Tập lồi và nón lồi

Chơng Tập lồi nón lồi 1.Tập lồi Cho X không gian tuyến tính, Ă tập số thực 1.1 1.Định nghĩa Tập A X đợc gọi lồi nếu: x1 , x2 A, Ă :0 x1 + (1 ) x2 A 1.1.2 Định nghĩa Giả sử A X , x1 , x2 A Đoạn nối x1 , x2 đợc định nghĩa nh sau: [ x1 , x2 ] = { x A : x = x1 + x2 ; , 0, + = 1} Nhận xét : Tập A lồi nếu: x1 , x2 A [ x1 , x2 ] A Ví dụ: Các đa giác lồi, đa diện lồi quen thuộc hình học sơ cấp chiều tập hợp lồi 1.1.3 Định nghĩa Véc tơ x X đợc gọi tổ hợp lồi véc tơ: n n i =1 i =1 i = 1sao cho x = i xi x1 , x2 , , xn i (i = 1, n), 1.1.4 Định lý Tập A X lồi véctơ: x1 , x2 , , xm A , i ,(i = 1, m) ; m m = , thi: x i =1 i i =1 i i A Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo m Điều kiện cần Nếu A tập lồi ta chứng minh: m m i =1 i =1 i xi A , véc tơ, x1 , x2 , , xm A , i ,(i = 1, m) : i = Thật vậy: m=2, theo định nghĩa 1.1 ta có: i xi A (1) i =1 Giả sử (1) với m=k Ta phải chứng minh (1) đến m=k+1 x1 , x2 , , xk , xk +1 A i 0, (i = 1, k + 1) , k +1 k +1 =1 i =1 i Nếu k +1 = i = 0, = 1, k i xi = xk +1 A (theo giả thiết) i =1 Nếu k +1 < đó: k +1 = + + K + k > i 0, (i = 1, k ) k +1 k i i = y = xk A (theo giả thiết qui nạp) i =1 i =1 k +1 k +1 k Mặt khác Vậy xk+ A y A nên (1 k +1 ) y + k +1 xk +1 A k +1 i xk + k +1 xk +1 A hay i A i =1 k +1 i =1 k (1 k +1 ) Theo nguyên lý qui nạp đpcm Điều kiện đủ Cho m=2 ,theo định nghĩa 1.1.1 A tập lồi Hệ Giả sử A X lồi , x1 , x2 , , xn A Khi A chứa tất tổ hợp lồi xi , (i = 1, n) 1.1.5 Định lý Giả sử A X ,( I ) tập lồi, với I tập số bất kỳ, A lồi Khi đó: A = I Chứng minh x1 , x2 A x1 , x2 A , I Do A lồi I cho nên: : , x1 + (1 ) x2 A ( I ) x1 + (1 ) x2 I A x1 + (1 ) x2 A A tập lồi (đpcm) I 1.1.6 Định lý a) Giả sử A1 , A2 X tập lồi, R Khi A1 + A2 ; A1 tập hợp lồi b) A1 X ; A2 X tích đề A1 ì A lồi X ì X Chứng minh Chứng minh A1 + A2 tập lồi:` x, y A1 + A2 x1 A1; x2 A2 : x = x1 + x2 y1 A1 , y2 A2 : y = y1 + y2 ; va , : + = , ta có: x + y = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) = (1 x1 + y1 ) + (1 x2 + y2 ) Do A1, A2 tập lồi x1 + y1 A1 ; x2 + y2 A2 x + y A1 + A2 A1 + A2 tập lồi Chứng minh A1 tập lồi : x, y A1 x1 A1 : x = x1và y1 A1 : y = y1 , đó: x + y = x1 + y1 = (1 x1 + y1 ) , , : + = Do A1 tập lồi x1 + x2 A1 ,x1 , y1 A1 , : + = x + y A1 A1 tập hợp lồi Chứng minh A1xA2 tập lồi X1xX2 z1 = ( x1 , y1 ) , ( x1 A1 , x1 A2 ) z2 = ( x2 , y2 ) , ( x2 A1 , y2 A2 ) 1, 0: 1+ 2=1, ta có: z1 + z2 = ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = (1 x1 + x2 , y1 + y2 ) Do A1, A2 lồi x1 + x2 A1 , y1 + y2 A2 z1 + z2 A1 ì A2 Vậy A1xA2 tập lồi 1.1.7 Định lý A, B tập lồi, A X , B Y ; X , Y không gian tuyến tính, T: X Y toán tử tuyến tính Khi đó: a) T(A) lồi b) T-1(B) lồi Chứng minh Chứng minh T(A) tập lồi y1 , y2 T ( A) x1 , x2 A : y1 = T ( x1 ), y2 = T ( x2 ) , : + = ta có: y1 + y2 = 1T ( x1 ) + 2T ( x2 ) = T (1 x1 + x2 ) Do A tập lồi x1 + x2 A Vậy T (1 x1 + x2 ) T ( A) y1 + y2 T ( A) Vậy T(A) tập lồi Chứng minh T-1(B) lồi x1 , x2 T ( B) y1, y2 B : x1 = T ( y1 ) x2 = T ( y2 ) , : + = , ta có : x1 + x2 = 1T ( y1 ) + 2T ( y2 ) = T (1 y1 + y2 ) ,do B lồi nên y1 + y2 B y1 + y2 T ( B ) x1 + x2 T ( B ) T ( B ) lồi (đpcm) 1.1.8 Định nghĩa Cho A X Khi đó: (i) Giao tất tập lồi chứa A đợc gọi bao lồi tập A, kí hiệu: coA (ii) Giao tất tập lồi đóng chứa A đợc gọi bao lồi đóng tập A, kí hiệu: coA Nhận xét : + coA tập lồi Đó tập lồi nhỏ chứa A + A tập lồi A= coA + coA tập lồi đóng Đó tập lồi đóng nhỏ chứa A + A tập lồi đóng A= coA 1.1.9 Định lý Bao lồi đóng tập A trùng với bao đóng bao lồi A Tức coA = coA Chứng minh Theo nhận xét định nghĩa 1.1.8 coA tập hợp lồi chứa A coA tập lồi đóng chứa A Mặt khác coA tập lồi đóng nhỏ chứa A coA coA (1) Vì coA tơng giao tất tập lồi (không đóng) chứa A coA coA coA coA coA coA (vì coA tập đóng) Kết hợp (1) (2) coA = coA 1.1.10 Định lý coA trùng với tất tổ hợp lồi A Tức là: coA = x : x = i xi , i : i =1 , x i A, I hữu hạn iI iI (2) Chứng minh Xét M = x : x = i xi , i : i = 1, xi A, I - hữu hạn iI iI Lấy Ai tập hợp lồi chứa A Giả sử x M x = i xi , xi A iI Vì xi A mà A Ai xi Ai ,i I Mặt khác Ai lồi nên x Ai M Ai ,(i I ) M I Ai = coA hay M coA (1) iI Ngợc lại x, y M à1 , à2 : à1 + à2 = ,ta có : x, y M x = i xi , i : i = 1, xi A , I1- hữu hạn iI1 iI1 y = j x j , j : j = 1, y j A , I2-hữu hạn iI jI Xét: à1 x + à2 y = à1 i xi + j x j = (i à1 ) xi + ( j ) x j iI1 jI iI1 Rõ ràng xi A, (i I1 ) ; x j A, ( j I ) jI + iI1 i jI j = à1 + = Vậy à1 x + à2 y M M tập lồi Rõ ràng A M mà coA tập lồi nhỏ chứa A coA M Từ (1) (2) coA = M Hệ Tập A lồi A chứa tầt tổ hợp lồi A 1.1.11.Định lý.Giả sử A X tập lồi Khi đó: Phần intA bao đóng A A tập hợp lồi (2) Chứng minh Chứng minh intA tập lồi Lấy x1 int A, x2 A , tồn lân cận U x1 cho x = x1 + (1 ) x2 , < ta có: U + (1 ) x2 lân cận x U + (1 ) x2 A int A int A tập lồi Chứng minh A tập lồi Lấy x1 , x A Đặt x = x1 + (1 ) x2 , < Giả sử U lân cận lồi O Do x i A , nên xi+UI A , tồn xi ' ( xi + U ) I A Đặt x ' = x '1 + (1 ) x '2 , < 1, ta có: x ' ( x1 + U ) + (1 ) ( x2 + U ) = x + U , < x ' ( x + U ) I A hay ( x + U ) I A x A A tập lồi 1.2 Nón lồi 1.2.1 Định nghĩa (i) Tập K X, đợc gọi nón có đỉnh nếu: x K, > ta có x K K đợc gọi nón có đỉnh x0 K x0 nón có đỉnh (ii) Nón K có đỉnh gọi nón lồi K tâp lồi, có nghĩa là: x , y K , , > x + ày K (iii) Giao tất nón lồi (có đỉnh 0) chứa tập A điểm nón lồi đợc gọi nón lồi sinh tập A, kí hiệu KA Nhận xét: + Nếu K nón -K nón gọi nón đối K + Một nón lồi nón nhng ngợc lại cha ví dụ: K = + , nón nhng nón lồi vì: 1+ tập lồi + KA=KcoA 1.2.2 Định lý Tập K X nón lồi có đỉnh x, y K, > x + y K, x K Chứng minh Giả sử K nón lồi , hiển nhiên: x K , > , x > 1 x+ y K 2 Lại K nón lồi có đỉnh nên với z K ta có x + y = z K Do K tập lồi ta có: x, y K z = Ngợc lại: 10 x K , > ta có x K Vậy K nón có đỉnh Ta chứng minh K tập lồi (1) Thật vậy: x, y K , < < , ta có (1 ) x, y K (1 ) x + y K Vậy K tập lồi (2) Từ (1) (2) K nón lồi 1.2.2.1 Hệ Tập K X nón lồi K chứa tất tổ hợp tuyến tính dơng phần tử K Tức là, nếu: x1 , x2 , , xn K ; , , , n > thì: n x K i =1 i i 1.2.2.2 Hệ Giả sử A tập X, K tập tất tổ hợp tuyến tính dơng A Khi K nón lồi nhỏ chứa A 1.2.3 Định lý Giả sử K , ( I ) nón lồi (có đỉnh x 0) Khi đó: K , ( I ) nón lồi có đỉnh x0 Chứng minh + Giả sử K X , ( I ) tập lồi Khi lấy x1 , x2 K = I K x1 , x2 K , ( I ) x1 + (1 ) x2 K , ( I ) x1 + (1 ) x2 I K = K K = I K , ( I ) tập lồi (1) + 0, x K = I K x K , I x I K = K (2) Từ (1) (2) K = K nón lồi 1.2.4 Định lý.(Định lý Carathéodory nón lồi ).Giả sử A Ă n cho dimA=m, ( A ), KA nón lồi sinh tập A Khi điểm x 0, x A biểu diễn dới dạng: x = x1 + x2 + + m xm , i > , xi A , (i = 1, m) , điểm x1 , x2 , , xm độc lập tuyến tính Chứng minh Lấy x K A , x Theo định lý ta có : x = à1 x1 + à2 x2 + + k xk , ( ài > , xi , i = 1, k ) Giả sử véc tơ x1 , x2 , , xk , phụ thuộc tuyến tính, tồn số 11 (1) 1, 2, , k không đồng thời không cho: x1 + x2 + + k xk = (2) Nh vậy, số 1, 2, , k có i>0 (nếu không ta đổi dấu toàn 1, 2, , , k) { } Kí hiệu I = i = 1, k , i > Đặt = min( iI ài ) , ài ' = ài i , (i = 1, k ) , i i> 0, (i = 1, k ) có i = Mặt khác từ (1) và(2) ta có k k k k x = x x = x i =1 ' i i i =1 i i i =1 i i i =1 i i = x Nh ta nhận đợc biểu diễn x dới dạng tổng không k-1 số hạng khác không Lặp lại trình hữu hạn lần ta nhận đợc kết cần chứng minh 1.2.5 Định lý (Định lý Carathéodory tập lồi ) Giả sử A Ă n Khi điểm tập coA tổ hợp lồi không n+1 điểm khác A Chứng minh Xét tập hợp B = { 1} ì A = { (1, x) : x A} Ă ì Ă n , ta có coB = { 1} ì coA Giả sử K B nón lồi sinh tập B , coB K B Theo định lý 1.1.4 ,nếu (1, x) coB tồn điểm (1, x1 ), (1, x2 ) , ,(1, xm ) B m số , , , m > với m n + : (1, x) = (1, x1 ) + (1, x2 ) + + m (1, xm ) B x = x1 + x2 + + m xm + + + m = 12 Chơng hàm lồi số ứng dụng Giả sử X không gian lồi địa phơng, D X ,f : D Ă U { } 2.1.Hàm lồi 2.1.1.Định nghĩa Trên đồ thị hàm f, ký hiệu epi f, đợc định nghĩa: epi f = { ( x, r ) D ì R : f ( x ) r} 2.1.2 Định nghĩa (i) Giả sử hàm f xác định tập D X Khi hàm f lồi D thoả mãn điều kiện sau: x1 , x D, , : + = , thì: f ( x1 + x ) 1f (x1 ) + f (x ) (ii) Hàm biến f(x, y) gọi lồi miền xác định D f Df tập lồi (x1 , y1 );(x , y ) D f , , : + = , thì: f ( x1 + (1 )x ; y1 + (1 )y ) f (x1 , y1 ) + f (x , y ) Tổng quát hàm n biến f ( x1 , x2 , , xn ) gọi lồi Df Df tập lồi (x1 , x , , x n );(y1, y , , y n ) D f , 1, : + = : f ( (x1 , x , , x n ) + 2f (y1 , y , , y n ) ) f 1f (x1 , x , , x n ) + 2f (y1 , y2 , , yn ) ý nghĩa hình học: f(x) hàm lồi tâp D nh x1 , x D cung AB nằm dới dây AB, với A ( x1 ,f (x1 ) ) , B ( x ,f (x ) ) 2.1.3 Định nghĩa (i) Hàm f đợc gọi lõm D -f lồi D Tức là: 13 x1 , x D, , : + = : f ( x1 + x ) 1f (x1 ) + f (x ) (ii) Hàm f đợc gọi lồi chặt D nêú: x1 , x D, , > , + = thì: f ( 1x1 + x ) < 1f (x1 ) + 2f (x ) (iii) Hàm f đợc gọi lõm chặt D f lồi chặt D Ví dụ: Hàm số f(x)=x2 lồi chặt Ă Thật vậy, x1 , x R, (x1 x ) x1 , x Ă , , > : + = , ta chứng minh: f ( x1 + x ) < 1f (x1 ) + f (x ) (1) (1) (1x1 + x ) < (1 x12 + x ) (12 )x12 + ( 2 )x 2 + 21 x1x < , (thay = ) (1 1)(x1 x ) < Lại do: > 0, (1 ) < ,(x1 x ) (1 1)(x1 x ) < (1) Hàm số y=a x+2 ; a, b Ă lồi Ă Thật vậy: x1 , x Ă , , : + = f (1 x1 + x2 ) = a(1 x1 + x2 ) + b = a (1 x1 + x2 ) + b(1 + ) = ( ax1 + b) + (2 x2 + b) = f ( x1 ) + f ( x2 ) f (x) = ax + b hàm lồi Ă Hàm số f ( x, y ) = ax + by + c hàm lồi Ă Thật : ( x1 , y1 ); ( x2 , y2 ) Ă , : + = Ta chứng minh: f[ ( x , y1 )+ ( x , y )] f( x , y1 ) + f( x , y ) (*) a(1x1 + x )+b(1 y1 + y2 )+c (ax1 + by1 + c) + (ax + by2 + c ) c c (luôn đúng) 14 Lúc OM = x + y , đặt D = AB Nh theo ví dụ hàm lồi : f ( x, y ) = x + y hàm lồi toàn Ă , nói riêng f(x, y) lồi D theo nh lý max f ( x, y ) = max { f(x1 ,y1 ); f(x ,y )} , ( x; y ) D hay max OM = max f ( x, y ) = max { f(x1,y1 ); f(x ,y )} , M D Bài toán Cho số thực x1, x2, , xn [a,b] Tìm giá trị lớn A = ( x1 x2 ) + ( x1 x3 ) + + ( x1 xn ) + ( x2 x3 ) + + ( xn1 xn ) Đặt f ( x) = x f '' ( x) = > f ( x) = x hàm lồi nên : f ( x1 , x2 ) + f ( x1 , x3 ) + + f ( xn1 , xn ) hàm lồi Vậy A = f ( x1 , x2 , , xn ) hàm lồi D = [a,b] Nên A đạt giá trị lớn xi {a,b} maxA=k(a-b) với k số cặp xi x j i, j = 1, n Bài toán Cho số thực sau a1 , a2 , ,an [p,q] , (p,q 0) 1 n ( p + q) a + a + ììì+ an ) + + ììì+ ữ Chứng minh: ( an pq a1 a2 Cố định ( 1 a2 , , an ) f ( a1 ) = ( a1 + a2 + ììì+ an ) + + + ữ an a1 a2 = ( a1 + k ) + t ữ a1 (vi k = a2 + + an , k > f'' (a1 ) = 2k >0 a13 f (a1) hàm lồi [p, q] 54 ;t = 1 + ììì+ ) a2 an Tơng tự cố định ak , k = ( 2, n ) f(ak) hàm lồi f đạt giá trị lớn {a,b} , i = ( 1, n ) Đặt r số p số q n-r Vậy: p q) n n r ( (p q) 2 f = rp + ( n p ) + == r + nr + + n q pq pq p Tacó: r + nr + n2 + 4 ( p q ) (n + 4) ( p q) 2 ( p q) f +n =n pq pq pq n n số chẵn Bài toán Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: Dấu xảy va r = f ( x, y ) = x + y với x, y thoả mãn : x + y D x + y + y 2x Giải: Vẽ hệ trục OXY, D toàn miền tam giác ABC với đỉnh: A(-4, 2); B(0;4); C(-2, 0) Dễ thấy f ( x, y ) = x + y hàm lồi toàn mặt phẳng theo định lý 2.2.2.6 ta có: 55 max ( f ( x, y )) = max{ f (4,2), f (0,4), f (2,0)} ( x , y )D = max{ 20,16,4} = 20 Gọi H ( x0 , y0 ) hình chiếu O lên BC, H D H gần O nhất, hay OH = x0 + y0 bé ( x0 , y0 ) điểm cực tiểu địa phơng hàm f ( x, y ) = x + y miền D Do f hàm lồi nên theo định lý 2.2.2.4 ( x0 , y0 ) cực tiểu toàn cục f ( x, y ) miền D, đó: ( f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) = OH ( x , y )D = d (O, ) 16 = ữ = ( với đờng thẳng -2x+ y-4=0 ) Bài toán 4.Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f ( x, y ) = x + y x y + với (x, y) thoả mãn : x + y D : x + 3y x 0, y 56 Vẽ hệ trục toạ độ OXY , D toàn điểm thuộc miền tứ giác lồi ABCD, với toạ độ đỉnh : A(1, 0), B(0, 2), C(0, 3), D(9, 0) Dễ thấy f1 ( x, y ) = x y + f ( x, y ) = x + y hàm lồi Vậy f(x, y) lồi nên theo định lý 2.2.2.6 ta có: max ( f ( x, y )) = max{ f (1,0), f (0,2), f (0,3), f (9,0)} ( x , y )D = max{ 2, 7, 10, 50} = 50 Xét: g ( x, y ) = x + y x y + 20 = ( x 2) + ( y 4) = f ( x, y ) + 15 Gọi M(x, y) thì: O1 M = ( x 2) + ( y 4) , với O1(2, 4) Gọi H ( x0 , y ) hình chiếu O1 lên CD ta có H D H gần O1 hay (x0, y0) điểm cực tiểu địa phơng g ( x, y ) = ( x 2) + ( y 4) D Do g(x, y) lồi nên theo định lý 2.2.2.4 (x0, y0) điểm cực tiểu toàn cục hàm g ( x, y ) = f ( x, y ) + 15 D Vì ta có: g ( x, y ) = g ( x0 , y0 ) = O1 H ( x , y )D = d (O, ' ) = 25 (min f ( x , y ) = 15 = x , y )D 2 Với ' đờng thẳng x + y = 57 max ( f ( x, y )) = 20 ; g ( x, y ) = 25 ( x , y )D Bài toán Tìm m để hệ sau có nghiệm không âm Vậy ( x , y )D x + y x + 3y x + y x y + 20 m = Giải:Bài toán cho tơng đơng với toán sau: f ( x, y ) = x + y x y + 20 = m x + y (*) x + 3y x 0, y x + y Gọi D miền xác định hệ sau: D ( x, y ) : x + y x 0, y f ( x, y ) m max f ( x, y ) Khi hệ (*) có nghiệm khi: (min x , yD ( x , yD Dễ thấy f1 ( x, y ) = x + y f ( x, y ) = x y + 20 hàm lồi Ă Vậy f ( x, y ) = f1 ( x, y ) + f ( x, y ) hàm lồi toàn không gian Vẽ hệ trục OXY Khi D toàn điểm thuộc miền tứ giác lồi ABCE với toạ độ đỉnh: A(1, 0);B(0, 2); C(0, 3) ; E(9, 0) Vì f(x, y) hàm lồi D nên theo định lý 2.2.2.6 ta có: Ta có f ( x, y ) = ( x 2) + ( y 4) Gọi M(x, y) O1 M = ( x 2) + ( y 4) với O1(2, 4) 58 Gọi H(x0, y0) hình chiếu O1 lên BC H D H gần O1 hay ( x0 , y ) điểm cực tiểu địa phơng f ( x, y ) = ( x 2) + ( y 4) D Do f(x, y) hàm lồi nên ( x0 , y ) cực tiểu toàn cục f ( x, y ) Vì thế: g(x, y) = f (x , y ) = O1H ( x ,y)D = d (O, ' ) = Với ' đờng thẳng: x+ 3y-9=0 m 65 hệ cho có nghiệm không âm Ngoài dạng toán ta gặp toán hệ phơng trình bất phơng trình có dạng: Vậy f i ( x, y ) = f ( x, y ) ; ( ) i ( ) x Dx , m Dm x Dx , m Dm xi biến số, m tham số ; Dx, Dmlần lợt miền xác định x m Với lớp toán mà f(x, y) hàm lồi ta có tính chất sau: 2.2.2.7.Định lý Nếu f(x, y) hàm lồi tập lồi D thì: M = { ( x, y ) : f ( x, y ) } tập lồi Chứng minh ( x1 , y1 ); ( x2 , y ) M , f(x, y) hàm lồi D nên: f [ ( x1 , y1 ) + (1 )( x2 , y2 )] f ( x1 , y1 ) + (1 ) f ( x2 , y2 ) Mặt khác: ( x1 , y1 ) M f ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) M f ( x2 , y2 ) Từ (1) (2) ta có: > , f [ ( x1 , y1 ) + (1 )( x2 , y2 )] + (1 ) = [ ( x1 , y1 ) + (1 )( x2 , y2 ) ] M Vậy M = {( x, y ) f ( x, y ) } tập lồi 59 (1) (2) Hệ Nếu fi(x, y), ( i = 1, m ) hàm lồi xác định tập lồi D, ký hiệu f1 ( x, y ) f ( x, y ) 2 tập nghiệm hệ bất phơng trình sau: f m ( x, y ) m Thì tập lồi Chứng minh i = { ( x, y ) f i ( x, y ) i } , i = 1,m m Theo định lý 2.2.2.7 i , i = 1, m tập lồi = i tập i= hợp lồi (đpcm) Nhận xét : Nếu ta chứng tỏ đợc tập nghiệm hệ (I), (II) tập hợp lồi việc giải toán xét đầu mút biên tập cho, áp dụng tính chất tập lồi định lý kết luận toàn tập cho thuộc tập nghiệm x 2(m + 3) x + m + 6m + y Bài toán Cho hệ: ( x y m 2)( x y m 5) (1) (2) Tìm m để tập nghiệm hệ chứa [2, 4] Giải: Xét hàm số y = x 2(m + 3) x + m + 6m + Ta có: y ' = x 2(m + 3) , y '' = > ,x Ă ,Vậy: y = x 2(m + 3) x + m + 6m + hàm lồi Ă , suy lồi [2, 4] Ta có (2) ( x y ) (2m + 7)( x y ) + ( m + 2)( m + 5) ( x y ) (2m + 7) x + (2m + 7) y + (m + 2)(m + 5) Dễ thấy : f1 ( x, y ) = ( x y ) f ( x, y ) = (2m + 7) x + (2m + 7) y + ( m + 2)(m + 5) hàm lồi Ă 60 (*) Vậy f ( x, y ) = f1 ( x, y ) + f ( x, y ) hàm lồi toàn không gian, suy hàm lồi [2, 4] Theo hệ định lý 2.2.2.7 tập nghiệm hệ (*) lồi Vậy để tập nghiệm hệ (*) chứa đoạn [2, 4] trục hoành hệ (*) phải nghiệm (2;0) (4;0) 4(m + 3) + m + 6m + (2 m 2)(2 m 5) Do thay (2;0) (4;0) vào hệ (*) 16 8(m + 3) + m + 6m + (4 m 2)(4 m 5) m + 2m m(m + 3) -1 m m m (m 2)(m + 1) Vậy m nghiệm hệ cho chứa [2;4] mx + y + 5m + Bài toán Cho hệ: (1) y + (m + 1) y x + m x y + (2) x + y + x y + có tập nghiệm D D2 Tìm m để D2 nằm trọn D1 Giải: Chọn hệ trục toạ độ OXY Dễ kiểm tra đợc tập nghiệm D2 điểm thuộc miền tam giác ABC, với A(0;4); B(-4;2) C(-2;0), từ suy D tập lồi Ta dễ thấy f1 ( x, y ) = mx + y + 5m + 12 Hình2.9 f ( x, y ) = y + ( m + 1) y x + m hàm lồi R2 nên theo định lý 2.2.2.7 suy D1 tập lồi 61 Do điều kiện cần đủ để D2 nằm trọn D1 là: 5m + 24 5m + 12 A D1 m + 18 B D1 C D 3m + 3m + 12 m -4 m 12 12 D2 nằm trọn D1 Bài toán 8.Tìm m để nghiệm bất phơng trình (1) 2 x m2 x+1 > x chứa [-2;0] Giải: Đặt x = t , t > Khi (1) t 2mt > t ,(t>o) (2) Bài toán trở thành tìm t để nghiệm bất phơng trình t 2mt > t , (t > 0) chứa ;1 ,do ;1 nên ta tìm t để nghiệm bất phơng trình chứa ;1 Từ (2) có: t t 2mt t-m Đặt : f (t ) = t t 2mt ,f ' (t) = -1- t -2mt m f '' (t ) = , t ;1 (t 2mt ) t 2mt Vậy f(t) hàm lồi, theo định lý 2.2.2.7 tập nghiệm bất phơng trình lồi Vậy để tập nghiệm bất phơng trình chứa ;1 bất phơng trình m < -1 nghiệm x = , x = m < m < Vậy m[...]... liên tục và lồi trên I(a, b) và nếu g(x) là lõm và nghịch biến trên tập giá trị của f(x) thì gf(x) là hàm lõm trên I(a, b) 2.1.6 Định lý.Nếu f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên I(a, b) và nếu g(x) là hàm ngợc của f(x) thì ta có các kết luận sau: (i) f(x) lõm và đồng biến g(x) lồi và đồng biến (ii) f(x) lõm và nghịch biến g(x) lõm và nghịch biến (iii) f(x) lồi và nghịch... Định lý (Mối quan hệ giữa hàm lồi và tập lồi) Hàm f(x) là lồi trên D khi và chỉ khi epi f là tập lồi trong X ì Ă Chứng minh 19 a) Giả sử f(x) là hàm lồi Xét ( x1 , r1 ) epi f ; ( x2 , r2 ) epi f ; 1 , 2 > 0 , 1 + 2 = 1 Theo định nghĩa epi f ta có: x D ( x1 , r1 ) epi f 1 f ( x1 ) r1 x D ( x2 , r2 ) epi f 2 f ( x2 ) r 2 Vì D là tập lồi 1x1 + 2x 2 D Do f lồi nên f (1 x1 + 2 x2 ) 1 f... =1 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra f (1 x1 + 2 x2 ) 1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) (đpcm) Ví dụ :các hàm f1 ( x) = ax+b, f 2 ( x) = x 2 là các hàm lồi trên R+ suy ra hàm f ( x ) = 1 x 2 + 2 (ax + b) , (1 , 2 Ă ) là hàm lồi trên R+, hay các hàm bậc 2 là lồi trên R+ 2.1.5 Định lý Nếu f(x) là hàm số liên tục và lồi trên I(a, b) và nếu g(x) lồi và đồng biến trên tập giá trị của g(x) thì gf(x) là lồi trên I(a,... gf ( x1 ) + gf ( x2 ) (2) Từ (1) và( 2) ta suy ra gf ( x1 + x2 ) gf ( x1 ) + gf ( x2 ) (đpcm) Tơng tự ta cũng có các tính chất sau: (i) Nếu f(x) là hàm số liên tục và lõm trên I(a, b) và nếu g(x) là lồi và nghịch biến trên tập giá trị của f(x) thì gf(x) là hàm lồi trên I (a, b) (ii) Nếu f(x) là hàm số liên tục và lõm trên I(a, b) nếu g(x) là lõm và đồng biến trên tập giá trị của f(x) thì gf(x) là... 2 f ( x2 ) (2) Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn.Vậy f là hàm lồi Biểu diễn của hàm lồi và hàm lõm Ta thấy f(x) lồi trên I (a, b) f ''( x) 0, x I ( a, b) , từ đó ta có nhận xét: Khi hàm f lồi trên I(a, b) thì đạo hàm bậc nhất là một hàm đơn điệu tăng, do vậy ta có tính chất: 2.1.12 Định lý Hàm f(x) lồi trên I(a, b) khi và chỉ khi tồn tại hàm g(x) đơn điệu tăng trong I(a, b) và số c (a, b) sao cho: f... x1 , r1 ) + 2 ( x2 , r2 ) epi f Vậy epi f là tập lồi trong X ì Ă b)Ngợc lại: Giả sử epi f là tập lồi. Ta sẽ chứng minh f là hàm lồi Giả sử f không phải là hàm lồi khi đó x1 , x2 D, x1 x2 , à1 0, à2 0 : à1 + à 2 = 1 , sao cho: f ( à1 x1 + à2 x2 ) à1 f ( x1 ) + à 2 f ( x2 ) (1) Ta có: ( x1, f ( x1 ) ) epi f , ( x2, f ( x2 ) ) epi f Do epi f là tập lồi nên à1 ( x1, f ( x1 ) ) + à 2 ( x2, f ( x2... 2 2 + ììì+ x 2 n là hàm lồi trên Ă n , với: (x1 , x 2 , , x n ) Ă n Các tính chất cơ bản của hàm lồi 2.1.4 Định lý Giả sử D X là tập lồi Nếu fi, (i=1,, m) là các hàm lồi m trên D và 1 , 2 , , m Ă thì f ( x) = i f i là hàm lồi trên D + i =1 Chứng minh x1 , x2 D, 1 , 2 0 : 1 + 2 = 1 m Ta có: f (1 x1 + 2 x2 ) = i f i (1 x1 + 2 x2 ) i =1 Vì fi (i = 1, m) là các hàm lồi trên D nên ta có: f... nghịch biến (iii) f(x) lồi và nghịch biến g(x) lồi và nghịch biến Chứng minh Suy trực tiếp từ hàm ngợc :Hàm ngợc luôn luôn cùng tính đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến ) với hàm xuất phát 2.1.7 Định lý Nếu f(x) là hàm số khả vi trên I(a, b) thì f(x) là hàm lồi trên I(a,b) khi và chi khi f ' ( x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a, b) Chứng minh Giả sử f(x) là lồi trên I(a, b) khi đó x1 < x < x2 , ( x, x1... f(x) là hàm số liên tục trên I(a, b) nên tập giá trị của nó cũng là một tập có dạng I (c, d ) Ă Theo giả thiết f(x) là lồi trên I(a, b) x1 , x2 I (a, b) và , 0 : + = 1 , ta có: f (x1 + x2 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) Theo giả thiết g(x) là hàm số đồng biến nên ta nhận đợc : gf ( x1 + x2 ) = g [ f ( x1 + x2 ) ] g [ f ( x1 ) + f ( x2 ) ] (1) Do g(x) là hàm lồi nên: g [ f ( x1 ) + f ( x2 ) ] ... cũng có một suy rộng của bất đẳng thức Petrovica Cho f (x) là hàm lồi trên [0, a] với a > 0 và p1, , pn là các số không âm sao cho: x i 0, p i x i , i = 1,n và i =1 n n p x i i < a i =1 n n Khi đó ta có: pi f (x i ) f p i x i ữ + p i - 1 ữ f (0) i =1 i =1 i =1 B áp dụng bất đẳng thức Jensen và các bất đẳng thức hệ quả vào trong n mộtsố bất đẳng thức đại số khác Bài toán 1 Cho n số ... tất nón lồi (có đỉnh 0) chứa tập A điểm nón lồi đợc gọi nón lồi sinh tập A, kí hiệu KA Nhận xét: + Nếu K nón -K nón gọi nón đối K + Một nón lồi nón nhng ngợc lại cha ví dụ: K = + , nón nhng nón. .. : + coA tập lồi Đó tập lồi nhỏ chứa A + A tập lồi A= coA + coA tập lồi đóng Đó tập lồi đóng nhỏ chứa A + A tập lồi đóng A= coA 1.1.9 Định lý Bao lồi đóng tập A trùng với bao đóng bao lồi A Tức... A A tập lồi 1.2 Nón lồi 1.2.1 Định nghĩa (i) Tập K X, đợc gọi nón có đỉnh nếu: x K, > ta có x K K đợc gọi nón có đỉnh x0 K x0 nón có đỉnh (ii) Nón K có đỉnh gọi nón lồi K tâp lồi, có