đề cương đại số 11 học kì 1

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM Chương I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt Độ 00 rad 300 450 600 900 π π π π GTLG sinα cosα tanα cotα || 2 3 3 2 1500 2π 3π 5π − || 3 1350 2 1200 − − 3 Ct đổi độ sang rad Rad = π 180 Ct đổi Rad sang độ Đoˆ = 180 π Rad Cung đối 2 2 −1 −1 − − 3 − π 2700 3600 3π 2π −1 −1 || || || Cơng thức biến đổi tổng thành tích Các hệ thứ Đoˆ − 1800 sin x + cos x = , tan x = cot x = cos x sin x = + tan x cos x sin x cos x , tanx.cotx=1 , = + cot x sin x sin( − x ) = − sin x Cơng thức biến đổi tích thành tổng [ cos(a − b) + cos(a + b)] sin a sin b = [ cos(a − b) + cos(a + b)] sin a cos b = [ sin( a − b) + sin( a + b)] cos a cos b = cos( − x ) = cos x Cơng thức cộng tan( − x ) = − tan x sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b cot( − x ) = − cot x cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b tan( a ± b ) = a +b a −b cos 2 a +b a −b sin a − sin b = cos sin 2 a +b a −b cos a + cos b = cos cos 2 a +b a −b cos a − cos b = −2 sin sin 2 sin a + sin b = sin tan a ± tan b tan a tan b Các phương trình đặc biệt ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 Cung phụ sin(π / − x ) = cos x cos(π / − x ) = sin x tan(π / − x ) = cot x cot(π / − x ) = tan x Cung bù sin(π − x ) = sin x TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM sin u = ⇔ u = kπ Cơng thức nhân đơi sin 2a = sin a cos a sin u = ⇔ u = cos 2a = cos a − sin a = cos a − = − sin a tan a tan 2a = − tan a tan(π − x ) = − tan x tan u = ⇔ cot(π + x ) = cot x π + kπ tan u = −1 ⇔ u = − tan(π + x ) = tan x + kπ sin u = ⇔ sin u = ⇔ u = kπ cos u tan u = ⇔ u = − cos x sin x = + cos 2x cos x = cos(π + x ) = − cos x π π + kπ cos u = ⇔ u = k 2π cos u = − ⇔ u = π + k 2π Cơng thức hạ bậc Hơn ∏ sin(π + x ) = − sin x + kπ cos u = ⇔ u = sin3x = 3sinx - sin3x cos3x = 4cos3x - 3cosx cot(π − x ) = − cot x sin u = − ⇔ u = − Cơng thức nhân ba ; cos(π − x ) = − cos x π cot u = ⇔ cos u sin u cot u = ⇔ u = π π + kπ = ⇔ cos u = ⇔ u = π + kπ + kπ cot u = −1 ⇔ u = − π + kπ ξ1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1/ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ sin x tan x = cos x cos x cot x = y= xác định cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ , k∈ z xác định sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k∈ z sin x f ( x) xác định g ( x ) ≠ g ( x) y= π xác định f ( x ) ≥ f (x ) BÀI TẬP Tìm tập xác định hàm số : π  1) y = 2) y = tan  x −  6  sin x − 4) y = 7) y = 5) y = sin x − cos x + sin x 8) − sin x 10) y = x +1 ( sin x + 1) ( cos x − HD : 7) ) sin x + y= 11) y = 3) y = tan2x + cot3x ( + cot x + 45 cos x 2x + ) π  − cot  x −  4  sin x + cos x 6) y = 9) y = sin x − cos x cos x + sin x 12) y = Vì + sin x ≥ − sin x ≥ nên − sin x − sin x   + tan  x − cos x − ≥ Biểu thức bậc hai khơng âm,để hàm số xác định − sin x ≠ ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 π  3 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 2/ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT : − ≤ sin x ≤ , − ≤ cos x ≤ ≤ sin x ≤ , ≤ cos x ≤ sin x sin x cos x = 2 ( sin x cos x ) sin x 2 sin x cos x = = 4  π  π  = sin  x +   4  4  π  π sin x − cos x = sin  x −  = − cos x +  4  4   π  π cos x − sin x = cos x +  = − sin  x +  4  4  sin x + cos x = cos x − VÍ DỤ : Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhỏ : 1) 2) y = sin x + − cos x y= Bài giải : 1) Ta có : − ≤ sin x ≤ ⇔ − ≤ sin x ≤ ⇔ − + ≤ sin x + ≤ + ⇔ ≤ y ≤ Vậy : Giá trị nhỏ hàm số y = đạt : sin x = −1 ⇔ x = − Giá trị lớn cùa hàm số y max = đạt : sin x = ⇔ x = 2) Ta có : π π + k 2π , + k 2π , k∈z k∈z 2 2 ≤ cos x ≤ ⇔ ≤ cos x ≤ ⇔ ≥ −3 cos x ≥ −3 ⇔ ≥ − cos x ≥ −3 + 4 4 − cos x ≥y≥ ⇔ ≥ ≥ ⇔ 5 5 Vậy : Giá trị lớn hàm số y max = đạt : π π π cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ ⇔ x = + k , k∈z đạt  x = kπ  cos x = 2 x = k 2π π cos x = ⇔ ⇔ ⇔ , cos x = −1  x = π + k 2π  x = + kπ  Giá trị nhỏ cùa hàm số y = k∈z BÀI TẬP Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau : 1) y = − sin x cos x 2) y = sin x − sin x cos x + cos x 4) y = sin x − cos x + 5) y = cos x + cos x 3) y = − sin x − cos x 7) y = − sin x + 8) y = sin6x + cos6x 9) y = cos x + cos( x − 10) y = sin x − cos x + cos x 11) y = 13) y = sin x + cos x 14) y = ( HD : ) 1)Thay sin x cos x = 2 − sin x cos x cos x − sin x − 6) y = cos x + 12) y = − sin x sin x ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 π ) TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 2) sin x 2 y = 2(sin x + cos x ) − π π   3) Thay sin x + cos x = cos x −  y = − cos x −   4   - PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN 1-Phương trình sinu = a + a : phương trình vô nghiệm + -1 ≤ a ≤1 : Nếu a không giá trò đặc biệt nghiệm pt : sin u = a ⇔   Nếu a giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt dạng : sin u = sin v ⇔ u = arcsin a + k 2π u = π − arcsin a + k 2π u = v + k 2π  u = π − v + k 2π ,k ∈ z ,k ∈ z 2-Phương trình cosu = a + a : phương trình vô nghiệm + -1 ≤ a ≤1 : Nếu a không giá trò đặc biệt nghiệm pt : cos u = a ⇔ u = arccos a + k 2π , k ∈ z u = − arccos a + k 2π Nếu a giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt dạng : cos u = cos v ⇔ 3- Phương trình tanu = a Điều kiện : cos u ≠ ⇔ u ≠ u = v + k 2π , k ∈ z  u = −v + k 2π π + kπ , k∈z Nếu a không giá trò đặc biệt ta có : tan u = a ⇔ u = arctan a + kπ , k ∈ z Nếu a giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình dạng : tan u = tan v ⇔ u = v + kπ , k ∈ z 4- Phươpng trình cotu = a Điều kiện : u ≠ kπ , k ∈ z Nếu a không giá trò đặc biệt : cot u = a ⇔ u = arc cot a + kπ , k ∈ z Nếu a giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình dạng : cot u = cot v ⇔ u = v + kπ , k ∈ z BÀI TẬP Bài : Giải phương trình 1)   cos x −   π ( π 4) sin  x − ( )   π π   = cot x −  3  6 Bài : Giải phương trình 1) sin 2 x − = 4) sin2x + cos22x = 7) tan2x.cot3x = 10)   cos x − sin x x 2     11) cos x +  2x π  −  +1 =  4  2x  6) cos   + 1 = π 3π   − cos x − 6   =0  9) tan(2x+600) = 10 12) cos x 3) sin2x + 2cos2x = 5) sin2x + cos2x = ) sin22x- cos2x = 6) sinx cosx cos2x = 9) tan3x.tan2x = 2x = 12) cosxcos2xcos4xcos8x = =0 HD : Điều kiện xác định phương trình : sin x ≠ ⇔ x ⇔ π + k 2π ⇔ x ≠ π + kπ ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 ( = − cos x − 30 2) sin2x – cosx = 11) cot sin x = cos x Bài : Giải phương trình : ) 8) sin  −  + 1. cot ) 3) cot 450 − x = 5) cos x + 450 − sin x = − = 6 7) ( sin x + cos x ) tan x + = 10) tan  x + ( 2) sin ( x − ) = −1  =1 5 16 ) TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM Với : k = ⇒ x ≠ π , k =1⇒ x ≠ 5π , k =2⇒ x≠ 9π , k =3⇒ x ≠ 13π … Với điều kiện phương trình cho tương đương với : cos x = ⇔ x = Với : h = ⇒ x = π π + hπ ⇔ x = (loại) , h = ⇒ x ≠ π 3π +h π , k∈z ,h = ⇒ x ≠ 5π (loại ) , h = ⇒ x ≠ 7π …/ Nhận thấy với k lẻ nghiệm phương trình thỏa điều kiện Vậy pt có nghiệm x = π +h π với h lẻ nghĩa h = 2k+1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC Phương trình bậc theo hàm số lượng giác pt có dạng sau : asin2x + bsinx + c = (1) atan2x + btanx + c = (3) acos x + bcosx + c = (2) acot2x + bcotx + c = (4) Cách giải : Đặt ẩn phụ t hslg trên,pt (1) (2) điều kiện -1 ≤ t ≤ ,pt (3) ((4) phải có điều kiện tanx cotx VÍ DỤ Giải phương trình : Giải : sin2x – 3sinx +2 = Đặt t = sinx , điều kiện − ≤ t ≤ ,phương trình trở thành : t2 – 3t + = ⇔ t = t = Nghiệm t = khơng thỏa điều kiện phương trình Với t = ⇔ sinx = ⇔ x = BÀI TẬP Bài :Giải phương trình 1) 2cos2x – 3cosx + = 3) cot x x − cot + = 2 Bài : Giải phương trình : 1) 8cos2x + 2sinx - = 3) cos2x - sinx =1 5) sin23x +cos12x =14 7) cos4x + cos2x =2 9) 2cos2x – sin2x - 4cosx + = 11) cos2x + sin2x +2cosx + = x x 13) sin − cos + = 2 π + k 2π , k ∈ Z 2) tan 2 x − (1 + ) tan x + = 4) sin x − 2(1 + ) sin x + = cos x + cos x − = 4) cos x − + sin x + − = 6) cos x − sin x = 8) tan x + cot x − − = 2) ( ) 10) 9sin2x -5cos2x -5sinx + = 12) tanx + 2cotx = 14) sin3x+cos3x =sinx + cosx 15)sin4x + cos4x = sin x 16) 2cos22x +3sin2x = 17) – cos2 x = sin4x 3 18) sin x + cos x = 19) (3-2cosx)cosx = 2cos2x -1 − sin x 2 x 20) cos x + cos x = sin HƯỚNG DẪN ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM sin x ) 12) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x) =(sinx+cosx)(1- ( )2 + (cos2 x )2 = [(sin x )2 + (cos2 x )2 + sin x cos2 x] − sin x cos2 x 2 sin x = (sin x + cos x ) − sin x cos x = − 15) sin x + cos x = sin x 18) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x)=(sinx+cosx)(12 16) Thay sin x = sin x )) − cos x 3/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX : a sinx + b cosx = c (1) A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ sin a cos b ± cos a sin b = sin( a ± b ) cos a cos b ± sin a sin b = cos( a b ) Cách giải Cách : 2 a +b Chia hai vế phương trình cho a 2 a +b Vì      a 2 a +b sin x + 2     +     b 2 a +b b 2 a +b sin x cos α + cos x sin α = ⇔ sin( x − α ) = c cos x = 2     =1 2 a +b nên a 2 a +b = cos α b 2 a +b = sin α pt trở thành : c a2 + b2 c a +b Đây pt lượng giác bản,pt có nghiệm Cách : ,ta : c a +b 2 2 ≤1⇔ a +b ≥ c Chia hai vế phương trình cho a ,pt trở thành : b c c sin x + cos x = ⇔ sin x + tan α cos x = a a a sin α c c c ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin x cos α + cos x sin α = cos α ⇔ sin( x + α ) = cos α cosα a a a c cos α > phương trình vơ nghiệm a c c cos α < ta đặt cos α = sin β ,pt trở thành : Nếu a a sin( x + α ) = sin β pt Nếu x 2t 1− t sin x = , ta có cơng thức : , cos x = pt trở thành : 1+ t 1+ t 2t 1− t a + b = c ⇔ (b + c)t − 2at + b − c = , Đây pt bậc hai theo t 2 1+ t 1+ t Cách : Đặt t = tan B.VÍ DỤ : ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM Giải phương trình : sin x − cos x = Bài giải : Cách : Chia hai vế phương trình cho ta : sin x − cos x = 2 Vì = cos 60 = sin 60 nên phương trở thành : 2 sinxcos600 - cosxsin600 = ⇔ sin(x- 600) = sin300  x − 60 = 30 + k 360  x = 90 + k 360 ⇔   0 0 0  x − 60 = 180 − 30 + k 360  x = 210 + k 360 , k∈z Cách : Chia hai vế pt cho , phương trình trở thành sin x − cos x = ⇔ sin x − tan 60 cos x = sin 60 ⇔ sin x − cos x = cos 60 ⇔ sin x cos 60 − cos x sin 60 = cos 60 ⇔ sin( x − 60 ) = ⇔ sin( x − 60 ) = sin 30 , pt x Cách : Đặt t = tan , phương trình trở thành : 2t 1− t − = ⇔ 2t − + 3t = + t ⇔ − t − 2t + + = 2 1+ t 1+ t ( ) Đây phương trình bậ hai theo t C.BÀI TẬP Giải phương trình : 1) cos x − sin x = −3 2) ( ) ( cos(− x) + sin ( π + x ) = 3) 3sin2x + cos2x = 4) 5) sinx + cosx = 6) sin x + cos x = 7) sin x = ( cos x − 1) 9) sin x + sin x = HD : ) sin x − 30 + cos x − 30 = 8) tan150.cosx + sinx -1 = 10) + sin x =2 − cos x + cos x sin 150 8) Thay tan 150 = qui đồng mẫu số cos15 − cos x 9) Thay sin x = 2 6) Thay cos x = 10) Đặt điều kiện qui đồng ,khử mẫu đưa dạng ( ) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT THEO SINX VÀ COSX asin2x + b sinxcosx + c.cos2x =d A KIÊN THỨC CẦN NHỚ với a,b,c không đồng thời ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM Cách giải : Cách : + Với cosx = tương ứng sin x = ±1 vào pt Nếu vt = vp ( thỏa) : pt có nghiệm x = π + kπ , k ∈ z Nếu vt ≠ vp (khơng thỏa ) pt khơng có nghiệm x = π + kπ + Với cos x ≠ ,Chia hai vế phương trình cho cos2x,phương trình trở thành : a tan2x + b tanx + c = d cos x ⇔ a tan2x + b tanx + c = d(1+tan2x) Đây phương trình bậc theo tanx Cách : Dùng cơng thức hạ bậc , thay sin x = − cos x , cos x = + cos x sin x + cos x , sin x cos x = sin x ta : +c =d 2 ⇔ b sin x + (c − a ) cos x = 2d − a − c Đây phương trình bậc theo sin2x cos2x a +b − cos x B.VÍ DỤ ; Ví dụ : Giải phương trình : 2sin2x – sinx.cosx - cos2x = -2 Bài giải : Cách : + Với cosx = tương ứng với sin x = ±1 VT = ≠ VP = -2 nên cosx = khơng thỏa mãn phương trình (1) Pt khơng có nghiệm cosx = + Với cosx ≠ , chia hai vế pt cho cos2x pt trở thành : tan2x -5 tanx -1 = −2 = −2 + tan x cos x ( ) ⇔ 4tan2x – 5tanx + =  tan x = 1 ⇔  tan x = π k∈z Với tanx = ⇔ x = + kπ , 1 ⇔ x = arctan + kπ , k∈z Với tanx = 4 − cos x + cos x sin x 2 Cách : Thay sin x = , cos x = , sin x cos x = ta : 2 2 − cos x −5 sin x − + cos x ⇔ sin x + cos x = = −2 Đây phương trình bậc theo sin2x cos2x Ví dụ : Giải phương trình : cos x − 3 sin x − sin x = −4 Bài giải : Pt viết lại dạng : cos x − 3 sin x cos x − sin x = −2 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM + Với cosx = tương ứng với sin x = ±1 VT = -2 = VP = -2 nên cosx = thỏa phương trình (1) Pt có nghiệm cosx = ⇔ x = π + kπ , k∈z + Với cosx ≠ , chia hai vế pt cho cos2x pt trở thành : - 3 tanx -2 tan2x= ( −2 = −2 + tan x cos x ) ⇔ − tan x = ⇔ tan x = ⇔ tan x = tan Vậy pt có nghiệm x = π π π + kπ , x = + kπ , Bài tập : Giải phương trình 1) sin x + sin x + − cos x = ( ) 2) 3) 3sin2x - sinxcosx +5cos2x = 5) sin x − cos x = ( ) 7) sin 2 x + + sin x cos x + ( ( π + kπ , k∈z k∈z ) + sin x − sin x + ( 4) sin2x + sin2x - 2cos2x = (1 − ) sin x ⇔x= ) − cos x = 6) cos 2 x − sin x = + sin 2 x ) − cos x = −1 8) 9) sin x + sin x + 2(1 + ) = + Một số pt áp dụng cơng thức biến đổi : ( ) 2 sin x + − sin x cos x − cos x + − = 10) sin x − cos x − sin x = Vd: Giải phương trình 1) sinx + sin2x + sin3x = 3) cos3x.cos7x = sin4x.sin6x 5) sin2x.sinx =1 + cosx – cos3x 2) cos3x – cos4x + cos5x = (*) 4) cos 2x + cos22x + cos23x + cos24x = (*) Giải 1) sinx + sin2x + sin3x = Ta có : sinx + sin2x + sin3x = ⇔ ( sin x + sin x ) + sin x = ⇔ sin x( cos x + 1) = ⇔ sin x cos x + sin x =  sin x = ⇔ 2 cos x + = • sin2x= ⇔ x = kπ , k ∈ z • 2π 2cosx+1 = ⇔ cos x = − = cos 2π   x = + k 2π ⇔ , k∈z 2π x = − + k 2π  CHƯƠNG II : TỔ HỢP – XÁC SUẤT ξ QUI TẮC ĐẾM A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 1- Qui tắc cộng : Một cơng việc thực nhiều phương án Phương án thứ có m cách chọn,phương án thứ hai có n cách chọn có m + n cách chọn cơng việc Nếu B tập hợp hữu hạn khơng có giao nhau( A ∩B = ∅ )thì n ( A ∪ B ) = n( A) + n ( B ) Nếu Avà B hai tập hợp hữu hạn ( A B giao nhau) n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) n ( A ∪ B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( A ∩ B ) 2- Qui tắc nhân : Một cơng việc thực nhiều cơng đoạn liên tiếp Cơng đoạn thứ có m cách chọn,cơng đoạn thứ hai có n cách chọn có m n cách chọn cơng việc B VÍ DỤ Ví dụ 1: Có nam , nữ hỏi có cách chọn : a) Một học sinh trực b) Một cặp song ca Bài giải : a) Số cách chọn học sinh đỉ trực Có cách chọn 1nam Có cách chọn nữ Vậy theo qui tắc cộng ta có : + = cách b) Số cách chọn cặp song ca - Có cách chọn nam, - Ứng với cách chọn nam lại có cách chọn nữ Vậy theo qui tắc nhân ta có 4.5 = 20 cách chọn Vd2 : Từ số 0,1,2,3,4,5 lập số: a) Có chữ số b) Có chữ số khác c) Số lẻ có chữ số khác d) Số chẵn có chữ số khác Bài giải : a ) Gọi số cần tìm abcd Tại a có cách chọn a≠ ( a ∈ {1,2,3,4,5} ) Tại b có cách chọn ( b ∈ { 0,1,2,3,4,5} ) Tại c có cách chọn ( tương tự ) Tại d có cách chọn Qui tắc nhân ta có : 5.6.6.6 = 1080 số b) Gọi số cần tìm abcd Tại a có cách chọn a≠ ( a ∈ {1,2,3,4,5} ) Tại b có cách chọn b ≠ a Tại c có cách chọn c ≠ a c ≠ b ( tương tự ) Tại d có cách chọn d ≠ a d ≠ b d ≠ c Qui tắc nhân ta có : 5.5.4.3 = 300 số c) Gọi số cần tìm abcd Tại d có cách chọn ( d ∈ {1,3,5} ) Tại a có cách chọn a ≠ a ≠ d Tại b có cách chọn b ≠ a b ≠d Tại c có cách chọn c ≠ a c ≠ b c ≠ dQui tắc nhân ta có : 3.4.4.3 = 144 số d) Gọi số cần tìm abcd Cách 1:Số có chữ số khác = số lẻ có chữ số khác + số chẵn có chữ số ⇒ số chẵn có chữ số khác = Số có chữ số khác – số lẻ có chữ số khác nh = 300 – 144 = 156 Cách : Trường hợp d = Tại d có cách chọn Tại a có cách chọn a≠d Tại b có cách chọn b ≠ a b ≠d Tại c có cách chọn Theo qui tắc nhân ta có 1.5.4.3 = 60 số Trường hợp d ≠ Tại d có cách chọn ( d ∈ { 2;4} ) Tại a có cách chọn a ≠ a ≠ d Tại b có cách chọn b ≠ a b ≠d Tại c có cách chọn Theo qui tắc nhân ta có 2.4.4.3 = 96 số Bài tập 1/ Từ số 1,2,3,4,5,6,,7 lập số : a) Có chữ số b) Có chữ số khác c) Số chẵn có chữ số d) Số chẵn có chữ số khác 2/ Từ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số: a) Có chữ số b) Có chữ số khác c) Số lẻ có chữ số khác d) Số chẵn có chữ số khác e) Số chẵn có chữ số khác chia hết cho 3/ Một lớp học có 50 học sinh có 30 hs biết đá bóng,20 học sinh biết đánh bóng chuyền ,15 học sinh biết hai mơn Hỏi lớp học có học sinh a) Biết chơi thể thao b) Khơng biết chơi thể thao / Từ A đến B có đường ,từ B đến C có đường ,từ C đến D có đường Hỏi có cách ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 10 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM : a) Từ A đến D ( ĐS : 3.4.5 cách ) b) Từ A đến D trở A (ĐS : 60.60 cách ) c) Từ A đến D trở A mà khơng trở lại đường cũ (ĐS: 60.24 cách) 5) Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc Người ta chọn cặp để phát biểu ý kiến ,Hỏi có cách chọn để : a) Hai người vợ chồng ( Đs : 10 cách ) b) Hai người khơng phải vợ chồng ( Đs : 90 cách ) 6) Có cách xếp nam , nữ vào 10 ghế thành hàng ngang cho : a)Nam nữ ngồi xen kẽ (Đs : 5!.5! cách) b)Các bạn nam ngồi cạnh (Đs : 6.5!.5! cách ) ξ HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1)Hốn vi : Chọn n n phần tử xếp theo thứ tự định gọi hốn vị n phần tử.Tổng số hốn vị : Pn = n!= n( n − 1)(n − 2) 3.2.1 2)Chỉnh hợp : Chọn k n phần tử ( ≤ k ≤ n ) xếp theo thứ tự định (vd:nhất,nhì,ba) gọi chỉnh hợp chập k n phần tử.Tổng số chỉnh hợp chập k n phần tử : Ank = n! (n − k )! 3)Tổ hợp : Một tập hợp gồm k phần tử ( ≤ k ≤ n ) gọi tổ hợp chập k n phần tử Tổng số tổ hợp chập k n phần tử : C nk = n! k!( n − k )! B VÍ DỤ : Có 10 học sinh Hỏi có cách xếp : 1) 10 học sinh vào bàn có 10 chỗ ngồi 2) học sinh để phát thưởng ,nhì , ba ,tư 3) học sinh trực Bài giải : 1) Chọn 10 học sinh 10 ,sắp xếp theo thứ tự định ,mỗi cách xếp hốn vị 10 phần tử Tổng số hốn vị : P10 = 3628800 cách xếp 2) Chọn 10 học sinh xếp theo thứ tự :nhất ,nhì ,ba tư chỉnh hợp chập 10 phần tử Tổng số cácchỉnh hợp : A10 = 5040 3) Chọn 10 học sinh trực Mỗi cách chọn tập hợp có phần tử Tổng số tập hợp tổ hợp chập 10 phần tử Như có C10 = 120 cách xếp C.BÀI TẬP 1) Từ điểm mp ta vẽ a) Đường thẳng b) Véc tơ c) Tam giác 2) Một ban chấp hành gồm người Hỏi có cách chọn a) Cả người vào bàn ăn có chỗ ngồi khác b) Ba người vào ban thường vụ : Bí thư,phó bí thư,ủy viên c) Năm người dự đại hội đồn cấp 3) Có cách chọn 11 cầu thủ đá phạt đền 4) Có đường chéo hình đa giác lồi 20 cạnh 5) Có hình chữ nhật tạo thành từ đt// đt vng góc 6) Trên giá sách có 10 sách tốn,8 sách văn sách lý.Lấy quyển.Tính số cách lấy để : a) Mỗi loại có b) Cả loại c) Chỉ có sách văn d) Có tốn D.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP Giải phương trình : ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 11 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 1) Ax = 12 4) ( n + 1)! = 72 ( n − 1)! 2) n! n! − =3 ( n − 2)! ( n − 1)! n!−( n − 1)! = ( n + 1)! 3) x−2 6) Ax + C x = 14 x 5) Ax + Ax = 21x 2 7) Ax + 50 = A2 x 8) C x + C x = 2 10) 2C x +1 + Ax = 30 x −1 x −2 11) C x + C x + C x = 79 7x 2 12) C x + 6C x + 6C x = x − 14 14) Pn+3 = 720 An Pn −5 15) An = 18 An− x +3 17) C x +8 = Ax +6 18) 13) A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10 x ( 2 16) Px Ax + 72 = Ax + Px ) 2 Ax −2 10 22) Ax + Ax = Ax 19) C x −1 − C x −1 = 20) 9) C x + C x + C x = 1 − = C x C x +1 6C 1x +4 1 − x = x x C C5 C 2 21) Pn + An − Pn An = 12 2 23) 2C x +1 + Ax < 30 24) 72 Ax − Ax +1 = 72 ξ3 -NHỊ THỨC NIU-TƠN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : −n a0 = , a = Cần nhớ : , an a =a m n m n am = a m −n , n a , am.an = am+n , (a ) m n = a m.n 1) Cơng thức nhị thức niu tơn : ( a + b ) n = Cn0 a n + Cn1 a n−1b1 + Cn2 a n− 2b + + Cnk a n− k b k + + Cnn b n k n −k k + Số hạng tổng qt C n a b + Tổng hệ số (ax+by)n (a+b)n 2) Tam giác pax-can : hệ số xếp theo tam giác sau n=0 (a+b)0 n=1 (a+b)1 1 n=2 (a+b)2 n=2 (a+b)3 3 hay n=4 n=5 10 10 1 1 1 1 10 10 B.BÀI TẬP 1/ Khai triển nhị thức : a)) (x+2)4 ( e) x − ) b) (3x- 4)5     i)  x −  x   f)  x − 2  x 2  k)  x −  x  d) ( sin x + ) c) (2x-3y)5   g)  x + (   2x  m) x − 3xy   h)  x − ) 1  a)Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  x +  x    b)Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển  x − 2  x 20 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 12   x2   x2 x  n)  +   y y  10 2/ 4 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM   a) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x − b) Tìm số hạng thứ khai triển (1-2x)12   x2  12 4  c) Tìm số hạng thứ khai triển  x +  x  n   n +1 n d) Tìm hệ số x khai triển  − x  biết C n + − C n +3 = 7( n + 3) x  e) Biết hệ số x2 khai triển (1+3x)n 90.Tìm n ξ 4- PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Khơng gian mẫu : tập hợp tất kết sảy phép thử k/h Ω 2/ Biến cố : tập khơng gian mẫu ξ5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : - Định nghĩ xác suất : tỉ số P( A) = n( A) gọi xác suất biến cố A n (Ω) 2/ Tính chất : A ∩ B = ∅ A B hai biến cố đối ( B = A ) : P( A) + P ( B ) = hay P( A) + P( A) = A∪ B = Ω Nếu  B.VÍ DỤ : Có cầu trắng , cầu xanh Chọn ngẫu nhiên hai Tính xác suất biến cố : a) Hai màu b) Hai khác màu c) Ít trắng d) Khơng có trắng Bài giải : Lấy hai cầu tổ hợp chập phần tử ,do n(Ω) = C7 = 21 a ) Chọn hai màu ,Có hai khả năng: + Chọn hai trắng ,có C3 cách + Chọn hai xanh ,có C 42 cách n( A) 2 = = Nên n( A) = C3 + C = , P ( A) = n(Ω) 21 b) Chọn hai khác màu + Có C3 cách chọn trắng + Ứng với cách chọn trắng lại có C 41 cách xanh n( B ) 12 1 = = Qui tắc nhân ta có n(B) = C3 C = 12 , P ( B ) = n(Ω) 21 c) Chọn trắng : Có hai khả : 1 + Chọn trắng, xanh : có C3 C4 cách + Chọn hai trắng : có C3 cách 1 Qui tắc cơng ta có n ( C ) = C3 C4 + C3 =15 ,do P ( A) = n( A) 15 = = n(Ω) 21 A ∩ B = ∅ nên A B hai biến cố đối ( B = A ) nên : A∪ B = Ω d)  ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013 13 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM P(A) + P(B) = ⇒ P(D) = 1- P(C) = − = 7 C.BÀI TẬP 2) Gieo đồng tiền hai lần Tính xác suất biến cố : A: “ Lần đầu xuất mặt sấp” B: “ Mặt sấp xuất lần” 3) Gieo đồng tiền ba lần Tính xác suất biến cố : A: “ Lần đầu xuất mặt sấp’ B: “ Mặt sấp xuất lần” C: “ Khơng có lần xuất mặt sấp D: “ Mặt sấp xuất hai lần” 3) Gieo súc sắc hai lần Tính xác suất biến cố : a) Lần đầu xuất mặt chấm b) Mặt chấm xuất lần c) Khơng có lần xuất mặt chấm d) Tổng số chấm hai mặt nhỏ 5) Có cầu trắng , xanh , đỏ Chọn Hỏi có cách chọn a) Ba màu b) Ba khác màu c) Ít trắng d) Khơng có trắng e) Có trắng f) Ít hai trắng 6) Một bình có 16 viên bi với bi trắng ,6 bi đen,3 bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để : i) Lấy bi đỏ ii) Lấy bi khơng đỏ b) Lấy ngẫu nhiên hai bi Tính xác suất để lấy được: i) Hai bi khác màu ii) Hai bi màu CHƯƠNG III : DÃY SỐ - CẤP SỐ ξ 1-PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC Phương pháp chứng minh qui nạp gồm có bước : Bước : Kiểm tra mệnh đề với n= Bước : Giả thiết mệnh đề với n=k Bước : Ta c/m mệnh đề với n = k+1 Vd1 : Cmr ∀ n∈N* ,ta có : 1+3+5+ ….+ (2n-1) = n2 Vd2: Chứng minh ∀ n∈N* : + + + + n = n( n + 1) Vd3: : Cmr ∀ n∈N* n3 – n chia hết cho Vd4 : Cmr ∀ n∈N* ,ta có : 3n > 3n+1 ξ2 DÃY SỐ a) Dãy số un gọi dãy số tăng un un+1 b) Phương pháp khảo sát tính đơn điệu dãy số : Phương pháp : xét hiệu un+1 – un un+1 –un >0 ⇒ un+1 > un dãy số tăng un+1 –un < ⇒ un+1 < un dãy số giảm Phương pháp : Nếu un > với n∈ N* lập tỉ số Nếu Nếu u n+1 un u n +1 un >0 với n∈ N* dãy số tăng u n +1 [...]... n(n + 1) a) S = 1 1 1 1 + 2 − 3 + 4 + 2 2 2 2 1 1 1 d) S = 3 + + + + n + 2 4 2 b) S = 1 − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − = − , , = − , ) n(n + 1) n n + 1 1.2 1 2 2.3 2 3 2) Viêt số a = 5 ,12 1 212 …dưới dạng phân số ( HD : a = 5+0 ,12 +0,0 012 + =5+ 12 12 + + ) 10 0 10 000 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2 012 - 2 013 17 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM SỞ GD VÀ ĐT TIỀN GIANG TRƯƠNG THPT HUỲNH VĂN SÂM ĐỀ KIỂM... 96 , Sn = 18 9 b) q = 2 , un = 1 31 , Sn = 8 8 n 1 n 1 Giải : a) Ta có : u n = u1 q = 96 ⇔ u1 2 = 96 ⇔ u1 2n 19 2 = 96 ⇔ 2 n = 2 u1 1 qn 1 − 2n = 18 9 ⇔ u1 = 18 9 ⇔ u1 − u1 2 n = 18 9 1 q 1 2 19 2 ⇔ u1 − u1 = 18 9 ⇔ u1 = 3 u1 19 2 n = 64 = 2 6 ⇔ n = 6 Với u1 = 3 thế vào pt (1) ta được : 2 = 3 S n = u1 Vậy cấp số nhân trên có 6 số hạng Dạng 4 : Xác định các góc trong một tam giác ,tứ giác 1) Tìm 4... (a+b)0 1 n =1 (a+b )1 1 1 n=2 (a+b)2 1 2 1 n=2 (a+b)3 1 3 3 1 hay n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 1 6 4 1 10 10 5 1 B.BÀI TẬP 1/ Khai triển nhị thức : a)) (x+2)4 ( e) x − 2 ) b) (3x- 4)5   6 3   i)  2 x 3 − 2  x   f)  x − 5 2  x 7 2  k)  x 2 −  x  d) ( sin x + 2 ) c) (2x-3y)5   g)  x 2 + 5 ( 1   2x  5 m) 2 x − 3xy 2   h)  2 x − ) 6 1  a)Tìm hệ số của số. .. nhất 1 quyển tốn D.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP Giải các phương trình : ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2 012 - 2 013 11 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 2 1) Ax = 12 4) ( n + 1) ! = 72 ( n − 1) ! 2) n! n! − =3 ( n − 2)! ( n − 1) ! n!−( n − 1) ! 1 = ( n + 1) ! 6 3) 3 x−2 6) Ax + C x = 14 x 3 2 5) Ax + 5 Ax = 21x 2 2 7) 2 Ax + 50 = A2 x 1 2 8) C x + C x = 6 2 2 10 ) 2C x +1 + 3 Ax = 30 0 x 1 x −2 11 ) ... nhiêu số hạng ? 2) Tìm x trong cấp số cộng biết : a) 1+ 6 +11 + 16 +…+ x = 970 b) 2 + 7 + 12 +…+ x = 24 Giải : a) Tổng trên là tổng của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1, un = x ,cơng sai d = 5 ,và có Sn = 970 Để tìm được x ta cần tìm n Ta có : n S n = 2u1 + ( n − 1) d = 970 ⇔ n[ 2 .1 + ( n − 1) .5] = 19 40 2 ⇔ 2n + 5n 2 − 5n = 19 40 [ ] ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2 012 - 2 013 15 TRƯỜNG... 2 1 2 3 2 12 ) C x + 6C x + 6C x = 9 x − 14 5 14 ) Pn+3 = 720 An Pn −5 5 4 15 ) An = 18 An− 2 x +3 3 17 ) C x +8 = 5 Ax +6 18 ) 13 ) 1 2 6 A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10 2 x ( 2 2 16 ) Px Ax + 72 = 6 Ax + 2 Px ) 2 2 Ax −2 3 10 9 8 22) Ax + Ax = 9 Ax 3 2 19 ) C x 1 − C x 1 = 20) 1 2 3 9) C x + C x + C x = 1 1 7 − 2 = 1 C x C x +1 6C 1x +4 1 1 1 − x = x x C 4 C5 C 6 2 2 21) 2 Pn + 6 An − Pn An = 12 2 2 23) 2C x +1. .. 14 4 3)   u1 + u 2 − u3 = −22 u 2 + u 4 − u 6 = −44 u1 − u3 + u 5 = 65  u1 + u 7 = 325 6)  u 5 − u1 = 15  u4 − u2 = 6 Dạng 3 : Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân ,tìm n  u1 + u5 = 51 u 2 + u 6 = 10 2 1) Cho cấp số nhân biết  ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2 012 - 2 013 16 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM a)Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân b)Hỏi tổng của bao nhiêu số. .. n∈ N* thì dãy số giảm un Vd : a) Chứng minh dãy số sau là dãy số tăng : u n = 2n-3 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2 012 - 2 013 14 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM b) Chứng minh dãy số sau là dãy số giảm : u n = 1 n ξ 3 CẤP SỐ CỘNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : u n = u n 1 + d a) ĐN : ( hoặc un +1 = un + d ) b) Số hạng tổng qt : u n = u1 + ( n − 1) d u + u k +1 u k = k 1 2 n S n = u1 + u n 2 c) Tính... trong 1 tứ giác lập thành một cấp số nhân có cơng bội q = 2 2) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành một cấp số nhân có góc nhỏ nhất là 9 0 3) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành 1 cấp số nhân biết góc lớn nhất gấp 9 lần góc nhỏ nhất Dạng 5 : Tính tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn 1) Tính tổng : 1 1 2 4 + + + + 2 3 9 27 1 1 1 1 1 1 + + c) S = 1 − + − + − 2 3 4 9 16 27 1 1 1 1 + + + + e) S = ( HD : 1. 2... tiên sẽ bằng 3069 ? c )Số 12 288 là số hạng thứ mấy ? 1   u1 − u3 = 3 2) Cho cấp số nhân (un) có  1 u 2 + u3 = − 2  a) Tìm số hạng thứ 15 b) số − 65 61 là số hạng thứ mấy ? 8 3) Cho dãy số (un) biết un= 2n a) Chứng minh dãy số (un) là một cấp số nhân Tìm u1 và q b) Số 10 24 là số hạng thứ bao nhiêu ? c) Số 2046 là tổng của bao nhiêu số hạng ? 4) Tìm số các số hạng ( tìm n ) của cấp số nhân ( un) biết ... 1 n 1 Giải : a) Ta có : u n = u1 q = 96 ⇔ u1 = 96 ⇔ u1 2n 19 2 = 96 ⇔ n = u1 1 qn − 2n = 18 9 ⇔ u1 = 18 9 ⇔ u1 − u1 n = 18 9 1 q 1 19 2 ⇔ u1 − u1 = 18 9 ⇔ u1 = u1 19 2 n = 64 = ⇔ n = Với u1... = 1 1 + − + + 2 2 1 d) S = + + + + n + b) S = − 1 1 1 1 = − = − , , = − , ) n(n + 1) n n + 1. 2 2.3 2) Viêt số a = 5 ,12 1 212 …dưới dạng phân số ( HD : a = 5+0 ,12 +0,0 012 + =5+ 12 12 + + ) 10 0 10 000... 10 0 10 000 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2 012 - 2 013 17 TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM SỞ GD VÀ ĐT TIỀN GIANG TRƯƠNG THPT HUỲNH VĂN SÂM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ NĂM HỌC 2 011 -2 012 Mơn tốn