ĐẲNG THỨC – BẤT ĐẲNG THỨC I ĐẲNG THỨC : Bài : Cho x + y + z = Chứng minh : x + y z + y + x z − xyz = Hướng dẫn : 3 2 3 2 Vế trái : x + y + x z + y z − xyz = x + y + z ( x + y − xy ) hay : ( x + y ) ( x + y − xy ) + z ( x + y − xy ) = ( x + y − xy ) ( x + y + z ) 2 = ( x + y − xy ) ( ) = Bài : Cho x + y + z = Chứng minh : 1 + + =0 2 2 x +y −z x +z −y y + z − x2 Hướng dẫn : Từ giả thiết : x + y + z = ⇒ x + y = - z 2 Bình phương vế : ( x + y ) = ( − z ) ⇔ x + xy + y = z hay x + y − z = −2 xy (1) Tương tự cho : x + z − y (2) y + z − x (3) Bài : Cho xyz = Chứng minh : x y z + + =1 xy + x + yz + y + xz + z + Hướng dẫn : thay vào vế trái yz x y z + + =0 Bài : Cho ba số x , y , z đôi khác y−z z−x x− y x y z + + =0 Chứng minh : 2 ( y − z) ( z − x) ( x − y) Từ giả thiết : xyz = ⇒ x = Hướng dẫn : x y z + + =0 y−z z−x x− y x y z ⇒ = − (1) , nhân hai vế (1) với : y−z x−z x− y y−z y x z = − ( ) , nhân hai vế (2) với : + z−x z− y x− y z−x z y x = − + (3) , nhân hai vế (3) với : x− y x−z y−z x− y + Từ gt : Cộng vế theo vế (1) , (2) ,(3) ta đpcm Bài : Cho xy ≠ x + y = ( xy − ) x y + = 2 y −1 x −1 x y + Từ gt : x + y = ⇒ x = – y thay vào vế trái đpcm Chứng minh : Hướng dẫn : Bài : Cho x , y , z đôi khác x− y y−z z−x 2 + + = + + ( z − x) ( z − y) ( x − y) ( x − z) ( y − z ) ( y − x) x − y y − z z − x Chứng minh : Hướng dẫn : Biến đổi : x− y ( z − y) − ( z − x) = − = ( z − x) ( z − y) ( z − x) ( z − y) z − x z − y (1) + Biến đổi tương tự ta (2) (3) + cộng vế theo vế (1) , (2) (3) ta đpcm Bài : Cho a + b + c + d = 3 Chứng minh : a + b + c = ( b + d ) ( ac − bd ) Hướng dẫn : + Từ gt : a + b + c + d = ⇒ a + b = - ( c + d ) (1) + Lập phương hai vế (1) biến đổi , ta đpcm Bài : 1 + + = a , b , c đôi khác a b c b+c c+a a+b + + = −3 Chứng minh : a b c Cho Hướng dẫn : 1 + + =0 a b c Từ giả thiết : ⇒ 1 −1 + = …… b c a Bài : 2 Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn đk : a + b + c = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) a ) Tính a + b + c biết ab + bc + ca = Hướng dẫn : 2 2 2 + Từ a + b + c = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ⇒ a + b + c = ( ab + bc + ca ) + mà ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) ⇒ đpcm Bài 10 : Cho x , y , z số dương thỏa mãn : xy + yz + xz = ) Chứng minh : + x = ( x + y ) ( x + z ) ) Tính giá trị biểu thức : ( + y ) ( + z ) + y ( + z ) ( + x ) + z ( + x ) ( + y ) P = x + x2 2 + y2 2 1+ z2 Hướng dẫn : 2 + Biến đổi vế phải : ( x + y ) ( x + z ) = x + ( xy + yz + xz ) = + x + Biến đổi tương tự cho ( x + y )( y + z ) ( y + z )( z + x ) + Thay vào tính P II BẤT ĐẲNG THỨC : Bất đẳng thức cô si ( cau chy ) + Với hai số a , b không âm : a+b ≥ ab Đẳng thức xảy a = b + Với ba số a , b , c không âm : a+b+c ≥ abc Đẳng thức xảy a = b = c Bất đẳng thức Bu nhia kovski : Cho 2n số thực a1 ,a2 , ,an ; b1 ,b2 , ,bn Khi : ( a1b1 + + anbn ) ≤ ( a12 + + an2 ) ( b12 + + bn2 ) Dấu đẳng thức xảy ⇔ a1 a2 = = b1 b2 Bài : Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 1 + − < a b c abc Hướng dẫn : + Từ : ( a + b − c ) ≥ ⇒ a + b + c + ( ab − bc − ca ) ≥ + kết hợp giả thiết : a + b + c = 5 ( lưu ý : < ) + Chia vế cho abc ta đpcm Bài : Cho a1 < a2 < a3 b1 < b2 < b3 Chứng minh : a1b2 + a2b3 + a3b1 < a1b1 + a2b2 + a3b3 Hướng dẫn : + Từ giả thiết ta có : a1 − a2 < , a2 − a3 < , b2 − b1 > , b3 − b2 > + Tính : ( a1 − a2 ) ( b2 − b1 ) + ( a2 − a3 ) ( b3 − b2 ) < ⇒ đpcm Bài : Chứng minh với số a , b , c , d tùy ý ta có : a + b + c + d ≥ ab + ac + ad Hướng dẫn : 2 + Từ BĐT : ( a − 2b ) ≥ , ( a − 2c ) ≥ , ( a − 2d ) ≥ a ≥ + Cộng BĐT suy đpcm Bài : Cho abc = , a > 36 Chứng minh : a2 + b + c > ab + bc + ca a2 + b + c − ab − bc − ca > Hướng dẫn : + Cm : a2 a2 + + b + 2bc + c − ab − ac − 3bc + cách viết : 12 a a2 a2 2 + b + bc + c − a b + c + − bc − 3bc > ( kết hợp gt ) ) ( ( ) ( ) 12 cm : 12 4 Bài : Cho x > y , xy = Chứng minh : (x + y2 ) ( x − y) ≥8 Hướng dẫn : + Đặt x = a , y = b ⇒ ab = , a ≥ , b ≥ ⇒ a + b ≥ ab = ⇒ a + b − ≥ Nhưng x > y nên a + b -2 > + Thay giá trị vào b.thức cm : (x + y2 ) ( x − y) 2 ( a + b) −8 = (x + y2 ) ( x − y) 2 −8 ≥ − 8a − 8b + 16 a + b + 42 + 2ab − 8a − 8b = suy đpcm a+b−2 a+b−2 Bài : a ) Cho a ≥ , b ≥ Chứng minh : a b − + b a − ≤ ab b ) Cho ba số a , b , c đôi khác Chứng minh : ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) 2 ( a − b) ( b − c) ( c − a) 2 ≥2 Hướng dẫn : b −1 a −1 + ≤ ( a ≥ , b ≥ ) b a a −1 b −1 ≤ , ≤ phép biến đổi tđ BĐT cô si cách cm : a b a −1 ≤ cho hai số không âm : a = ( a − 1) + ≥ a − ⇒ a a+b b+c c+a ,y= ,z = b ) + Đặt : x = dễ dàng cm : a −b b−c c−a a ) BĐT cần cm tương đương với : ( x + )( y + )( z + ) = ( x – )( y – )( z – ) + Khai triển rút gọn lại : xy + yz + zx = -1 + Từ : ( x + y + z ) ≥ biến đổi suy đpcm Bài : a ) Cho x , y số thực thỏa mãn điều kiện : x − y2 + y − x2 = (1) Chứng minh : x + y = (2) b ) Từ đẳng thức (2) suy đẳng thức (1) hay không ? giải thích Hướng dẫn : a ) BĐT BuNhia : ( a1b1 + a2b2 ) ≤ ( a12 + a22 ) ( b12 + b22 ) dấu đẳng thức xảy ⇔ Từ (1) ⇒ (x − y2 + − x2 y dấu đẳng thức xảy ⇔ ) a1 a2 = b1 b2 ≤ ( x2 + − x2 ) ( − y + y ) = 1 − x2 = biến đổi suy đpcm y − y2 x b ) từ (2) suy (1) không chẳng hạn : chọn ( x ; y ) = ( ; -1 ) ( -1 ; ) Bài : a + b + c > Cho số thực a , b , c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca > abc > Chứng minh ba số a , b , c số dương Hướng dẫn : Vì abc > nên ba số a , b , c phải có số dương ( giả sử ngược lại ba số âm ⇒ abc < vô lý ) Không tính tổng quát , ta giả sử a > Mà : abc > ⇒ bc > ⇒ b+c-a ⇒ Từ : a + b + c > ( b + c ) < −a ( b + c ) ⇒ ⇒ b + 2bc + c < − ab − ac ab + bc + ca < −b − bc − c ⇒ ab + bc + ca < , vô lý ; trái với giả thiết : ab + bc + ca > Vậy : b > , c > ⇒ đpcm Bài : 1 + ≥ x y x+ y ) Cho x , y dương Chứng minh : Dấu đẳng thức xảy lúc ? ) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c ( a , b , c độ dài ba cạnh ) Chứng minh : 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p −a p −b p −c a b c Dấu bất đẳng thức xảy lúc tam giác ABC có đặc điểm ? Hướng dẫn : ) Dùng BĐT cô si cho x , y (1) , 1 + x y (2) nhân vế theo vế (1) (2) ) Trước hết Cm mẫu thức dương a+b+c b+c−a −a = > ( tổng độ dài cạnh > cạnh thứ ) 2 1 1 1 + ; + ; + + Áp dụng câu cho : p −a p −b p −b p −c p−c p−a + p−a = Bài 10 : Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a , b , c , chu vi 2p abc ≥ ( p − a ) ( p − b) ( p − c) p − a) + ( p − b) ≥ ( p − a) ( p − b) Chứng minh : Cô si : ( ⇒ c≥2 ( p − a ) ( p − b ) ( )…… Bài 11 : x + y + z = Cho x , y , z số thực thỏa mãn điều kiện : 2 x + y + z = Chứng minh : ≤ x, y,z ≤ Hướng dẫn : + Tạo giả thiết : Từ : x + y + z = ⇒ y + z = − x ⇒ + Từ BĐT sẵn có : ( y + z ) ≥ ( y + z ) + giải bpt ta : ≤ x ≤ (2) ( y + z) = ( − x) (1) , (1) vào (2) chứng minh tương tự ta y , z Bài 12 : ) Chứng minh : với x > ta có : x ≥2 x −1 a2 b2 + ) Cho a > , b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức E = b −1 a −1 Hướng dẫn : ) Cách : + Biến đổi từ x > ⇒ + Bằng cách x ≥2 ⇔ x −1 x − > cm : x −2≥0 x −1 x ≥ x − bình phương vế Cách : sử dụng BĐT cô si cho số ( x – ) : x = ( x − 1) + ) Áp dụng câu ( cô si ) : a2 b2 a b2 a b E= + ≥2 = b −1 a −1 b −1 a −1 b −1 a −1 Bài 13 : Chứng minh bất đẳng thức sau với x , y số thực Khác không : Hướng dẫn : x y x2 y + + ≥ 3 + ÷ y x y x (1) x y x2 y + + − 3 + ÷≥ (1) ⇔ y x y x x y x y x y ⇒ a = + = + ≥ ( cô si ) ⇒ a ≥ a ≤ −2 Đặt : a = + y x y x y x Và x2 y + = a − , (1) ⇔ a − 3a + ≥ ( lập luận thêm ) y x Bài 14 : Cho a , b , c số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh : a + b + c ≤ Hướng dẫn : Ta có : −1 ≤ a,b,c ≤ ⇒ a + ≥ a − ≤ Tính : ( a + )( a – ) …… Bài 15 : Chứng minh bất đẳng thức : a ) a + b ≥ a 3b + ab3 với a , b với a + b ≥ c ) a + b + c ≥ ab + bc + ca b ) a + b2 ≥ d ) a + b + ≥ ab + a + b với số thực a , b Hướng dẫn : 4 a ) Cm : ( a − a b ) + ( b − ab ) ≥ b ) Từ a + b ≥ ⇒ ( a + b) ≥1 ⇒ a + 2ab + b ≥ (1) mà : ( a − b ) ≥ ⇒ a − 2ab + b ≥ (2) , cộng vế theo vế (1) (2) c ) nhân vế BĐT cần Cm cho biến đổi ⇒ đpcm d ) cách làm tương tự câu c ) Bài 16 : Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a + b + c < ( ab + bc + ca ) Hướng dẫn : Sử dụng BĐT cạnh : a < b + c ⇒ a < a ( b + c ) = ab + ac (1) … Bài 17 : Với a > , b > Chứng minh bất đẳng thức : Hướng dẫn : Dùng phép biến đổi tương đương : a b − a≥ b− b a ⇔ (a a b − a≥ b− b a ) a + b b − ab ( ) a+ b ≥0 Bài 18 : Cho ba số thực x , y , z 2 a ) Chứng minh : ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≤ ( x + y + z ) Hướng dẫn : a ) với x , y , z ta có : ( x + y + z) ≥0 ⇒ x + y + z + xy + yz + zx ≥ ⇒ x + y + z ≥ −2 xy − yz − zx ⇒ ( x + y + z ) ≥ x + y + z − xy − yz − zx = ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) 2 Bài 19 : Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện : x = y + z 3 2 a ) Chứng minh : x − y − z = y ( x − y ) + z ( x − z ) Từ suy : x > y + z b ) So sánh x với y + z Hướng dẫn : a ) Biến đổi vế trái : x3 − y − z = x ( y + z ) − y − z ( x = y + z ) = ( xy − y ) + ( xz − z ) = y ( x − y ) + z ( x − z ) Vì : x = y + z với x , y , z > ⇒ x > y , x > z ⇒ x > y x > z ⇒ x–y>0 ,x–z>0 ⇒ y2 ( x − y ) + z2 ( x − z ) > ⇒ x3 > y + z b ) ta có : x = y + z < y + yz + z ... II BẤT ĐẲNG THỨC : Bất đẳng thức cô si ( cau chy ) + Với hai số a , b không âm : a+b ≥ ab Đẳng thức xảy a = b + Với ba số a , b , c không âm : a+b+c ≥ abc Đẳng thức xảy a = b = c Bất đẳng thức. .. Từ đẳng thức (2) suy đẳng thức (1) hay không ? giải thích Hướng dẫn : a ) BĐT BuNhia : ( a1b1 + a2b2 ) ≤ ( a12 + a22 ) ( b12 + b22 ) dấu đẳng thức xảy ⇔ Từ (1) ⇒ (x − y2 + − x2 y dấu đẳng thức. .. minh : Dấu đẳng thức xảy lúc ? ) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c ( a , b , c độ dài ba cạnh ) Chứng minh : 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p −a p −b p −c a b c Dấu bất đẳng thức xảy lúc