/ K δ K
2.3 Chiều Gorenstein của môđun thương
2.3.1 Bổ đề. Một R - môđun M hữu hạn sinh thuộc vào G (R) nếu và chỉ nếu Mp ∈ G (Rp) với mọi iđêan nguyên tố p ∈ SpecR.
Chứng minh. Các môđun cao hơn ExtmR (M, R) và ExtmR (M∗, R) bị triệt tiêu nếu và chỉ nếu địa phương hóa của chúng tại mọi iđêan nguyên tố cũng bị triệt tiêu, tức là nếu và chỉ nếu
ExtmR(M, R)p ∼= Extm Rp(Mp, Rp) = 0 và ExtmR(M∗, R)p ∼= Extm Rp HomRp (Mp, Rp), Rp = 0 với m > 0.
Địa phương hóa là một hàm tử khớp, vì thế ánh xạ song đối ngẫu δM là một đẳng cấu nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ địa phương hóa (δM)p là đẳng cấu với mỗi p ∈ SpecR ta có biểu đồ giao hoán
Mp = (δM)p −−−→ HomR(HomR(M, R), R)p ∼ = Mp δMp −−→ HomRp(HomR(Mp, Rp), Rp)
cho thấy rằng (δM)p là đẳng cấu nếu và chỉ nếu δMp cũng là đẳng cấu hay δM khả nghịch nếu và chỉ nếu δMp cũng khả nghịch.
2.3.2 Mệnh đề. Cho M là một R - môđun hữu hạn sinh và n ∈ N0, thế thì
G−dimRM ≤n
nếu và chỉ nếu
G−dimRpMp ≤ n
với mọi iđêan nguyên tố p ∈ SpecR.
Chứng minh. Ta vừa chứng minh trường hợp n = 0 trong Bổ đề 2.3.1, vì thế ta cố định n∈ N và xét dãy khớp các R - môđun
0 →Kn →Gn−1 → · · · → G1 → G0 →M →0, trong đó G0, ..., Gn−1 ∈ G (R).
Với mỗi p ∈ SpecR, địa phương hóa tại p là khớp và theo Bổ đề 2.3.1, môđun Gl xác định các môđun thuộc vào G (Rp). Bây giờ áp dụng Bổ đề 2.3.1 đối với Kn ta có điều phải chứng minh.
2.3.3 Phần tử chính quy. Cho M là một R - môđun, phần tử x ∈ R được gọi là M - chính quy nếu và chỉ nếu x /∈ zRM. Dãy x1, ..., xt gồm các phần tử trong R được gọi là M - dãy nếu và chỉ nếu
(1) x1 ∈/ zRM;
(2) xm ∈/ zRM/(x1, ..., xm−1)M với m ≥ 2; (3) M/(x1, ..., xm−1)M 6= 0 hoặc M = 0.
2.3.4 Bổ đề. Cho M là một R - môđun hữu hạn sinh và x ∈ R là phần tử
M - chính quy và R - chính quy. Thế thì ta có
(b) Nếu Ext1R(M, R) = 0 thì
HomR/(x)(M/xM, R/(x)) ∼= M∗/xM∗.
(c) Nếu Ext1R(M, R) = 0 = Ext1R(M, R) = 0 thì
HomR/(x) HomR/(x)(M/xM, R/(x)), R/(x) ∼= M∗∗/xM∗∗.
Chứng minh. Đặt R = R/(x) và M = M/xM. Giả sử x là M - chính quy và R - chính quy, ta có hai dãy khớp
0 //R x //R //R //0 (2.3.4.1)0 //M x //M //M //0 (2.3.4.2)