ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC SỐ 24 Môn thi : TOÁN - lµm bµi:180 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số y = 2x − x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm đồ thị (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) N(-1; -1) Câu II (2,0 điểm): Giải phương trình: = + + 2x − x2 x +1 + − x Giải phương trình: sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x e ln x + ln x ÷dx x + ln x Câu III (1,0 điểm): Tính tích phân: I = ∫ Câu IV (1,0 điểm):Cho hai hình chóp S.ABCD S’.ABCD có chung đáy hình vuông ABCD cạnh a Hai đỉnh S S’ nằm phía mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy trung điểm H AD trung điểm K BC Tính thể tích phần chung hai hình chóp, biết SH = S’K =h Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z số dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x9 + y y9 + z z + x9 P= + + x + x3 y + y y + y3 z + z z + z x3 + x PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần(phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x + y + x − = Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = tiếp xúc với (C) A Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) đường thẳng d có phương trình x = + 3t y = −2t (t ∈ R) z = + 2t Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến A B nhỏ Câu VII.a (1,0 điểm): Giải phương trình tập số phức: z + z = B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = đường chéo AC qua điểm M(2;1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng: 2 x + y +1 = 3x + y − z + = ( ∆) ; (∆') Chứng minh hai đường thẳng ( ∆ ) ( ∆ ' ) cắt x − y + z −1 = 2 x − y +1 = Viết phương trình tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo ( ∆ ) ( ∆ ' ) x log + log y = y + log x Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình: x log 12 + log x = y + log y Hết ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 24 Câu Điểm Nội dung I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) CâuI TXĐ: D = R\{-1} > ∀x ∈ D Chiều biến thiên: y ' = ( x + 1) => hs đồng biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) , hs cực trị Giới hạn: lim y = 2, lim− y = +∞, lim+ y = −∞ x →±∞ x →−1 2.0 0.25 x →−1 => Đồ thị hs có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = BBT x -∞ -1 y’ + + +∞ y -∞ 0,25 +∞ 0.25 + Đồ thị (C): Đồ thị cắt trục hoành điểm ( 2;0 ) , trục tung điểm (0;-4) y f(x)=(2x-4)/(x+1) f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t x -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 0.25 -5 Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận làm tâm đối xứng Gọi điểm cần tìm A, B có A a; − ÷; B b; − ÷; a, b ≠ −1 a +1 b +1 a+b a−2 b−2 ; + Trung điểm I AB: I ÷ a +1 b +1 Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= uuur uuuu r AB.MN = Có : I ∈ MN a = A(0; −4) => => b = B (2;0) CâuII đc pt: t3 - 2t - = t=2 0.25 0.25 0,25 2.0 0,25 TXĐ: x ∈ [ −1;3] Đặt t= x + + − x , t > => 0.25 + 2x − x2 = t2 − 0,25 0,25 x = −1 (t / m) Với t = x + + − x =2 ⇔ x = sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x TXĐ: D =R sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x sin x − cosx = ⇔ (sin x − cosx).[ + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx ] = ⇔ + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = π + Với sin x − cosx = ⇔ x = + kπ (k ∈ Z ) + Với + 2(sin x + cosx) + sin x.cosx = , đặt t = sin x + cosx (t ∈ − 2; ) t = −1 pt : t2 + 4t +3 = ⇔ t = −3(loai ) x = π + m2π (m ∈ Z ) t = -1 ⇒ x = − π + m2π π x = + kπ ( k ∈ Z ) (m ∈ Z ) Vậy : x = π + m2π π x = − + m2π Câu III e ln x dx , Đặt t = x + ln x 0,25 0.25 + ln x ,… Tính I1 = 2 − 3 0,5 I = ∫ ln x dx , lấy tích phân phần lần I2 = e - ) 0,25 2 I = I + I2 = e − − 3 0,25 ( 0,25 1,0 e e 1,0 0,25 ln x I = ∫ + ln x ÷dx x + ln x I1 = ∫ 0,25 Câu IV 1,0 S S' N D M C H K A B SABS’ SDCS’ hình bình hành => M, N trung điểm SB, S’D : V = VS ABCD − VS AMND 0,25 VS AMND = VS AMD + VS MND ; VS AMD SM VS MND SM SN = = ; = = ; VS ABD SB VS BCD SB SC VS ABD = VS ACD = VS ABCD ; VS AMND = VS ABCD ⇒ V = VS ABCD 8 0.25 0.25 ah 24 Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc : a3 + b3 b3 + c c3 + a3 P= + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a a + b3 a − ab + b a − ab + b mà = ( a + b ) ≥ (Biến đổi tương đương) a + ab + b a + ab + b a + ab + b a − ab + b => (a + b) ≥ ( a + b) a + ab + b b3 + c3 c3 + a3 Tương tự: ≥ ( b + c ); ≥ (c + a) 2 b + bc + c c + ca + a => P ≥ (a + b + c) ≥ abc = (BĐT Côsi) ≥ 2, P = a = b = c = ⇔ x = y = z = => P Vậy: minP = x = y =z =1 ⇒V = CâuV 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) A Chương trình chuẩn CâuVI.a A(0;2), I(-2 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ x = 3t Pt đường thẳng IA : , I ' ∈ IA => I’( 3t ; 2t + ), y = 2t + uur uuur AI = I ' A ⇔ t = => I '( 3;3) ( (C’): x − ) + ( y − 3) = 2.0 0,25 0,25 0,25 0.25 M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) ∈ d , AB//d Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B (MA+ MB)min = A’B, A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB 0.25 0.25 0,25 MA=MB M(2 ; ; 4) 0,25 z = x + iy ( x, y ∈ R ), z2 + z = ⇔ x − y + x + y + xyi = 1.0 0,25 CâuVII.a 2 xy = ⇔ 2 2 x − y + x + y = x = y = x = ⇔ y = x = y = −1 Vậy: z = 0, z = i, z = - i 0,25 0,25 0,25 B Chương trình nâng cao Câu VI.b 2.0 BD ∩ AB = B (7;3) , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = A ∈ AB ⇒ A(2a + 1; a), C ∈ BC ⇒ C (c;17 − 2c), a ≠ 3, c ≠ , 2a + c + a − 2c + 17 ; I = ÷ trung điểm AC, BD 2 0,25 0,25 I ∈ BD ⇔ 3c − a − 18 = ⇔ a = 3c − 18 ⇒ A(6c − 35;3c − 18) uuur uuuu r c = 7(loai ) M, A, C thẳng hàng MA, MC phương => c2 – 13c +42 =0 c = 0,25 0.25 c = =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 3 Chứng minh hệ có nghiệm nhất, ( ∆ ) ∩ ( ∆ ' ) = A − ;0; ÷ 2 M (0; −1;0) ∈ (∆) , Lấy N ∈ (∆ ') , cho: AM = AN => N ∆AMN cân A, lấy I trung điểm MN => đường phân giác góc tạo ( ∆ ) ( ∆ ' ) đg thẳng AI Đáp số: ( d1 ) : x+ 1 + 14 30 = y −2 + 14 30 = z− −3 + 14 30 ;( d ) : x+ 1 − 14 30 = y −2 − 14 30 = z− −3 − 14 30 0.5 0.25 0,25 Câu VII.b x > TXĐ: y > 3x y = y.x x log + log y = y + log x ⇔ x y 12 x = y x log 12 + log x = y + log y y = 2x ⇔ x y 3 y = x x = log ⇔ (t/m TXĐ) y = log (Học sinh giải không theo cách đáp án, gv cho điểm tối đa tương ứng đáp án ) 0.25 0.25 0.25 0,25 ...ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 24 Câu Điểm Nội dung I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) CâuI TXĐ: D = R{-1} > ∀x ∈ D Chiều biến thi n: y ' = ( x + 1) =>... y = x x = log ⇔ (t/m TXĐ) y = log (Học sinh giải không theo cách đáp án, gv cho điểm tối đa tương ứng đáp án ) 0.25 0.25 0.25 0,25 ... AN => N ∆AMN cân A, lấy I trung điểm MN => đường phân giác góc tạo ( ∆ ) ( ∆ ' ) đg thẳng AI Đáp số: ( d1 ) : x+ 1 + 14 30 = y −2 + 14 30 = z− −3 + 14 30 ;( d ) : x+ 1 − 14 30 = y −2 − 14 30