BỘ ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT MỚI CHO HOẠT ĐỘNG BỀN VỮNG CỦA TAY MÁY ROBOT A NEW TYPE OF SLIDING MODE CONTROLLER FOR ROBUST TRACKING OF ROBOTIC MANIPULATORS LÊ TẤN DUY Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Bài báo trình bày nghiên cứu lý thuyết, mô thực nghiệm điều khiển trượt cho hoạt động bền vững tay máy robot cách thay hàm chuyển mạch signum hàm chuyển mạch tích phân-bão hòa (sat-PI) nhằm giảm tượng chattering nâng cao chất lượng điều khiển ABSTRACT This paper is concerned with the theory, simulation, and experiment of a new type of sliding mode controller for robust tracking performances of robotic manipulators by replacing the signum function with a satured proportional-integral (sat-PI) to alleviate the chattering problem and improve the control quality Giới thiệu Bài báo giới thiệu điều khiển trượt mới, sử dụng hàm chuyển mạch hàm tích phân-bão hòa (sat-PI) Việc mô hình hóa nghiên cứu mô hệ thống điều khiển chuyển động thực Matlab-Simulink, sau kiểm nghiệm thực nghiệm mô hình thực tế robot Gryphon EC Kết mô thực nghiệm chứng minh tính đắn khẳng định việc chọn luật điều khiển phương pháp điều khiển trượt đề xuất (sat-PI) nâng cao chất lượng khắc phục nhược điểm hệ điều khiển trượt truyền thống Điều khiển trượt hệ thống phi tuyến [5][7] Ta xem xét hệ động học sau: x(n) = a(X) + B(X).u (2.1) đại lượng vô hướng x đầu mong muốn, đại lượng vô hướng u tín hiệu điều T khiển đầu vào, X x x x ( n 1) vectơ trạng thái, a(X) hàm phi tuyến xác B(X) ma trận biểu diễn độ khuếch đại điều khiển xác Trạng thái ban đầu Xd(0) phải là: Xd(0) X(0) (2.2) T ~ ( n ) ~ ~ ~ X X X x x x d Ngoài ra, ta định nghĩa bề mặt biến thiên theo thời gian s(t) không gian trạng d thái R(n) phương trình vô hướng S(X;t) = đó: S(X;t) = ( ) n1 ~ x (2.3) dt với số dương Ví dụ n = S ~ x ~ x tức s tổng mức ảnh hưởng sai lệch vị trí sai lệch vận tốc Việc giữ giá trị vô hướng S giải cách chọn luật điều d khiển u (2.1) cho bên s(t) ta có: S ( X , t ) S (2.4) dt số dương (2.4) cho thấy khoảng cách đến bề mặt s, tính S2, giảm xuống theo quỹ đạo hệ thống Vì buộc quỹ đạo hệ thống hướng tới bề mặt s(t) minh họa hình 2.1 s(t) Mặt phẳng trượt x(t) Thời gian tín hiệu điều khiển chạm vào mặt trượt x x Chattering x xd(t) S=0 S=0 x Hình 2.2 Hình 2.1 x xd(t) x(t) Hình 2.3 Bắt đầu từ điểm xuất phát ban đầu đó, quỹ đạo trạng thái chạm đến mặt trượt, sau trượt dọc theo mặt trượt hướng đến xd với tốc độ hàm mũ, với số thời gian 1/ (hình 2.2) Tóm lại, từ phương trình (2.3) chọn hàm S, sau chọn luật điều khiển u (2.1) cho S2 trì hàm Lyapunov hệ thống kín, bất chấp thiếu xác mô hình có mặt nhiễu loạn Trình tự thiết kế bao gồm bước: + Bước một, chọn luật điều khiển u thỏa mãn điều kiện trượt (2.4) + Bước hai, luật điều khiển không liên tục u chọn bước làm nhẵn cách thích hợp để có dung hòa tối ưu dải thông điều khiển tính xác quỹ đạo, đồng thời khắc phục tượng chattering (hình 2.3) Phương pháp nâng cao chất lượng hệ điều khiển trượt Xét hệ phi tuyến bậc hai có phương trình trạng thái sau: x a (X) B(X )u (3.1) với X x x ma trận biểu thị trạng thái hệ thống T 3.1 Các giả thiết (3.1) Hàm a(X) xác có ngưỡng giới hạn ~ a (X) a (X) a max (X ) hàm xác định (3.2) Gọi bx giá trị riêng B(X), bx bx max giá trị riêng nhỏ lớn B(X) Đặt x = (bx max/bx min)1/2, ta được: ~ B(X)B 1 (X ) x (3.3) x 3.2 Các bước xây dựng điều khiển trượt e x xd Sai lệch quỹ đạo: (3.4) e x xd ( n 1) d S(X, t ) e (3.5) dt số dương Nếu n = mặt s(X,t) là: S(X,t) = e e = (3.6) + Bước 2: Tính u trạng thái hệ thống tiến mặt s(t) nằm trên hình 2.2 + Bước 1: Định nghĩa mặt s(t) sau: Để có điều đó, xét hàm lượng V( x ) S T S hệ thống kín Giả sử có điểm cân điểm x = V(x) cực tiểu Nếu chứng minh được: ( x ) S T S V (3.7) điểm x = gọi điểm ổn định Theo nguyên lý ổn định Lyapunov, chọn hàm: V( x ) S T S với S ( x ) , nghĩa là: S T S Phải làm cho V V Đây điều kiện để hệ thống luôn ổn định tiệm cận toàn thể S = Khi điều kiện (3.7) thỏa mãn trạng thái hệ thống luôn đưa mặt trượt S = giữ Đó yêu cầu bước Như phải thiết kế u cho điều kiện (3.7) thỏa mãn Ta có: S e e x xd e = e xd a ( X ) B( X )u (3.8) Chọn tín hiệu đầu vào theo công thức sau [3]: ~ u B 1 ~ u eq K sgn(S) u eq u r (3.9) đó: với ~ ~ u eq B 1.~ u eq u r B 1K sgn(S) (3.10) sgn(S) = [sgn(S1), , sgn(Sn)]T K = diag(K1, , Kn); Ki > với i = 1, 2, , n (3.11) Đối với hệ phương trình trạng thái (3.1), giả thiết (3.2) (3.3) thỏa mãn luật điều khiển chọn (3.9) với Ki x ~ u eq x a max (i 1, 2, , n ) (3.12) sai số quỹ đạo e = xd – x hội tụ 0, nghĩa xd x 3.3 Phương pháp lớp biên để làm giảm tượng chattering [6] Để khắc phục tượng chattering, thay hàm dấu sgn(S) hàm bão hòa sat(S): S S sat (S) S S làm nhẵn tín hiệu điều khiển không liên tục lớp biên mỏng B(t): B( t ) x : S(X, t ) (3.13) x x xd x S=0 Hình 3.1: Định nghĩa lớp biên B(t) Lớp bao quanh mặt trượt S = với bề dày độ rộng = / Nếu luật điều khiển bảo đảm cho điều kiện trượt (3.7) thỏa mãn bên lớp biên B(t) sau thời gian hữu hạn, sai số điều khiển bé , nghĩa là: e( t ) / (3.14) Khi S sat (S) S hàm liên tục nên tín hiệu giảm chattering, xảy sai lệch quỹ đạo 3.4 Phương pháp đề xuất (dùng hàm Sat-PI) Để giảm tượng chattering sai lệch quỹ đạo, định nghĩa hàm tích phân-bão hòa (sat-PI) sau: sgn(S) S t (S) S (3.15) K I S( ) d S to KI hệ số tích phân dương, to thời điểm đầu trạng thái hệ thống vào lớp biên B(t) Bây thay hàm signum luật điều khiển u (3.9) hàm tích phân-bão hòa: ~ u u eq B 1 K.(S) (3.16) ueq K chọn (3.10) (3.12) (S) 1 (S1 ), , n (S n ) T Giả sử hệ số tích phân KI chọn đủ lớn cho S K I S S S K IS S (3.17) Bất đẳng thức (3.17) có nghĩa (s) hàm tăng S > hàm giảm S < Đối với hệ thống (3.1), giả thiết (3.2) (3.3) thỏa mãn luật điều khiển chọn (3.16), với K chọn theo (3.12) (S) chọn (3.15), quỹ đạo trạng thái hướng mặt trượt 3.4.1 Chứng minh Các quỹ đạo trạng thái hướng mặt trượt điều kiện mặt trượt thoả mãn: i SiSi 0; Si 0; i 1, , n (3.18) V Điều kiện trượt viết lại sau: ~ ~ ~ ~ ~ T V S B.B -1 I ~ u eq ~ a a B.B -1 (S) ST B B -1 I B.B -1 ~ u eq B.B -1 a ~a K(S) (3.19) Rõ ràng, trạng thái hệ thống nằm bên Bi(t) (i = 1, , n), luật điều khiển chọn theo (3.16) (bởi Vi(Si) = sgn(Si)) đảm bảo lớp biên hấp dẫn tất quỹ đạo bắt đầu bên Bi(t) đẩy vào Bi(t) Ở bên Bi(t) (i = 1, , n), luật điều khiển (3.16) trở thành liên tục nên giảm tượng chattering Trong (3.17), i tăng đến i >1 Do đó, điều kiện trượt thỏa mãn quỹ đạo trạng thái chạm đến mặt trượt lần Bây xét hệ thống thứ i Bất đẳng thức (3.18) có nghĩa rằng: ~ -1 ~ ~ i S i Si S i I B V B u eq B.B -1 a ~ a i K i (S i ) (i 1, 2, , n ) (3.20) Giả sử Si với Si (Si lân cận 0) Hàm tăng Si khiến cho quỹ đạo trạng thái bị đẩy nửa bên phải (Si > 0) mặt trượt Si = Khi Si > 0, i tăng theo thời gian (3.17), dẫn đến: ~ ~ I B.B -1 ~ u eq B.B -1 a ~ a i K i (S i ) S i Si (3.21) có nghĩa điều kiện trượt (3.18) thỏa mãn quỹ đạo hướng vào mặt trượt Si với Si (Si lân cận 0) Tiếp tục giả thiết rằng: Hàm giảm Si khiến quỹ đạo trạng thái đẩy nửa bên trái (Si < 0) mặt trượt Si = Khi Si < 0, i giảm theo thời gian (3.17), dẫn đến: ~ ~ I B.B -1 ~ u eq B.B -1 a ~ a i K i (S i ) S i Si (3.22) quỹ đạo hướng đến mặt trượt tương tự 3.4.2 Khảo sát hệ số tích phân KI (3.15) Khi S (S) = sgn(S) Luật điều khiển u xây dựng theo (3.9) bảo đảm điều kiện trượt (3.7) thỏa mãn Lúc hệ số K công thức (3.9) S điều kiện trượt thỏa luật điều khiển u chọn theo (3.12) để V mãn t S Khi S (S) K I S() d Ta có: to t ~ 1 S ~ STS ST (BB V I)~ u eq ~ a a BB1K( K I S() d) to T t S S ~ ~ ~ S T (BB 1 I)~ u eq ~ a a BB 1 K S T BB 1 KK I S( ) d to Xét hàm V trường hợp S , S 0, ta chọn hệ số KI cho: t ~ ~ ~ KK I S() d I BB 1 ~ u eq BB 1 ~ a a BB 1 (3.23) to S điều kiện trượt thỏa mãn V Với luật điều khiển u xây dựng theo (3.16) hàm chuyển mạch (s) định nghĩa theo (3.15), ta chọn hệ số Ki theo (3.12) ta chọn hệ số tích phân K Ii S (với i = 1, 2, , n), điều kiện trượt thỏa mãn sai số quỹ theo (3.23) V i i đạo ei hội tụ tiệm cận Kết mô mô hình mô robot Gryphon EC - Hình 4.1: Robot Gryphon EC loại robot bậc tự với trục chuyển động đầu quay-kẹp chi tiết Mỗi trục truyền động động Servo đồng nam châm vĩnh cữu, điều khiển theo vòng kín - Hình 4.2: Mô hình mô robot Gryphon EC Matlab-Similink Qua việc chạy thử với giá trị khác hệ số , KI để có đường biểu diễn tốt, cuối ta chọn hệ số cho trục bảng 4.1 với tải mt = 0,2 kg Kết mô thể hình 4.3 4.4 4.1 Mômen tác động lên trục Trục Trục Trục 4.2 Sai lệch quỹ đạo không gian Trục Hình 4.3.a: Hàm Signum Trục Trục Hình 4.3.b: Hàm Sat Trục Trục Hình 4.3.c: Hàm Sat-PI Trục Hình 4.4.a: Hàm Signum Hình 4.4.b: Hàm Sat Hình 4.4.c: Hàm Sat-PI Kết thực nghiệm robot Gryphon EC 5.1 Mômen tác động lên trục (a) Hàm Sat (b) Hàm Sat-PI 5.2 Sai lệch quỹ đạo không gian (a) Quỹ đạo thực đặt (b) Sai lệch quỹ đạo Bảng 4.1: Trục Trục Trục 0.2 0.3 0.25 KI 20 25 22 Kết luận Phương án dùng hàm chuyển mạch sat-PI đề xuất báo Thuật toán đưa có khả điều khiển hệ phi tuyến bậc cao giảm đáng kể chattering, sai lệch quỹ đạo điều khiển thấp so với hàm sat, hệ điều khiển làm việc ổn định, chịu ảnh hưởng tải, chất lượng điều khiển cải thiện đáng kể Ngoài ra, phương án có ưu điểm khối lượng tính toán nhỏ, thuật điều khiển phức tạp, đáp ứng nhanh, hệ thống kín ổn định Việc so sánh kết mô trường hợp hàm signum, hàm sat hàm sat-PI minh chứng tính đắn thuật toán nêu việc nâng cao chất lượng hệ điều khiển Cấu trúc mô hình thực nghiệm xây dựng đối tượng có tính phi tuyến mạnh robot Gryphon EC với bậc tự qua kết thực nghiệm khẳng định tính đắn kết nghiên cứu, cho thấy thuật toán đề xuất hoàn toàn ứng dụng vào thực tế điều khiển hệ thống động lực học có tính phi tuyến mạnh, có yêu cầu đáp ứng nhanh xác TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] Lê Tấn Duy, Thiết kế điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 4/2003 Lê Tấn Duy, Điều khiển trượt cho tay máy robot hai bậc tự do, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 1(5)/2004 K.S Fu, Robotics Control, Sensing, vision and intelligence, Graw Hill, Inc 1987 Y.Itkis, Control systems of variable structure, New York, Wiley, 1976 V.A.Utkin, Sliding Modes and Their Application in Variable Structure Systems, Moscow, Mir 1987 J.J.E Slotine and S.S Satry, Tracking control of nonlinear systems using sliding surface with application to robot manipulator, Int J Control, vol 38, no 2, pp 465492, 1983 J.J.E Slotine and W.Li, Applied nonlinear control, Prentiee Hall, Englewood Cliff, New Jersey, 1991 [8] J.J.E Slotine and S.Asada, Robot analysis and control, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley& Sons, Inc 1986 (Tiếp theo trang 5) [3] Bui Van Ga, Pham Xuan Mai, Nguyen Huu Huong, Calculation of LPG Stratified Mixture Formation in a Direct Injection Engine, International Conference on Automotive Technololy, ICAT’02, Paper 044, Hanoi, 24-28 October 2002 [4] Bui Van Ga, Duong Viet Dung, Tran Van Nam, Simulation of liquefied petroleum gas jet in combustion chamber of spark ignition engine, Vietnam Journal of Mechanics, Volume 24 Number 4, Page 209-218, 2002 [5] Bui Van Ga, An Integral Model for Calculation of LPG Jet Development in Combustion Chamber of Spark Ignition Engine, International Conference on HPSC, Hanoi 10-14 March 2003 [6] Bui Van Ga, Phung Xuan Tho, Nhan Hong Quang, Nguyen huu Huong, Xác định trường tốc độ tia phun LPG thực nghiệm, Hội nghị Cơ học Thủy khí tòan quốc năm 2003, Đà Nẵng, 21-23/7/2003 (Tiếp theo trang 10) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] Nguyễn Quang Khải, Hướng dẫn xây dựng, bảo dưỡng, sử dụng toàn diện khí sinh học bã thải, NXB Khoa học Kỹ thuật Uỷ ban Khoa học & Kỹ thuật Đồng Nai, Hướng dẫn sản xuất sử dụng khí đốt sinh vật, NXB Đồng Nai Nguyễn Quang Khải, Xây dựng vận hành thiết bị khí sinh học, Hà Nội, 1990 Ngô Kế Sương, Nguyễn Lân Dũng, Sản xuất khí đốt (Biogas) kỹ thuật lên men kỵ khí, NXB Nông Nghiệp Đỗ Ngọc Quỳnh cộng sự, Nghiên cứu ứng dụng thiết bị khí sinh học cho đồng sông Cửu Long Võ Đình Hiệp, Nguyễn Thiện Tống, Khoa học Kỹ thuật phục vụ nông thôn, NXB Tp Hồ Chí Minh ... robot, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 4/2003 Lê Tấn Duy, Điều khiển trượt cho tay máy robot hai bậc tự do, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 1(5)/2004 K.S Fu, Robotics... tế điều khiển hệ thống động lực học có tính phi tuyến mạnh, có yêu cầu đáp ứng nhanh xác TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] Lê Tấn Duy, Thiết kế điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, ... một, chọn luật điều khiển u thỏa mãn điều kiện trượt (2.4) + Bước hai, luật điều khiển không liên tục u chọn bước làm nhẵn cách thích hợp để có dung hòa tối ưu dải thông điều khiển tính xác quỹ