MỘT SỐ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ DÂN MỘT SỐ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học TS VŨ MẠNH XUÂN THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương KHÁI QUÁT VỀ CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ 1.1 Nhu cầu mô hình toán học 4 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 Nhu cầu Mô hình toán kinh tế: Xây dựng mô hình toán kinh tế: Một số vấn đề xây dựng mô hình toán kinh tế: 1.2 Một số mô hình thực tế 1.2.1 Bài toán sử dụng nguyên liệu 1.2.2 Bài toán vận tải: 11 1.2.3 Bài toán phần ăn: 12 1.3 Một số phương pháp giải 1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính 1.3.2 Một vài phương pháp giải 14 14 16 Chương MỘT SỐ MÔ HÌNH CỤ THỂ 32 2.1 Cân đối liên ngành tĩnh 32 2.1.1 Phát biểu toán 2.1.2 Bảng cân đối liên ngành dạng vật 2.1.3 Bảng cân đối liên ngành dạng giá trị 2.2 Mô hình quản lý dự trữ 2.2.1 2.2.2 2.2.3 51 2.2.4 32 33 42 47 Phát biểu toán: 48 Các khái niệm nguyên tắc chung quản lý dự trữ 48 Xác định số lượng đặt hàng tối ưu chi phí quản lý dự trữ (mô hình WILSON) Một số ứng dụng mô hình WILSON 56 2.3 Bài toán lập lịch 62 2.3.1 Phát biểu toán 2.3.2 Thuật toán Jonhson giải toán lập lịch gia công hai máy 2.3.3 Kết thử nghiệm 62 62 66 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 Phụ lục 73 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Thời đại ngày chứng kiến nhiều phát triển đột phá tác động sâu sắc đến phát triển kinh tế, văn hóa, xã hội Có thành đó, phần không nhỏ phát quy luật tự nhiên, xã hội, từ có định hướng đắn cho bước phát triển Việc đưa mô hình toán học kinh tế nhằm mục đích Thế giới ghi nhận công lao nhiều nhà khoa học lĩnh vực kinh tế thông qua giải Nobel hàng năm với công trình xây dựng phát triển mô hình toán kinh tế Với nguyện vọng muốn nghiên cứu thêm mô hình toán kinh tế ứng dụng thực tế chúng, chọn đề tài “Một số mô hình Toán kinh tế” làm Luận văn tốt nghiệp Mục đích đề tài tìm hiểu số mô hình toán kinh tế thường gặp, cách giải toán kinh tế bước đầu ứng dụng qua ví dụ cụ thể Luận văn gồm chương không kể phần mở đầu, kết luận phụ lục Chương 1: trình bày nét khái quát mô hình toán kinh tế, số mô hình cụ thể vài phương pháp giải biết Chương 2: trình bày ba mô hình cụ thể toán cân đối liên ngành, mô hình dự trữ toán lập lịch Ngoài việc trình bày cách hệ thống mô hình này, luận văn đưa ví dụ số liệu cụ thể để minh họa Riêng toán lập lịch cài đặt chương trình PASCAL Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Vũ Mạnh Xuân Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy tận tình hướng dẫn suốt thời gian 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tác giả làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn thông qua giảng, tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học K3A bạn đồng nghiệp động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Luận văn không hoàn thành thông cảm giúp đỡ người thân gia đình tác giả Đây quà tinh thần, tác giả xin kính tặng gia đình thân yêu với lòng biết ơn chân thành sâu sắc Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn đạt mục tiêu đề ra, song điều kiện khách quan sức khỏe thân, luận văn chắn nhiều khiếm khuyết Kính mong nhận đóng góp giáo sư đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2011 Tác giả Trần Thị Dân 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KHÁI QUÁT VỀ CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ Chương trình bày khái quát nhu cầu mô hình toán kinh tế, đưa số mô hình thực tế phương pháp giải toán kinh tế 1.1 Nhu cầu mô hình toán học 1.1.1 Nhu cầu Đã từ lâu người muốn tìm hiểu, khám phá tượng tự nhiên, họ biết quan sát, theo dõi ghi nhận tượng Kết theo dõi đúc kết thành kinh nghiệm lưu truyền qua hệ Đó phương pháp trực tiếp quan sát nghiên cứu Đối với vật, tượng phức tạp muốn tìm hiểu tượng mà muốn lợi dụng chúng để phục vụ cho hoạt động phương pháp quan sát chưa đủ Trong trường hợp này, nghiên cứu đối tượng, nhà khoa học trực tiếp tác động vào đối tượng, sử dụng mô hình tương tự (về mặt cấu trúc vật lý) đối tượng, tiến hành thí nghiệm, trực tiếp tác động vào đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết để xác lập qui luật chi phối vận động đối tượng Đó phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát phương pháp nghiên cứu phổ biến khoa học tự nhiên kĩ thuật Khi nghiên cứu tượng, vấn đề kinh tế- xã hội, phương pháp thường không đem lại kết mong muốn, vì: - Những vấn đề kinh tế vấn đề phức tạp, đặc biệt vấn đề đương đại, có mối quan hệ đan xen, chí tiềm ẩn 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mà quan sát giải thích - Qui mô, phạm vi liên quan vấn đề kinh tế - xã hội nhiều rộng đa dạng, dùng phương pháp thử nghiệm đòi hỏi chi phí lớn thời gian, tiền bạc nhiều sai sót trình thử nghiệm gây hậu lường trước - Ngay trường hợp có đủ điều kiện tiến hành thử nghiệm nghiên cứu kinh tế kết thu tin cậy tượng kinh tế - xã hội gắn với hoạt động người Khi điều kiện thực tế khác biệt với điều kiện thử nghiệm, người có phản ứng khác Để nghiên cứu tượng, vấn đề kinh tế phải sử dụng phương pháp suy luận gián tiếp, đối tượng thực có liên quan tới tượng, vấn đề ta quan tâm nghiên cứu thay "hình ảnh"của chúng: mô hình đối tượng ta sử dụng mô hình làm công cụ phân tích suy luận Phương pháp phương pháp mô hình Nội dung phương pháp mô hình bao gồm: - Xây dựng, xác định mô hình đối tượng Quá trình gọi mô hình hoá đối tượng - Dùng mô hình làm công cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu Quá trình gọi phân tích mô hình Phương pháp mô hình khắc phục hạn chế phương pháp trên, đồng thời với việc phân tích mô hình, phương pháp tạo khả phát huy tốt hiệu tư lôgíc, kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp phân tích truyền thống với đại, phân tích định tính với phân tích định lượng Để sử dụng có hiệu phương pháp mô hình hoá nghiên cứu kinh tế vấn đề cốt lõi xác lập mô hình đối tượng nghiên cứu 1.1.2 Mô hình toán kinh tế: Vậy mô hình kinh tế, mô hình toán kinh tế gì? 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - Mô hình đối tượng lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi mô hình kinh tế - Mô hình toán kinh tế mô hình kinh tế trình bày ngôn ngữ toán học Bản chất trình mô hình hoá tượng, hệ thống kinh tế mô hình hoá trình vận động nó, nghĩa xây dựng phương trình trạng thái cho Để xây dựng mô hình toán học tượng, hệ thống kinh tế cụ thể, ta phải chọn biến kinh tế cho nó, biến điều khiển, biến ngẫu nhiên (gọi biến vào) biến trạng thái, biến (kết sản xuất), sau mô tả quan hệ biến hệ thức toán học 1.1.3 Xây dựng mô hình toán kinh tế: Việc mô hình hoá toán học tượng hệ thống kinh tế thường tiến hành theo bốn bước sau Bước 1: Xây dựng mô hình định tính cho đối tượng kinh tế cần nghiên cứu, nghĩa xác định yếu tố có ý nghĩa quan trọng xác lập quy luật mà yếu tố kinh tế phải tuân theo Nói cách khác phát biểu mô hình lời, biểu đồ điều kiện kinh tế, kĩ thuật, xã hội, tự nhiên mục tiêu cần đạt Để làm điều cần: - Xác định mục tiêu nghiên cứu đối tượng kinh tế cần mô hình (mục tiêu nhận thức, phân tích, dự đoán, đối tượng kinh tế đó) - Nghiên cứu học thuyết kinh tế, xã hội, khoa học kĩ thuật liên quan đến đối tượng kinh tế cần nghiên cứu - Xác định quan điểm người nghiên cứu thông qua thực tiễn, lí luận mô hình liên quan đến đối tượng kinh tế cần nghiên cứu Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho đối tượng kinh tế cần nghiên cứu, nghĩa diễn tả lại ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính, bao gồm xác định biến kinh tế ràng buộc biến kinh tế Nội dung gồm viêc 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sau: - Dựa vào lí luận để định lựa chọn biến kinh tế hệ thức ràng buộc mô hình - Sử dụng công cụ toán học để phân tích mối quan hệ biến kinh tế, kể quan hệ tiềm ẩn - Xác lập mối quan hệ trực tiếp biến nội sinh với biến ngoại sinh tham số - Chọn biến số đặc trưng cho trạng thái hệ thống kinh tế cần nghiên cứu - Xây dựng hệ thức toán học thiết lập quan hệ ràng buộc biến số tham số điều khiển đối tượng kinh tế cần nghiên cứu - Xác định hàm mục tiêu, nghĩa đặc trưng số biểu thị hiệu hoạt động hệ thống kinh tế nghiên cứu Bước 3: Sử dụng công cụ toán học để khảo sát giải mô hình toán học xác lập bước Căn vào mô hình xây dựng, lựa chọn xây dựng phương pháp giải cho phù hợp Tiếp cụ thể hoá phương pháp thuật toán tối ưu thể nghiệm giải toán máy tính điện tử Bước 4: Dựa vào số liệu thu thập được, mô máy tính tình khứ tại, dự đoán kiểm định phù hợp mô hình lí luận thực tiễn Để nâng cao tính thực mô hình kinh tế có, ta thêm, bớt, thay đổi vai trò số biến số kinh tế có, tham số biến ngẫu nhiên, hệ thức toán học ràng buộc biến kinh tế Để phân tích sâu sắc tượng hệ thống kinh tế xét, ta phân chia vấn đề nghiên cứa thành chuyên đề độc lập ứng với khái quát hoá mô hình kinh tế phù hợp, mô hình lại nghiên cứu phân tích làm trên, sau lắp ghép mô hình thành mô hình hoàn chỉnh mô đầy đủ đắn, sâu sắc tượng hệ thống kinh tế cần nghiên cứu 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.4 Một số vấn đề xây dựng mô hình toán kinh tế: 1) Độ đo kinh tế ? Các đại lượng kinh tế đa dạng để khảo sát cần có công cụ để so sánh đại lượng Chúng ta hình dung vấn đề qua ví dụ đơn giản sau: " Trong mùa đông bạn cần quần áo ấm thiết bị giải trí, bạn đánh giá quần áo ấm có giá trị dù chúng có giá thành Nhưng có vài quần áo ấm bạn lại đánh giá ngược lại, thiết bị giải trí có giá trị quần áo ấm" Nên cần phải tìm công cụ toán để so sánh đối tượng 2) Bao quát tính chất đặc trưng Khi muốn khảo sát đối tượng phải hiểu Như để xây dựng mô hình toán kinh tế cần có hiểu biết định kinh tế, quan hệ đại lượng kinh tế, tầm quan trọng vài tham số vấn đề quan tâm Cần phải nắm điều quan trọng có ảnh hưởng định tới vấn đề cần khảo sát gì? 3) Tính toán tham số Các tham số định kết khảo sát mô hình nhận Các tham số nhận từ trình theo dõi, nghiên cứu số liệu thực tế vấn đề cần khảo sát Quá trình tính toán tham số chiếm phần lớn thời gian trình xây dựng mô hình toán Điều đặc biệt khó khăn Việt Nam chưa có hệ thống liệu thống kê chuẩn để phục vụ cho nghiên cứu 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Một số mô hình thực tế 1.2.1 Bài toán sử dụng nguyên liệu Giả sử để sản xuất n loại sản phẩm P1 , P2 , · · · , Pn doanh nghiệp cần dùng m loại nguyên vật liệu S1 , S2 , · · · , Sm Mỗi loại nguyên vật liệu có dự trữ định, tương ứng b1 , b2 , · · · , bm đơn vị Số đơn vị nguyên vật liệu cần để sản xuất loại sản phẩm biết cho bảng 1.1 loại nguyên Dự trữ loại sản phẩm Vật liệu Nguyên vật liệu P1 P2 Pn S1 b1 a11 a12 a1n S2 b2 a21 a22 a2n Sm bm am1 am2 amn Thu nhập c1 c2 cmn Trong bảng ta có: aij (i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n) lượng nguyên vật liệu loại Si cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm loại Pj , cj thu nhập doanh nghiệp tiêu thụ đơn vị sản phẩm loại Pj Vấn đề đặt cần thiết lập phương án sản xuất loại sản phẩm P1 , P2 , · · · , Pn để tổng thu nhập doanh nghiệp lớn Giả sử doanh nghiệp sản xuất xj đơn vị sản phẩm loại Pj (j = 1, 2, · · · n); tất nhiên xj phải số không âm (xj ≥ 0) Muốn vậy, doanh nghiệp cần dùng n j=1 aij xj đơn vị nguyên vật liệu Si (i = 1, 2, · · · , m) Nhưng số đơn vị nguyên vật liệu loại Si có lượng dự trữ định bi nên cần phải thoả mãn bất đẳng n thức: j=1 aij xj ≤ bi (i = m) n Tổng thu nhập doanh nghiệp bán loại sản phẩm là: F = cj xj j=1 Như ta đến toán dạng toán học sau: 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì CV T2 (S1 ) < 1.251.229 = CV T2 (Q∗1 ), nên lượng hàng tối ưu lần là: Q∗ = S1 = 2000 Số lần mua năm: 365 10000 = ; thời gian chu kỳ: = 73 ngày 2000 2.3 Bài toán lập lịch 2.3.1 Phát biểu toán Mỗi chi tiết n chi tiết D1 , D2 , · · · , Dn cần phải đươc gia công m máy M1 , M2 , · · · , Mm Thời gian gia công chi tiết Di máy Mj tij Hãy tìm lịch (trình tự) gia công chi tiết máy cho việc hoàn thành gia công tất chi tiết sớm Trong thực tế lịch gia công thường phải thoả mãn thêm số điều kiện khác Vì ứng dụng quan trọng vấn đề mà tối ưu hoá tổ hợp hình thành lĩnh vực lý thuyết riêng toán lập lịch gọi lý thuyết lập lịch hay quy hoạch lịch Ta thấy rằng, trường hợp xấu thuật toán phải xét tất lịch (trình tự) gia công n chi tiết m máy, tức phải xét n! lịch gia công m máy Như vậy, trường hợp thuật toán có độ phức tạp O(n!m) 2.3.2 Thuật toán Jonhson giải toán lập lịch gia công hai máy Input: Lịch thời gian gia công máy n sản phẩm Output: Lịch thời gian gia công tối ưu máy n sản phẩm Xét trường hợp riêng toán lập lịch, toán lập lịch gia công hai máy Mỗi chi tiết số n chi tiết D1 , D2 , · · · , Dn cần phải gia công máy A, B Thời gian gia công chi tiết Di máy A , máy B bi , (i = 1, 2, · · · , n) Hãy tìm lịch (trình tự) gia công chi tiết hai 62 63Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn máy cho việc hoàn thành gia công tất chi tiết sớm Giả sử, trình tự gia công chi tiết hai máy Khi đó, lịch gia công tương ứng với hoán vị: π = (π(1), π(2), · · · , π(n)) n số tự nhiên Ký hiệu sjX ; tjX thời điểm bắt đầu kết thúc việc gia công chi tiết j máy X, j = 1, 2, · · · , n; X = A, B Giả sử π lịch gia công Khi đó, máy A bắt đầu thực công việc π(1) vào thời điểm sπ(1)A = công việc π(k) sau thực xong công việc π(k − 1) tức là: sπ(k)A ≥ tπ(k−1)A , k = 1, 2, · · · , n (4.1) Máy B bắt đầu thực công việc π(1) sau máy A kết thúc việc gia công tức vào thời điểm: sπ(1)B ≥ tπ(1)A (4.2) Máy B bắt đầu việc gia công chi tiết π(k), (k = 1, 2, · · · , n) sau công việc thực xong máy A đồng thời phải hoàn thành việc gia công chi tiết π(k − 1), tức là: sπ(k)B ≥ max(tπ(k)A , tπ(k−1)B ), k = 1, 2, · · · , n (4.3) Thời gian để hoàn thành việc gia công tất chi tiết hai máy T (π) = tπ(n)B Rõ ràng, với π cố định, T (π) đạt giá trị nhỏ tất dấu bất đẳng thức (4.1), (4.2), (4.3) thay dấu đẳng thức, tức là: sπ(1) = sπ(k)A = tπ(k−1)A , k = 1, 2, · · · , n (4.4) sπ(1)B = tπ(1)A sπ(k)B = max(tπ(k)A , tπ(k−1)B ), k = 1, 2, · · · , n nghĩa máy thực công việc điều kiện cho phép 63 64Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta thấy trình máy B thực việc gia công chi tiết theo lịch gia công π có nhiều khoảng thời gian máy chết Rõ ràng, ta bố trí lại việc gia công máy B cho khoảng thời gian chết cách dồn chúng vào đoạn đầu để sau máy B hoạt động liên tục việc không làm tăng thời gian hoàn thành việc gia công Vì vậy, ta giả thiết hai máy thực việc gia công cách liên tục Máy A bắt đầu thực việc gia công vào thời điểm dA = Gọi dB thời điểm máy B bắt đầu thực việc gia công chi tiết Ta có: n bj T (π) = dB (π) + j=1 Dễ thấy, dB (π) tổng tπ(1)A khoảng thời gian chết máy B ta bố trí máy B thực việc gia công chi tiết theo công thức (4.4) Vì thế, dB (π) tính theo công thức sau: dB (π) = max (∆u (π)) 1≤u≤n u đó: ∆1 (π) = aπ(1) ; ∆u (π) = j=1 u−1 aπ(j) − j=1 bπ(j) , u = 1, 2, · · · , n Như toán đưa toán tối ưu tổ hợp sau: min{dB (π) : π ∈ P } P tập hợp hoán vị 1, 2, · · · , n Bổ đề 1: Giả sử π = (π(1), π(2), · · · , π(k − 1), π(k), π(k + 1), · · · , π(n)) lịch gia công, π lịch gia công thu từ π cách hoán vị hai phần tử π(k) π(k + 1) : π = (π(1), · · · , π(k − 1), π(k + 1), π(k), · · · , π(n)) nếu: min(aπ(k) , bπ(k+1) ) ≤ min(bπ(k) , aπ(k+1) ) dB (π) ≤ dB (π ) Chứng minh Do π, π khác vị trí thứ k k + nên ta có ∆u (π) = ∆u (π ) với u = 1, 2, · · · , k − 1, k + 2, · · · , n Do đó, ta cần chứng minh: max(∆k (π), ∆k+1 (π)) ≤ max(∆k (π ), ∆k+1 (π )) (4.5) max(∆( π) − δ, ∆k+1 (π) − δ) ≤ max(∆k (pi ) − δk+1 (π ) − δ) (4.6) Thật vậy, bất đẳng thức (4.5) tương đương với: 64 65Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn k−1 k+1 với giá trị δ Chọn: δ = j=1 k−1 k mặt khác: ∆k (π) = j=1 aπ(j) − aπ(j) − bπ(j) j=1 bπ(j) j=1 ta nhận (4.6) dạng: max(−aπ(k+1) , −bπ(k) ) ≤ max(−aπ(k) , −bπ(k+1) ) ⇔ − min(aπ(k+1) , bπ(k) ) ≤ − min(aπ(k) , bπ(k+1) ) ⇔ min(aπ(k) , bπ(k+1) ) ≤ min(aπ(k+1) , bπ(k) ) Điều theo giả thiết Bổ đề chứng minh Bổ đề 2: Nếu i, j, k ba số thoả mãn min(ai , bj ) ≤ min(aj , bi ) (4.7) min(aj , bk ) ≤ min(ak , bj ) (4.8) có hai bất đẳng thức bất đẳng thức chặt, min(ai , bk ) ≤ min(ak , bi ) (4.9) Chứng minh: Giả sử: ≤ bj , aj ≤ bi , aj ≤ bk , ak ≤ bj Khi đó, từ (4.7) suy ≤ aj , từ (4.8) suy aj ≤ ak Tức ta có ≤ bi , ≤ bk ≤ ak , từ suy (4.9) Chứng minh tương tự cho 15 trường hợp lại, ta thu bổ đề Định lý 1: (Định lý Johnson năm 1954) T (π) đạt giá trị nhỏ lịch gia công π = (π(1), π(2), · · · , π(n)) thoả mãn min(aπ(k) , bπ(k+1) ) ≤ min(bπ(k) , aπ(k+1) ), (4.10) với k = 1, 2, · · · , n − Chứng minh: Thật giả sử π = (π (1), π (2), · · · , π (n)) lịch gia công tối ưu Nếu π không thoả mãn (4.10) theo bổ đề 1, thay đổi vị trí hai phần tử liền tương ứng nó, ta thu lịch gia công π với dB (π) không lớn 65 66Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn dB (π ) Quá trình lặp lại π đến thu lịch thoả mãn (4.10) bổ đề đảm bảo việc lặp kết thúc Định lý chứng minh Định lý vừa chứng minh cho sở xây dựng thuật toán để giải toán đặt Giả sử: x = (ai , bi ) 1≤i≤n Xét hai trường hợp: 1) Nếu x = ak với k ta có min(ak , bj ) ≤ min(bk , aj ) với j = k Do đó, chi tiết Dk phải gia công lịch tối ưu 2) Nếu x = bp với p ta có: min(ap , bj ) ≥ min(bp , aj ) với j = p Vì thế, chi tiết Dp phải gia công cuối lịch tối ưu Thuật toán JOHNSON Bước 1: Chia chi tiết thành nhóm: nhóm N1 gồm chi tiết Di thoả mãn < bi , tức min(ai , bi ) = , nhóm N2 gồm chi tiết Di thoả mãn > bi , tức min(ai , bi ) = bi Các chi tiết Di thoả mãn = bi xếp vào nhóm Bước Sắp xếp chi tiết N1 theo chiều tăng chi tiết N2 theo chiều giảm bi Bước Nối N2 vào đuôi N1 Dãy thu (đọc từ trái sang phải) lịch gia công tối ưu 2.3.3 Kết thử nghiệm Ví dụ 1: Xét toán n = Thời gian gia công chi tiết máy cho bảng sau: Máy / chi tiết D1 D2 D3 D4 D5 A 10 B 66 67Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Các kết tính bước sau: Bước Chia nhóm: N1 = {D1 , D2 , D3 }; N2 = {D4 , D5 } Bước Sắp xếp N1 theo chiều tăng N2 theo chiều giảm bi : ta có N1 = (D1 , D3 , D2 ) N1 = (D3 , D1 , D2 ); N2 = (D4 , D5 ) Bước Nối N2 vào đuôi N1 , Ta lịch gia công tối ưu: π = (D1 , D3 , D2 , D4 , D5 ) Khi thời gian hoàn thành việc gia công tối ưu T (π) = 30 Sơ đồ Gantt lịch cho hình 2.15 Hình 2.15: Rõ ràng có nhiều lịch tối ưu chúng khác thời điểm bắt đầu máy B có chung điểm kết thúc Chẳng hạn lịch tối ưu khác ví dụ là: π = (D3 , D1 , D2 , D4 , D5 ) với sơ đồ Gantt lịch cho hình 2.16 Hình 2.16: Ví dụ 2:Xét toán n = Thời gian gia công chi tiết máy cho bảng sau: Máy / chi tiết D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 A 10 11 B 7 13 Ta giải toán sau 67 68Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bước Chia nhóm: N1 = {D1 , D2 , D3 , D8 }; N2 = {D4 , D5 , D6 , D7 } Bước Sắp xếp N1 theo chiều tăng N2 theo chiều giảm bi : ta có N1 = (D1 , D3 , D2 , D8 ) N1 = (D3 , D1 , D2 , D8 ); N2 = (D4 , D7 , D6 , D5 ) Bước Nối N2 vào đuôi N1 , Ta lịch gia công tối ưu: π = (D1 , D3 , D2 , D8 , D4 , D7 , D6 , D5 ) Với thời gian hoàn thành việc gia công tối ưu T (π) = 57 Sơ đồ Gantt lịch cho hình 2.17: Hình 2.17: Chú ý: 1) Có thể chứng minh việc tìm lịch gia công dạng máy trình tự gia công riêng không dẫn tới việc hoàn thành gia công chi tiết sớm Vì vậy, thuật toán Johnson có kết toán mà không cần có giả thiết trình tự gia công hai máy phải 2) Kỹ thuật chứng minh định lý Johnson dựa bổ đề kỹ thuật kế hoạch lập lịch, biết tên gọi:Thủ thuật hoán vị 3) Không thể thu định lý tương tự định lí Johnson cho trường hợp máy nhiều Trong trường hợp tổng quát, chưa có phương pháp hữu hiệu để giải chúng việc sử dụng phương pháp nhánh cận Một số trường hợp riêng dẫn toán hai máy Xét toán gia công n chi tiết ba máy theo thứ tự A, B, C với bảng thời gian , bi , ci , i = 1, 2, · · · , n thoả mãn: maxi bi ≥ mini 68 69Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn max bi ≤ max bi ≤ ci i i i i tức thời gian gia công máy B nhỏ so với máy A máy C Khi đó, lịch gia công tối ưu ba máy trùng với lịch gia công hai máy: máy thứ với thời gian + bi máy thứ hai với thời gian bi + ci Lịch gia công chúng trùng thời gian gia công khác Ví dụ Thời gian gia công chi tiết máy A, B, C cho bảng sau: Máy / chi tiết D1 A B C D2 D3 D4 10 D5 Ta có max bi = ≤ = đó, toán dẫn việc tìm lịch gia công tối ưu hai máy A , B Máy / chi tiết D1 D2 D3 D4 D5 A 15 11 10 15 B 9 14 11 Các kết tính toán theo thuật toán Johnson theo bước sau: Bước Chia nhóm: N1 = {D5 }; N2 = {D1 , D2 , D3 , D4 } Bước Sắp xếp N1 theo chiều tăng N2 theo chiều giảm bi ta N1 = (D5 ); N2 = (D4 , D1 , D3 , D2 ) N2 = (D4 , D3 , D1 , D2 ) Bước Nối N2 vào đuôi N1 , ta lịch gia công tối ưu là: π1 = (D5 , D4 , D1 , D3 , D2 ) π2 = (D5 , D4 , D3 , D1 , D2 ) Thời gian hoàn thành việc gia công tối ưu T (π1 ) = T (π2 ) = 46 Chính tổng thời gian xếp tối ưu hai máy A B trừ tổng thời gian hoàn thành chi tiết máy B , tức là: 66 − (6 + + + + 3) = 46 = T (π1 ) = T (π2 ) Với sơ đồ Gantt hình 2.18: 69 70Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 2.18: Ví dụ 4:Thời gian gia công chi tiết máy A, B, C cho bảng sau: Máy / chi tiết D1 A 11 B C 13 D2 15 D3 D4 10 D5 17 D6 11 12 D7 12 D8 16 17 D9 13 Ta có max bi = ≤ = đó, toán dẫn việc tìm lịch gia công tối ưu hai máy A , B Máy / chi tiết D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 A 17 19 14 12 18 14 19 24 22 B 19 10 12 11 15 12 25 13 Ta giải toán sau: Bước Chia nhóm: N1 = {D1 , D6 , D8 }; N2 = {D2 , D3 , D4 , D5 , D7 , D9 } Bước Sắp xếp N1 theo chiều tăng N2 theo chiều giảm bi ta N1 = (D6 , D1 , D8 ); N2 = (D9 , D3 , D7 , D4 , D2 , D5 ) N2 = (D9 , D7 , D3 , D4 , D2 , D5 ) Bước Nối N2 vào đuôi N1 , ta lịch gia công tối ưu là: π1 = (D6 , D1 , D8 , D9 , D3 , D7 , D4 , D2 , D5 ) π2 = (D6 , D1 , D8 , D9 , D7 , D3 , D4 , D2 , D5 ) Thời gian thực với xếp tối ưu : T (π1 ) = T (π2 ) = 123 = 168 − (6 + + + + + + + + 9) Sơ đồ Gantt vẽ hình 2.19: Hình 2.19: Bài toán lập lịch lập trình cụ thể ngôn ngữ Pascal Chương trình chi tiết phần phụ lục 70 71Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Luận văn thu số kết sau: - Nghiên cứu mô hình toán kinh tế, nhu cầu bước tiến hành xây dựng mô hình toán kinh tế - Trình bày số mô hình toán kinh tế phương pháp giải biết - Nghiên cứu chi tiết mô hình cân đối liên ngành, áp dụng cụ thể cho số toán cụ thể - Nghiên cứu chi tiết mô hình quản lý dự trữ, áp dụng cụ thể cho số toán cụ thể - Nghiên cứu chi tiết toán lập lịch, áp dụng lập trình cụ thể cho số toán cụ thể Nghiên cứu mô hình toán kinh tế việc làm có ý nghĩa thực tiễn cao mang lại hiệu kinh tế lớn Do nhiều nguyên nhân chủ quan khách quan, luận văn đáp ứng phần tập trung nghiên cứu ba toán Hướng phát triển đề tài: -Liên hệ để tìm nguồn tư liệu vận dụng toán nghiên cứu trình bày luận văn để góp phần phát triển kinh tế địa phương - Tiếp tục nghiên cứu thêm mô hình kinh tế khác, kết hợp với đồng nghiệp chuyên ngành khác nhằm xây dựng mô hình dựa theo mô hình biết - Nghiên cứu phương pháp giải mô hình xây dựng nhằm đạt hiệu suất tính toán cao 71 72Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1].PGS.TS Nhâm Văn Toán (1999), Toán kinh tế, Nhà xuất Giao thông vận tải, Hà Nội [2] Bùi Minh Trí (2006), Quy hoạch toán học, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo tình Tối ưu tuyến tính, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [4] Học viện Công nghệ bưu viễn thông (2007), Toán kinh tế, Hà Nội [5] Trang web Toán học: http://www.diendantoanhoc.net ** Một số báo tiếng Anh 72 73Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phụ lục Chương trình giải toán lập lịch Program laplich; Uses crt; Const NN = 30; Type INT = integer; Str20=string[20]; Hang=record A,{thoi gian may 1} B,{thoi gian may 2} Tt,{thu tu} C: word; T: STR20; {ten chi tiet} End; Lsx=array[1 NN] of hang; Var Dat, cht: lsx; N, myn: word; P, bmax: word; Response: char; Procedure inputlich(var n:word; var ct: lsx); Var i, x, y: byte; Begin Writeln(#13#10, : 40, #10); writeln(’Giai bai toan lap lich theo thuat toan Jonhson’); Write(’So chi tiet can gia cong: ’); readln(n); Writeln; 73 74Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Writeln(’Chi so Ten chi tiet Thoi gian may a(i) Thoi gian may b(i)’); Writeln; For i:= to n With ct[i] Begin Tt:=i; write(i:5); X:=wherex; Y:=wherey; Repeat Gotoxy(x+5,y); Readln(T); Until t”; While length(t)[...]... tưởng tượng, bởi vì nó không thể nhận biết được bằng trực quan 31 3 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 MỘT SỐ MÔ HÌNH CỤ THỂ Chương này trình bày ba mô hình toán kinh tế đó là: Mô hình cân đối liên ngành tĩnh; mô hình quản lý dự trữ và bài toán lập lịch 2.1 Cân đối liên ngành tĩnh Mô hình cân đối liên ngành dùng để phân tích, lập kế hoạch sản xuất và... bộ nền kinh tế quốc dân Nó cho phép xây dựng mô hình toán kinh tế dạng hệ phương trình và ma trận, do đó có khả năng áp dụng các phương pháp tính toán hiện đại 2.1.1 Phát biểu bài toán Giả sử trong nền kinh tế quốc dân có n ngành, mỗi ngành xuất hiện hai lần: một lần xuất hiện với tư cách là ngành sản xuất và một lần xuất hiện với tư cách là ngành tiêu thụ Chẳng hạn một ngành A với tư cách là một trong... Zrs ≤ 0, ∀i (bài toán không có phương án tối ưu) Sau một số hữu hạn lần biến đổi bảng ta phải dừng ở một trong hai tình huống trên Thuật toán đơn hình trên có thể diễn tả bằng sơ đồ khối ở hình (1.2) Hình 1.2: * Trường hợp bài toán suy biến thì trong quá trình thực hiện thuật toán đơn hình có thể xảy ra hiện tượng: Tỉ số nhỏ nhất θ0 đạt tại nhiều chỉ số, do đó có nhiều biến đạt tiêu chuẩn loại khỏi cơ... Đổi bài toán tìm cực đại ban đầu (f → max) thành bài toán tìm cực tiểu (g = −f → min) +) Đưa bài toán cần giải về dạng chính tắc, nếu nó không phải ở dạng chính tắc +) Thêm biến giả và giải bài toán M , nếu chưa biết phương án cực biên ban đầu của bài toán +) Từ lời giải bài toán chính tắc hay bài toán M suy ra lời giải của bài toán ban đầu Ví dụ: Giải bài toán sử dụng nguyên liệu với mô hình toán học... kinh tế thường gặp trong thực tế sản xuất và đời sống Mặc dù bề ngoài của các bài toán được nêu ra trên đây không hoàn toàn như nhau song chúng có những điểm giống nhau về dạng toán học , chính vì vậy bằng một số phép biến đổi ta có thể đưa các bài toán ở các dạng khác nhau về bài toán có 1 dạng nhất định Bài toán ở dạng nhất định đó được gọi là bài toán cơ bản của QHTT 13 1 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... Hãy tìm một phương án tối ưu hay một lời giải cho bài toán đã cho? Bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi là bài toán có lời giải Bài toán không có phương án tối ưu (miền ràng buộc rỗng D = ∅) hoặc có phương án nhưng không có phương án tối ưu, do hàm mục tiêu giảm vô hạn (bài toán min) hoặc tăng vô hạn (bài toán max), gọi là bài toán không có lời giải Chú ý: 1) Các ràng buộc chính của bài toán được... của một khẩu phần thức ăn sẽ là: n F = cj xj (1.9) j=1 Như vậy ta đi đến bài toán sau: n Cho hệ: j=1 aij xj ≥ bi (i = 1, 2, m) (1.10) gồm m bất đẳng thức tuyến tính với n ẩn số và hàm mục tiêu tuyến tính: n F = j=1 cj xj −→ min (1.11) Trong số tất cả các nghiệm không âm của hệ (1.10) cần tìm một nghiệm sao cho hàm mục tiêu (1.11) nhận giá trị nhỏ nhất Trên đây là một số ví dụ về bài toán kinh tế thường... ngành dạng hiện vật (hình 2.1): Hình 2.1: Các hình vuông trong bảng gọi là các hình vuông cân đối, trong đó: - Hình vuông I: Chứa các luồng tư liệu sản xuất liên ngành - Hình vuông II: Trình bày sản phẩm cuối cùng và tổng sản phẩm của các ngành - Hình vuông III: Chỉ ra thu nhập quốc dân của các lĩnh vực về mặt cơ cấu giá trị - Hình vuông IV: Phản ánh tổng thu nhập của nền kinh tế quốc dân và phân phối... tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Một số phương pháp giải 1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính QHTT là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm tuyến tính f (x) trên một khúc lồi D ⊂ Rn được xác định bởi một hệ phương trình hay bất phương trình tuyến tính cho trước Bài toán này có dạng : Tìm các biến số x1 , x2 , , xn thoả mãn điều kiện :  n    aij xj    ... bảng đơn hình + Đổi cột Biến cơ sở : Biến cơ sở mới là xs thay cho biến cơ sở cũ là xir ở dòng r + Đổi cột Hệ số CB : Hệ số mục tiêu cs thay cho hệ số cir ở dòng r + Xác lập các véctơ đơn vị: Ghi số 1 vào ô có cùng tên biến trên dòng và cột của nó, ghi số 0 vào các ô còn lại của cột vừa ghi số 1 (Cột ứng với biến cơ sở là cột đơn vị) + Biến đổi dòng quay (công thức (1.24) với i = r): 21 2 2Số hóa bởi