wWw.VipLam.Info Môn Toán THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút A PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) x +1 Cho hàm số y = x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x +1 = m x −1 Câu II (2 điểm) ( ) π 4 a) Tìm m để phương trình sin x + cos x + cos x + 2sin x − m = có nghiệm 0; 2 1 b) Giải phương trình log ( x + 3) + log ( x − 1) = log ( x ) Câu III (2 điểm) 3x2 − + x + − cos x x →0 a) Tìm giới hạn L = lim 98 100 b) Chứng minh C100 − C100 + C100 − C100 + − C100 + C100 = −250 Câu IV (1 điểm) Cho a, b, c số thực thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 4a + 9b + 16c + 9a + 16b + 4c + 16a + 4b + 9c B PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn Câu Va (2 điểm) a) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( C1 ) : x + y − y − = ( C2 ) : x + y − x + y + 16 = Lập phương trình tiếp tuyến chung ( C1 ) ( C2 ) b) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA’ Tính thể tích khối tứ diện BMB’C’ theo a chứng minh BM vuông góc với B’C Câu VIa (1 điểm) x −1 y z − = = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa Cho điểm A ( 2;5;3) đường thẳng d : 2 d cho khoảng cách từ A đến ( α ) lớn wWw.VipLam.Info Môn Toán Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao Câu Vb (2 điểm) a) Trong hệ tọa độ Oxy, viết phương trình hyperbol (H) dạng tắc biết (H) tiếp xúc với đường thẳng d : x − y − = điểm A có hoành độ · · b) Cho tứ diện OABC có OA = 4, OB = 5, OC = ·AOB = BOC = COA = 600 Tính thể tích tứ diện OABC Câu VIb (1 điểm) x −1 y − z = = , Cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường thẳng d1 : −3 x−5 y z +5 = = Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường −5 thẳng MN cách (P) khoảng d2 : ĐÁP ÁN Câu I a) điểm 0,25 x +1 có tập xác định D = R \ { 1} x −1 x +1 x +1 x +1 = 1; lim = +∞; lim = −∞ Giới hạn: lim + − x →±∞ x − x →1 x − x →1 x − 0,25 −2 < 0, ∀x ≠ ⇒ Hàm số nghịch biến khoảng Đạo hàm: y ' = ( x − 1) Tập xác định: Hàm số y = ( −∞;1) ( 1; +∞ ) Hàm số cực trị Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1; tiệm cận ngang y = Giao hai tiệm0,25 cận I ( 1;1) tâm đối xứng Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình b) Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y = Học sinh tự vẽ hình x +1 ( C ') x −1 0,25 0,5 wWw.VipLam.Info Môn Toán Số nghiệm Câu II a) x +1 x +1 = m số giao điểm đồ thị y = y = m x −1 x −1 0,25 Suy đáp số m < −1; m > 1: phương trình có nghiệm m = −1: phương trình có nghiệm −1 < m ≤ 1: phương trình vô nghiệm điểm 4 Ta có sin x + cos x = − sin x cos4 x = − 2sin 2 x 0,25 Do ( 1) ⇔ −3sin 2 x + 2sin x + = m 0,25 0,25 π Đặt t = sin x Ta có x ∈ 0; ⇒ x ∈ [ 0; π ] ⇒ t ∈ [ 0;1] 2 Suy f ( t ) = −3t + 2t + = m, t ∈ [ 0;1] b) Ta có bảng biến thiên 0,25 10 π Từ phương trình cho có nghiệm 0; ⇔ ≤ m ≤ 2 1 Giải phương trình log ( x + 3) + log ( x − 1) = log ( x ) ( ) Điều kiện: < x ≠ ( ) ⇔ ( x + 3) x − = x 0,25 Trường hợp 1: x > 0,25 0,25 0,25 ( 2) ⇔ x2 − x = ⇔ x = Trường hợp 1: < x < ( 2) ⇔ x2 + x − = ⇔ x = 0,25 −3 { } Vậy tập nghiệm (2) T = 2; − Câu III a) 3x2 − + x + − cos x x →0 Tìm L = lim wWw.VipLam.Info Môn Toán 3x2 − + x + − ÷ + Ta có L = lim − cos x ÷ x →0 − cos x 0,25 x2 + − x2 L = lim = lim =2 Xét x →0 − cos x x x →0 2sin x + + 1÷ 2 0,25 Xét b) 3x − + = lim x → − cos x x →0 L2 = lim 0,25 3x2 x 2sin 3 x − − x − + 1÷ ÷ ( ) =2 Vậy L = L1 + L2 = + = 0,25 100 Chứng minh C100 − C100 + C100 − + C100 = −250 Ta có 0,5 2 100 100 + C100 i + C100 i + + C100 i ( + i ) 100 = C100 ( ) ( ) 100 99 = C100 − C100 + C100 − + C100 + C100 − C100 + − C100 i Mặt khác 0,5 ( + i ) = + 2i + i = 2i ⇒ ( + i ) 100 = ( 2i ) 50 = −250 Câu IV 100 Vậy C100 − C100 + C100 − + C100 = −250 Cho a, b, c thoả a + b + c = Tìm GTNN M = 4a + 9b + 16c + 9a + 16b + 4c + 16a + 4b + 9c r r uur r r uur a b c c a b b c a Đặt u = ;3 ; , v = ;3 ; , w = ;3 ; ⇒ M = u + v + w ( r r uur M ≥ u+v+w = Câu Va a) ) ( ) ( ) ( 2a + 2b + 2c ) + ( 3a + 3b + 3c ) + ( 4a + 4b + 4c ) 2 Theo cô – si có 22 + 2b + 2c ≥ 33 2a + b + c = Tương tự … Vậy M ≥ 29 Dấu xảy a = b = c = Học sinh tự vẽ hình ( C1 ) : I1 ( 0; ) , R1 = 3; ( C2 ) : I ( 3; −4 ) , R2 = 0,5 0,25 0,25 ( 2 Gọi tiếp tuyến chung ( C1 ) , ( C2 ) ∆ : Ax + By + C = A + B ≠ ∆ tiếp tuyến chung ( C1 ) , ( C2 ) 2 ( 1) d ( I1; ∆ ) = R1 2B + C = A + B ⇔ ⇔ d ( I ; ∆ ) = R2 A − B + C = A2 + B ( ) −3 A + B Từ (1) (2) suy A = B C = 0,25 ) 0,25 wWw.VipLam.Info Môn Toán Trường hợp 1: A = B 0,5 Chọn B = ⇒ A = ⇒ C = −2 ± ⇒ ∆ : x + y − ± = −3 A + B Thay vào (1) A − B = A2 + B ⇔ A = 0; A = − B ⇒ ∆ : y + = 0; ∆ : x − y − = a Gọi H trung điểm BC ⇒ d ( M ; ( BB ' C ) ) = AH = Trường hợp 2: C = b) 0,25 a2 a3 BB '.BC = ⇒ VMBB ' C = AH S∆BB ' C = 2 12 Gọi I tâm hình vuông BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình) Ta có B ' C ⊥ MI ; B ' C ⊥ BC ' ⇒ B ' C ⊥ MB 0,25 (Học sinh tự vẽ hình) Gọi K hình chiếu A d ⇒ K cố định; 0,25 S∆BB ' C = 0,5 Câu VIa Gọi ( α ) mặt phẳng chứa d H hình chiếu A ( α ) Trong tam giác vuông AHK ta có AH ≤ AK 0,25 Vậy AH max = AK ⇔ ( α ) mặt phẳng qua K vuông góc với AK Gọi ( β ) mặt phẳng qua A vuông góc với d ⇒ ( β ) : x + y + z − 15 = 0,25 ⇒ K ( 3;1; ) (α) Câu Vb a) mặt phẳng qua K vuông góc với AK ⇒ ( α ) : x − y + z − = Gọi ( H ) : x2 a2 − y2 b2 0,25 =1 (H) tiếp xúc với d : x − y − = ⇔ a − b = x = ⇒ y = ⇒ A ( 4; ) ∈ ( H ) ⇒ 0,25 16 a − b ( 1) = ( 2) 0,25 x2 y2 Từ (1) (2) suy a = 8; b = ⇒ ( H ) : − =1 0,5 (Học sinh tự vẽ hình) Lấy B’ OB; C’ OC cho OA = OB ' = OC ' = Lấy M trung điểm B’C’ ⇒ ( OAM ) ⊥ ( OB ' C ') 0,25 b) 0,25 Kẻ AH ⊥ OM ⇒ AH ⊥ ( OB ' C ') Ta có AM = OM = ⇒ MH = ⇒ AH = 3 0,25 wWw.VipLam.Info Môn Toán Câu VIb 15 · SOBC = OB.OC.sin BOC = 2 Vậy VOABC = AH SOBC = 10 0,25 Gọi M ( + 2t ;3 − 3t; 2t ) , N ( + 6t '; 4t '; −5 − 5t ' ) 0,25 d ( M ; ( P ) ) = ⇔ 2t − = ⇔ t = 0; t = uuuur Trường hợp 1: t = ⇒ M ( 1;3;0 ) , MN = ( 6t '+ 4; 4t '− 3; −5t '− ) uuuur uur uuuur uur MN ⊥ nP ⇔ MN nP = ⇒ t ' = ⇒ N ( 5;0; −5 ) 0,25 Trường hợp 2: t = ⇒ M ( 3;0; ) , N ( −1; −4;0 ) Kết luận 0,25 0,25 ... 0,25 100 Chứng minh C100 − C100 + C100 − + C100 = −250 Ta có 0,5 2 100 100 + C100 i + C100 i + + C100 i ( + i ) 100 = C100 ( ) ( ) 100 99 = C100 − C100 + C100 − + C100 + C100 − C100 + − C100... C100 + − C100 i Mặt khác 0,5 ( + i ) = + 2i + i = 2i ⇒ ( + i ) 100 = ( 2i ) 50 = −250 Câu IV 100 Vậy C100 − C100 + C100 − + C100 = −250 Cho a, b, c thoả a + b + c = Tìm GTNN M = 4a + 9b + 16c... hình x +1 ( C ') x −1 0,25 0,5 wWw.VipLam.Info Môn Toán Số nghiệm Câu II a) x +1 x +1 = m số giao điểm đồ thị y = y = m x −1 x −1 0,25 Suy đáp số m < −1; m > 1: phương trình có nghiệm m = −1: phương