wWw.VipLam.Info ÐỀ THI thư ĐẠI HỌC lÇn ii NĂM häc: 2010-2011 Mơn thi : TỐN lµm bµi:180 phótThêi gian (kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); ( m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với Câu II:(2 điểm) Giải hệ phương trình: x − y − xy = x − − y − = T×m x ∈ (0; π ) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: cotx – = cos x + sin x − sin x + tan x Câu III: (2 điểm) Trên cạnh AD hình vng ABCD có độ dài a, lấy điểm M cho AM = x (0 < x ≤ a) Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) A, lấy điểm S cho SA = 2a a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) b) KỴ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H T×m vÞ trÝ cđa M ®Ĩ thĨ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt Tính tích phân: I = π ∫ ( x + sin 2 x) cos xdx Câu IV: (1 điểm) : Cho c¸c sè thùc d¬ng a,b,c thay ®ỉi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1 a +b2 b +c c + a Chứng minh : + + ≥ b +c c +a a +b PHẦN RIÊNG (3 điểm) ( Chó ý!:ThÝ sinh chØ ®ỵc chän bµi lµm ë mét A Theo chương trình chuẩn phÇn) Câu Va :1.Trong mỈt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diƯn tÝch b»ng träng t©m thc ®êng th¼ng ∆ : 3x – y – = T×m täa ®é ®Ønh C 2.Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iĨm A(1;4;2),B(-1;2;4) vµ ®êng th¼ng ∆ : x −1 y + z = = T×m to¹ ®é ®iĨm M trªn −1 Câu VIa : Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: ( + 3) x −2 x +1 + (2 − ) x −2 x −1 ≤ vµ ∆ cho: MA2 + MB = 28 2− B Theo chương trình Nâng cao Câu Vb: Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 60 2.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d víi d: x −1 y +1 z = = Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm M, −1 cắt vng góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cđa ®iĨm M’ ®èi xøng víi M qua d 4log3 xy = + ( xy ) log3 Câu VIb: Giải hệ phương trình 2 log ( x + y ) + = log x + log ( x + y ) wWw.VipLam.Info ………………… … ……………… Hết…………………………………… (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) Híng dÉn chÊm m«n to¸n C©u I ý Néi Dung Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iĨm) y = x3 + 3x2 + mx + (Cm) m = : y = x + 3x + 3x + (C3) + TXĐ: D = R + Giới hạn: lim y = −∞, lim y = +∞ x →−∞ §iĨm 0,25 x →+∞ + y’ = 3x + 6x + = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 ≥ 0; ∀x ⇒ hµm sè ®ång biÕn trªn R • 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 + y” = 6x + = 6(x + 1) y” = ⇔ x = –1 ⇒ tâm đối xứng U(-1;0) * Đồ thò (C3): Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1) 0,25 Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là: x = x3 + 3x2 + mx + = ⇔ x(x2 + 3x + m) = ⇔ (2) x + 3x + m = 0,25 wWw.VipLam.Info * (Cm) cắt đường thẳng y = C(0;1), D, E phân biệt: ⇔ Phương trình (2) có nghiệm xD, xE ≠ m ≠ ∆ = − 4m > ⇔ ⇔ m < (*) 0 + × + m ≠ Lúc tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD=y’(xD)= 3x 2D + 6x D + m = −(3x D + 2m); 0,25 0,25 kE=y’(xE)= 3x 2E + 6x E + m = −(3x E + 2m) Các tiếp tuyến D, E vuông góc khi: kDkE = –1 ⇔ (3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1 0,25 ⇔ 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 ⇔ 9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo đònh lý Vi-ét) + 65 m = ⇔ 4m2 – 9m + = ⇔ − 65 m = So s¸nhĐk (*): m = − 65 ( ) II 1 x ≥ §k: y ≥ (1) 0,5 ⇔ x − y − ( y + xy ) = ⇔ ( x + y )( x − y ) = x−2 y =0 ⇔ ⇔ x=2 y x + y = 0(voly ) ⇔ x = 4y Thay vµo (2) cã y −1 − y −1 = ⇔ y −1 = y −1 +1 0,25 ⇔ y −1 = y −1+ 2 y −1 + ⇔ y −1 = 2 y −1 y −1 = y = (tm) x = ⇔ ⇔ ⇒ y − = y = (tm) x = 10 V©y hƯ cã hai nghiƯm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 0,25 wWw.VipLam.Info sin x ≠ sin x ≠ ⇔ sin x + cos x ≠ tan x ≠ −1 cos x − sin x cos x cos x = + sin x − sin x cos x PT ⇔ sin x cos x + sin x cos x − sin x ⇔ = cos x − sin x cos x + sin x − sin x cos x sin x ®K: 0,25 ⇔ cos x − sin x = sin x(1 − sin x) 0,25 ⇔ (cos xwWw.VipLam.Info − sin x)(sin x cos x − sin x − 1) = 0,25 ⇔ (cos x − sin x)(sin x + cos x − 3) = cos x − sinx = π ⇔ (cos x − sinx)( sin(2 x + ) − 3) = ⇔ π sin(2 x + ) = 3(voly ) ⇔ cos x − sin x = ⇔ tanx = ⇔ x = Do x ∈ ( 0;π ) ⇒ k = ⇒ x = π π + kπ (k ∈ Z ) (tm®k) III 0,25 1 SA ⊥ ( ABCD) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( ABCD) SA ⊂ ( SAC ) Do 0,25 Lai cã MH ⊥ AC = ( SAC ) ∩ ( ABCD ) ⇒ MH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( M , SAC ) = MH = AM sin 45o = x Ta cã x x ⇒ HC = AC − AH = a − 2 1 x x ⇒ S ∆MHC = MH MC = (a − ) 2 2 1 x x ⇒ VSMCH = SA.S ∆MCH = 2a (a − ) 2 AH = AM cos 450 = O,5 Tõ biĨu thøc trªn ta cã: x x +a 2− 2 VSMCH ≤ a [ x x ⇔ =a 2− 2 ⇔x=a ] a3 = 0,25 ⇔ M trïng víi D π ∫ π ∫ π ∫ I = ( x + sin 2 x)cos xdx = xcos xdx + sin 2 xcos xdx = I + I 0,25 wWw.VipLam.Info IV 1 Ta cã :VT = ( A+3= 2 a b c b c a + + )+( + + ) = A+ B b+c c+a a+b b+c c+a a+b 1 1 + + [ (a + b) + (b + c ) + (c + a )] a + b b + c c + a 1 1 ≥ 3 (a + b)(b + c)(c + a )3 = a+b b+c c+a ⇒ A≥ a2 b2 c2 12 = (a + b + c) ≤ ( + + )(a + b + b + c + c + a) a+b b+c c+a ⇔ ≤ B.2 ⇔ B ≥ Tõ ®ã tacã VT ≥ + = = VP 2 DÊu ®¼ng thøc x¶y a=b=c=1/3 V.a 5 , trung ®iĨm M ( ; − ), 2 pt (AB): x – y – = 3 S ∆ABC = d(C, AB).AB = ⇒ d(C, AB)= 2 Ta cã: AB = ⇒ d(G, AB)= t − (3t − 8) − ⇒ G(1; - 5) hc G(2; - 2) = 0,25 0,25 0,25 0,25 Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= 0,25 0,25 0,25 ⇒ t = hc t = 2 uuuu r uuuu r Mµ CM = 3GM ⇒ C = (-2; -10) hc C = (1; -1) 0,25 x = 1− t ptts∆ : y = −2 + t ⇒ M (1 − t ; −2 + t ; 2t ) z = 2t Ta cã: MA2 + MB = 28 ⇔ 12t − 48t + 48 = ⇔ t = 0,5 0,25 wWw.VipLam.Info Tõ ®ã suy : M (-1 ;0 ;4) VI.a ( ⇔ 2+ Bpt ( t = 2+ ) x2 − x ) x − 2x 0,25 ( + 2− ( t > 0) ) x − 2x BPTTT : 0,25 ≤4 0,25 t+ ≤4 t ⇔ t − 4t + ≤ ⇔ − ≤ t ≤ + (tm) ( Khi ®ã : − ≤ + ⇔ ) x −2 x 0,25 ≤ + ⇔ −1 ≤ x − x ≤ 0,25 x − 2x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + V.b 1 (C) có tâm I(3;0) bán kính R = 2; M ∈ Oy ⇒ M(0;m) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm) ·AMB = 600 (1) Vậy Vì MI phân giác ·AMB ·AMB = 1200 (2) 0,5 IA (1) ⇔ ·AMI = 300 ⇔ MI = ⇔ MI = 2R ⇔ m + = ⇔ m = m sin 300 IA (2) ⇔ ·AMI = 600 ⇔ MI = ⇔ MI = R ⇔ m2 + = Vơ sin 600 3 nghiệm Vậy có hai điểm M1(0; ) M2(0;- ) 0,5 Gọi H hình chiếu vng góc M d, ta có MH đường thẳng qua M, cắt vng góc với d 0,25 x = + 2t d có phương trình tham số là: y = −1 + t z = −t uuuu r Vì H ∈ d nên tọa độ H (1 + 2t ; − + t ; − t).Suy : MH = (2t − ; − + t ; − t) r Vì MH ⊥ d d có vectơ phương u = (2 ; ; −1), nên : uuuu r 2 1 2.(2t – 1) + 1.(− + t) + (− 1).(−t) = ⇔ t = Vì thế, MH = ; − ; − ÷ 0,25 uuuu r uuuur uMH = 3MH = (1; −4; −2) Suy ra, phương trình tắc đường thẳng MH là: x − y −1 z = = −4 −2 0,25 wWw.VipLam.Info 3 Theo trªn cã H ( ; − ; − ) mµ H lµ trung ®iĨm cđa MM’ nªn to¹ ®é M’ 0,25 ( ;− ;− ) 3 ĐK: x>0 , y>0 VIb (1) ⇔ 22 log3 xy − 2log3 xy − = 0,5 0,25 x 2 (2)⇔ log4(4x +4y ) = log4(2x +6xy) ⇔ x2+ 2y2 = ⇔log3xy = ⇔ xy = 3⇔y= Kết hợp (1), (2) ta nghiệm hệ: ( ; ) ( ; S M A D H B C ) 0,25 ... tuyến D, E có hệ số góc là: kD=y’(xD)= 3x 2D + 6x D + m = −(3x D + 2m); 0,25 0,25 kE=y’(xE)= 3x 2E + 6x E + m = −(3x E + 2m) Các tiếp tuyến D, E vuông góc khi: kDkE = –1 ⇔ (3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1... Hết…………………………………… (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) Híng dÉn chÊm m«n to¸n C©u I ý Néi Dung Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iĨm) y = x3 + 3x2 + mx + (Cm) m = : y = x + 3x + 3x + (C3) + TXĐ: D = R + Giới... →+∞ + y’ = 3x + 6x + = 3( x2 + 2x + 1) = 3( x + 1)2 ≥ 0; ∀x ⇒ hµm sè ®ång biÕn trªn R • 0,25 Bảng biến thi n: 0,25 + y” = 6x + = 6(x + 1) y” = ⇔ x = –1 ⇒ tâm đối xứng U(-1;0) * Đồ thò (C3): Qua A(-2