các phương pháp tính định thức cấp n

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP N Giáo viên hướng dẫn ThS Nguyễn Hoàng Xinh Sinh viên thực Lê Văn Tuấn MSSV: 1110151 Lớp: SP Toán_Tin học K37 Cần Thơ, 2015 Lời cảm ơn Trƣớc tiên cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Xinh ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn em suốt trình thực luận văn Cũng xin cho em gửi lời cảm ơn tới thầy cô nhà trƣờng đặc biệt thầy cô môn Sƣ phạm Toán, Khoa Sƣ phạm dạy em suốt thời gian hoàn thành khóa học Em xin đƣợc cảm ơn anh chị khóa trƣớc, bạn bè xung quanh tất ngƣời xung quanh em giúp đỡ em hoàn thành luận văn Và lời cảm ơn lớn nhất, em xin cảm ơn gia đình, gia đình luôn động viên giúp đỡ em vƣợt qua khó khăn, nhờ động viên giúp thân em ngày cố gắng học tập hoàn thành tốt khóa học Một lần em xin cảm ơn tất quý thầy cô dạy em suốt thời gian ngồi ghế nhà trƣờng, giảng dạy em học đƣợc nhiều điều bổ ích cho chuyên ngành sống Em xin chân thành cảm ơn! Ngƣời thực Lê Văn Tuấn MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Tổng Quan PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hoán vị 1.2 Định thức 1.3 Định thức phần bù đại số 1.4 Một số tính chất CHƢƠNG CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC 2.1 Phƣơng pháp sử dụng Định lý Laplace 2.2 Phƣơng pháp biến đổi định thức dạng tam giác 14 2.3 Phƣơng pháp rút nhân tử tuyến tính 17 2.4 Phƣơng pháp truy hồi 19 2.5 Biểu diễn định thức dƣới dạng tổng định thức khác 23 2.6 Biểu diễn định thức dƣới dạng tích định thức khác 25 2.7 Phƣơng pháp thay đổi phần tử định thức 28 2.8 Các toán tổng hợp 30 Bài tập rèn luyện 51 PHẦN KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhƣ biết Toán học phần sống Sự ứng dụng Toán học đóng vai trò ngày quan trọng khoa học kĩ thuật Chính quan trọng trƣờng Đại học Cao đẳng, hầu nhƣ nghành đào tạo, Toán học đƣợc đƣa vào từ năm đầu Trong nội dung chủ yếu Toán học cao cấp, nội dung quan trọng Toán học cao cấp Định thức Ngày nay, định nghĩa định thức ta nói: “định thức ma trận đó” Vì thế, cách tự nhiên, nghĩ khái niệm định thức phải đời sau khái niệm ma trận Nhƣng thực tế, khái niệm định thức đời trƣớc khái niệm ma trận 150 năm Ngƣời đƣa khái niệm định thức Leibnitz, nhà Toán học Đức, (1646 – 1716) nhà Toán học Seki Kova, ngƣời Nhật Bản Nó đƣợc xuất công trình nhà toán học Nhật Bản khác Takakazu (1642 – 1708) Leibnitz không công bố phát kiến có liên quan đến định thức Ông nói đến thƣ gửi nhà toán học L’Hospital để bàn việc giải hệ phƣơng trình tuyến tính Ở đó, ông nói đến khái niệm hết lời ca ngợi Mãi tới năm 1850, thƣ từ ông đƣợc công bố, ngƣời ta biết ông phát khái niệm định thức Leibnitz nhấn mạnh ích lợi việc đánh số hai số để ký hiệu hệ số phƣơng trình Seki chạm đến khái niệm định thức tìm nghiệm chung hai đa thức f(x) g(x) (với bậc thấp) Nhƣng ông giữ bí mật phƣơng pháp tin vào học trò thân cận Năm 1674, phát kiến Seki đƣợc công bố, phƣơng pháp ông đƣợc trình bày rõ ràng Ở Châu Âu, Newton, Bézout Euler, nghiên cứu việc tìm tập nghiệm chung phƣơng trình đại số gắn chặt việc nghiên cứu với định thức Vào năm 1750, nhà Toán học Thụy Sĩ Cramer công bố công trình tƣơng đối tổng quát liên quan đến định thức Ông đƣa biểu diễn định thức cho lời giải toán tìm đƣờng conic qua điểm cho trƣớc Tuy nhiên, Cramer lại ngƣời chứng minh công thức Cramer mà thƣờng dùng Ngƣời định nghĩa nghiên cứu định thức nhà Toán học Pháp tên Vandermonde Ông công bố công trình vào năm 1771 Ông chứng minh quy tắc Cramer tìm đƣợc số tính chất định thức Nhƣng ông tính đƣợc định thức Vandermonde cấp Năm 1772, Laplace (1749 – 1827) phát công thức khai triển định thức theo dòng hay cột Tất nhà toán học nói phát hiện, nghiên cứu định thức, nhƣng chƣa có tên gọi định thức Tên gọi định thức lần xuất báo Gauss năm 1801 Hai nhà toán học Pháp Cauchy (1789 – 1857) Jacobi (1804 – 1851) trình bày lý thuyết định thức cách hệ thống Từ khái niệm định thức trở nên phổ cập Vì ứng dụng vô đa dạng hấp dẫn định thức gợi ý cho em chọn đề tài Mục đích nghiên cứu  Hệ thống lại lý thuyết cách tổng quát định thức để xây dựng phân loại dạng Toán ma trận  Đƣa phƣơng pháp giải phong phú toán định thức  Xây dựng hệ thống tập, phân loại đƣợc dạng Toán tìm hƣớng giải chúng Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu  Đối tƣợng nghiên cứu: Lý thuyết định thức, sử dụng cốt lõi lý thuyết để phân loại dạng Toán  Phạm vi nghiên cứu: Các dạng Toán định thức, tập trung chủ yếu định thức cấp n Phƣơng pháp nghiên cứu  Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu liên quan đến nội dung định thức, tìm hiểu từ đề thi Olympic Toán sinh viên Việt Nam Thế giới  Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm thân, bạn học anh chị xung quanh để tổng hợp hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học kết hợp với đƣa ví dụ cụ thể để minh họa chi tiết  Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên để hoàn thành nội dung nhƣ hình thức luận văn Tổng Quan  Có nhiều tài liệu Nƣớc Việt nam viết định thức Đặc biệt Việt nam có nhiều tác giả viết định thức nhƣ Mỵ Vinh Quang, Lê Tuấn Hoa, Hoàng Xuân Sính, Phan Huy Phú,…Nhƣng tác giả tập trung vài phƣơng pháp bản, ví dụ lời giải hạn hẹp  Những vấn đề mà đề tài luận văn cần tập trung nghiên cứu, giải quyết: - Chƣơng 1: Các kiến thức chuẩn bị - Chƣơng 2: Các phƣơng pháp tính định thức PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hoán vị Hoán vị (hoặc phép thế) tập 1;; n song ánh từ tập vào Dễ thấy Sn có n! phép Tập hợp tất hoán vị tập {1; …; n} đƣợc kí hiệu Sn Thông thƣờng ta kí hiệu hoán vị   Sn nhƣ sau:  n     1      n     Với   Sn ta có hàm dấu : sign( )    i     j  i j 1i  j  n Nếu sign   đƣợc gọi phép chẵn ; sign  1  đƣợc gọi phép lẻ 1.2 Định thức Cho ma trận A = (aij)  Mn(K) Định thức ma trận A (kí hiệu |A| det(A)) phần tử thuộc trƣờng K đƣợc xác định: det A   (sign ) a  a (1) 2 (2)  Sn .an ( n) 1.3 Định thức phần bù đại số Cho ma trận A = (aij)  Mn(K) Chọn A dòng i1, i2, …, ik 1  i1   ik  n  cột j1, j2, …, jk 1  j1   jk  n  Gọi A(i1, i2, …, ik | j1, j2, …, jk) ma trận có đƣợc từ A cách xóa dòng i1, i2, …, ik cột j1, j2, …, jk Định thức: ai1 j1 ai1 j2 ai1 jk M ai2 j1 ai2 j2 ai2 jk aik j1 aik j2 aik jk đƣợc gọi định thức cấp k ma trận A sinh dòng i1 , i2 ,, ik cột j1 , j2 ,, jk ; M '  (1)i1  ik  j1   jk det( A(i1 , , ik | j1 , , jk )) đƣợc gọi phần bù đại số M 1.4 Một số tính chất 1.4.1 Tính chất Phép chuyển vị không làm thay đổi định thức Nhƣ tính chất phát biểu cho dòng cho cột ngƣợc lại Tức với ma trận A  (aij )  M n ( K ) , det( A)  det( A* ) , A* ma trận chuyển vị ma trận A Chứng minh Theo định nghĩa định thức ta có: det A*    sign  A *     A *     A *       sign a   a   a    Sn 1 2 n n 11 Sn 22   Đặt    1 , ta đƣợc sign  1  sign    sign   Mặt khác ta có: n    1 1  1            n           1       1  n    n    n    n  Đồng thời σ chạy khắp Sn τ chạy khắp Sn, đó: det A*    sign a1 1 a2  2 an  n  det A  Sn nn 1.4.2 Tính chất Nếu ma trận A  (aij )  M n ( K ) có dòng dòng không detA = Chứng minh Giả sử dòng i ma trận A dòng không Khi ai i   , với   Sn Nên  sign  a1 1 ai i  an  n   , det A  1.4.3 Tính chất Cho ma trận A  (aij )  M n ( K ) Nếu phần tử dòng i A có dạng aij  b j  c j , j  1,2, , n det A  det B  det C , B C ma trận có đƣợc từ A cách thay dòng i cuả A giá trị b j c j tƣơng ứng Chứng minh Với   Sn có: a1 1 ai i  an  n   a1 1 (b i   c i  ) an  n   [a1 1 b i  an  n  ]  [a1 1 c i  an  n  ] Nên nhân hai vế cho sign( ) lấy tổng theo tất   Sn , ta thu đƣợc det A  det B  det C Cho A  (aij )  M n ( K ) Nếu B ma trận nhận đƣợc từ A phép biến đổi υ3 (tức di  di  rd j , r  K ) det A  det B Giả sử B  (bij )  M n ( K ) ma trận nhận đƣợc từ A phép biến đổi υ3 Khi phần tử dòng i ma trận B có dạng bik  aik  jk , k  1,2, , n Ta có det B  det C  det D với C, D ma trận có đƣợc từ B cách thay dòng i A giá trị aik jk tƣơng ứng Vì A  C đồng thời dòng i dòng j D tỉ lệ nhau, nên det C  det A det D  Do det A  det B 1.4.4 Tính chất Cho A  (aij )  M n ( K ) Nếu B ma trận nhận đƣợc từ A cách đổi chỗ hai dòng (hoặc cột) i j (i  j) cho detB = -detA Chứng minh Giả sử B  (bij ) ma trận nhận đƣợc từ A cách đổi chỗ hai dòng i j Khi ta có: det B   (sign )b   Sn (1) .bi (i ) b j ( j ) bn ( n)   (sign )a1 (1) a j (j) a i (i) a n ( n)  Sn Với   Sn , đặt    (i j ) Khi ta có  (i)   ( j ) ,  ( j )   (i) ,  (k )  k , với k  i, j Suy a1 (1) a j (j) a i (i) a n ( n)  a1 (1) a i (i) a j (j) a n ( n) Hơn ta lại có  sign     sign  σ chạy khắp Sn τ chạy khắp Sn Do ta đƣợc det B    sign  a1 1 an  n   det A  Sn 1.4.5 Tính chất Cho A  (aij )  M n ( K ) Nếu ma trận B nhận đƣợc từ A cách nhân vào dòng (hoặc cột) thứ i đại lƣợng vô hƣớng k  K det B  k det A Chứng minh Theo định nghĩa ta có : det B  ( sign )( a    (1) Sn .ka i i  an ( n ) )  k  ( sign )( a1 (1) a i i  an ( n ) )  Sn  k det A Nhân hàng thứ 2013 với –1 cộng vào hàng cuối, nhân hàng 2012 với –1 cộng vào hàng 2013, nhân hàng 2011 với –1 cộng vào hàng 2012, …, nhân hàng đầu với –1 cộng vào hàng thứ ta đƣợc 1 D  2015 1 1 1 2013 1 1 1 0 Khai triển Laplace theo cột cuối ta đƣợc D  2015  1 2015 1  2015 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cộng hàng cuối vào hàng lại ta đƣợc 2 D  2015 2 0 0  2015.22012 47 2.8.17 Tính định thức  b1 b2 0 1  b2 b3  b3 b4 D 1  bn Giải b2 0 1  b2 b3  b3 b4 Dn  1  b1Dn1  bn Đối với định thức đầu bên vế phải, dòng thứ thêm vào dòng đứng trƣớc nó, ta đƣợc ma trận tam giác với đƣờng chéo toàn Do Dn   b1Dn1 Dn   b1  b1b2    1 b1b2 bn n 2.8.18 Tính định thức a11 a12 a1n 1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn x1 x2 xn a31 x12 a32 x22 a3n xn2 x12 x22 xn2 a n1 x1n1 an x1n1 x2n1 x2n1 ann xnn1 Giải 48 xnn1 Đổi cột xuống cuối cùng, đổi cột thứ xuống cuối cùng, lại đổi cột thứ xuống cuối cùng,… a11 , , a1n đứng liền Khi dấu định thức thay đổi  1 n1 n2  n   1 n3n1/2 , Đối với dòng ta lần lƣợt đƣa dòng thứ 2, 3, …, n + xuống cuối Khi dấu định thức thay đổi so với lúc ban đầu  1  n 3n1 /2  1 n2 n3  n1 dạng ma trận khối   1 n3n2    1 , thân định thức cuối có n D A , D định thức Vandermonde D Do đó, theo khai triển Laplace, giá trị định thức ban đầu  1  n ni  j 1 x  x  i j 2.8.19 Tính định thức Vandermonde phƣơng pháp quy nạp Dn  a1 a2 a3 an a 21 a22 a 23 a2n a n21 a n2 a n23 a n2 n a n11 a n13 a n1n a n12 Giải Để tính quy nạp, ta tính D2 D3 để đoán dạng Dn Tính 1 1 D3  a1 a2 a3 D2  a1 a2 a12 a22 a32 ta đƣợc D2  a2  a1 , D3   a2  a1   a3  a1  a3  a2  Từ đó, ta đoán dạng Dn: 49 Dn   a2  a1   a3  a1  a3  a2   an  a1  an  a2   an  an1      a j , i  2, , n; j  1, , n  i j Ta chứng minh công thức quy nạp theo n Ta thấy công thức cho n  2,3 ; ta giả sử cho n – chứng minh cho n Trƣớc hết ta nhận xét D n  ta lần lƣợt cho a1  a2 , a1  a3 , , a1  an Vậy ta khai triển Dn theo cột thứ nhất, ta đƣợc đa thức bậc n – ẩn a1 đa thức nhận n – nghiệm: a2 , a3 , , an Cho nên Dn có dạng: Dn    a1  a2   a1  a3   a1  an  , ∆ hệ số a1n1 , phần bù đại số a1n1 định thức Dn, bằng:    1n1 a2 a3 an1 an a2n2 a3n2 ann12 ann2 Theo giả thiết quy nạp, ta đƣợc    1n1  a3  a2   a4  a2   a4  a3   an  a2  an  a3   an  an1  Từ Dn   1n1  a2  a1   a3  a1   an  a1       a j  i j với i  2,3, , n; j  1,2, , n  50 Bài tập rèn luyện Tính định thức sau: a1  b1 a1  b2 D a1  bn a2  b1 a2  b2 a2  bn an  b1 an  b2 an  bn ; n2 ĐS: D  Tính định thức sau: 1 1 2.1 D  1 1 1 1 1 ĐS: D  1 1 2.2 D  1 1 1 1 1 ĐS:  n   n1  Dn1   n1  Từ suy 2 p  1, 2 p1  Tính định thức sau:  x2 x x 3.1 D   x2 x 0 x  x 0  x ĐS: D   x2  x4   x2n 51 3.2 D  0 Cho đa thức P  x    x  a1  x  a2   x  an  số thực đôi phân biệt Hãy tính định thức sau: P  x P  x P  x x  a1 x  a2 x  an a1 a2 an a12 a22 an2 a1n2 a2n2 ann2   x  ĐS:   x    1n1 ĐS: D  n   a  a  i j 1i  j n Tính định thức sau:      0      Dn       0 0    n ĐS : D n    i  ni i 0 Tính định thức sau : x1 x2 xn1 D xn x x2 xn1 xn x1 x xn1 xn x1 x2 x xn x1 x2 xn1 x 52 ĐS: D   x  x1  x  x2   x  xn1  x  xn  Tính định thức sau : a11 a12 a13 a1,2 n2 a1,2 n 1 a1,2 n a22 a23 a2,2 n2 a2,2 n1 0 a33 a3,2 n2 0 a2 n2,3 a2 n2,2 n2 0 a2 n2,2 a2 n1,3 a2 n1,2 n2 a2 n1,2 n1 a2 n ,1 a2 n ,2 a2 n ,3 D a2 n,2 n 2 a2 n ,2 n 1 a2 n ,2 n n ĐS : D    aii a2 ni 1,2 ni 1  ,2 ni 1a2 ni 1,i  i 1 Tính định thức sau : n 1 D  1 2 1 2 3 n n ĐS : D  n! Tính định thức sau : a1 a2 a3 an  x1 x2 D   x2 x3 xn ĐS : D  a1 x2 x3 xn  x1a2 x3 xn   x1 xn1an 10 Tính định thức sau : x1 a2 an D a1 x2 an a1 a2 xn 53 ĐS : D   x1  a1   xn  an   a1  x2  a2   xn  an    x1  a1  a2  x3  a3   xn  an  b  4ac    x1  a1   xn1  an1  an 11 Tính định thức sau : 1 x1 a1 D  x2 x2 a2 0 xn xn xn xn an ĐS : D   a1  x1   an  xn   a1 an 12 Tính định thức sau : a1b1 a1b2 a1b3 a1bn D a1b2 a2b2 a2b3 a2bn a1b3 a2b3 a3b3 a3bn a1bn a2bn a3bn anbn ĐS : D  a1bn  a2b1  a1b2   a3b2  a2b3   anbn1  an1bn  13 Tính định thức sau : x1 a1b2 a1b3 a1bn D a2b1 x2 a2b3 a2bn a3b1 a3b2 x3 a3bn anb1 anb2 anb3 xn ĐS : D  y1 y2 yn  a1b1 y2 yn  y1a2b2 y3 yn   y1 y2 yn1anbn 14 Tính định thức sau : a0 a1 a2 an a0 x a2 an D  a0 a1 x an a0 a1 a2 x ĐS : D  a0  x  a1   x  an  54 15 Tính định thức sau : 1 D x1  x2  x12  x1 x22  x2 xn2  xn x13  x12 x23  x22 xn3  xn2 x1n1  x1n2 x2n1  x2n2 xn  xnn1  xnn2 ĐS : D   x  x  i j ni  j 1 16 Tính định thức sau : 1  x1  2  x1  n1  x1  1  x2  2  x2  n1  x2  D 1  xn  2  xn  n1  xn  k  x   x k  ak1 x k 1  ak x k 2   akk ĐS : D   x  x  i j ni  j 1 17 Tính định thức sau : xn x1 x2 x1  x2  xn  D x1 x2 xn x12 x22 xn2 x1n1 x2n1 xnn1 n ĐS : D   i 1 18 Tính định thức sau : f n  x1 , y1  y1 f n1  x1 , y1  D xi   xi  x j  xi  1ni  j 1 y1n1 f1  x1 , y1  y1n y2n1 f1  x2 , y2  y2n f n  x2 , y2  y2 f n1  x2 , y2  f n  xn1 , yn1  yn1 f n1  xn1 , yn1  y f  xn1 , yn1  n 1 n 1 f i  x, y  đa thức bậc i hai biến x, y 55 ynn1 ĐS : D  a1a2 an 19 Tính định thức sau : 1  x1  2  x1  n  x1  1  x2  2  x2  n  x2  D  x y i 1i  j  n 1 1  xn  2  xn  n  xn  k  x  đa thức bậc không n  20 Tính định thức sau : x1  y1  x1  y2 D x2  y1 x2  y2  xn  y1 xn  y2 x1  yn x2  yn j  x j yi  ĐS : D  xn  yn  n ĐS: D     xi  yi   i 1   x  x  y i j 1i  j  n j  yi  21 Tính định thức sau : n  n D  n n n  n  ĐS: D   1 22 Tính định thức sau : 1 1 C21 C31 Cn1 C32 C42 Cn21 D C n 1 n C n 1 n 1 n n 1 n  n 1 n C2nn12 ĐS: D  56 23 Tính định thức sau : 1 Cm1 D Cm1 1 Cm1  Cm1  n Cm2 1 Cm2  Cm2 3 Cm2  n1 Cmn  n1 Cmn  n Cmn  n1 Cmn  n1 ĐS: D  24 Tính định thức sau : x1 x12 x1s 1 x1s 1 x1n D x2 x22 x2s 1 x2s 1 x2n xn2 xns 1 xns 1 xnn xn ĐS: D    xk1 xk2 xkn  s    x  x  , tổng lấy theo tất n  s i số từ n số tự nhiên đầu 26 Tính định thức sau : x1  x2  D j ni  j 1 xn  x12  x22  xn2  x13  x23  xn3  x1n  x2n  xnn  ĐS : D   x1 x2 xn   x1  1 x2  1  xn  1  x  x  i j ni  j 1 27 Tính định thức sau : x x x a1 D x x a2 y x a3 y y an y y y ĐS : D   1 n n 1 y  a1  x  a2  x   an  x   x  a1  y  a2  y   an  y  yx 57 28 Tính định thức sau :  a1  b1  D  a1  b2  1 1  an  b1   an  b2  1  a1  bn  1 1  an  bn  1   a  a b  b  i ĐS : D  j i j 1i  j 1 n a  b  i j i , j 1 29 Tính định thức sau : a0  a1 a1 D a1 a1  a2 a2 0 0 0 a2  a3 a3 0 a2 30.Tính định thức sau : 1 1! 1 1! D  2! an1 an1  an ĐS : D  a1a2 an  a0 a2 an   a0 a1 an1 0 1! 1 n!  n  1!  n  !  n  3! ĐS : D  31 Tính định thức sau :  a1nb1n  a1nb2n  a1b1  a1b2  a1nbnn  a1bn  a2nb2n  a2b2  a2nbnn  a2bn  annb1n  anb1  annb2n  anb2  annbnn  anbn  a2nb1n D   a2b1 58 n!   a  a b  b  ĐS : D  i j i j ni  j 1 32 Tính định thức sau :  a0  b0   a0  b1  n n  a1  b0   a1  b1  n D n  an  b0  n  an  b1   a0  bn  n  a1  bn   an  bn  n n n ĐS : D  Cn1 Cnn 33 Tính định thức sau : s0 s1 s2 sn 1 j  a j  b j  b j  s1 s2 s3 sn x D  s2 s3 s4 sn x2 s2 n1 xn sn sn1 sn  a ni  j 0 ĐS : D   ni  j 1 59  xi  x j  n  x  x  i 1 i PHẦN KẾT LUẬN Từ việc phân loại toán định thức theo phƣơng pháp khác giúp có nhìn tổng quan công cụ để thực hành giải toán định thức Thông qua việc phân loại phần khái quát hóa hệ thống kiến thức định thức cách dễ dàng Thông thƣờng toán định thức phức tạp việc sử dụng hợp lí công cụ giúp rút ngắn nhiều thời gian việc giải toán Tùy vào giả thiết toán cho để chọn đƣợc phƣơng pháp giải cho phù hợp nhanh Thông qua việc phân loại toán liên quan đến định thức nhìn rõ kĩ dạng toán thƣờng gặp kì thi lớn Toán sinh viên nhƣ Toán Olympic sinh viên Việt Nam Thế giới Luận văn trình bày chủ yếu nội dung liên quan đến định thức, phân loại đƣợc toán, đồng thời đƣa đƣợc công cụ giải nhanh hợp lí Đề tài làm tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên muốn sâu nghiên cứu định thức Do khả hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót, mong quý Thầy cô bạn đọc thông cảm, góp ý để nội dung đƣợc hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hoàng Xinh nhiệt tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn Hơn cho em gửi lời cảm ơn đến tất thầy cô môn Sƣ phạm Toán, Khoa Sƣ Phạm giúp đỡ em hoàn thành khóa học 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Xuân Sính -Trần Phƣơng Dung (1999), Bài tập đại số tuyến tính, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [2] Hội Toán Học Việt Nam - Trƣờng Đại học Phạm Văn Đồng (2014), Kỷ yếu kì thi Olympic sinh viên lần thứ 22, Quảng Ngãi [3] Lê Tuấn Hoa (2006), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Mỵ Vinh Quang (2004), Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh [5] Nguyễn Hoàng Xinh (2005), Tài liệu bồi dưỡng Toán Olympic sinh viên phần đại số, Nhà xuất Đại học Cần Thơ, Cần Thơ [6] Nguyễn Thanh Bình - Nguyễn Hoàng Xinh (2006), Giáo trình đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Cần Thơ, Cần Thơ [7] Phan Huy Phú - Nguyễn Doãn Tuấn (2001), Bài tập đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội 61 [...]... x n 2 n 1 ( x) n 1  (1) n 1 (n  1) x x 2.3 Phƣơng pháp rút nh n tử tuy n tính 2.3.1 Phƣơng pháp chung Định thức đƣợc coi nhƣ là một đa thức của một hay một số chữ số n m trong định thức Vì thế, ta bi n đổi định thức n y sao cho định thức chia hết cho một nh n tử tuy n tính n o đó Khi đó, tích của chúng là nh n tử của định thức Bằng cách so sánh các số hạng riêng biệt n o đó của tích những nh n. .. Phƣơng pháp chung Khai tri n định thức thành tổng các định thức cùng cấp rồi tính các định thức thành ph n Từ đó suy ra giá trị định thức c n tìm bằng tổng các định thức thành ph n 2.5.2 Bài tập a) Tính định thức sau x  a1 a2 a1 x  a2 D( x)  a1 a2 a1 a2 a3 an a3 an x  a3 an a3 x  an Giải N u viết các dòng của D  x  thành tổng của hai dòng:  a1, , x  ai , , an    a1, , ai , , an ... n 1 n  2 n  3 n  2 n  1 1 1 2 1 2 1 n 0 0 0 Khai tri n Laplace từ cột cuối cùng ta đƣợc D   1 n n 1 2 n 11 n  2 n 1 n n 1 n n n n n n n n d) Tính định thức sau 1 D Cn1 Cn2 Cnn1 Cnn 1 Cn11 Cn21 Cnn11 0 1 C21 C22 0 0 1 C11 0 0 0 a0 a1 a2 an1 an Giải Kể từ dòng thứ 3 từ dƣới l n, trừ mỗi dòng đi dòng sát cuối ta đƣợc 0 D Cn1  C11 Cn2 Cnn1 Cnn 0 Cn11... khai tri n hai định thức tr n theo dòng 2, … Cứ thế khai tri n cho đ n hàng cuối cùng, ta sẽ đƣợc 2n định thức trong khai tri n tr n, các dòng của định thức th n ph n có hai dạng: (i) Dạng 1: các dòng có dạng ai , ai , , ai (ii) Dạng 2: các dòng có dạng b1 , b2, ,bn Hai dòng thuộc loại đầu thì tỉ lệ nhau, c n hai dòng thuộc loại 2 là bằng nhau, n n trong mỗi định thức có hai dòng cùng loại n n phải... triệt tiêu 24 N n ta đƣợc Dn  0 , với mọi n  2 Vì vậy, với n  1 thì D1  a1  b1 , c n với n  2 thì ta đƣợc D2   a1 – a2  b2 – b1  2.6 Biểu di n định thức dƣới dạng tích các định thức khác 2.6.1 Phƣơng pháp chung Khai tri n định thức thành tích các định thức cùng cấp rồi tính các định thức thành ph n Từ đó suy ra giá trị định thức c n tìm 2.6.2 Tính chất     Cho các ma tr n vuông A  aij... thì định thức tr n đƣợc viết thành tổng của các định thức chứa hai dòng nhƣ nhau, trừ các trƣờng hợp sau: 23 - Một định thức mà dòng thứ i có dạng  0, , x, ,0  (x ở vị trí thứ i), i  1, 2, , n : đó là định thức xE và bằng xn - n định thức có đúng một dòng i là  a1 , , an  , c n các dòng khác có dạng  0, , x, ,0  (x ở vị trí thứ i) Theo định nghĩa (khai tri n Laplace) ta có ngay định thức n y... là ma tr n có n + 1 dòng và n + 2 cột đƣợc xác định : C00 C10 D C20 Cn01 Cn0 Cn01 0 C11 C21 0 0 C22 Cn21 Cn2 Cn21 0 0 0 Cnn12 Cnn2 Cnn12 0 0 0 Cnn11 Cnn1 Cnn11 0 0 0 Cn11 Cn1 Cn11 0 Cnn Cnn1 Gọi Dk là định thức nh n đƣợc từ A bằng cách bỏ đi cột thứ k (k = 1, … , n + 2) k -1 Chứng minh rằng Dk = C n+ 1 Giải Viết thêm một dòng cuối 1, x,  , xn1 vào ma tr n A, ta đƣợc...  N u    thì Dn   n  1 n 2 D2   n  2  n 1D1 2.4.2 Bài tập a) Tính định thức Vander Monde 1 a1 D n  a 21 1 a2 1 a3 1 an a22 a 23 a 2n a n  1n a n 11 a n 12 a n 13 Giải Lấy dòng thứ (n – 1) nh n với  an  rồi cộng với n, lấy dòng thứ (n – 2) nh n với  an  rồi cộng với dòng (n – 1), …, lấy dòng thứ nhất nh n với  an  rồi cộng với dòng hai, ta có: 19 Dn  1 a1  an 1... không thay đổi định thức của n   n  1! n x0  n !    n  1! n 1 x0  n  1 !   c  detD  det      n  1!  1! x0    n  1!  n  1! k! k 1   n  1!  n n 1 2   n  1! n k!   n!   n  1! x n 1   n  1! n     n  1! x  n  1!   n  1!  n n  1  n  1! x n x 0n xnn x 0n 1 xnn1 x0 xn 1 1 n 1 D n k 1 Ở đó D n là định thức Vandermonde...  an ) i 1 18 2.4 Phƣơng pháp truy hồi 2.4.1 Phƣơng pháp chung Tìm một hệ thức giữa định thức cấp n và các định thức cấp thấp h n đƣợc định nghĩa tƣơng tự Trƣờng hợp hay gặp nhất là khi ta nh n quan hệ dạng Dn  pDn1  qDn2 N u q  0 thì Dn  p n 1D1 N u q  0 , ta gọi α và β là nghiệm của tam thức bậc hai x 2  px  q  0 Xét hai trƣờng hợp nhỏ: N u    thì Dn  D2   D1 n D2   D1 n  ...  Nhƣ Dn  cos n 2.5 Biểu di n định thức dƣới dạng tổng định thức khác 2.5.1 Phƣơng pháp chung Khai tri n định thức thành tổng định thức cấp tính định thức thành ph n Từ suy giá trị định thức. .. n n 1 n 11 n  n 1 n n 1 n n n n n n n n d) Tính định thức sau D Cn1 Cn2 Cnn1 Cnn Cn11 Cn21 Cnn11 C21 C22 0 C11 0 a0 a1 a2 an1 an Giải Kể từ dòng thứ từ dƣới l n, ... Biểu di n định thức dƣới dạng tích định thức khác 2.6.1 Phƣơng pháp chung Khai tri n định thức thành tích định thức cấp tính định thức thành ph n Từ suy giá trị định thức c n tìm 2.6.2 Tính chất