Một số mô hình toán kinh tế

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ DÂN MỘT SỐ MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học TS VŨ MẠNH XUÂN THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương KHÁI QUÁT VỀ CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ 1.1 Nhu cầu mơ hình tốn học 4 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 Nhu cầu Mơ hình toán kinh tế: Xây dựng mô hình tốn kinh tế: Một số vấn đề xây dựng mơ hình tốn kinh tế: 1.2 Một số mơ hình thực tế 1.2.1 Bài toán sử dụng nguyên liệu 1.2.2 Bài toán vận tải: 11 1.2.3 Bài toán phần ăn: 12 1.3 Một số phương pháp giải 1.3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.3.2 Một vài phương pháp giải 14 14 16 Chương MỘT SỐ MƠ HÌNH CỤ THỂ 32 2.1 Cân đối liên ngành tĩnh 32 2.1.1 Phát biểu toán 2.1.2 Bảng cân đối liên ngành dạng vật 2.1.3 Bảng cân đối liên ngành dạng giá trị 2.2 Mơ hình quản lý dự trữ 2.2.1 2.2.2 2.2.3 51 2.2.4 32 33 42 47 Phát biểu toán: 48 Các khái niệm nguyên tắc chung quản lý dự trữ 48 Xác định số lượng đặt hàng tối ưu chi phí quản lý dự trữ (mơ hình WILSON) Một số ứng dụng mơ hình WILSON 56 2.3 Bài toán lập lịch 62 2.3.1 Phát biểu toán 2.3.2 Thuật toán Jonhson giải toán lập lịch gia công hai máy 2.3.3 Kết thử nghiệm 62 62 66 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 Phụ lục 73 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Thời đại ngày chứng kiến nhiều phát triển đột phá tác động sâu sắc đến phát triển kinh tế, văn hóa, xã hội Có thành đó, phần không nhỏ phát quy luật tự nhiên, xã hội, từ có định hướng đắn cho bước phát triển Việc đưa mơ hình tốn học kinh tế nhằm mục đích Thế giới ghi nhận công lao nhiều nhà khoa học lĩnh vực kinh tế thông qua giải Nobel hàng năm với cơng trình xây dựng phát triển mơ hình tốn kinh tế Với nguyện vọng muốn nghiên cứu thêm mơ hình tốn kinh tế ứng dụng thực tế chúng, chọn đề tài “Một số mơ hình Tốn kinh tế” làm Luận văn tốt nghiệp Mục đích đề tài tìm hiểu số mơ hình tốn kinh tế thường gặp, cách giải toán kinh tế bước đầu ứng dụng qua ví dụ cụ thể Luận văn gồm chương khơng kể phần mở đầu, kết luận phụ lục Chương 1: trình bày nét khái qt mơ hình tốn kinh tế, số mơ hình cụ thể vài phương pháp giải biết Chương 2: trình bày ba mơ hình cụ thể tốn cân đối liên ngành, mơ hình dự trữ tốn lập lịch Ngồi việc trình bày cách hệ thống mơ hình này, luận văn cịn đưa ví dụ số liệu cụ thể để minh họa Riêng toán lập lịch cài đặt chương trình PASCAL Luận văn hồn thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Vũ Mạnh Xuân Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy tận tình hướng dẫn suốt thời gian 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tác giả làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn thông qua giảng, tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp đỡ đóng góp ý kiến q báu thầy trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học K3A bạn đồng nghiệp động viên khích lệ tác giả q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Luận văn khơng hồn thành khơng có thơng cảm giúp đỡ người thân gia đình tác giả Đây quà tinh thần, tác giả xin kính tặng gia đình thân u với lòng biết ơn chân thành sâu sắc Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn đạt mục tiêu đề ra, song điều kiện khách quan sức khỏe thân, luận văn chắn cịn nhiều khiếm khuyết Kính mong nhận đóng góp giáo sư đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2011 Tác giả Trần Thị Dân 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KHÁI QUÁT VỀ CÁC BÀI TỐN KINH TẾ Chương trình bày khái qt nhu cầu mơ hình tốn kinh tế, đưa số mơ hình thực tế phương pháp giải toán kinh tế 1.1 Nhu cầu mơ hình tốn học 1.1.1 Nhu cầu Đã từ lâu người muốn tìm hiểu, khám phá tượng tự nhiên, họ biết quan sát, theo dõi ghi nhận tượng Kết theo dõi đúc kết thành kinh nghiệm lưu truyền qua hệ Đó phương pháp trực tiếp quan sát nghiên cứu Đối với vật, tượng phức tạp muốn tìm hiểu tượng mà muốn lợi dụng chúng để phục vụ cho hoạt động phương pháp quan sát chưa đủ Trong trường hợp này, nghiên cứu đối tượng, nhà khoa học trực tiếp tác động vào đối tượng, sử dụng mô hình tương tự (về mặt cấu trúc vật lý) đối tượng, tiến hành thí nghiệm, trực tiếp tác động vào đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết để xác lập qui luật chi phối vận động đối tượng Đó phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm sốt phương pháp nghiên cứu phổ biến khoa học tự nhiên kĩ thuật Khi nghiên cứu tượng, vấn đề kinh tế- xã hội, phương pháp thường không đem lại kết mong muốn, vì: - Những vấn đề kinh tế vấn đề phức tạp, đặc biệt vấn đề đương đại, có mối quan hệ đan xen, chí tiềm ẩn 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mà khơng thể quan sát giải thích - Qui mơ, phạm vi liên quan vấn đề kinh tế - xã hội nhiều rộng đa dạng, dùng phương pháp thử nghiệm địi hỏi chi phí lớn thời gian, tiền bạc nhiều sai sót q trình thử nghiệm gây hậu lường trước - Ngay trường hợp có đủ điều kiện tiến hành thử nghiệm nghiên cứu kinh tế kết thu tin cậy tượng kinh tế - xã hội gắn với hoạt động người Khi điều kiện thực tế khác biệt với điều kiện thử nghiệm, người có phản ứng khác Để nghiên cứu tượng, vấn đề kinh tế phải sử dụng phương pháp suy luận gián tiếp, đối tượng thực có liên quan tới tượng, vấn đề ta quan tâm nghiên cứu thay "hình ảnh"của chúng: mơ hình đối tượng ta sử dụng mơ hình làm cơng cụ phân tích suy luận Phương pháp phương pháp mơ hình Nội dung phương pháp mơ hình bao gồm: - Xây dựng, xác định mơ hình đối tượng Q trình gọi mơ hình hố đối tượng - Dùng mơ hình làm cơng cụ suy luận phục vụ yêu cầu nghiên cứu Quá trình gọi phân tích mơ hình Phương pháp mơ hình khắc phục hạn chế phương pháp trên, đồng thời với việc phân tích mơ hình, phương pháp tạo khả phát huy tốt hiệu tư lơgíc, kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp phân tích truyền thống với đại, phân tích định tính với phân tích định lượng Để sử dụng có hiệu phương pháp mơ hình hố nghiên cứu kinh tế vấn đề cốt lõi xác lập mơ hình đối tượng nghiên cứu 1.1.2 Mơ hình tốn kinh tế: Vậy mơ hình kinh tế, mơ hình tốn kinh tế gì? 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - Mơ hình đối tượng lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi mơ hình kinh tế - Mơ hình tốn kinh tế mơ hình kinh tế trình bày ngơn ngữ tốn học Bản chất q trình mơ hình hố tượng, hệ thống kinh tế mơ hình hố q trình vận động nó, nghĩa xây dựng phương trình trạng thái cho Để xây dựng mơ hình toán học tượng, hệ thống kinh tế cụ thể, ta phải chọn biến kinh tế cho nó, biến điều khiển, biến ngẫu nhiên (gọi biến vào) biến trạng thái, biến (kết sản xuất), sau mơ tả quan hệ biến hệ thức tốn học 1.1.3 Xây dựng mơ hình tốn kinh tế: Việc mơ hình hố tốn học tượng hệ thống kinh tế thường tiến hành theo bốn bước sau Bước 1: Xây dựng mơ hình định tính cho đối tượng kinh tế cần nghiên cứu, nghĩa xác định yếu tố có ý nghĩa quan trọng xác lập quy luật mà yếu tố kinh tế phải tuân theo Nói cách khác phát biểu mơ hình lời, biểu đồ điều kiện kinh tế, kĩ thuật, xã hội, tự nhiên mục tiêu cần đạt Để làm điều cần: - Xác định mục tiêu nghiên cứu đối tượng kinh tế cần mơ hình (mục tiêu nhận thức, phân tích, dự đốn, đối tượng kinh tế đó) - Nghiên cứu học thuyết kinh tế, xã hội, khoa học kĩ thuật liên quan đến đối tượng kinh tế cần nghiên cứu - Xác định quan điểm người nghiên cứu thông qua thực tiễn, lí luận mơ hình liên quan đến đối tượng kinh tế cần nghiên cứu Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học cho đối tượng kinh tế cần nghiên cứu, nghĩa diễn tả lại ngơn ngữ tốn học cho mơ hình định tính, bao gồm xác định biến kinh tế ràng buộc biến kinh tế Nội dung gồm viêc 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sau: - Dựa vào lí luận để định lựa chọn biến kinh tế hệ thức ràng buộc mơ hình - Sử dụng cơng cụ tốn học để phân tích mối quan hệ biến kinh tế, kể quan hệ tiềm ẩn - Xác lập mối quan hệ trực tiếp biến nội sinh với biến ngoại sinh tham số - Chọn biến số đặc trưng cho trạng thái hệ thống kinh tế cần nghiên cứu - Xây dựng hệ thức toán học thiết lập quan hệ ràng buộc biến số tham số điều khiển đối tượng kinh tế cần nghiên cứu - Xác định hàm mục tiêu, nghĩa đặc trưng số biểu thị hiệu hoạt động hệ thống kinh tế nghiên cứu Bước 3: Sử dụng công cụ tốn học để khảo sát giải mơ hình tốn học xác lập bước Căn vào mơ hình xây dựng, lựa chọn xây dựng phương pháp giải cho phù hợp Tiếp cụ thể hoá phương pháp thuật toán tối ưu thể nghiệm giải tốn máy tính điện tử Bước 4: Dựa vào số liệu thu thập được, mơ máy tính tình khứ tại, dự đoán kiểm định phù hợp mơ hình lí luận thực tiễn Để nâng cao tính thực mơ hình kinh tế có, ta thêm, bớt, thay đổi vai trò số biến số kinh tế có, tham số biến ngẫu nhiên, hệ thức toán học ràng buộc biến kinh tế Để phân tích sâu sắc tượng hệ thống kinh tế xét, ta phân chia vấn đề nghiên cứa thành chuyên đề độc lập ứng với khái qt hố mơ hình kinh tế phù hợp, mơ hình lại nghiên cứu phân tích làm trên, sau lắp ghép mơ hình thành mơ hình hồn chỉnh mơ đầy đủ đắn, sâu sắc tượng hệ thống kinh tế cần nghiên cứu 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.4 Một số vấn đề xây dựng mơ hình tốn kinh tế: 1) Độ đo kinh tế ? Các đại lượng kinh tế đa dạng để khảo sát cần có cơng cụ để so sánh đại lượng Chúng ta hình dung vấn đề qua ví dụ đơn giản sau: " Trong mùa đơng bạn cần quần áo ấm thiết bị giải trí, bạn đánh giá quần áo ấm có giá trị dù chúng có giá thành Nhưng có vài quần áo ấm bạn lại đánh giá ngược lại, thiết bị giải trí có giá trị quần áo ấm" Nên cần phải tìm cơng cụ tốn để so sánh đối tượng 2) Bao quát tính chất đặc trưng Khi muốn khảo sát đối tượng phải hiểu Như để xây dựng mơ hình tốn kinh tế cần có hiểu biết định kinh tế, quan hệ đại lượng kinh tế, tầm quan trọng vài tham số vấn đề quan tâm Cần phải nắm điều quan trọng có ảnh hưởng định tới vấn đề cần khảo sát gì? 3) Tính toán tham số Các tham số định kết khảo sát mơ hình nhận Các tham số nhận từ trình theo dõi, nghiên cứu số liệu thực tế vấn đề cần khảo sát Q trình tính tốn tham số đơi chiếm phần lớn thời gian q trình xây dựng mơ hình tốn Điều đặc biệt khó khăn Việt Nam chưa có hệ thống liệu thống kê chuẩn để phục vụ cho nghiên cứu 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Một số mơ hình thực tế 1.2.1 Bài tốn sử dụng ngun liệu Giả sử để sản xuất n loại sản phẩm P1 , P2 , · · · , Pn doanh nghiệp cần dùng m loại nguyên vật liệu S1 , S2 , · · · , Sm Mỗi loại nguyên vật liệu có dự trữ định, tương ứng b1 , b2 , · · · , bm đơn vị Số đơn vị nguyên vật liệu cần để sản xuất loại sản phẩm biết cho bảng 1.1 loại nguyên Dự trữ loại sản phẩm Vật liệu Nguyên vật liệu P1 P2 Pn S1 b1 a11 a12 a1n S2 b2 a21 a22 a2n Sm bm am1 am2 amn Thu nhập c1 c2 cmn Trong bảng ta có: aij (i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n) lượng nguyên vật liệu loại Si cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm loại Pj , cj thu nhập doanh nghiệp tiêu thụ đơn vị sản phẩm loại Pj Vấn đề đặt cần thiết lập phương án sản xuất loại sản phẩm P1 , P2 , · · · , Pn để tổng thu nhập doanh nghiệp lớn Giả sử doanh nghiệp sản xuất xj đơn vị sản phẩm loại Pj (j = 1, 2, · · · n); tất nhiên xj phải số không âm (xj ≥ 0) Muốn vậy, doanh nghiệp cần dùng n j=1 aij xj đơn vị nguyên vật liệu Si (i = 1, 2, · · · , m) Nhưng số đơn vị nguyên vật liệu loại Si có lượng dự trữ định bi nên cần phải thoả mãn bất đẳng n thức: j=1 aij xj ≤ bi (i = m) n Tổng thu nhập doanh nghiệp bán loại sản phẩm là: F = cj xj j=1 Như ta đến toán dạng toán học sau: 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì CV T2 (S1 ) < 1.251.229 = CV T2 (Q∗1 ), nên lượng hàng tối ưu lần là: Q∗ = S1 = 2000 Số lần mua năm: 365 10000 = ; thời gian chu kỳ: = 73 ngày 2000 2.3 Bài toán lập lịch 2.3.1 Phát biểu toán Mỗi chi tiết n chi tiết D1 , D2 , · · · , Dn cần phải đươc gia công m máy M1 , M2 , · · · , Mm Thời gian gia công chi tiết Di máy Mj tij Hãy tìm lịch (trình tự) gia cơng chi tiết máy cho việc hồn thành gia cơng tất chi tiết sớm Trong thực tế lịch gia công thường phải thoả mãn thêm số điều kiện khác Vì ứng dụng quan trọng vấn đề mà tối ưu hố tổ hợp hình thành lĩnh vực lý thuyết riêng toán lập lịch gọi lý thuyết lập lịch hay quy hoạch lịch Ta thấy rằng, trường hợp xấu thuật toán phải xét tất lịch (trình tự) gia cơng n chi tiết m máy, tức phải xét n! lịch gia công m máy Như vậy, trường hợp thuật tốn có độ phức tạp O(n!m) 2.3.2 Thuật toán Jonhson giải toán lập lịch gia công hai máy Input: Lịch thời gian gia công máy n sản phẩm Output: Lịch thời gian gia công tối ưu máy n sản phẩm Xét trường hợp riêng toán lập lịch, toán lập lịch gia công hai máy Mỗi chi tiết số n chi tiết D1 , D2 , · · · , Dn cần phải gia công máy A, B Thời gian gia công chi tiết Di máy A , máy B bi , (i = 1, 2, · · · , n) Hãy tìm lịch (trình tự) gia cơng chi tiết hai 62 63Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn máy cho việc hồn thành gia cơng tất chi tiết sớm Giả sử, trình tự gia công chi tiết hai máy Khi đó, lịch gia cơng tương ứng với hoán vị: π = (π(1), π(2), · · · , π(n)) n số tự nhiên Ký hiệu sjX ; tjX thời điểm bắt đầu kết thúc việc gia công chi tiết j máy X, j = 1, 2, · · · , n; X = A, B Giả sử π lịch gia cơng Khi đó, máy A bắt đầu thực công việc π(1) vào thời điểm sπ(1)A = công việc π(k) sau thực xong công việc π(k − 1) tức là: sπ(k)A ≥ tπ(k−1)A , k = 1, 2, · · · , n (4.1) Máy B bắt đầu thực cơng việc π(1) sau máy A kết thúc việc gia cơng tức vào thời điểm: sπ(1)B ≥ tπ(1)A (4.2) Máy B bắt đầu việc gia công chi tiết π(k), (k = 1, 2, · · · , n) sau công việc thực xong máy A đồng thời phải hồn thành việc gia cơng chi tiết π(k − 1), tức là: sπ(k)B ≥ max(tπ(k)A , tπ(k−1)B ), k = 1, 2, · · · , n (4.3) Thời gian để hồn thành việc gia cơng tất chi tiết hai máy T (π) = tπ(n)B Rõ ràng, với π cố định, T (π) đạt giá trị nhỏ tất dấu bất đẳng thức (4.1), (4.2), (4.3) thay dấu đẳng thức, tức là: sπ(1) = sπ(k)A = tπ(k−1)A , k = 1, 2, · · · , n (4.4) sπ(1)B = tπ(1)A sπ(k)B = max(tπ(k)A , tπ(k−1)B ), k = 1, 2, · · · , n nghĩa máy thực công việc điều kiện cho phép 63 64Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta thấy trình máy B thực việc gia công chi tiết theo lịch gia cơng π có nhiều khoảng thời gian máy chết Rõ ràng, ta ln bố trí lại việc gia công máy B cho khoảng thời gian chết cách dồn chúng vào đoạn đầu để sau máy B hoạt động liên tục việc không làm tăng thời gian hồn thành việc gia cơng Vì vậy, ta ln giả thiết hai máy thực việc gia công cách liên tục Máy A bắt đầu thực việc gia công vào thời điểm dA = Gọi dB thời điểm máy B bắt đầu thực việc gia cơng chi tiết Ta có: n bj T (π) = dB (π) + j=1 Dễ thấy, dB (π) tổng tπ(1)A khoảng thời gian chết máy B ta bố trí máy B thực việc gia công chi tiết theo cơng thức (4.4) Vì thế, dB (π) tính theo công thức sau: dB (π) = max (∆u (π)) 1≤u≤n u đó: ∆1 (π) = aπ(1) ; ∆u (π) = j=1 u−1 aπ(j) − j=1 bπ(j) , u = 1, 2, · · · , n Như toán đưa toán tối ưu tổ hợp sau: min{dB (π) : π ∈ P } P tập hợp hoán vị 1, 2, · · · , n Bổ đề 1: Giả sử π = (π(1), π(2), · · · , π(k − 1), π(k), π(k + 1), · · · , π(n)) lịch gia cơng, cịn π lịch gia cơng thu từ π cách hoán vị hai phần tử π(k) π(k + 1) : π = (π(1), · · · , π(k − 1), π(k + 1), π(k), · · · , π(n)) nếu: min(aπ(k) , bπ(k+1) ) ≤ min(bπ(k) , aπ(k+1) ) dB (π) ≤ dB (π ) Chứng minh Do π, π khác vị trí thứ k k + nên ta có ∆u (π) = ∆u (π ) với u = 1, 2, · · · , k − 1, k + 2, · · · , n Do đó, ta cần chứng minh: max(∆k (π), ∆k+1 (π)) ≤ max(∆k (π ), ∆k+1 (π )) (4.5) max(∆( π) − δ, ∆k+1 (π) − δ) ≤ max(∆k (pi ) − δk+1 (π ) − δ) (4.6) Thật vậy, bất đẳng thức (4.5) tương đương với: 64 65Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn k−1 k+1 với giá trị δ Chọn: δ = j=1 k−1 k mặt khác: ∆k (π) = j=1 aπ(j) − aπ(j) − bπ(j) j=1 bπ(j) j=1 ta nhận (4.6) dạng: max(−aπ(k+1) , −bπ(k) ) ≤ max(−aπ(k) , −bπ(k+1) ) ⇔ − min(aπ(k+1) , bπ(k) ) ≤ − min(aπ(k) , bπ(k+1) ) ⇔ min(aπ(k) , bπ(k+1) ) ≤ min(aπ(k+1) , bπ(k) ) Điều theo giả thiết Bổ đề chứng minh Bổ đề 2: Nếu i, j, k ba số thoả mãn min(ai , bj ) ≤ min(aj , bi ) (4.7) min(aj , bk ) ≤ min(ak , bj ) (4.8) có hai bất đẳng thức bất đẳng thức chặt, min(ai , bk ) ≤ min(ak , bi ) (4.9) Chứng minh: Giả sử: ≤ bj , aj ≤ bi , aj ≤ bk , ak ≤ bj Khi đó, từ (4.7) suy ≤ aj , cịn từ (4.8) suy aj ≤ ak Tức ta có ≤ bi , ≤ bk ≤ ak , từ suy (4.9) Chứng minh tương tự cho 15 trường hợp lại, ta thu bổ đề Định lý 1: (Định lý Johnson năm 1954) T (π) đạt giá trị nhỏ lịch gia công π = (π(1), π(2), · · · , π(n)) thoả mãn min(aπ(k) , bπ(k+1) ) ≤ min(bπ(k) , aπ(k+1) ), (4.10) với k = 1, 2, · · · , n − Chứng minh: Thật giả sử π = (π (1), π (2), · · · , π (n)) lịch gia công tối ưu Nếu π khơng thoả mãn (4.10) theo bổ đề 1, thay đổi vị trí hai phần tử liền tương ứng nó, ta thu lịch gia công π với dB (π) không lớn 65 66Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn dB (π ) Quá trình lặp lại π đến thu lịch thoả mãn (4.10) bổ đề đảm bảo việc lặp kết thúc Định lý chứng minh Định lý vừa chứng minh cho sở xây dựng thuật toán để giải toán đặt Giả sử: x = (ai , bi ) 1≤i≤n Xét hai trường hợp: 1) Nếu x = ak với k ta có min(ak , bj ) ≤ min(bk , aj ) với j = k Do đó, chi tiết Dk phải gia công lịch tối ưu 2) Nếu x = bp với p ta có: min(ap , bj ) ≥ min(bp , aj ) với j = p Vì thế, chi tiết Dp phải gia công cuối lịch tối ưu Thuật toán JOHNSON Bước 1: Chia chi tiết thành nhóm: nhóm N1 gồm chi tiết Di thoả mãn < bi , tức min(ai , bi ) = , nhóm N2 gồm chi tiết Di thoả mãn > bi , tức min(ai , bi ) = bi Các chi tiết Di thoả mãn = bi xếp vào nhóm Bước Sắp xếp chi tiết N1 theo chiều tăng chi tiết N2 theo chiều giảm bi Bước Nối N2 vào đuôi N1 Dãy thu (đọc từ trái sang phải) lịch gia cơng tối ưu 2.3.3 Kết thử nghiệm Ví dụ 1: Xét toán n = Thời gian gia công chi tiết máy cho bảng sau: Máy / chi tiết D1 D2 D3 D4 D5 A 10 B 66 67Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Các kết tính bước sau: Bước Chia nhóm: N1 = {D1 , D2 , D3 }; N2 = {D4 , D5 } Bước Sắp xếp N1 theo chiều tăng N2 theo chiều giảm bi : ta có N1 = (D1 , D3 , D2 ) N1 = (D3 , D1 , D2 ); N2 = (D4 , D5 ) Bước Nối N2 vào đuôi N1 , Ta lịch gia công tối ưu: π = (D1 , D3 , D2 , D4 , D5 ) Khi thời gian hồn thành việc gia cơng tối ưu T (π) = 30 Sơ đồ Gantt lịch cho hình 2.15 Hình 2.15: Rõ ràng có nhiều lịch tối ưu chúng khác thời điểm bắt đầu máy B có chung điểm kết thúc Chẳng hạn lịch tối ưu khác ví dụ là: π = (D3 , D1 , D2 , D4 , D5 ) với sơ đồ Gantt lịch cho hình 2.16 Hình 2.16: Ví dụ 2:Xét tốn n = Thời gian gia cơng chi tiết máy cho bảng sau: Máy / chi tiết D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 A 10 11 B 7 13 Ta giải toán sau 67 68Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bước Chia nhóm: N1 = {D1 , D2 , D3 , D8 }; N2 = {D4 , D5 , D6 , D7 } Bước Sắp xếp N1 theo chiều tăng N2 theo chiều giảm bi : ta có N1 = (D1 , D3 , D2 , D8 ) N1 = (D3 , D1 , D2 , D8 ); N2 = (D4 , D7 , D6 , D5 ) Bước Nối N2 vào đuôi N1 , Ta lịch gia công tối ưu: π = (D1 , D3 , D2 , D8 , D4 , D7 , D6 , D5 ) Với thời gian hoàn thành việc gia công tối ưu T (π) = 57 Sơ đồ Gantt lịch cho hình 2.17: Hình 2.17: Chú ý: 1) Có thể chứng minh việc tìm lịch gia cơng dạng máy trình tự gia cơng riêng khơng dẫn tới việc hồn thành gia cơng chi tiết sớm Vì vậy, thuật tốn Johnson có kết tốn mà khơng cần có giả thiết trình tự gia công hai máy phải 2) Kỹ thuật chứng minh định lý Johnson dựa bổ đề kỹ thuật kế hoạch lập lịch, biết tên gọi:Thủ thuật hốn vị 3) Không thể thu định lý tương tự định lí Johnson cho trường hợp máy nhiều Trong trường hợp tổng quát, chưa có phương pháp hữu hiệu để giải chúng việc sử dụng phương pháp nhánh cận Một số trường hợp riêng dẫn tốn hai máy Xét tốn gia cơng n chi tiết ba máy theo thứ tự A, B, C với bảng thời gian , bi , ci , i = 1, 2, · · · , n thoả mãn: maxi bi ≥ mini 68 69Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn max bi ≤ max bi ≤ ci i i i i tức thời gian gia công máy B nhỏ so với máy A máy C Khi đó, lịch gia công tối ưu ba máy trùng với lịch gia công hai máy: máy thứ với thời gian + bi máy thứ hai với thời gian bi + ci Lịch gia công chúng trùng thời gian gia cơng khác Ví dụ Thời gian gia cơng chi tiết máy A, B, C cho bảng sau: Máy / chi tiết D1 A B C D2 D3 D4 10 D5 Ta có max bi = ≤ = đó, tốn dẫn việc tìm lịch gia công tối ưu hai máy A , B Máy / chi tiết D1 D2 D3 D4 D5 A 15 11 10 15 B 9 14 11 Các kết tính tốn theo thuật tốn Johnson theo bước sau: Bước Chia nhóm: N1 = {D5 }; N2 = {D1 , D2 , D3 , D4 } Bước Sắp xếp N1 theo chiều tăng N2 theo chiều giảm bi ta N1 = (D5 ); N2 = (D4 , D1 , D3 , D2 ) N2 = (D4 , D3 , D1 , D2 ) Bước Nối N2 vào đuôi N1 , ta lịch gia công tối ưu là: π1 = (D5 , D4 , D1 , D3 , D2 ) π2 = (D5 , D4 , D3 , D1 , D2 ) Thời gian hồn thành việc gia cơng tối ưu T (π1 ) = T (π2 ) = 46 Chính tổng thời gian xếp tối ưu hai máy A B trừ tổng thời gian hoàn thành chi tiết máy B , tức là: 66 − (6 + + + + 3) = 46 = T (π1 ) = T (π2 ) Với sơ đồ Gantt hình 2.18: 69 70Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 2.18: Ví dụ 4:Thời gian gia công chi tiết máy A, B, C cho bảng sau: Máy / chi tiết D1 A 11 B C 13 D2 15 D3 D4 10 D5 17 D6 11 12 D7 12 D8 16 17 D9 13 Ta có max bi = ≤ = đó, tốn dẫn việc tìm lịch gia cơng tối ưu hai máy A , B Máy / chi tiết D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 A 17 19 14 12 18 14 19 24 22 B 19 10 12 11 15 12 25 13 Ta giải toán sau: Bước Chia nhóm: N1 = {D1 , D6 , D8 }; N2 = {D2 , D3 , D4 , D5 , D7 , D9 } Bước Sắp xếp N1 theo chiều tăng N2 theo chiều giảm bi ta N1 = (D6 , D1 , D8 ); N2 = (D9 , D3 , D7 , D4 , D2 , D5 ) N2 = (D9 , D7 , D3 , D4 , D2 , D5 ) Bước Nối N2 vào đuôi N1 , ta lịch gia công tối ưu là: π1 = (D6 , D1 , D8 , D9 , D3 , D7 , D4 , D2 , D5 ) π2 = (D6 , D1 , D8 , D9 , D7 , D3 , D4 , D2 , D5 ) Thời gian thực với xếp tối ưu : T (π1 ) = T (π2 ) = 123 = 168 − (6 + + + + + + + + 9) Sơ đồ Gantt vẽ hình 2.19: Hình 2.19: Bài tốn lập lịch lập trình cụ thể ngơn ngữ Pascal Chương trình chi tiết phần phụ lục 70 71Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Luận văn thu số kết sau: - Nghiên cứu mơ hình tốn kinh tế, nhu cầu bước tiến hành xây dựng mơ hình tốn kinh tế - Trình bày số mơ hình tốn kinh tế phương pháp giải biết - Nghiên cứu chi tiết mơ hình cân đối liên ngành, áp dụng cụ thể cho số toán cụ thể - Nghiên cứu chi tiết mơ hình quản lý dự trữ, áp dụng cụ thể cho số toán cụ thể - Nghiên cứu chi tiết toán lập lịch, áp dụng lập trình cụ thể cho số tốn cụ thể Nghiên cứu mơ hình tốn kinh tế việc làm có ý nghĩa thực tiễn cao mang lại hiệu kinh tế lớn Do nhiều nguyên nhân chủ quan khách quan, luận văn đáp ứng phần tập trung nghiên cứu ba toán Hướng phát triển đề tài: -Liên hệ để tìm nguồn tư liệu vận dụng toán nghiên cứu trình bày luận văn để góp phần phát triển kinh tế địa phương - Tiếp tục nghiên cứu thêm mơ hình kinh tế khác, kết hợp với đồng nghiệp chuyên ngành khác nhằm xây dựng mơ hình dựa theo mơ hình biết - Nghiên cứu phương pháp giải mơ hình xây dựng nhằm đạt hiệu suất tính tốn cao 71 72Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1].PGS.TS Nhâm Văn Toán (1999), Toán kinh tế, Nhà xuất Giao thông vận tải, Hà Nội [2] Bùi Minh Trí (2006), Quy hoạch tốn học, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo tình Tối ưu tuyến tính, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [4] Học viện Cơng nghệ bưu viễn thơng (2007), Tốn kinh tế, Hà Nội [5] Trang web Toán học: http://www.diendantoanhoc.net ** Một số báo tiếng Anh 72 73Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phụ lục Chương trình giải tốn lập lịch Program laplich; Uses crt; Const NN = 30; Type INT = integer; Str20=string[20]; Hang=record A,{thoi gian may 1} B,{thoi gian may 2} Tt,{thu tu} C: word; T: STR20; {ten chi tiet} End; Lsx=array[1 NN] of hang; Var Dat, cht: lsx; N, myn: word; P, bmax: word; Response: char; Procedure inputlich(var n:word; var ct: lsx); Var i, x, y: byte; Begin Writeln(#13#10, : 40, #10); writeln(’Giai bai toan lap lich theo thuat toan Jonhson’); Write(’So chi tiet can gia cong: ’); readln(n); Writeln; 73 74Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Writeln(’Chi so Ten chi tiet Thoi gian may a(i) Thoi gian may b(i)’); Writeln; For i:= to n With ct[i] Begin Tt:=i; write(i:5); X:=wherex; Y:=wherey; Repeat Gotoxy(x+5,y); Readln(T); Until t”; While length(t)