Một số dạng chứng minh hình học ở phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC –––––––––––––––––––––– VÕ ĐÔNG TĨNH MỘT SỐ DẠNG CHỨNG MINH HÌNH HỌC Ở PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC –––––––––––––––––––––– VÕ ĐÔNG TĨNH MỘT SỐ DẠNG CHỨNG MINH HÌNH HỌC Ở PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa sau đại học, Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Trịnh Thanh Hải Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn giúp đỡ suốt trình thực luận văn Nhân dịp này, xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học, Khoa sau đại học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô giáo trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thành viên lớp Cao học Toán K5C quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để hoàn thành luận văn Tuy nỗ lực học tập, nghiên cứu cố gắng song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đồng nghiệp, để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2014 Học viên Võ Đông Tĩnh Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tổng quan toán chứng minh hình học 1.1.1 Bài toán chứng minh hình học 1.1.2 Lược đồ chứng minh 1.2 Sơ lược không gian Affine 1.2.1 Không gian affine 1.2.2 Ánh xạ affine 1.2.3 Biểu thức tọa độ không gian affine 1.2.4 Tính chất 1.2.5 Khái niệm tâm tỉ cự, tọa độ trọng tâm 1.3 Sơ lược không gian xạ ảnh 1.3.1 Không gian xạ ảnh 1.3.2 Ánh xạ xạ ảnh 1.3.3 Tính chất ánh xạ xạ ảnh CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC 2.1 Một số ví dụ minh họa phương pháp chứng minh hình học 2.1.1 Chứng minh trực tiếp 2.1.2 Xét tất khả 10 2.1.3 Chứng minh phản chứng 15 2.1.4 Chứng minh quy nạp 19 2.2 Khai thác số tính chất hình học affine vào toán chứng minh hình học 22 2.3 Khai thác số tính chất hình học xạ ảnh vào toán chứng minh hình học 26 2.3.1 Một số tính chất xét mối quan hệ mặt phẳng xạ ảnh mặt phẳng Affine 26 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii 2.3.2 Một số ví dụ minh họa việc khai thác số tính chất hình học xạ ảnh vào toán chứng minh hình học 31 CHƢƠNG SƠ LƢỢC VỀ VIỆC SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE KIỂM TRA TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 34 3.1 Vấn đề đại số hóa tính chất hình học với phần mềm Maple 34 3.2 Kiểm tra tính chất hình học với hỗ trợ phần mềm Maple 36 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv BẢNG TÓM TẮT KÝ HIỆU Kí hiệu THPT Đọc tên Trung học phổ thông Suy Tương đương A Không A Hoặc Số hóa Trung tâm Học liệu Chuẩn (hoặc khoảng cách) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI NÓI ĐẦU Với mong muốn tìm hiểu trang bị thêm cho thân số kiến thức toán chứng minh chương trình hình học Trung học phổ thông nhằm giúp cho việc giảng dạy cá nhân, em chọn đề tài: “Một số dạng chứng minh hình học phổ thông” làm luận văn cao học Nhiệm vụ đặt là: Trình bày số toán chứng minh hình học quen thuộc cố gắng tạo kết nối với kiến thức giảng dạy bậc Trung học phổ thông với kiến thức trang bị bậc đại học Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một vài dạng chứng minh hình học Chương 3: Sơ lược việc sử dụng phần mềm Maple việc kiểm tra tính chất hình học Em xin gửi tới Thầy, Cô Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, phòng Đào tạo toàn thể Thầy, Cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên lòng biết ơn kính trọng tất tri thức, tình cảm mà Nhà trường Thầy Cô giáo dành cho Em suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2014 Học viên Võ Đông Tĩnh Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tổng quan toán chứng minh hình học 1.1.1 Bài toán chứng minh hình học Trong chương trình hình học THPT, toán chứng minh thường bao hàm yếu tố: - Giả thiết: Những yếu tố biết (A) - Kết luận: Những vấn đề cần làm sáng tỏ (B) Ta thường gặp toán chứng minh hình học dạng: A B hay A B 1.1.2 Lược đồ chứng minh Chứng minh trực tiếp: Chứng minh trực tiếp xuất phát từ giả thiết toán (A), dựa vào quy tắc suy luận ta phải mệnh đề: A1, A2 , , An cho A A1 , A1 A2 , , An B ta có: A B A1, A2 , , An gọi lược đồ chứng minh A B Xét tất khả có thể: Xét toán A B Giả sử ta phân chia thành trường hợp A1, A2 , , An ta có: A A1 A2 An Để chứng minh A B ta chứng minh: A1 B, A2 B,, An B Chứng minh tƣơng đƣơng: Xét toán cần chứng minh A B: Nếu ta dãy mệnh đề: A1, A2, An chứng minh A có A A1, A1 A2 , , An B theo tính chất bắc cầu ta B Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chứng minh phản chứng: Xét toán chứng minh A B Trước tiên, ta giả sử: A đúng, A B sai Bởi A B sai, mà A nên B phải có giá trị sai nghĩa B Từ giả sử B ta chứng minh A Từ giả thiết qua trình lập luận ta có A A đồng thời đúng, dẫn đến mâu thuẫn Điều chứng tỏ giả thiết B sai Vậy B Hay A B Chứng minh quy nạp: Nguyên lý quy nạp toán học: Giả sử P tính chất xác định tập hợp tất số nguyên dương cho: P(1) (1 có tính chất P) số nguyên dương n, P(n) P(n + 1) (nếu n có tính chất P n có tính chất P) Khi đó, số nguyên dương có tính chất P Tính chất sau thường áp dụng chứng minh quy nạp: Giả sử P(n) hàm mệnh đề biến n biến thiên tập hợp Z+ tất số nguyên dương cho P(1) với số nguyên dương K, P(k) (đối với số nguyên dương ) k n P(k + 1) Khi đó, P(n) số nguyên dương n (Chú ý làm việc với số tự nhiên thay số nguyên dương, ta xét P(0) thay cho P(1)) Để chứng minh “mệnh đề chứa biến” P(n) với số tự nhiên n ≥ m (m số tự nhiên cho), ta tiến hành hai bước: Bước (thường gọi bước sở): Chỉ mệnh đề P(m) Bước (bước quy nạp): Với số tự nhiên k ≥ m, ta chứng minh mệnh đề P(k) mệnh đề P(k + 1) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.2 Sơ lƣợc không gian Affine 1.2.1 Không gian affine Giả sử Α tập khác rỗng, phần tử A gọi điểm, V K - không gian véctơ, F ánh xạ từ tập A´ A vào không gian V, ảnh cặp điểm (A, B) qua ánh xạ F véctơ thuộc V ký uur hiệu AB Khi tập Α gọi không gian affine liên kết với K không gian véctơ V ánh xạ F điều kiện sau thỏa mãn: Với điểm cố định A Î Α ánh xạ tương ứng điểm B Î Α với uuur véctơ F (AB)= AB song ánh từ tập Α lên tập V Đối với ba điểm A, B, C thuộc Α , ta có uur uur uur AB + BC = AC Nếu V K - không gian véctơ n - chiều Α gọi không gian affine n - chiều Nếu V K - không gian véctơ vô hạn chiều Α gọi không gian affine vô hạn chiều Nếu V không gian Euclide không gian affine Α gọi uuur không gian Euclide Khi đó, độ dài véctơ AB gọi khoảng cách hai uur uuur điểm A B không gian Euclide Α Góc véctơ BA BC gọi góc tạo ba điểm A, B, C không gian Euclide Α , ký hiệu ·ABC Khoảng cách hai tập X , Y Ì A ký hiệu xác định sau: uur r (X ,Y )= inf AB : A Î X , B Î Y { } 1.2.2 Ánh xạ affine Giả sử Α Α' không gian affine liên kết với K - không gian véctơ V V’ Ánh xạ F : A ® A gọi ánh xạ affine tồn uuuuuuuuur uur ánh xạ tuyến tính f : V ® V ' cho F ( A)F ( B ) = f ( AB ) với cặp điểm A, B thuộc không gian affine Α Khi đó, ta nói F ánh xạ affine liên kết với ánh xạ tuyến tính f Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 29 Hình 2.15 T1 Ta chọn d đường thẳng vô tận xét A2 T2 Lúc A2 K1, K2 , K3 điểm vô tận mà ta có: A2 A3 K1L1 A2 A3 L1 L1 A2 L1 A3 A3 A1K L2 A3 A1L2 L2 A3 L2 A1 A1 A2 K L3 A1 A2 L3 L3 A1 L3 A2 P2 \ d Khi định lý phát biểu lại sau: “Cho tam giác ABC, ba điểm M, N, P thuộc cạnh BC, CA, AB Ba điểm M, N, P thẳng hàng MB NC PA ” MC NA PB Định lý Ceva Trong P2 cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2 , A3 đường thẳng d không qua ba điểm cắt đường thẳng A2 A3 , A3 A1, A3 A2 tương ứng K1, K2 , K3 Gọi L1, L2 , L3 điểm tương ứng đường thẳng A2 A3 , A3 A1, A3 A2 (khác A1, A2 , A3 ) Điều kiện cần đủ để ba điểm A1L1, A2 L2 , A3 L3 đồng quy điểm là: A2 A3 K1L1 A3 A1K2 L2 A1 A2 K3 L3 A3 L1 K1 A2 K2 L2 A1 K3 L3 Hình 2.16 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 30 T1 Ta chọn d đường thẳng vô tận xét A2 T2 Lúc A2 K1, K2 , K3 điểm vô tận ta có: A2 A3 K1L1 A2 A3 L1 L1 A2 L1 A3 A3 A1K L2 A3 A1L2 L2 A3 L2 A1 A1 A2 K L3 A1 A2 L3 L3 A1 L3 A2 P2 \ d Khi định lý Ceva phát biểu sau: “Cho tam giác ABC, ba điểm E, F, G thuộc cạnh BC, CA, AB Khi đó, ba đường thẳng AE, BF, CG đồng quy EB FC GA EC FA GB ” Định lý Desargues thứ Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 cho sáu điểm phân biệt A, B, C, A’, B’, C’ ba điểm thẳng hàng Nếu đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy giao điểm cặp đường thẳng AB A’B’, BC B’C’, CA C’A’ thẳng hàng S B' A C R P C' A' B Hình 2.17 T1 Giả sử đường thẳng qua S (AA’, BB’, CC’ đồng quy S) không qua điểm A, B, C, A’, B’, C’ chọn A2 Số hóa Trung tâm Học liệu P2 \ http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 T2 Xét A2 đường thẳng AA’, BB’, CC’ đôi song song nên AA’B’B, AA’C’C hình thang Ta có định lý sau: T3 Cho hình thang AA’CC’ (AA’//CC’) đường thẳng a song song với cạnh đáy hình thang Giả sử B, B’ điểm a cho điểm A, B, C, A’, B’, C’ ba điểm thẳng hàng Nếu cặp đường thẳng AB A’B’, BC B’C’, AC A’C’ cắt P, Q, R Khi P, Q, R thẳng hàng R A' A P B B' Q C' C Hình 2.18 2.3.2 Một số ví dụ minh họa việc khai thác số tính chất hình học xạ ảnh vào toán chứng minh hình học Ví dụ 2.15 Cho ABC cố định Một parabol (P) biến thiên tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự A ', B ', C ' Chứng minh đường thẳng B ' C ', C ' A ', A ' B ' Lời giải Trong mô hình affine mặt phẳng xạ ảnh P2, đường parabol đường conic tiếp xúc với đường thẳng vô tận Do đó, ta đưa toán ban đầu toán: “Trong P2 cho ABC đường thẳng d không qua đỉnh tam giác Một conic (S) biến thiên tiếp xúc với BC, CA, AB, d A ', B ', C ', D ' Chứng minh đường thẳng B ' C ', C ' A ', A ' B ' qua điểm cố định” Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 Chứng minh: Gọi E d AC , F d AB Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác BCB ' EFC ' ngoại tiếp conic (S) ta có BE, CF, B’C’ đồng quy Vậy B’C’ qua I BE CF Ta chọn d đường thẳng vô tận xét mô hình xạ ảnh mặt phẳng A2 I P \ d , toán ban đầu ta có B’C’ qua điểm cố định BE CF , BE đường thẳng song song với AC CF đường thẳng song song với AB Hoàn toàn tương tự, ta có A’C’ qua điểm cố định H AG CF , AG đường thẳng song song với BC, A’B’ qua điểm cố định K BE AG d F C' (S) A B D B' C G A' E Hình 2.19 Ví dụ 2.16 Cho hình bình hành ABCD có cạnh song song với đường tiệm cận hypebol (H) cho trước có hai đỉnh đối diện A, C nằm (H) Chứng minh hai đỉnh lại hình bình hành thẳng hàng với tâm O hypebol (H) Lời giải Trong mô hình affine mặt phẳng xạ ảnh P2, đường hypebol đường conic cắt đường thẳng vô tận hai điểm I J Tiếp tuyến conic hai điểm vô tận I J đường tiệm cận hypebol Giao điểm Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 O hai tiếp tuyến tâm hypebol Do đó, ta chuyển toán cho thành toán sau đây: “Trong P2 cho conic (S) đường thẳng d cắt (S) hai điểm I J Trên conic (S), lấy hai điểm A C Gọi B giao điểm AI với CJ D giao điểm Ạ với CI; tiếp tuyến conic (S) I J cắt O Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.” Chứng minh: Áp dụng định lý Pascal cho lục giác IICJJA nội tiếp conic (S) ta có giao điểm sau thẳng hàng: O giao điểm hai tiếp tuyến I J conic (S), B AI CJ , D AJ CI Chọn d đường thẳng vô tận xét mô hình xạ ảnh mặt phẳng affine A2 = P2 \ d , toán xạ ảnh trở lại toán affine ban đầu ta kết cần chứng minh (Hình 2.20) I A (S) B D O C J d Hình 2.20 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 34 CHƢƠNG SƠ LƢỢC VỀ VIỆC SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE KIỂM TRA TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 3.1 Vấn đề đại số hóa tính chất hình học với phần mềm Maple Để đại số hóa số định lý hình học, sử dụng gói Geoprover phần mềm Maple, chẳng hạn: Ví dụ 3.1 (Định lý bướm) Cho đường tròn tâm O Các điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Gọi P giao điểm AC BD Còn F, G tương ứng giao điểm đường thẳng qua P vuông góc với OP với đường thẳng AB, CD Khi đó, P trung điểm FG Ta chọn hệ trục tọa độ Đề với điểm P gốc tọa độ, trục hoành nằm đoạn OP Ta sử dụng số thủ tục, câu lệnh sau Maple: >P:= Point(0, 0): O:= Point( u1 ,0 ): y B >A:=Point( u2 , u3 ): B:=Point( u4 , u1 ): x >C:=Point( x2 , x3 ): D:=Point( x4 , x5 ): >F:=Point( 0, x6 ): G:=Point( 0, x7 ): F O A P khai báo đường tròn tâm O, bán C G D kính OA: >c:=pc_circle(O, A): Hình 3.1 Từ giả thiết B, C, D thuộc đường tròn O, ta dùng câu lệnh: >on_circle(B, c), on_circle(C, c), on_circle(D, c); Kết quả: u42 x12 2u1u4 2u2u1 u22 u32 , x22 x42 x52 2u1x5 2u2u1 u22 u32 Số hóa Trung tâm Học liệu x32 2u1x2 2u2u1 u22 u32 , http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 35 Từ giả thiết P giao điểm AC BD, F thuộc AB G thuộc CD ta dùng câu lệnh >on_line(P, pp_line(A, C)), on_line(P, pp_line(B, D)), on_line(F, pp_line(A, B)), on_line(G, pp_line(D, C)); Kết quả: u3 x2 u2 x3 , x1x4 u4 x5 , u2 x6 u4 x6 u3u4 u2 x1, x7 x4 x7 x2 x2 x5 x3 x4 Để kết luận P trung điểm FG, sử dụng câu lệnh: >numer(sqrdist(P, midpoint(F, G))); Kết quả: x7 x6 Như tính chất kiểm tra Ví dụ 3.2 (Định lý điểm Fecma) Cho ABC tam giác tùy ý Gọi P, Q, R đỉnh tam giác cạnh BC, AC, AB dựng phía tam giác ABC Khi AP, BQ, CR cắt điểm Điểm gọi điểm Fecma Ta chọn hệ trục tọa độ Đề các, với A gốc tọa độ, trục hoành nằm đoạn thẳng AB P Q C dùng câu lệnh: A : Point(0,0) : B : Point(u1 ,0) : C : Point(u2 , u3 ) : P : Point( x1 , x2 ) : B A Q : Point( x3 , x4 ) : R : Point( x5 , x6 ) : Dựng tam giác ABC ba tam giác đều, câu lệnh: polys : eq _ dist ( P, B, B, C), eq _ dist ( P, C, B, C), eq _ dist (Q, A, A, C ), eq _ dist (Q, C , A, C ), eq _ dist ( R, B, A, B), eq _ dist ( R, A, A, B) ; R Hình 3.2 Kết quả: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 36 polys : x1u1 x12 x22 u22 x1u2 x12 2u3 x2 x3u2 x32 - 2u3 x4 2u2u1 u32 , x22 x42 , x52 2u2u1 u12 , x32 x42 u22 u32 , x62 - u12 , - 2u1 x5 x52 x62 Để kết luận ba đường đồng quy, ta sử dụng câu lệnh: is _ concurrent pp _ line A, P , pp _ line B, Q , pp _ line C , R ; Kết quả: : x2 u1 u3 x5 x2 u1 x6 u2 x2 x3 u3 x5 x2 x3 x6 u2 x2 u2 x4 u1 x2 u1 x4 x5 x1 x4 u3 x5 x1 x4 x6 u2 x1 x4u1 x6 x1 u1 x4 u3 3.2 Kiểm tra tính chất hình học với hỗ trợ phần mềm Maple Để kiểm tra tính chất hình học đó, ta sử dụng phần mềm Maple theo bước sau: Chọn hệ trục tọa độ để biểu diễn điểm kiện định lý Cần chọn cho số lượng biến sở Grobner số lượng biến nhiều, thời gian tính toán máy lâu Đại số hóa giả thiết kết luận định lý Liệt kê danh sách bao gồm đa thức giả thiết đa thức kết luận nhân với biến phụ thuộc mới, sau trừ Tìm đa thức dư đa thức cho đa thức danh sách lệnh: normalf (1, WL, T ); Trong đó: WL danh sách đa thức, T thứ tự từ Nếu kết trả lại định lý Ngược lại tiếp tục tìm sở Grobner rút gọn idean sinh WL (i) Tìm sở Grobner rút gọn G WL (ii) Tìm idean khử dòng lệnh sau: for j from to nops (G ) k[ j ] : deg ree(leadterm(G[ j ], plex(T ')), {T '}) : if k[ j ] then pr int(G[ j ]); fi : od : Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 (iii) Giải phương trình đa thức sinh idean khử để tìm trường hợp suy biến Khi đại số hóa giả thiết kết luận định lý không tránh khỏi kết phép tính toán không đa thức Lúc đó, dùng câu lệnh numer() để lấy phần tử thức Còn phần mẫu thức coi trường hợp suy biến, cần xét thêm Ví dụ 3.2 Nếu ABCD hình thoi hai đường chéo AC BD vuông góc với cắt điểm N trung điểm đường chéo Sau đại số hóa định lý Ta chọn hệ trục tọa độ Đềcác mà gốc tọa độ A trục hoành trùng với tia AB (nhằm hạn chế tối đa biến độc lập) Ta dùng Maple để thiết lập hệ phương trình giả thiết kết luận Trong Maple, khai báo điểm mà tọa độ chứa tham số sử dụng câu lệnh để thực phép tính điểm Map.le yêu cầu điểm phải thỏa mãn số điều kiện định để thực phép tính Ví dụ, dùng lệnh khai báo C D đường thẳng qua hai điểm có tọa độ cho trước dạng tham số maple đưa thông báo hai điểm phải N hai điểm phân biệt (tức phải đưa câu lệnh giả thiết hai điểm phân biệt trước khai báo đường B A Hình 3.3 thẳng) Với thủ tục thực phép tính phức tạp mà nhiều chưa làm Do vậy, vấn đề xây dựng gói công cụ dựa ngôn ngữ lập trình Maple để giải vấn đề thiếu Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 38 Sau câu lệnh để đưa hệ phương trình giả thiết kết luận định lý: >restart: with(Groebner): >read("D:/Maple/Maple/GeoProver.mpl"): with(geoprover): Ta tiến hành khai báo điểm: A : Point(0,0), B : Point(u1,0), C : Point(u2 , u3 ), D : Point( x1, x2 ), N : Point( x3 , x4 ) A : [0, 0] B : [u1 , 0] C : [u2 , u3 ] D : [ x1 , x2 ] N : [ x3 , x4 ] Các biến u1 , u2 , u3 biến độc lập, biến x1 , x2 , x3 biến phụ thuộc bị ràng buộc điều kiện ABCD hình thoi N giao điểm hai đường chéo Từ giả thiết AB = AD N BD ta có phương trình: AC , N > sqrdist(A, B) - sqrdist(A, D) = 0; u12 x12 x22 >on_line(N, pp_line(B, D)) = 0; x2 x3 x4 x1 x4u1 x2u1 >on_line(N, pp_line(A, C)) = 0; u3 x3 u2 x4 Từ giả thiết AD // CB CD // AB ta có phương trình: > is_parallel(pp_line(A, D), pp_line(C, B)) = 0; x2u2 x2u1 x1u3 > is_parallel(pp_line(C, D), pp_line(A, B)) = 0; u3 Từ kết luận AC x2 BD N trung điểm AC BD ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 39 > is_orthogonal(pp_line(C, A), pp_line(D, B)) = 0; x2u3 u2 x1 u2u1 > sqrdist(N, B) - sqrdist(N, D) = 0; u1 2u1x3 x1 x1x3 x2 x2 x4 > sqrdist(N, A) - sqrdist(N, C) = 0; u22 2u2 x3 u32 2u3 x4 Như định lý cho toán sau (Ta chia toán định lý có hai kết luận riêng biệt ta dùng sở Grobner để kiểm định kết luận): Giả thiết 1: Cho hệ phương trình f1 u12 x12 f2 x2u2 f3 u3 x22 x2u1 x2 x1u3 0 Kết luận 1: Khi nghiệm thực phải thỏa mãn hệ phương trình: g1 x2u3 x1u2 u2u1 ( AC BD) Giả thiết 2: Cho hệ phương trình f1 u12 x12 x22 f2 x2u2 f3 u3 f4 x2 x3 f5 u3 x3 u2 x4 x2u1 x2 x1u3 x4u1 x2u1 x4 x1 0 Kết luận 2: Khi nghiệm thực phải thỏa mãn hệ phương trình: g1 g2 u12 u22 2u1 x3 x12 x1 x3 2u2u3 u32 2u3 x4 x22 x2 x4 0 (N trung điểm AC BD) Bây ta sử dụng Maple Idean I1 để kiểm định kết luận g1: I1 ( f1, f , f3 , zg1 1) Số hóa Trung tâm Học liệu  [u1, u2 , u3 , x1, x2 , z] http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 40 theo thứ tự từ điển với z L1 : [u12 x12 x1 x22 , x2u2 x2 u1 u2 x2u1 x1u3 , u3 , ta sở Grobner sau x2 u3 , ( x2u3 u2 x1 u2u1 ) z 1]: L2 : ( z, x1 , x2 , u1 , u2 , u3 ) : Ta tìm đa thức dư đa thức chia cho đa thức danh sách L1 thứ tự từ điển trên: normalf (1, L1, plex( L2 )); Ta thấy đa thức dư 1, kết luận g1 chưa Để xem định lý suy biến trường hợp ta tìm sở Grobner G I1 tìm Idean khử I1 : >G:=gbasis(L1,plex(L2 )); G : [u3 , x2 , x1 u1,2 zu2u1 1] Dựa sở Grobner trên, ta khai báo biến phụ thuộc vào danh sách L3 sử dụng câu lệnh Maple để đưa I1 : L '3 : ( z, x1, x2 , x3 , x4 ) : > for j from to nops(G) k [ j ] : deg ree(leadterm(G[ j ], plex ( L3 )),{L3}) : if k [ j ] then print(G[ j ]); fi : od : u3 Như vậy, ta tìm idean khử I1 (u3 ) Trường hợp suy biến định lý ứng với nghiệm phương trình u3 , tức điểm C có tọa độ (u2 ,0) hay nói cách khác điểm C nằm trục hoành hình thoi suy biến thành đường thẳng Ta tiếp tục kiểm định kết luận g : I2 điển với z ( f1, f , f3 , f , f5 , zg2 1) x1 x2 x3 L1 : [u12 - x12 - x22 , x2u2 x4 u1 u2 x2u1 x1u3 , Số hóa Trung tâm Học liệu  [u1, u2 , u3 , x1, x2 , x3 , x4 , z] theo thứ tự từ u3 , ta sở Grobner sau: x2 u3 , x2 x3 x4 x1 x4u1 x2u1, http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 41 x2 x3 x4 x1 x4u1 x2u1 , (u12 2u1x3 x12 2x1x3 x22 2x2 x4 )z 1]: L2 : ( z, x1, x2 , x3 , x4 , u1, u2 , u3 ) : normalf (1, L1 , plex( L2 )); G : gbasis( L1 , plex( L2 )); G : [u3 , x4 , x2 , x1 u1 , zu1 x3 1] Dựa sở Grobner trên, ta khai báo biến phụ thuộc vào danh sách L3 sử dụng câu lệnh Maple để đưa idean khử I : L3 : ( z , x1 , x2 , x3 , x4 ) : for j from to nops (G ) k[ j ] : degree(leadterm(G[ j ], plex( L3 )), {L3}) : if k[ j ] then print(G[ j ]); fi : od : u3 Như ta tìm idean khử I (u3 ) Trường hợp suy biến định lý ứng với nghiệm phương trình u3 , tức hình thoi suy biến thành đường thẳng Kiểm định tương tự cho ta kết luận g3 ta có kết tương tự Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 42 KẾT LUẬN Với mục đích tìm hiểu, sưu tầm số phương pháp chứng minh toán hình học để phục vụ cho công tác giảng dạy thân trường phổ thông luận văn hoàn thành nhiệm vụ sau: - Đưa số ví dụ minh họa cho phương pháp chứng minh toán hình học phổ biến chương trình phổ thông; - Đưa số lời chứng minh toán hình học theo xu hướng gắn kiến thức hình học cao cấp trường Đại học với nội dung chứng minh toán hình học trường phổ thông; - Ngoài luận văn giới thiệu sơ lược phương pháp chứng minh toán hình học sở sử dụng kết sở Grobner với hỗ trợ gói lệnh phần mềm Maple Mặc dù cố gắng, luận văn có hạn chế Rất mong nhận bảo Thầy, Cô để tác giả sửa chữa nội dung luận văn tốt Xin trân trọng cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, Một số chuyên đề toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi (2010), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Văn Xoa (2006) Tuyển tập Đề thi tuyển sinh Trung học phổ thông Chuyên môn Toán NXB Giáo dục [3] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Nguyễn Văn Nho (2001) 40 năm Olympic Toán học quốc tế Nhà xuất Giáo dục [4] Đỗ Thanh Sơn Một số chuyên đề hình học phẳng (2011) NXB Giáo dục 2011 [5] Tuyển tập toán chọn lọc 45 năm tạp chí Toán học tuổi trẻ Nhà xuất Giáo dục, 2009 [6] Jean - Marie Monier, Giáo trình Toán (tập 7) (2006), NXB Giáo dục Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... cảm sinh bởi một lớp các phép đẳng cấu tuyến tính vị tự với nhau biến V n thành W n 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 9 CHƢƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC 2.1 Một số ví dụ minh họa phƣơng pháp chứng minh hình học 2.1.1 Chứng minh trực tiếp Ví dụ 2.1 Bất đẳng thức Ptô-lê-mê: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng AC.BD AB.CD Lời giải AD.BC D Xét tứ giác ABCD (Hình 2.1)... http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 22 2.2 Khai thác một số tính chất của hình học affine vào bài toán chứng minh hình học Ví dụ 2.12 Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 Gọi M là ảnh đối xứng của D1 qua A; N là ảnh đối xứng của D qua C1 ; I là trung điểm của cạnh BB1 Chứng minh rằng ba điểm M, I và N thẳng hàng Ý tƣởng giải quyết bài toán: N C1 D1 A1 B1 D A I C B M Hình 2.9 Ta có hình hộp là 3-hộp trong không gian Affine... của hình lục giác DEFGHI đồng quy tại một điểm (H.2.11) 2.3 Khai thác một số tính chất của hình học xạ ảnh vào bài toán chứng minh hình học 2.3.1 Một số tính chất xét trong mối quan hệ giữa mặt phẳng xạ ảnh và mặt phẳng affine Định lý Papuyt: Cho ba điểm phân biệt A, B, C nằm trên đường thẳng b Nếu ta gọi M AB ' BA ', N AC ' CA ', P BC ' CB ' thì ba điểm M, N, P thẳng hàng A C P B N M I B' C' A' Hình. .. trường hợp trước Vì thế, theo chứng minh trên, ta phải có CD = CK, mâu thuẫn với (6) Do đó trường hợp này không thể xảy ra Vậy (2) được chứng minh Từ (1) và (2) hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 Ví dụ 2.5 Cho P là điểm cố định nằm bên trong một hình cầu cho trước Ba đoạn thẳng PA, PB, PC vuông góc với nhau từng đôi một, có ba đầu mút A, B,... DB BD (**) Mâu thuẫn giữa (*) và (**) cho ta điều phải chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 19 2.1.4 Chứng minh quy nạp    Ví dụ 2.9 Cho OP1 , OP2 , , OP2 n 1 là các véctơ đơn vị trong một mặt phẳng Các điểm P1, P2 , , P2n 1 đều cùng nằm về một phía của một đường thẳng qua    O Chứng minh rằng: OP1 OP2 OP2 n 1 1 Lời giải Hiển nhiên mệnh... bao nhiêu tam giác bởi các đường chéo không giao nhau? Lời giải: Nếu n = 3 thì tam giác không có đường chéo vậy số tam giác chỉ có một, nghĩa là 3 – 2 =1 Nếu n = 4 thì rõ ràng tứ giác chỉ có thể chia thành hai tam giác: 4 2 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 20 Ta có thể đưa ra giả thiết số tam giác chia bởi đường chéo không giao nhau là Sn n 2 Ta chứng minh giả thiết này bằng... được gọi là một đẳng cấu affine Giữa hai không gian affine tồn tại một đẳng cấu affine được gọi là một đẳng cấu 1.2.3 Biểu thức tọa độ trong không gian affine Mỗi phần tử (x, y) của ¡ 2 được y biểu diễn hình học bởi một điểm, ký hiệu là M mà các tọa độ là x, y r Ta ký hiệu 0 = (0,0)= 0 y M O x x 2 Vậy mỗi phần tử (x, y) của ¡ , tùy trường hợp, sẽ được xem như một Hình 1.1 véctơ, hoặc một điểm y Cho... V4 V Ví dụ 2.14 Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ, nếu mỗi cạnh của tam giác được chia thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia đó với các đỉnh đối diện của cạnh đó ta sẽ được sáu đường thẳng tạo nên một hình lục giác thì các đường chéo của hình lục giác này sẽ đồng quy tại một điểm Ý tƣởng giải quyết bài toán: Ta có tam giác là 2-đơn hình trong mặt phẳng affine 2 chiều thông thường nên... là hình bình N M P hành Mà XN // YP nên tứ giác NPYX cũng là hình bình hành Do NP // XY nên M, N, P thẳng hàng X Y Z Hình 2.3.a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 11 Trường hợp 2: MP không song song với XYZ Gọi S là giao điểm của MP với XYZ Đường thẳng qua X song song với YP cắt MP ở N' Bài toán sẽ được gải quyết nếu ta chứng minh được rằng ZN' // YM (Vì khi ấy N' trùng N) Hình. .. đôi một vuông góc với nhau Vậy, quỹ tích điểm Q phải tìm là mặt cầu tâm O, bán kính R ' 3h, với R ' 3 R 2 OI 2 2PI 2 3 R2 4 OP 2 9 2 OP 2 9 3R 2 2OP 2 2.1.3 Chứng minh phản chứng Ví dụ 2.6 Gọi K, L, M lần lượt là các điểm tùy ý trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Chứng minh rằng trong các tam giác AML, BKM, CLK có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 1 diện tích tam giác 4 ABC Số ... CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC 2.1 Một số ví dụ minh họa phương pháp chứng minh hình học 2.1.1 Chứng minh trực tiếp 2.1.2 Xét tất khả 10 2.1.3 Chứng minh phản chứng. .. kiến thức toán chứng minh chương trình hình học Trung học phổ thông nhằm giúp cho việc giảng dạy cá nhân, em chọn đề tài: Một số dạng chứng minh hình học phổ thông làm luận văn cao học Nhiệm vụ... n thành W n Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC 2.1 Một số ví dụ minh họa phƣơng pháp chứng minh hình học 2.1.1 Chứng minh trực tiếp