễn T, với yếu tố a nhóm G, ta nói T biểu diễn khả quy Trong trường hợp ngược lại không gian L không gian bất biến tất phép biến tất phép biến đổi T(a), trừ hai không gian tầm thường không gian L không gian không, ta nói T biểu diễn tối giản Xét biểu diễn khả quy T không gian n chiều L, có không gian bất biến m chiều L1, m < n Không gian L tổng không gian L1 không gian (n – m) chiều L2 3/9 Khái niệm biểu diễn nhóm L = L1 + L2 Không gian L2 không gian bất biến, mà không gian bất biến Gọi e1, e2, …, en hệ vectơ sở L1, em+1, em+2, …, en hệ vectơ sở L2 Ta chọn vectơ làm hệ vectơ sở L xét tác dụng phép biến đổi T(a) lên vectơ Ký hiệu yếu tố ma trận Tij (a), ta có Với i m tất vectơ T(a)ei nằm L1, vế phải công thức (2) vừa viết có vectơ ej với j m Vậy Tji (a) = jm j > m, nghĩa ma trận T(a) biểu diễn khả quy xét phải có dạng sau đây: Tất yếu tố ma trận nằm ô bên trái phía phải không Giả sử không gian L2 lại không gian bất biến Khi đó, với ei mà i > m, tất vectơ T(a)ei nằm L2 biểu thức khai triển vectơ theo ej chứa vectơ ej với j ≤ m Vậy Tji (a) = Nếu i >m jm, nghĩa ma trận T(a) có dạng 4/9 Khái niệm biểu diễn nhóm Trên hai không gian bất biến L1 L2 biểu diễn T quy hai biểu diễn T(1) T(2) gồm phép biến đổi hoàn toàn độc lập với Nếu biểu diễn hai biểu diễn khả quy, nghĩ L1 lẫn L2 không gian số hai không gian lại chứa không gian bất biến, ta lặp lại lập luận Nếu lần không gian thực biểu diễn khả quy tách thành hai không gian bất biến vừa trình bày trên, tiếp tục tách không gian tách ta đến kết cuối sau đây: Không gian vectơ L tách thành không gian bất biến L1, L2, …, Lf mà không gian Li biểu diễn T quy biểu diễn tối giản T(i) Ta đến định nghĩa sau Định nghĩa biểu diễn hoàn toàn khả quy Biểu diễn T nhóm G không gian vectơ L gọi hoàn toàn quy L tổng không gian bát biến L1, L2, …, Lf mà không gian L i biểu diễn T quy biểu diễn tối giản T(i) Ma trận biến đổi T(a) biểu diễn hoàn toàn khả quy có dạng tổng quát sau đây, gọi dạng chéo ô, ô chéo ma trận biểu diễn tối giản, tất ô không chéo có yếu tố ma trận không Giả sử không gian vectơ L thực biểu diễn T nhóm G không gian Euclide phức mà ta có định nghĩa tích vô hướng hai vectơ dạng song tuyến tính xác định dương thành phần cac vectơ (tuyến tính vectơ phản tuyến tính vectơ kia) Biết tích vô hướng hai vectơ bát kỳ, ta định nghĩa hai vectơ trực giao với Cho không gian L1 L Tất vectơ L trực giao với L1 tạo thành khong gian L2 gọi phần phụ trực giao L1 Không gian L tổng L1 L2 Ta viết L = L1⊕L2 Biết tích vô hướng hai vectơ bất kỳ, ta định nghĩa toán tử unita toán tử thực phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng tất vectơ Có toán tử unita, ta định nghĩa biểu diễn unita 5/9 Khái niệm biểu diễn nhóm Định nghĩa biểu diễn unita Biểu diễn T nhóm G không gian Euclide phức L gọi biểu diễn unita với tất yếu tố a nhóm G tất phép biến đổi T(a) toán tử unita: [T(a)]+ = [T(a)]-1, ∀ ain: args.G Các biểu diễn unita có tính chất đặc biệt sau Trong không gian L thực biểu diễn unita T nhóm G phần phụ trực giao L không gian bất biến L T(a) L1L1, ∀ ain: args.G L = L1⊕L2, không gian bất biến, T(a) L2L2, ∀ ain: args.G, Mọi biểu diễn unita khả quy hoàn toàn khả quy Có thể chứng minh biểu diễn nhóm hữu hạn tương đương với biểu diễn unita Trong giáo trình xét biểu diễn unita không thật cần thiết ta không nhắc đến từ unita Biểu diễn nhóm Lie Xét trường hợp G nhóm Lie mà yếu tố a xác định n tham số độc lập αjcó thể nhận giá trị thực thay đổi liên tục, yếu tố đơn vị yếu tố mà tất tham số αjcó giá trị không Xét biểu diễn T nhóm Lie không gian vectơ L Ứng với yếu tố nhóm mà tham số độc lập có giá trị αj ta có toán tử T( α1,α2, ,αs) mà yếu tố ma trận hệ vectơ sở không gian L hàm khả vi tham số α1,α2, ,αs Khi tất tham số không toán tử T( α1,α2, ,αs) hoán tử đơn vị: T(0, 0, …,0) = I Xét toán tử T( α1,α2, ,αs) ứng với cá giá trị vô bé tham số độc lập αj Chỉ giữ lại số hạng cấp bỏ qua số hạng cấp cao hơn, ta viết T(α1,α2, ,αs) ≈ I + ∑nj = ∂ T(α1,α2, ,αs) ∂ αj ∣α = = αs = α j 6/9 Khái niệm biểu diễn nhóm Đặt Các toán tử gọi vi tử biểu diễn T nhóm Lie G không gian L Biểu diễn nhóm Lie biểu diễn đại số Lie Cho nhóm Lie G phép biến đổi tuyến tính T( α1,α2, ,αs) phụ thuộc s tham số độc lập α1,α2, ,αscủa không gian vectơ V giả sử có biểu diễn nhóm không gian vectơ V’, nghĩa có nhóm Lie G’ phép biến đổi T’( α1,α2, ,αs) không gian V’ phép đồng cấu G lên G’ T( α1,α2, ,αs) → T’( α1,α2, ,αs) Ký hiệu Xivà X'i, i = 1, 2, …, s vi tử nhóm biến đổi G G’ Phép đồng cấu G lên G’ kéo theo phép ánh xạ đại số Lie vi tử Xi lên đại số Lie vi tử X'i, Xi → X'i, i = 1, 2, …, s mà ứng với vi tử X'i chí có vi tử Xicó ảnh X'i Xét yếu tố nhóm G Trong phép đồng cấu G lên G’ yếu tố có ảnh yếu tố Vì hai yếu tố (8) (9) biểu diễn giống qua giao hoán tử [Xi,Xj] [X'i,X'j], theo thứ tự, gio hóa tử [Xi,Xj] có ảnh giao hoán tử [X'i,X'j]: 7/9 ∀ ∈ ⋅ Khái niệm biểu diễn nhóm Vậy phép đồng cấu nhóm G lên nhóm G’ có hệ phép đẳng cấu đại số Lie vi tử Xi nhóm G đại số Lie vi tử [X'i,X'j] nhóm G’ Áp dụng đẳng cấu cho trường hợp nhóm Lie phép biến đổi biểu diễn ta nói đại số Lie vi tử biểu diễn nhóm Lie G phép biến đổi không gian vectơ đẳng cấu với đại số Lie nhóm G Các định lý biểu diễn tối giản Các biểu diễn tối giản có tính chất sau Bổ đề Shur Nếu không gian L thực biểu diễn tối giản T nhóm G có toán tử A khác không giao hoán với tất toán tử T(a)của biểu diễn T, a G , toán tử A phải bội toán tử đơn vị A=α⋅I Trong trường hợp G nhóm Lie, T biểu diễn với vi tử X i ,i=1,2,…,s, Bổ để Shur nhóm Lie Nếu không gian L thực biểu diễn tối giản T nhóm G có toán tử A khác không giao hoán với tất cá toán tử A khác không giao hoán với tấ vi tử X i , i = 1, 2, …, s biểu diễn T, toán tử A phải bội toán tử đơn vị A=α I Cuối ta dẫn hai định lý biểu diễn nhóm hữu hạn thường sử dụng vật lý Giả sử nhóm hữu hạn G cấp N chia làm Nk lớp yếu tố liên hợp Ta có định lý sau Định lý số biểu diễn tối giản không tương đương Số f biểu diễn tối giản không tương đương với nhóm hữu hạn G số N k lớp yếu tố liên hợp nhóm f=Nk 8/9 Khái niệm biểu diễn nhóm Giả sử nhóm hữu hạn G cấp N có f biểu diễn tối giản không tương đương vơi T (α ) , biểu diễn T (α) có thứ nguyên dα Các giá trị dα phải tuân theo định lý sau Định lý thứ nguyên biểu diễn tối giản không tương đương Các thứ nguyên d α tất biểu diễn tối giản không tương đương nhóm hữu hạn G cấp N phải thỏa mãn hệ thức ∑fα = d2α = N 9/9 ... unita, ta định nghĩa biểu diễn unita 5/9 Khái niệm biểu diễn nhóm Định nghĩa biểu diễn unita Biểu diễn T nhóm G không gian Euclide phức L gọi biểu diễn unita với tất yếu tố a nhóm G tất phép biến... a nhóm G tạo thành biểu diễn T1 nhóm không gian L1 Ta nói không gian bất biến L1 biểu diễn T quy biểu diễn T1, có định nghĩa sau đây, Định nghĩa biểu diễn khả quy biểu diễn tối giản Cho biểu diễn. .. T(a) Ta biết nhóm SU(2) đồng cấu với nhóm SO(3) Ta thấy biến đổi nhóm SO(3) tạo thành biểu diễn nhóm SU(2) Trong vật lý người ta mở rộng khái niệm biểu diễn coi nhóm SU(2) biểu diễn nhóm quay SO(3)