10 đề HSG Toán 8

Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau §Ò thi hsg líp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 b) x − 17 x − 21 x + + + =4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + 2xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM (AB + BC + CA ) c) Tam giác ABC biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' + BB' + CC' ĐÁP ÁN Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 + + =0⇒ = ⇒ xy + yz + xz = ⇒ yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A = yz xz xy + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Tính A = ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈ N, ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ (0,25điểm) Ta có: abcd = k với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25điểm) abcd = k ⇔ ⇔ abcd + 1353 = m Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 • Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau a) S HBC S ABC HA'.BC HA' = = ; AA' AA'.BC (0,25điểm) Tương tự: S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC + + = + + =1 (0,25điểm) AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC (0,5điểm ) = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) ⇒ BI AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) ≤ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) 2 - ∆ BAD vuông A nên: AB +AD = BD ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) 2 Tương tự: 4AA’ ≤ (AB+AC) – BC 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA ) ⇔ ≥4 (0,25điểm) AA'2 + BB'2 + CC'2 Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC Kết luận (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu §Ò thi hsg líp SỐ Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài (4 điểm)  − x3  − x2 − x  : Cho biểu thức A =  với x khác -1  1− x  1− x − x + x a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x = −1 c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) 2 Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) 2 Chứng minh a = b = c Bài (3 điểm) Giải toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − 2a + 3a − 4a + Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1 + = AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Đáp án Bài 1( điểm ) Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau a, ( điểm ) Với x khác -1 : A= 0,5đ 1− x − x + x (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x ) − x(1 + x) 0,5đ (1 − x)(1 + x + x − x) (1 − x)(1 + x ) : 1− x (1 + x)(1 − x + x ) = (1 + x ) : (1 − x) = (1 + x )(1 − x) = 0,5đ 0,5đ KL b, (1 điểm) = − A = 3 25 = (1 + )(1 + ) 34 272 = = = 10 27 27 Tại x = − 0,25đ 2    1 + (− )  − 1 − ( − )  0,25đ 0,5đ KL c, (1điểm) Với x khác -1 A với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > KL 0,25đ 0,5đ 0,25đ Bài (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để 0,5đ a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc Biến đổi để có (a + b − 2ac) + (b + c − 2bc) + (a + c − 2ac) = Biến đổi để có (a − b) + (b − c) + (a − c) = (*) Vì (a − b) ≥ ; (b − c) ≥ ; (a − c) ≥ ; với a, b, c nên (*) xảy (a − b) = ; (b − c) = (a − c) = ; 2 2 2 2 Từ suy a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (3 điểm) Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm x (x số nguyên khác -11) x + 11 Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số (x khác -15) Theo ta có phương trình x x + 15 = x + 11 x − Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) x−7 x + 15 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau Từ tìm phân số − 0,5đ KL Bài (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a (a + 2) − 2a(a + 2) + (a + 2) + = (a + 2)(a − 2a + 1) + = (a + 2)(a − 1) + Vì a + > ∀a (a − 1) ≥ 0∀a nên (a + 2)(a − 1) ≥ 0∀a 0,5đ 0,5đ (a + 2)(a − 1) + ≥ 3∀a Dấu = xảy a − = ⇔ a = KL Bài (3 điểm) 0,25đ 0,25đ B N M A I D C a,(1 điểm) Chứng minh tứ giác AMNI hình thang Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân b,(2điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ cm ; BD = 2AD = cm 3 AM = BD = cm Tính NI = AM = cm DC = BC = cm , MN = DC = cm 3 Tính AI = cm Tính AD = 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (5 điểm) B A M O N D C Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau a, (1,5 điểm) OM OD ON OC = = , AB BD AB AC OD OC = Lập luận để có DB AC OM ON ⇒ ⇒ OM = ON = AB AB Lập luận để có 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, (1,5 điểm) OM DM OM AM = = (1), xét ∆ADC để có (2) AB AD DC AD 1 AM + DM AD + = =1 Từ (1) (2) ⇒ OM.( )= AB CD AD AD 1 ) =1 Chứng minh tương tự ON ( + AB CD 1 1 )=2 ⇒ + = từ có (OM + ON) ( + AB CD AB CD MN Xét ∆ABD để có 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S S = = ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB S DOC = S BOC S AOD , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh S AOD = S BOC ⇒ S AOB S DOC = ( S AOD ) Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ §Ò thi hsg líp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau Bài 1: a − (b − c)2 b2 + c2 − a Cho x = ;y= (b + c) − a 2bc Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: 1 1 a, = +b+ a+b− x a x (x ẩn số) (b − c)(1 + a ) (c − a )(1 + b) (a − b)(1 + c) b, + + =0 x + a2 x + b2 x + c2 (a,b,c số đôi khác nhau) Bài 3: Xác định số a, b biết: (3 x + 1) a b = + 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 nghiệm nguyên Bài 5: Cho ∆ ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C §Ò thi hsg líp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau  1    x − A = + + + Cho biểu thức:   ÷  ÷ : x x + 2x + x x +      x )  ( a/ Thu gọn A b/ Tìm giá trị x để A 0, CMR: 1 + ≥ a b a+b b, Cho a,b,c,d > CMR: a−d d −b b−c c−a ≥ + + + d +b b+c c+a a+d Bài 4: x + xy + y a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > x − xy + y x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( x + 1995)2 với x > Bài 5: a, Tìm nghiệm ∈ Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm ∈ Z PT: x2 + x + = y2 Bài 6: Cho VABC M điểm ∈ miền VABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ §Ò thi hsg líp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 12 Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau a (b + c) (b − c) + b(c + a) (c − a ) + c(a + b) (a − b) 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác + + = a b c 1 + + Rút gọn biểu thức: N = a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x + y − xy − x + y + b) Giải phương trình: ( y − 4,5) + ( y − 5,5) − = Bài 3: (2điểm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vuông góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vuông góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x + y = 345 13 Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau §Ò thi hsg líp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x x - 3x + x -2 với x > Bài : (1,5điểm) Cho abc = Rút gọn biểu thức: a b 2c A= + + ab + a + bc + b + ac + 2c + Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a > b > ab Tính: P = 4a − b Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM < CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ∆ ABC AEMF hình vuông Bài 5: (1điểm) Chứng minh với số nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 14 Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau §Ò thi hsg líp SỐ 10 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: (a + b + c) − a − b − c x − x − 12 x + 45 b) Rút gọn: 3 x − 19 x + 33x − Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A = n (n − 7) − 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước giếng Nếu làm máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B Tính xem giếng b) Giải phương trình: x + a − x − 2a = 3a (a số) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC c) Chứng minh: góc MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC Bài 5: (1 điểm) Chứng minh số: 22499     9100      09 n-2 sè n sè số phương ( n ≥ ) 15 [...]... là một điểm ∈ miền trong của VABC D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B là hình bình hành b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ §Ò thi hsg líp 8 SỐ 8 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 12 Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau a (b + c) 2 (b − c) + b(c + a) 2 (c − a ) +... để cho AEMF là hình vuông Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 14 Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau §Ò thi hsg líp 8 SỐ 10 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: (a + b + c) 3 − a 3 − b 3 − c 3 2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45 b) Rút gọn: 3 3 x − 19 x 2 + 33x − 9 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh... của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2 + 5 y 2 = 345 13 Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau §Ò thi hsg líp 8 SỐ 9 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) x x - 3x + 4 x -2 với x > 0 Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: a b 2c A= + +... N a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 6 + 3x 2 + 1 = y 4 §Ò thi hsg líp 8 SỐ 7 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: Phân tích thành nhân tử: 11 Đinh Long Mỹ - Trường THCS thị trấn Năm Căn - Năm Căn – Cà Mau a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a,...  c A= + + + + ÷ ÷= 9 a b  a − b b − c c − a   c Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy... tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC và INC c) Chứng minh: góc MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: 22499     9100      09 n-2 sè 9 n sè 0 là số chính phương ( n ≥ 2 ) 15 ... ) Thay số để có 20 082 .20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 20 08. 2009 Do SABCD= 20 082 + 2.20 08. 2009 + 20092 = (20 08 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ §Ò thi hsg líp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120... Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8. 2x + 4 .8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8( 2x – 4) = ⇔ (2x – 8) (2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22... Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 nghiệm nguyên Bài 5: Cho ∆ ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C §Ò thi hsg líp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Đinh