Đề đáp án Toán vào lớp 10 ( 1) Trần Đại Nghĩa http://violet.vn/thayNSTHcoL

BÀI GIẢI TÓM TẮT MÔN TOÁN (môn chuyên) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2004 – 2005 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA Câu : Cho phương trình x + px + = có nghiệm phân biệt a 1, a2 phương trình x2 + qx + = có nghiệm b1 , b2 Chứng minh : (a1 – b1)(a2 – b2)(a1 + b2)(a2 + b2) = q2 – p2 Giải : Theo định lý Viet ta có : a1 + a2 = – p, a1a2 = , b1 + b2 = – q , b1b2 = (a1 – b1)(a2 – b1)(a1 + b2)(a2 + b2) = [(a1a2 – (a1 + a2)b1 + b12][a1a2 +(a1 + a2)b2 +b22] = (1 + pb1+ b12)(1 – pb2 + b22) = (pb1 –qb1)(–qb2 – pb2 ) = (p – q)b1 (–p – q)b2 = q2 – p2 Câu : Cho số a,b,c ,x,y,z thỏa : x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by , x + y + z ≠ 1 + + =2 Chứng minh : + a + b + c Giải : Cộng vế với vế đẳng thức ta : x + y + z = 2(ax + by + cz) Do x + y + z ≠ nên ax + by + cz ≠ cộng hai vế đẳng thức cho ax , by , cz ta : (a + 1)x = ax + by + cz ; (b + 1)y = ax + by + cz ; (c + 1)z = ax + by + cz 1 x y z x+y+z + + = + + = =2 ⇒ + a + b + c ax + by + cz ax + by + cz ax + by + cz ax + by + cz Câu : a) a) Tìm x,y thỏa 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + = b) b) Cho số dương x,y,z thỏa x3 + y3 + z3 = x2 + − x2 Chứng minh y2 − y2 + z2 − z2 ≥2 Giải : a) a) 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + = 4(x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 1)2 = ⇒ x + y = 0, x + = , y – = ⇒ x = –1 , y = b) x2 1− x2 y 1− y = 1− x ≥ x 1− x2 ≥ 2y ; x2 ⇒ x3 + z x3 = 2x x2 + − x2 Chứng 1− z y2 1− y 2 + minh tương tự : ≥ 2z3 z2 1− z ≥ 2(x + y + z3 ) = Câu : Chứng minh có số nguyên x, y thỏa phương trình x – y3 = 1993 Giải : x3 – y3 = 1993 ⇒ (x – y) (x2 + xy + y2 ) = 1993 Do x2 + xy + y2 ≥ nên x – y, x2 + xy +y2 ước dương 1993 Do 1993 số nguyên tố ,nên ta có hệ phương trình : x − y =  x − y = 1993 ∨  2  x + xy + y = 1993  x + xy + y = Các hệ phương trình nghiệm nguyên nên toán chứng minh Câu : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC).Đường tròn tâm O1 tiếp xúc với đường tròn (O) M , tiếp xúc với hai cạnh AB,AC L K Gọi E giao điểm thứ hai MK với đường tròn (O) a) a) Chứng minh ME tia phân giác góc AMC b) b) Tia phân giác Mx góc BMC cắt LK I Chứng minh bốn điểm M,I,K,C thuộc đường tròn c) c) Chứng minh CI tia phân giác góc BCA Giải : a) a) Chứng minh ME tia phân giác góc AMC Ta có góc O1KM = góc O1MK = góc OEM nên suy OE // O1K Mà O1K ⊥ AC nên OE ⊥ AC suy cung AE = cung CE ⇒ ME tia phân giác góc AMC b) b) Chứng minh bốn điểm M,I,K,C thuộc đường tròn Ta có góc IMC = 1/2 góc BMC = 1/2(1800 – góc BAC) = 900 – 1/2 góc BAC = góc AKI ⇒ tứ giác MIKC nội tiếp c) c) Chứng minh CI tia phân giác góc BCA Tứ giác MIKC nội tiếp ⇒ góc KIC = góc KMC = góc EMC = góc EBC = 1/2 góc ABC Ta có góc IKC = 900 + 1/2 góc BAC suy góc ICK = 1800 – (1/2 góc ABC + 900 + 1/2 góc BAC) = 1/2 BCA ⇒ CI tia phân giác góc BCA Câu : Cho ∆ABC có đường phân giác AD với D thuộc đoạn BC cho BD = a CD = b ( a > b) Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC E Tính AE theo a b Giải : Ta có góc EAD = góc EAC + góc CAD = góc ABC + góc DAB = góc ADE ⇒  tam giác EAD cân E ⇒ EA = ED ⇒ EC = EA – b EB = EA + a Mặt khác ta có EA2 = EC.EB (do hai tam giác EAC EBA đồng dạng ) Ta có phương trình : EA2 = (EA – b)(EA + a) ab ⇒ EA = a − b ... + − x2 Chứng minh y2 − y2 + z2 − z2 ≥2 Giải : a) a) 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + = 4(x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 1)2 = ⇒ x + y = 0, x + = , y – = ⇒ x = –1 , y = b) x2 1− x2 y 1− y = 1− x ≥ x 1− x2... phương trình nghiệm nguyên nên toán chứng minh Câu : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC).Đường tròn tâm O1 tiếp xúc với đường tròn (O) M , tiếp xúc với hai cạnh AB,AC... 2 + minh tương tự : ≥ 2z3 z2 1− z ≥ 2(x + y + z3 ) = Câu : Chứng minh có số nguyên x, y thỏa phương trình x – y3 = 1993 Giải : x3 – y3 = 1993 ⇒ (x – y) (x2 + xy + y2 ) = 1993 Do x2 + xy + y2