cụ thể là phơng pháp suy luận toán học,trong đó các đối tợng cần đợc nghiên cứu trong hiện thực đợc thay thế bởi "hình ảnh" của chúng.. Để đo tỷ lệ của sự thay đổi tơng đối của 1 biến ng
Trang 1Lời nói đầu
"Mô hình toán kinh tế", nghiên cứu các hiện tợng, vấn đề kinh tế, xã
hội vấn đề đặt ra là: Nếu sử dụng phơng pháp thí nghiệm thì có đem lại kếtquả nh mong muốn hay không, hay sử dụng các "Mô hình toán kinh tế" đểnghiên cứu Ta nhận thấy nếu dùng phơng pháp thí nghiệm thì đòi hỏi chi phícho thực nghiệm rất lớn và nhiều khi những sai sót trong quá trình thựcnghiệm sẽ gây ra hậu quả lớn Ngay cả trong trờng hợp có đủ điều kiện tiếnhành các thực nghiệm thì kết quả cũng kém tin cậy
Vậy nên để nghiên cứu các hiện tợng, vấn đề kinh tế - xã hội chúng taphải sử dụng phơng pháp gián tiếp cụ thể là phơng pháp suy luận toán học,trong đó các đối tợng cần đợc nghiên cứu trong hiện thực đợc thay thế bởi
"hình ảnh" của chúng Khoá luận này đi theo hớng đó
Nội dung khoá luận gồm 3 phần:
h-Tác giả hy vọng rằng đề tài này sẽ đem lại một số kiến thức bổ ích đốivới những bạn quan tâm nghiên cứu đến mảng kiến thức này
Do thời gian cũng nh năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên luận vănnày không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong sự đánh giá và góp ý củathầy cô giáo và bạn bè
Trang 22 phơng trình vi phân.
Định nghĩa Phơng trình vi phân cấp một tổng quát là phơng trình có dạng
F (x, y, y') = 0 trong đó: x là biến độc lập
y là hàm phải tìm của xy' là đạo hàm cấp 1 của y
thì nói f có đạo hàm riêng theo x tại (x0, y0),
Trang 3Phần II
Phân loại các mô hình toán kinh tế cụ thể
I Cấu trúc của mô hình toán kinh tế.
Các biến số kinh tế của mô hình.
Các biến số kinh tế trong một mô hình đợc phân loại thành:
- Các biến ngoại sinh (biến giải thích)
- Các biến nội sinh (biến đợc giải thích)
- Các tham số (thông số)
II Nội dung của việc thiết lập và sử dụng mô hình toán kinh tế trong nghiên cứu và lựa chọn giải pháp kinh tế.
2.1 Nghiên cứu vấn đề kinh tế.
- Đó là mục tiêu của ngời nghiên cứu, có thể là mục tiêu nhận thức,phân tích hoặc là dự đoán
2.2 Cơ sở lý luận tiếp cận vấn đề.
- Các học thuyết kinh tế liên quan đến vấn đề nghiên cứu
- Quan điểm của ngời nghiên cứu qua nhận thức thực tiễn và phân tíchcác mô hình kinh tế liên quan đến vấn đề nghiên cứu
Trang 4Để thuận tiện cho việc mô tả các công cụ phân tích, ta xét một số môhình tổng quát có dạng: Yi = Fi (x1, x2, …, xn, a, b, c) (i = m1, ) trong đó xn làcác biến ngoại sinh; Yi là các biến nội sinh; a, b, c là tham số (biến).
3.1 Đo lờng sự thay đổi của các biến nội sinh theo các biến ngoại sinh.
Trong nhiều trờng hợp, chúng ta quan tâm đến phản ứng biến động cả
về xu hớng, độ lớn của biến nội sinh khi một biến ngoại sinh có sự thay đổinhỏ, còn các biến khác không đổi Chúng ta có thể dùng đạo hàm và vi phân
để đo lờng sự thay đổi này
3.1.1 Sự thay đổi tuyệt đối.
Xét hàm Y = F(x1, x2, …)
Tại Y = Y0 sự thay đổi của Y theo xi có thể tính nh sau:
Gọi ∆xi là lợng thay đổi của xi; ∆Y là lợng thay đổi của Y do ∆xi sinhra: ∆Y = F(…xi + ∆xi…) - F(…xi…) ta có lợng thay đổi trung bình của Y theo xi
Trong trờng hợp F khả vi theo xi ta có tốc độ thay đổi tức thời tại
điểm đang xét là: ρ(xi) =
Nếu ∆xi khá nhỏ thì ρ(xi) ≈ρ, vì vậy nếu ∆xi = 1 thì ρ(xi) = ∆Y
Thí dụ: Chi phí C(Q) phụ thuộc vào sản lợng Q và đợc mô hình hoá nh sau:
C (Q) = Q3 - 61,25Q2 + 1528,5Q + 2000
Sự thay đổi của C khi Q tăng (giảm) một đơn vị (chi phí cận biến) kíkiệu MC đợc xác định bởi công thức:
MC (Q) = 3Q3 - 122,5 Q + 1528,5Trong trờng hợp tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi, để tính sự thay
đổi của biến nội sinh Y ta dùng công thức vi phân toàn phần
n
1 1
dxx
F
.dxx
F
∂
∂++
∂
∂
3.1.2 Sự thay đổi tơng đối: Hệ số co giãn.
Để đo tỷ lệ của sự thay đổi tơng đối của 1 biến ngoại sinh, ngời ta dùng
hệ số co giãn:
Trang 5x Y
ε =
y
x.x
ε > 0 thì x, y thay đổi cùng hớng, ngợc lại
x Y
ε = α
3.2 Tính hệ số tăng trởng (nhịp tăng trởng).
Trong nhiều trờng hợp mô hình có các phơng trình cấu trúc chứa biếnthời gian, hệ số tăng trởng đo tỷ lệ tăng của một biến kinh tế, xã hội trongtừng đơn vị thời gian Giả sử Yt = Ft(X1, X2…) hệ số tăng trởng của Yt đợc tính
theo công thức: rY =
t
t
Yt
V
1.t
hệ số thay thế của các biến cho nhau nh sau:
Giả sử Y = F (x1, x2, …, xn) là một hàm khả vi theo tất cả các biến
Trang 6Ta có: dY = n
n
2 2
1 1
dXX
F dXX
FdX
X
Y
∂
∂++
∂
∂+
1 2
2
1
F:X
FdX
dXdX
X
FdX
∂
∂
Đó chính là hệ số thay thế của X1 cho X2, nó cho biết khi giảm X2 một
đơn vị cần tăng X1 bao nhiêu đơn vị để kết quả Y không đổi Một cách tổngquát ta tính đợc hệ số thay thế giữa biến Xi và Xj nhờ công thức:
C(i,j) =
j j j
i
X
F:X
FdX
4,0 = - 0,5714
Tức là có thể thay 0,5714 đơn vị lao động cho một đơn vị tiền vốn
Hệ số co giãn của Y theo K là: ε Y/K = (0,4K0,4+K0,7L) dễ dàng thấy rằng
với L càng lớn thì hệ số này càng bé, có nghĩa là càng sử dụng nhiều lao độngthì việc tăng 1% vốn càng làm cho sản lợng tăng chậm Điều tơng tự cũng
đúng cho việc tăng lao động Chẳng hạn khi L = 10, tại K = 100 hệ số co giãn
εY/K = 0,851, khi L = 100 thì εY/K = 0,3636.
3.4 Vấn đề tăng quy mô và hiệu quả.
Trong các mô hình kinh tế, hàm sản xuất là một lớp mô hình quantrọng Kết quả sản xuất Y phụ thuộc vào các yếu tố sản xuất Xi Trong thực tếtồn tại một cơ cấu đầu t nào đó và vấn đề là khi tăng các yếu tố sản xuất cùngvới một số lần thì kết quả thay đổi nh thế nào ?
Xét hàm sản xuất Y = F(X1, X2, …, Xn)
Trang 7Với X' = λX = (λX1, λX2, …, λXn) ta nói quy mô sản xuất tăng với hệ
số λ
Nếu F(λX) > λF(X) ta nói: Tăng quy mô có hiệu quả
Nếu F(λX) < λF(X) ta nói: Tăng quy mô không hiệu quả
Nếu F(λX) = λF(X) ta nói: Tăng quy mô không thay đổi hiệu quả
IV Một số mô hình kinh tế phổ biến.
Trong phần này ta sẽ xét một số mô hình kinh tế đợc dùng phổ biếntrong phân tích kinh tế vi mô và vĩ mô Tuy nhiên ta sẽ đề cập mang tính tổngquát trên cơ sở mô hình đã đợc định dạng
4.1 Hàm sản xuất.
4.1.1 Mô hình chung và các khái niệm.
Hàm sản xuất là hàm mô tả quan hệ giữa kết quả sản xuất phụ thuộcvào các yếu tố sản xuất
Khi xét một phức hợp sản xuất bất kỳ nh một hệ thống mở (đầu vào lànhững chi phí về tài nguyên, nhân lực và vật lực, còn đầu ra là sản phẩm), hàmsản xuất biểu thị quan hệ định lợng ổn định giữa đầu vào và đầu ra:
Y = f(x1, x2, …, xn) (1)Trong đó x1, x2, …, xn là các chi phí tài nguyên (yếu tố sản xuất); Y làkhối lợng sản phẩm; f là tập các quá trình công nghệ biến tập các yếu tố sảnxuất thành sản phẩm
Phơng trình (1) có khi viết dới dạng ẩn: F(Y, x1, …, xn) = 0 (2)
Độ co giãn của bài toán đối với một yếu tố:
Độ co giãn của sản xuất đối với yếu tố j đợc đo bởi tỷ số giữa sản phẩmtới hạn và sản phẩm trung bình:
)]
x(f[logx
f
x.x
)x(fx
)x(f:x
)x(f
j
j j j
F (y,x) = F (Z) trong đó Z = (y,x)
Trang 8Hàm F (Z) đợc gọi là đẳng cấp bậc K1 K2 K3 nếu ta có
F,
F
y.y
j j
i i
∂
=ε
∂
∂
=η
Thay vào phơng trình ơle ta có:
=ε+
1
1
xfxx
fx
fx
f
kk
CCox
xCx
CCo
h j j h
1 j
k
x
xCCo
h 1 h j j h
1 j
k
x
xCCo
Trang 9* Sản phẩm tới hạn: j
j
fx
h 0 j
1
x
yy
h 0 j
yx
C.hCx
h 0 j j
x.y
yx
C.hCf
x.x
ρ +
− ρ
h
C
ρ ρ ρ
Độ co giãn toàn bộ của sản xuất:
C
yC
yhx
CC
y
o
h o
n
1
h o
ρ
− ρ
=
ρ ρ
ij f f
ff
=
i i
h 0 i
i i
h 0 ij
x
yy
h1x
ChCf
Thay fj , fij vào (*) ta đợc
Trang 10p h
o
o j
j n
1
h o
C
yx
Cx
CC
a Hµm s¶n xuÊt Cobb - Douglas: (fCD)
XÐt hµm CES víi trêng hîp Ci ≥ 0, C 1
, m
1 i
i=
∑
=fCD = lim0 fCES
→ ρ
j
j xCln
j j
' n
1 j
j j n
1
xC
1h
lim
chó ý: ( )xjρ ' = xjρ ln( )xj ( )−1
Trang 110 j
xlnxChlim1
xlnxCx
C
1h
n
1 j
hc j o
c
xln
=
1 j
hc j o
hc n
hc 2
hc
1 1.x 1 x n] lnC x jx
* Hàm phổ biến của hàm sản xuất Cobb - Douglas với vốn và lao động:
Y = akα lβ eθt với a > 0, α,β,θ > 0 là các tham số Trong đó Y là sản lợng, k
là vốn, l là lao động, t là thời gian (mang theo yếu tố tiến bộ kĩ thuật )
Hàm Cobb - Douglas là hàm sản xuất có hệ số co giãn của sản lợng Ytheo các biến không đổi và khi tăng quy mô sản xuất λ lần thì kết quả sản xuấttăng λα + β lần
Ta hãy xét tốc độ tăng của Y theo K và L
t p
1L ek
ak
kak
=
∂
∂ = aα kα - 1 eθt
Trang 12eL
kaL
L.y
L.L
yk
1.t
k.y
k.k
yy
2 0
2 0
12,1K
25,1
K
09,0 Trong đó K0 là hệ số
đảm nhận vốn (trang bị vốn) của lao động k0 =
0
0
L
K Khi k0 càng nhỏ thì vốncàng tác động mạnh đến sản lợng
* Sản xuất tới hạn đối với yếu tố xj
fCD = C0 1 j 1 j j 1 n
n 1
j j 1 j
n
j n
j i
j
x
f x
x C x
x
j j
1
j
xy
* Độ co giãn của sản xuất đối với yếu tố xj
Trang 13j j j
x.x
yf
x.x
f
α
=α
j i
x
yf
,ff
ff
α
xx
fx)'y(xx
y
ij j
i
j i j i
j j i
i j i
2
j
xx
ρ
=
∑
1 i n
2
xCC
ln
ln fWL = lnC0x1 ⇒ fWL = C0x1Tæng qu¸t: fWL = c0 min{xj xj 0}
4.3 M« h×nh cung cÇu hµng ho¸.
a) Hµm cung Khi xÐt quan hÖ cung cÊp mét hay mét sè mÆt hµng ngêi ta
th-êng dïng hµm cung cã d¹ng:
Trang 14s 2
0 2
s 2
ppkhi0
pd
Qd
ppkhi0
pd
Qd
(b)
- Điều kiện (a) có nghĩa là khi tăng giá thì kích thích sản xuất cung tăng
- Điều kiện (b) có nghĩa là tồn tại một mức giá tối đa p0 mà khi vợt quagiá này cùng tăng chậm dần do các giới hạn kinh tế kỹ thuật của sản xuất
Đồ thị thờng có dạng:
Dạng đơn giãn là: Qs = -a + bp
hoặc Qs = -a + b1p1 + b2p2
b) Hàm cầu Nhu cầu của ngời tiêu dùng về một loại hàng phụ thuộc vào giá
cả và thu nhập là mô hình sử dụng phổ biến Hàm cầu một hay nhiều loại hàn
có dạng: Qd = Q(P, M) trong đó M là thu nhập, P là giá cả
0pQ
d d
Tức là: khi tăng giá thì nhu cầu giảm còn khi thu nhập tăng thì nhu cầu tăng
Tuy nhiên dạng điệu của nhu cầu thay đổi theo từng loại mặt hàng vớicác mặt hàng thiết yếu nhu cầu bão hoà khi giá quá thấp hoặc thu nhập quácao
Trang 15+ Với những mặt hàng thông thờng, ít thiết yếu hơn, nhu cầu có thể mô tả bởi
các đồ thị sau:
+ Với những mặt hàng xa xỉ nhu cầu tăng gần nh không giới hạn khi thu nhập
tăng nhng có thể triệt tiêu khi giá quá cao hoặc thu nhập quá thấp
Trang 16Mức giá giới hạn tối thiểu ngời sản
xuất chấp nhận là: Pmin = a/b
Mức giá giới hạn tối đa ngời tiêu
dùng chấp nhận là: Pmax =
βα
Giá cân bằng đợc xác định theo luật cung cầu, nếu thị trờng tự do cạnhtranh (thị trờng tuần tuý): Qs = Qd
Mức giá cân bằng là:
b
ap
+β
+α
1 2 2 1
2 0 0 2
cc
p
η
−η
η
−η
1 2 2 1
0 1 1 0
cc
p
η
−η
η
−η
Trang 17G0 - Tiêu dùng của Chính phủPhơng trình (1) biểu hiện việc phân chia thu nhập quốc dân thành ba bộphận: tiêu dùng dân c, tích luỹ và tiêu dùng của chính phủ
Phơng trình (2) biểu diễn tiêu dùng của dân c từ thu nhập quốc dân saukhi trừ thuế
Phơng trình (3) thể hiện khoản thuế bao gồm thuế thu nhập và các loạithuế khác
Thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng:
Y = −β+βδ
++βà
- Khi chính phủ tăng tiêu dùng G0 thì theo (s) Y sẽ tăng
- Khi chính phủ tăng thuế thì theo (6) và (7) ta thấy Y giảm
Thí dụ : Xét hàm cầu một mặt hàng dạng tuyến tính D = a - bp; a, b > 0
Trong mô hình này hệ số a chính là nhu cầu tối đa (tiền năng) khi giágần nh bằng không; hệ số b biểu thị sự tác động giảm cầu của giá Giá Pmax
=
b
a là giới hạn cao nhất của ngời tiêu dùng tại đó D = 0 (nhu cầu triệt tiêu).Các thí dụ trên ta đã xét sự biến động của biến nội sinh theo biến ngoạisinh và có những kết luận bổ ích, ở thí dụ này ta sẽ xét sự thay đổi của biếnnội sinh theo các tham số (biến a và b)
Trang 18ở đây b có thể xem là hệ số giảm cầu của giá cả.
Bây giờ ta bổ sung hàm cầu vào mô hình và xem xét sự thay đổi của giácân bằng cũng nh cung cầu cân bằng theo các tham số biến Giả sử hàm cung
Giá cân bằng P* =
db
bcad
+
−
Để Q* > 0 cần có điều kiện Pmax > Pmin; điều đó có thể mô tả trên đồ thịsau:
Trang 19Cả hai đạo hàm đều dơng, điều đó
khẳng định rằng giá cân bằng tăng khi
hoặc ngời sản xuất sẵn sàng đầu t cho mặt
hàng khác nhiều hơn, hoặc ngời tiêu dùng
tăng nhu cầu tiềm năng
( )2
*
db
cab
cad
Trang 20Phần III
Một số bài tập áp dụng
1.1 Cho hàm doanh thu trung bình AR = 15 - Q
a) Xác định mức doanh thu cận biên MR tại Q1 = 5; Q2 = 8, phân tíchcác kết quả
Giải: Ta có: AR =
Q
TR
⇒ TR = AR Q = (15 - Q) QVậy mức doanh thu cận biên là:
Phân tích kết quả: Ta thấy tại Q = 8 thì MR(8) = -1 nhng tại Q = 5 thì
MR(5) = 5 Điều đó cho thấy sản lợng càng lớn thì mức doanh thu cần biêncàng bé Nh vậy có thể kết luận rằng MR không phụ thuộc vào doanh thu cố
định FR = 15 mà chỉ phụ thuộc vào doanh thu biến đổi VR = 2Q
b) Xác định mức chênh lệch của doanh thu cận biên và doanh thu trinhbình nh một hàm của Q
Giải:
Ta có mức chênh lệch của doanh thu cận biên và doanh thu trung bình là:
MR - AR = 15 - 2Q - 15 + Q = - QVậy mức chênh lệch của MR, AR là : - Q
c Nêu biểu thức tổng quát xác định mức chênh lệch của doanh thu cậnbiên và doanh thu trung bình:
Trang 21a) Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q từ đó cho nhận xét về
mở rộng sản xuất:
Giải: Ta có: TC' = 3Q 2 - 10 Q + 14
TC'' = 6Q - 10 với TC'' < 0 ⇔ 0 < Q <
mở rộng sản xuất không hiệu quả (hoặc không thay
đổi hiệu quả nếu Q =
Q14Q10Q3TC
Q.Q
TC
2 3
2
Q
CT
++
28208
2.142.104.3
2
++
−
+
−
=ε
Vậy hệ số co giãn của TC tại Q = 2 là 0,075
c Cho giá sản phẩm là p = 70, với mức thuế doanh thu 20% Tính lợinhuận khi Q = 3; Tìm các điểm hoà vốn và phân tích sự thay đổi của hàmtổng hợp lợi nhuận
Giải: Ta có:
Xét mô hình lợi nhuận:
∏(Q) = TR(Q) - TC(Q) - a TR(Q)Với TR : tổng doanh thu
80 - Q3 + 5Q2 - 14Q - 144
Với Q = 3 thì Π(3) = 42.3 - 27 + 45 - 144 = 0
Các điểm hoà vốn là Q1 = 3 và Q2 = 9
Trang 22phân tích sự thay đổi của hàm tổng lợi nhuận
Π”(Q) = - 6Q + 10
Π”(Q) > 0 ⇔ 0 < Q <
35
Π”(Q) ≤ 0 ⇔ Q ≥
35
Vậy Π(Q) không phụ thuộc vào doanh thu cố định FR = 10 mà chỉthuộc vào doanh thu biến đổi VR = - 6Q
1.3 Cho hàm tổng chi phí
TC = 5000 +
3Q
2
3Q
Q30Q
53
Q
Q53QQ10Q
TC
+
+
=+
−+
=
∂
∂
b) Tính chi phí trung bình AC tại Q = 100
Giải: Ta có chi phí trung bình AC có dạng
(Q 3).Q
Q53Q5000Q
+
++
=
Tại Q = 100 ⇒ AC = ( ) 54,85
100.3.10
100.5103
=+
Vậy Q = 100 ta có chi phí trung bình AC = 54,85
c, Vẽ đồ thị hàm chi phí biến đổi trung bình (VC/Q)
15Q
Q2
10
5
-22
10
Trang 23d) TÝnh hÖ sè co gi·n cña TC theo Q t¹i Q = 17
Ta cã hÖ sè co gi·n cña TC theo Q cã d¹ng:
Q55000
Q
3Q
Q30Q
5TC
Q
Q
TC
2 2
+
=ε
317
17.55000
17
317
17.3017
.5
2 2
a T×m hµm chi phÝ cËn biªn MC
Gi¶i Ta cã hµm chi phÝ cËn biªn MC cã d¹ng
Trang 244000 + 10 + 0,1QKhảo sát sự thay đổi:
AC'' > 0 ⇔ Q3
8000 > 0 ⇒ Q > 0 ⇒ P < 320AC'' ≤ 0 ⇔ Q3
8000
≤ 0 ⇒ Q < 0 ⇒ P ≥ 320Vậy chi phí trung bình AC phụ thuộc vào P và Q
TC
Q1,0Q104000
Q.Q2,010TC
Q.Q
TC
++
Với P = 80 ⇒ Q = 800 - 2,5 x 80 = 600
46000
78000600
.1,0600.104000
600.2600,010
2 Q
++
+
=
Vậy tại Q = 600 thì hệ số co giãn là 1,6956
1.5 Chi phí trung bình khai thác một loại khoáng sản
AC = 12 +
Q2,0
1,0
a Tìm hàm chi phí cận biên MC tại Q = 10
Giải.
Ta có chi phí cận biên MC có dạng:
Trang 25+
02,012
Q2,0
Q1,0)Q2,0(1,012Q
TC
++
=+
−++
+
Vậy tại Q = 10 thì chi phí cận biên MC = 12
b Tìm biểu thức chênh lệch của chi phí trung bình AC và chi phí cậnbiên MC, nhận xét sự thay đổi đó
2,0
1,0
=ε
Q2,0
1,012
1
Q2,0
02,0
Vậy tại Q = 10 thì hệ số co giãn của TC = 0,999
1.6 Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất một loại sản phẩm
Trang 26Chi phí biến đổi: VC = TC
Q12Q2AC
Q.Q
AC
2 2
trong đó Qd, Qs là mức cầu và mức cung một loại hàng; p là giá, y0 là nhập
a, Hãy giải thích mô hình và các điều kiện
Trang 27Sy
c (theo đầu ngời); P là giá cả
b Tính hệ số co giãn của giá cân bằng theo y tại y = 80 Giải thích ýnghĩa kinh tế của kết quả tính đợc
Giải.
8
y30
y8
1P
y.y
+ Giải thích ý nghĩa kinh tế
Nếu thu nhấp tăng (giảm) thì hệ số co giãn của giá cân bằng theo ygiảm, điều đó có nghĩa là cung cầu một loại hàng sẽ tăng
Trang 28S(Y) + T(Y) = I(Y) + G0 với S', T', I' > 0; S' + T' > I'Trong đó: S là tiết diện, T là thuế, I là đầu t, G0 là tiêu dùng của chính phủ
a Giải thích ý nghĩa kinh tế của mô hình và ý nghĩa kinh tế của các đạohàm bậc nhất S', T', I'
Giải.
Ta có: Tiết kiệm + thuế sẽ luôn bằng đầu t + tiêu dùng của chính phủ+ Với S', T', I' > 0 có nghĩa là tăng tiết kiệm, tăng đầu t, nhng giảm thuế + S' + T' > I' tăng tiết kiệm giảm thuế sẽ tích luỹ đợc cho đầu t sản xuất
b Xác định mô tả sự thay đổi của thu nhập cần bằng Y theo G0 Giảithích ý nghĩa kinh tế
Giải.
Mô tả sự thay đổi của thu nhập cân bằng:
Y
1.G
Yr
giảm thì Y giảm khi đó r tăng.Y
1.10 Giả sử dân số tăng theo mô hình P(t) = P(0).2bt và tiêu dùng dân c tăng theo mô hình C(t) = C(0) e
0(P
2ln.2.b)
0(PP
1.t
0(C
e.a)
0(CC
1.t