C .áp dụng bất đẳng thức Jensen và các bất đẳng thức hệ quả trong
Cho λ1 → 0+ thì: λ1 x+ λ2 1x → x 1.
3.2 ứng dụng vào mộtsố bài toán.
Bài toán 1. Chứng minh rằng 1 họ các đa giác đôi một cắt nhau sẽ có 1 cát
tuyến chung (đờng thẳng cắt tất cả các đa giác này)
Giải: Ta chiếu tất cả các đa giác này xuống 1 đờng thẳng ảnh của các đa giác này là 1 trong các đoạn thẳng có tính chất đôi một 1 giao nhau khác rỗng, theo định lý 3.1.6 thì có 1 điểm M nằm trong phần giao chung này, cho nên đờng thẳng qua M và song song phơng chiếu là cát tuyến chung.
Bài toán 2. Trên mặt phẳng có số điểm mà khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ
trong chúng không vợt quá 1.Chứng minh rằng có thể phủ chúng bởi một hình tròn bán kính 1
3.
Chứng minh
Lấy mỗi điểm Mi, (i=1,m) cho trớc làm tâm vẽ một hình tròn Fi bán kính
1
3.Nếu ta chứng minh đợc rằng giao bất kỳ của 3 trong chúng khác rỗng thì
giao của cả hệ khác rỗng.
Thật vậy, xét 3 điểm M ,M ,M1 2 3 tùy ý.
1,Trờng hợp tam giác M M M1 2 3 là tam giác nhọn
Gọi (O;R) là đờng tròn ngoại tiếp tam giác M M M1 2 3 không mất tổng quát
giả sử ã 0
1 3 2
1 2 1 20 0 0 0 1 2 sin 60 2sin 60 3 M M M M R R = ⇔ = ≤ Khi đó F , F v F1 2 à 3có giao khác rỗng . 2, Tam giác M M M1 2 3 là tù, thì hình tròn có đờng kính cạnh lớn nhất phủ tam giác đã cho, do đó F , F v1 2 à F phủ trung điểm cạnh lớn nhất 3
Do 3 bất kỳ trong số F , F , F1 2 3 có giao khác rỗng, gọi O là điểm trong giao khác rỗng này, hình tròn bán kính 1
3 phủ cả hệ n điểm M ,M ,...,M1 2 n cho
trớc (đpcm).
Bài toán 3. Trên mặt phẳng cho n hình tròn (n≥3) Giả sử cứ với mỗi ba hình tròn có một hình tròn bán kính r cắt cả ba hình tròn đó .Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bám kinh r cắt cả n hình tròn trên .
Giải :Gọi S O ri( , )i i là hình tròn tâm Oi, bán kính ri, (i=1, )n là n hình tròn đã cho và gọi Ωi( ,O r ri + i) là hình tròn tâm Oivà bán kính r r+ i ,(i=1, )n .
Nh vậy tất cả tâm đờng tròn có bán kính r mà cắt hình tròn S O ri( , )i i đều nằm trong Ωi( ,O r ri + i)
Theo giả thiết mọi bộ ba i ,j ,k thì Ω ∩ Ω ∩ Ω ≠ ∅i j k
Rõ ràng Ωi là các hình lồi ∀ =i 1,n.Vậy theo định lý 3.1.6 suy ra
... i j n Ω ∩ Ω ∩ ∩ Ω ≠ ∅ .Giả sử * i O ∈ Ω ⇒I hình tròn S O r*( , )* với tâm O* bán kính r cắt mọi hình tròn S O ri( , )i i đã cho .
Bài toán 4. Chứng minh rằng một đa giác lồi khi và chỉ khi 4 đỉnh bất kỳ của
chúng tạo thành một tứ giác lồi.
Chứng minh
Một đa giác lồi thì hiển nhiên 4 điểm của nó lập thành 1 tứ giác lồi. Ngợc lại:
Xét đa giác F có tính chất là 4 đỉnh tùy ý của nó lập thành 1 tứ giác lồi.
Xét bao lồi G của F. Nếu có một đỉnh A nào đó của F không là đỉnh của G thì có thể chia G thành các tam giác bằng các đờng chéo xuất phát từ 1 đỉnh nào
đó của G và ta có 4 điểm: A và 3 đỉnh của tam giác chứa A, không lập thành tứ giác lồi điều này mâu thuẫn với đề bài suy ra (đpcm).