Chiều đồng điều gorenstein luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐÌNH HÀ CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU GORENSTEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐÌNH HÀ CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU GORENSTEIN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS ĐÀO THỊ THANH HÀ Nghệ An - 2012 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù hàm tử 1.2 Hàm tử Tor hàm tử Ext 1.3 Chiều đồng điều 10 CHIỀU GORENSTEIN 12 2.1 G - lớp 12 2.2 G - chiều môđun hữu hạn sinh 2.3 Chiều Gorenstein môđun thương 20 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 LỜI NÓI ĐẦU Một động quan trọng cho nghiên cứu chiều đồng điều trở lại vào năm 1956 Auslander, Buchsbaum Serre chứng minh định lý: Một vành địa phương giao hoán Noether R quy trường thặng dư k có chiều xạ ảnh hữu hạn R - môđun có chiều xạ ảnh hữu hạn Năm 1967, Auslander Bridger [2] đưa bất biến cho môđun hữu hạn sinh vành Noether gọi chiều đồng điều Gorenstein Họ chứng minh bất đẳng thức G − dimR M ≤ pdR M , dấu "=" xảy pdR M hữu hạn Hơn nữa, họ chứng minh công thức tổng quát Auslander - Buchsbaum (thỉnh thoảng biết đến công thức Auslander - Bridger) chiều Gorenstein Chiều đồng điều Gorenstein cải tiến chiều đồng điều cổ điển Chúng ta nói chiều Gorenstein "làm mịn" chiều xạ ảnh môđun hữu hạn sinh, có nhiều tính chất đẹp giống chiều xạ ảnh, chẳng hạn: Một vành địa phương giao hoán Noether Gorenstein trường thặng dư có chiều Gorenstein hữu hạn R - môđun có chiều Gorenstein hữu hạn Trong suốt luận văn R kí hiệu vành giao hoán không tầm thường, có đơn vị Luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm đại số đồng điều Chương Chiều đồng điều Gorenstein Trong chương trình bày chứng minh chi tiết lại số kết chiều đồng điều Gorenstein [4] Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học TS Đào Thị Thanh Hà Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Toán học Phòng Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học Vinh tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè quan tâm động viên thời gian học tập hoàn thành luận văn Luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý tận tình thầy cô, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù hàm tử 1.1.1 Định nghĩa Một phạm trù C gồm lớp vật, kí hiệu Obj (C ) tập cấu xạ HomC (A, B) với A, B ∈ Obj (C ) phép hợp thành HomC (A, B) × HomC (B, C) → HomC (A, C) (f, g) → gf, thỏa mãn điều kiện sau (i) Với A ∈ Obj (C ) tồn cấu xạ đồng nhất, kí hiệu 1A cho f 1A = f , với f ∈ HomC (A, B) 1A g, với g ∈ HomC (C, A) (ii) Hợp thành cấu xạ có tính chất kết hợp 1.1.2 Ví dụ (a) Phạm trù tập hợp Set bao gồm vật tập hợp cấu xạ ánh xạ hai tập hợp (b) Phạm trù môđun R, kí hiệu µR bao gồm vật R - môđun cấu xạ R - đồng cấu 1.1.3 Định nghĩa Cho C , D phạm trù Hàm tử hiệp biến F : C → D ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau (i) Nếu A ∈ C F A ∈ D (ii) Nếu f : A → B cấu xạ C tồn cấu xạ tương ứng D F f : F A → F B (iii) Nếu f : A → B g : B → C cấu xạ C F (gf ) = F (g) F (f ) (iv) F1A = 1F A , với A ∈ C 1.1.4 Định nghĩa Cho C , D phạm trù Hàm tử phản biến F : C → D ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau (i) Nếu A ∈ C F A ∈ D (ii) Nếu f : A → B cấu xạ C tồn cấu xạ tương ứng D F f : F B → F A (iii) Nếu f : A → B g : B → C cấu xạ C F (gf ) = F (f ) F (g) (iv) F1A = 1F A , với A ∈ C 1.1.5 Ví dụ (a) Hàm tử Hom (A, −) Cho phạm trù C cố định A ∈ C Ánh xạ F : C → Set xác định B → Hom (A, B) , với cấu xạ ϕ : B → C F ϕ : Hom (A, B) → Hom (A, C) f → ϕf Khi đó, hàm tử Hom (A, −) hàm tử hiệp biến (b) Hàm tử Hom (−, B) Cho phạm trù C cố định B ∈ C Ánh xạ F : C → Set xác định A → Hom (A, B) , với cấu xạ ϕ : A → A F ϕ : Hom (A , B) → Hom (A, B) f → fϕ Khi đó, hàm tử Hom (A, −) hàm tử phản biến (c) Hàm tử tenxơ A⊗R − Cố định A ∈ µR Hàm tử F : µR → µR xác định B → A⊗R B, F f = 1A ⊗R f Khi hàm tử A⊗R − hiệp biến (d) Hàm tử tenxơ −⊗R B Cố định B ∈ µR Hàm tử F : µR → µR xác định A → A⊗R B, F f = f ⊗R 1A Khi hàm tử A⊗R − hiệp biến 1.1.6 Định nghĩa (i) Hàm tử hiệp biến F gọi khớp trái từ dãy khớp 0→M →N →K ta dãy khớp → F M → F N → F K (ii) Hàm tử hiệp biến F gọi khớp phải từ dãy khớp M →N →K→0 ta dãy khớp F M → F N → F K → (iii) Hàm tử phản biến F gọi khớp trái từ dãy khớp M →N →K→0 ta dãy khớp → F K → F N → F M (iv) Hàm tử phản biến F gọi khớp phải từ dãy khớp 0→M →N →K ta dãy khớp F K → F N → F M → (v) Một hàm tử gọi khớp vừa khớp trái vừa khớp phải 1.1.7 Định lý Một hàm tử khớp biến dãy khớp dài thành dãy khớp dài 1.1.8 Mệnh đề (i) Hàm tử Hom (A, −) khớp trái hàm tử Hom (−, A) khớp phải (ii) Hàm tử tenxơ khớp phải 1.1.9 Định nghĩa (i) Phạm trù C gọi cộng tính Hom (A, B) nhóm Aben thỏa mãn f (g + h) = f g + f h, đó, f, g, h cấu xạ C (ii) Hàm tử F : C → D gọi hàm tử cộng tính C , D phạm trù cộng tính F (f + g) = F f + F g 1.1.10 Bổ đề (Bổ đề rắn) Xét biểu đồ giao hoán với hàng khớp: / M /  / M ψ N / / ψ  N / M /  ψ / N Khi đó, có dãy khớp → Kerψ → Kerψ → Kerψ → Cokerψ → Cokerψ → Cokerψ → 1.1.11 Bổ đề (Bổ đề Nakayama) Cho (R, m, k) vành địa phương M R - môđun hữu hạn sinh Nếu M = mM = M M/aM = với a iđêan thực R Đặc biệt M ⊗R k = 1.2 Hàm tử Tor hàm tử Ext 1.2.1 Hàm tử đồng điều Cho dãy phức A R - môđun đồng cấu R - môđun A : ··· / Mn+1 dn+1 / Mn dn / Mn−1 dn−1 /··· Môđun Zn (A ) = Kerdn gọi môđun chu trình thứ n Môđun Bn (A ) = Imdn+1 gọi môđun biên thứ n Khi Hn (A ) = Zn (A ) /Bn (A ) R - môđun gọi môđun đồng điều thứ n A Cho A , B dãy phức R - môđun f : A → B chuỗi đồng cấu Tương ứng Hn (f ) : Hn (A ) → Hn (B) zn + Bn (A ) → fn (zn ) + Bn (B) ánh xạ Hàm tử Hn : Complex (R) → µR xác định gọi hàm tử đồng điều 23 ta có Kn−1 ∈ G (R) Bây ta có dãy khớp −→ Kn−1 −→ Gn−2 −→ · · · −→ G0 −→ M −→ Điều G − dimR M ≤ n − nên theo giả thiết quy nạp ta có M ∈ G (R) 2.2.7 Định lý Cho M R - môđun hữu hạn sinh n ∈ N0 Các phát biểu sau tương đương: (i) G − dimR M ≤ n (ii) G − dimR M < ∞ Extm R (M, R) = 0, ∀m > n (iii) Với G - giải M · · · −→ Gl −→ Gl−1 −→ · · · −→ G0 −→ M −→ hạt nhân Kn = Ker (Gn−1 → Gn−2 ) ∈ G (R) Chứng minh Chú ý tương đương (i) (ii) thiết lập trực tiếp suy đẳng thức G − dimR M = sup {m ∈ N0 |Extm R (M, R) = 0} với môđun có G - chiều hữu hạn Với n = theo Bổ đề 2.2.6 (2.2.4.1) ba điều kiện tương đương Ta nói M ∈ G (R) Bây giả sử n nguyên dương (i) =⇒ (ii) : Nếu G − dimR (M ) ≤ n M có G - giải có độ dài n −→ Gn −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ M −→ Theo Nhận xét 2.2.5 ta có Extm+n (M, R) ∼ = Extm R (Gn , R) = 0, R 24 với m > 0, nghĩa Extm R (Gn , R) = 0, với m > n (ii) =⇒ (i) : Theo giả thiết M có G - giải có độ dài hữu hạn p: −→ Gp −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ M −→ Nếu p ≤ n không để chứng minh, nên ta giả sử p > n Định nghĩa Kn (2.2.5.1) ta thu dãy khớp −→ Kn −→ Gn−1 −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ M −→ 0, Kn có G - chiều hữu hạn, nhiều p − n Ta giả sử Extm R (M, R) = với m > n, theo Nhận xét 2.2.5 ta có m+n ∼ Extm (M, R) = R (Kn , R) = ExtR theo Bổ đề 2.2.6 ta có Kn ∈ G (R) Do đó, M có G - giải có độ dài n (i) ⇐⇒ (iii) : Rõ ràng (iii) =⇒ (i), nên ta giả sử G − dimR M ≤ n, hay có dãy khớp −→ Gn −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ M −→ 0, môđun Gl ∈ G (R) Bây ta chứng minh rằng: Nếu −→ Hn −→ Pn−1 −→ · · · −→ P0 −→ M −→ −→ Kn −→ Gn−1 −→ · · · −→ G0 −→ M −→ dãy khớp, P0 , , Pn−1 môđun xạ ảnh hữu hạn, G0 , , Gn−1 ∈ G (R), hạt nhân Hn ∈ G (R) Kn ∈ G (R) 25 Vì môđun P0 , , Pn−1 môđun xạ ảnh nên tồn đồng cấu γ0 , , γn cho biểu đồ sau giao hoán / Hn γn /  Kn πn / Pn−1 γn−1 / πn πn−1 ··· π1 / P0 γ0  Gn−1 / / πn−1 / ··· π1  G0 π0 / 1M π0 / / M /  M Biểu đồ cho ta dãy −→ Hn −→ Kn ⊕ Pn−1 −→ Gn ⊕ Pn−2 −→ · · · −→ G1 ⊕ P0 −→ G0 −→ (2.2.7.1) Bây ta chứng minh dãy khớp • Ánh xạ Hn → Kn ⊕ Pn−1 cho h → (γn (h) , −πn (h)) đơn ánh (vì πn đơn ánh) Suy khớp Hn • Ánh xạ Kn ⊕ Pn−1 → Gn−1 ⊕ Pn−2 cho (k, p) → πn (k) + γn−1 (p) , −πn−1 (p) Với h ∈ Hn ta có (γn (h) , −πn (h)) → πn γn (h) − γn−1 πn (h) , πn−1 πn (h) = (0, 0) Mặt khác (k, p) → (0, 0) ta có = πn (k) + γn−1 (p) = πn (k) + γn−1 πn (h) = πn (k) + πn γn (h) = πn (k − γn (h)) πn đơn ánh nên ta kết luận k = γn (h) Vậy khớp Kn ⊕ Pn−1 26 • Ánh xạ Gl ⊕ Pl−1 → Gl−1 ⊕ Pl−2 cho (g, p) → πl (g) + γl−1 (p) , −πl−1 (p) Như ta dễ dàng thấy phần tử có dạng (g, p) = πl+1 (g) + γl (p) , −πl (p) → (0, 0) , với (g, p) ∈ Gl+1 ⊕ Pl Mặt khác, πl (g) + γl−1 (p) , −πl−1 (p) = (0, 0) p = πl (p) với p ∈ Pl theo tính toán sau = πl (g) + γl−1 (p) = πl (g) + γl−1 πl (p) = πl (g) + γl (p) (do g − γl (p) = πl+1 (g) với g ∈ Gl+1 ) Như vậy, (g, p) = πl+1 (g) + γl (p) , −πl (p) , điều chứng tỏ khớp Gl ⊕ Pl−1 • Ánh xạ G1 ⊕ P0 → G0 cho (g, p) → π1 (g) + γ0 (p) , toàn ánh: lấy phần tử x ∈ G0 Vì π0 toàn ánh nên tồn p ∈ P0 cho π0 (p) = π0 (x), π0 (x − γ0 (p)) = π0 (x) − π0 γ0 (p) = π0 (x) − 1M π0 (p) = 27 Do đó, x − γ0 (p) = π1 (g) với g ∈ G1 , x = π1 (g) + γ0 (p) mong muốn Theo Mệnh đề 2.1.11 môđun xạ ảnh hữu hạn sinh thuộc vào G (R), theo Bổ đề 2.1.10(c) môđun Gl ⊕ Pl−1 thuộc vào G (R) Bây giờ, môđun G0 , G1 ⊕ P0 , G2 ⊕ P1 , , Gn−1 ⊕ Pn−2 dãy khớp (2.2.7.1) thuộc vào G (R) Lại áp dụng Bổ đề 2.1.10(a) ta có Hn thuộc vào G (R) Kn ⊕ Pn−1 thuộc vào G (R) Theo Bổ đề 2.1.10(c) ta có Hn ∈ G (R) ⇐⇒ Kn ∈ G (R) , mong muốn 2.2.8 Chú ý Cho M R - môđun hữu hạn sinh có G - chiều lớn n, lấy G - giải M , thay môđun thứ n Kn ta thu dãy khớp → Kn → Gn−1 → · · · → G1 → G0 → M → Nếu ta biết trước môđun Kn có G - chiều hữu hạn, chứng minh ”(ii) =⇒ (i)" trên, theo Nhận xét 2.2.5 Bổ đề 2.2.6 ta có Kn thuộc vào G - lớp Điều không suy hạt nhân Kn có G - chiều hữu hạn, lí ta phải làm việc chút để thiết lập tương đương (i) (iii) Định lý 2.2.9 Hệ Cho → M → M → M → dãy khớp gồm R - môđun hữu hạn sinh Các phát biểu sau (a) Nếu n ∈ N0 G − dimR M ≤ n, G − dimR M ≤ n ⇐⇒ G − dimR M ≤ n; có bất đẳng thức G − dimR M ≤ max {G − dimR M, G − dimR M } 28 G − dimR M ≤ max {G − dimR M , G − dimR M } (b) Nếu G − dimR M > G − dimR M G − dimR M > G − dimR M G − dimR M = G − dimR M (c) Nếu G − dimR M > M ∈ G (R), G − dimR M = G − dimR M − Đặc biệt: Nếu hai môđun dãy có G - chiều hữu hạn môđun thứ ba có G - chiều hữu hạn Chứng minh Điều khẳng định cuối suy trực tiếp từ (a), (b) (c) (a) Trước G − dimR M ≤ 0, tức M ∈ G (R), từ Bổ đề 2.1.10(a) ta biết hai điều kiện Bây giờ, ta giả sử G − dimR M ≤ n n ∈ N Gọi · · · → Pl → Pl−1 → · · · → P0 → · · · → Pl → Pl−1 → · · · → P0 → giải môđun xạ ảnh hữu hạn sinh M M , ta 29 có biểu đồ sau giao hoán 0O / 0O / MO /P O0 / .O / Pn−1 / O 0O / MO / P0 ⊕O P0 .O /P n−1 ⊕ O KO n /K On 0 / MO PO / .O Pn−1 / Pn−1 / / / O KO n với hàng cột khớp Theo Định lý 2.2.7 ta có Kn” ∈ G (R), theo Bổ đề 2.1.10(a) Kn ∈ G (R) ⇐⇒ Kn ∈ G (R) Điều chứng tỏ G − dimR M ≤ n ⇐⇒ G − dimR M ≤ n, yêu cầu bất đẳng thức rõ ràng (b) Giả sử G − dimR M > G − dimR M Theo bất đẳng thức thứ hai (a) ta có G − dimR M ≤ G − dimR M từ G − dimR M < G − dimR M dẫn đến mâu thuẫn với bất đẳng thức Ta kết luận G − dimR M = G − dimR M 30 Chứng minh tương tự trường hợp G − dimR M > G − dimR M (c) Một G - giải M có độ dài hữu hạn n cho ta G - giải M có độ dài hữu hạn n + 1, G − dimR M = ∞, M có G - chiều vô hạn Nếu M có G - chiều hữu hạn theo (a) M có G - chiều hữu hạn theo Bổ đề 2.1.10 m+1 ∼ (M , R) Extm R (M , R) = ExtR với m > Theo Định lý 2.2.7 ta có G − dimR M = G − dimR M − Kết cuối phần G - chiều làm mịn G - chiều xạ ảnh môđun hữu hạn 2.2.10 Mệnh đề (Bất đẳng thức GD − PD môđun hữu hạn sinh) Với R - môđun hữu hạn sinh M có bất đẳng thức sau G − dimR M ≤ pdR M, đẳng thức xảy pdR M < ∞ Chứng minh Bất đẳng thức chắn xảy M có chiều xạ ảnh vô hạn đẳng thức xảy môđun không Giả sử M môđun khác không có chiều xạ ảnh hữu hạn p Vì M môđun hữu hạn sinh nên có giải xạ ảnh có độ dài nhỏ → Pp → · · · → P1 → P0 → M → Đây G - giải đặc biệt, G − dimR M ≤ p Theo giả thiết Extp+1 R (M, −) = 0, tồn R - môđun hữu hạn sinh T cho ExtpR (M, T ) = 31 Áp dụng hàm tử HomR (M, −) vào dãy khớp ngắn −→ K −→ Rβ −→ T −→ 0, ta thu dãy khớp · · · −→ ExtpR (M, K) −→ ExtpR M, Rβ −→ ExtpR (M, T ) −→ Điều cho thấy ExtpR M, Rβ = từ ExtpR (M, R) = Theo Định lý 2.2.7 ta có G − dimR M = p 2.3 Chiều Gorenstein môđun thương 2.3.1 Bổ đề Một R - môđun M hữu hạn sinh thuộc vào G (R) Mp ∈ G (Rp ) với iđêan nguyên tố p ∈ SpecR m ∗ Chứng minh Các môđun cao Extm R (M, R) ExtR (M , R) bị triệt tiêu địa phương hóa chúng iđêan nguyên tố bị triệt tiêu, tức m ∼ Extm R (M, R)p = ExtRp (Mp , Rp ) = m ∗ ∼ Extm R (M , R)p = ExtRp HomRp (Mp , Rp ) , Rp = với m > Địa phương hóa hàm tử khớp, ánh xạ song đối ngẫu δM đẳng cấu ánh xạ địa phương hóa (δM )p đẳng cấu với p ∈ SpecR ta có biểu đồ giao hoán Mp (δM )p −−−→ HomR (HomR (M, R) , R)p =  Mp δMp −−→  ∼ = HomRp (HomR (Mp , Rp ) , Rp ) 32 cho thấy (δM )p đẳng cấu δMp đẳng cấu hay δM khả nghịch δMp khả nghịch 2.3.2 Mệnh đề Cho M R - môđun hữu hạn sinh n ∈ N0 , G − dimR M ≤ n G − dimRp Mp ≤ n với iđêan nguyên tố p ∈ SpecR Chứng minh Ta vừa chứng minh trường hợp n = Bổ đề 2.3.1, ta cố định n ∈ N xét dãy khớp R - môđun → Kn → Gn−1 → · · · → G1 → G0 → M → 0, G0 , , Gn−1 ∈ G (R) Với p ∈ SpecR, địa phương hóa p khớp theo Bổ đề 2.3.1, môđun Gl xác định môđun thuộc vào G (Rp ) Bây áp dụng Bổ đề 2.3.1 Kn ta có điều phải chứng minh 2.3.3 Phần tử quy Cho M R - môđun, phần tử x ∈ R gọi M - quy x ∈ / zR M Dãy x1 , , xt gồm phần tử R gọi M - dãy (1) x1 ∈ / zR M ; (2) xm ∈ / zR M/ (x1 , , xm−1 ) M với m ≥ 2; (3) M/ (x1 , , xm−1 ) M = M = 2.3.4 Bổ đề Cho M R - môđun hữu hạn sinh x ∈ R phần tử M - quy R - quy Thế ta có (a) TorR m (M, R/ (x)) = với m > 33 (b) Nếu Ext1R (M, R) = HomR/(x) (M/xM, R/ (x)) ∼ = M ∗ /xM ∗ (c) Nếu Ext1R (M, R) = = Ext1R (M, R) = HomR/(x) HomR/(x) (M/xM, R/ (x)) , R/ (x) ∼ = M ∗∗ /xM ∗∗ Chứng minh Đặt R = R/ (x) M = M/xM Giả sử x M - quy R - quy, ta có hai dãy khớp / /M x / R x / M R / / / R (2.3.4.1) / (2.3.4.2) M (a) Từ dãy khớp (2.3.4.1) ta có dãy khớp dài ··· / TorR (M, R) m ··· x / TorR m (M, R) / TorR m / TorR (M, R) / / M, R M x / ··· M / M /0 Rõ ràng môđun TorR m M, R bị triệt tiêu với m > TorR m (M, R) = với m > Từ dãy khớp (2.3.4.2) ta có TorR M, R (b) Giả sử Ext1R (M, R) = Áp dụng hàm tử HomR (M, −) vào dãy khớp (2.3.4.1) ta thu dãy khớp ngắn / M∗ x / M∗ / HomR M, R / 0, cho thấy M ∗ /xM ∗ ∼ = HomR M, R liên hợp ta có HomR M , R ∼ = HomR M, R , M ∗ /xM ∗ ∼ = HomR M , R , 34 mong muốn (c) Môđun đối ngẫu M xoắn tự do, từ (2.1.5.1) ta có x M - quy Áp dụng (b) hai lần: lần thứ với M , lần thứ hai với M ∗ , ta thiết lập đẳng cấu mong muốn HomR HomR M , R , R ∼ = HomR M ∗ /xX ∗ , R ∼ = M ∗∗ /xM ∗∗ 2.3.5 Bổ đề Cho M R - môđun hữu hạn sinh x ∈ R R quy Nếu M ∈ G (R) M/xM ∈ G (R/ (x)) Chứng minh Đặt R = R/ (x) M = M/xM Giả sử M ∈ G (R), tức m ∗ Extm R (M, R) = = ExtR (M , R) , với m > δM đẳng cấu Hơn nữa, M xoắn tự ý 2.1.6 Vì x M - quy Áp dụng hàm tử HomR (M, −) vào dãy khớp / R x / R / / R ta thu dãy khớp dài ··· / Extm (M, R) R x / Extm R (M, R) / Extm R M, R / Extm+1 (M, R) R (2.3.5.1) Rõ ràng ta có Extm R M, R = với m > 0, M, R ∼ Extm = Extm R (M, R) = 0, R với m > Phần tử x ước không môđun xoắn tự M ∗ , tương tự ta thấy M ∗ /xM ∗ , R = 0, Extm R với m > theo Bổ đề 2.3.4(b) ta có m ExtR HomR M , R = 0, / ··· 35 với m > Ánh xạ song đối ngẫu δM đẳng cấu nên δM ⊗R R đẳng cấu Theo Bổ đề 2.3.4(c) ta có biểu đồ giao hoán M ∗∗ ⊗R R δ ⊗ R M ⊗R R M R −− −−→ ∼ =   δ M ∼ = HomR HomR M , R , R M −→ cho thấy δM : M −→ HomR HomR M , R , R đẳng cấu 2.3.6 Mệnh đề Cho M R - môđun hữu hạn sinh Nếu x ∈ R M - quy R - quy G − dimR/(x) M/xM ≤ G − dimR M Chứng minh Nếu G − dimR M = ∞ hiển nhiên bất đẳng thức đúng, ta giả sử M có G - chiều hữu hạn n, xét G - giải có độ dài cực tiểu M /G n / ··· / G1 /G / M / (2.3.6.1) Như ý 2.1.6 môđun G0 , , Gn xoắn tự do, x ước không môđun này; đặc biệt x ước không hạt nhân Kn (được định nghĩa (2.2.5.1)) Theo Bổ đề 2.3.4(a) tenxơ hóa R/ (x) dãy khớp ngắn −→ Kl −→ Gl−1 −→ Kl−1 −→ khớp, từ (2.3.6.1) ta thu dãy khớp −→ Gn /xGn −→ · · · −→ G1 /xG1 −→ G0 /xG0 −→ M/xM −→ Bây giờ, theo Bổ đề 2.3.5 ta có Gl /xGl ∈ G (R/ (x)), G − dimR/(x) M/xM ≤ n 36 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo, Luận văn trình bày lại cách chi tiết vấn đề sau: Các tính chất môđun thuộc G - lớp Các tính chất chiều đồng điều Gorenstein (Định lý 2.2.7, Hệ 2.2.9, Mệnh đề 2.3.2, Mệnh đề 2.3.6) Mối liên hệ chiều đồng điều Gorenstein chiều xạ ảnh (Mệnh đề 2.2.10) 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Sze - Tsen Hu (1973), Nhập môn đại số đồng điều, Bản dịch tiếng Việt Tiếng Anh [2] M Auslander (1967), Anneaux de Gorenstein, et torsion en algebre commutative, Secr Wetariat math Wematique, Paris, S Weminaired’ Alg Vebre Commutative dirig we par Prerre Samuel [3] M Auslander (1969), M Bridger, Stable Module theory, American Mathematical Society, Providence, RI, Memoirs of the American Mathematical Society, No.94 [4] L W Christensen (2000), Gorenstein Dimensions, in: Lecture Notes in Mathematics, Vol.1747, Springer, Berlin [...]... B) = 0 với mọi n ≥ 1 và với mọi môđun A 1.3 Chiều đồng điều 1.3.1 Định nghĩa Giải xạ ảnh 0 → Pn → · · · → P0 → M → 0 của R môđun M được gọi là có độ dài n Số n nhỏ nhất để M có giải xạ ảnh độ dài n được gọi là chiều xạ ảnh của M , ký hiệu bởi pdR M Nếu M không có giải xạ ảnh hữu hạn thì ta nói M có chiều xạ ảnh vô hạn và viết pdR M = ∞ 1.3.2 Định nghĩa Chiều global của vành R, ký hiệu bởi gldimR,... hữu hạn là n + 1, vì vậy nếu G − dimR M = ∞, thì M cũng có G - chiều vô hạn Nếu M có G - chiều hữu hạn thì theo (a) M cũng có G - chiều hữu hạn và theo Bổ đề 2.1.10 m+1 ∼ (M , R) Extm R (M , R) = ExtR với m > 0 Theo Định lý 2.2.7 ta có G − dimR M = G − dimR M − 1 Kết quả cuối cùng của phần này chỉ ra rằng G - chiều là một sự làm mịn của G - chiều xạ ảnh đối với môđun hữu hạn 2.2.10 Mệnh đề (Bất đẳng thức... môđun M được gọi là có G - chiều hữu hạn, và viết G − dimR M < ∞, nếu nó có một G - giải có độ dài hữu hạn Ta quy ước G − dimR 0 = −∞ và với M = 0 ta định nghĩa G - chiều của M như sau: Với n ∈ N0 ta nói rằng M có G - chiều lớn nhất là n và viết G − dimR M ≤ n nếu và chỉ nếu M có một G - giải có độ dài n Nếu M không có G - giải nào có độ dài hữu hạn thì ta nói rằng M có G - chiều vô hạn và viết G − dimR... sinh có G - chiều lớn nhất là n, lấy một G - giải của M , và thay thế môđun thứ n bởi Kn ta thu được một dãy khớp 0 → Kn → Gn−1 → · · · → G1 → G0 → M → 0 Nếu ta chỉ có thể biết trước được rằng môđun Kn có G - chiều hữu hạn, thế thì như trong chứng minh ”(ii) =⇒ (i)" ở trên, theo Nhận xét 2.2.5 và Bổ đề 2.2.6 ta có Kn thuộc vào G - lớp Điều này không suy ra ngay được hạt nhân Kn có G - chiều hữu hạn,... ∈ G (R), thì G − dimR M = G − dimR M − 1 Đặc biệt: Nếu hai môđun trong dãy có G - chiều hữu hạn thì môđun thứ ba cũng có G - chiều hữu hạn Chứng minh Điều khẳng định cuối cùng được suy ra trực tiếp từ (a), (b) và (c) (a) Trước hết chú ý rằng nếu G − dimR M ≤ 0, tức là M ∈ G (R), thì từ Bổ đề 2.1.10(a) ta biết được hai điều kiện Bây giờ, ta giả sử rằng G − dimR M ≤ n và n ∈ N Gọi · · · → Pl → Pl−1 →... nội xạ, thì Kn cũng là môđun nội xạ 1.3.7 Hệ quả Chiều global của vành R là cận trên của idR N với mọi R môđun N 12 CHƯƠNG 2 CHIỀU GORENSTEIN 2.1 G - lớp 2.1.1 Song đối ngẫu Với mỗi R - môđun M , một ánh xạ song đối ngẫu là một ánh xạ chuẩn tắc δM : M −→ HomR (HomR (M, R), R), được định nghĩa bởi δM (x)(ψ) = ψ(x) với ψ ∈ HomR (M, R) và x ∈ M Đó là một đồng cấu của các R - môđun và tự nhiên trong M... hạn và viết G − dimR M = ∞ 21 2.2.4 Chú ý Chú ý rằng môđun không cũng được gọi là có G - chiều hữu hạn và G − dimR M ∈ {−∞} ∪ N0 ∪ {∞} , với mọi R - môđun M Nếu G − dimR ≤ n, thì M có G - giải có độ dài m với mọi m ≥ n; ta có được điều này bằng cách thêm các hạng tử tự do vào giải có độ dài n Nếu M = 0, thì G - chiều của M là độ dài của G - giải ngắn nhất có thể của M M ∈ G (R) ⇐⇒ G − dimR M = 0 ∨... 2.1.3 Chú ý Một R - môđun L tự do hữu hạn sinh hiển nhiên thỏa mãn hai điều kiện đầu của Định nghĩa 2.1.2, và δL rõ ràng là đẳng cấu Do đó, môđun tự do hữu hạn thuộc về G - lớp Thực tế thì không biết được rằng nếu cả ba điều kiện trong Định nghĩa 2.1.2 đều thỏa mãn thì nó có phải là đặc trưng của G - lớp hay không Lớp các môđun thỏa mãn điều kiện đầu tiên được nghiên cứu riêng trong một số tài liệu tham... thì đối ngẫu của nó cũng thế, tức là M ∈ G (R) ⇒ M ∗ ∈ G (R) Điều này là hiển nhiên được suy ra từ định nghĩa, và mặt khác, điều ngược lại rõ ràng là không đúng: Giả sử G ∈ G (R) và M = 0 là xoắn thì (G ⊕ M )∗ ∼ = G∗ ∈ G (R) , nhưng môđun G ⊕ M ∈ / G (R), thật vậy nó không xoắn tự do 2.1.8 Bổ đề Cho M là một R - môđun hữu hạn sinh và xét ba điều kiện sau đây: (i) Ánh xạ song đối ngẫu δM là đơn cấu, (ii)... X n → 0 của R môđun M được gọi là có độ dài n Số n nhỏ nhất để M có giải nội xạ độ dài n được gọi là chiều nội xạ của M , ký hiệu bởi idR M Nếu M không có giải nội xạ hữu hạn thì ta nói M có chiều nội xạ vô hạn và viết idR M = ∞ 1.3.6 Mệnh đề Cho N là một R - môđun và n là một số nguyên dương Các điều sau đây là tương đương (i) idR M ≤ n; (ii) ExtiR (M, N ) = 0 với mọi i > n và mọi R - môđun M (iii) ... Bridger) chiều Gorenstein Chiều đồng điều Gorenstein cải tiến chiều đồng điều cổ điển Chúng ta nói chiều Gorenstein "làm mịn" chiều xạ ảnh môđun hữu hạn sinh, có nhiều tính chất đẹp giống chiều. .. VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐÌNH HÀ CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU GORENSTEIN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS ĐÀO THỊ THANH... chương trình bày số khái niệm đại số đồng điều 2 Chương Chiều đồng điều Gorenstein Trong chương trình bày chứng minh chi tiết lại số kết chiều đồng điều Gorenstein [4] Tôi xin bày tỏ lòng kính