b Các bước giải bài toán quỹ tích Thông thường để giải một bài toán quỹ tích ta phải chứng minh 2 phần: Riêng đối với dạng 2 ta thường biến đổi tính chất của điểm M thành tính chất n
Trang 1CHỦ ĐỀ 11 SƯU TẦM VÀ GIẢI BÀI TOÁN
QUỸ TÍCH
SINH VIÊN THỰC HIỆN: LỚP: ĐHSP TOÁN- LÝ K50 TRẦN THỊ HUỆ KHOA:TOÁN - TIN
Trang 2
PHẦN I: XIMENA
I: Lý thuyết
1 Khái niệm về quỹ tích
Một tập hợp X được xác định bởi tất cả những điểm có tính chất thì ta nói X làquỹ tích của những điểm có tính chất hay quỹ tích của những điểm có tính chất là hình X
chứng minh rằng quỹ tích của các điểm M là hình X đó.
b) Các bước giải bài toán quỹ tích
Thông thường để giải một bài toán quỹ tích ta phải chứng minh 2 phần:
Riêng đối với dạng 2 ta thường biến đổi tính chất của điểm M thành tính
chất nào đó tương đương với ,với là một bài toán cơ bản (quỹ tích cơ
bản) và chứng minh những điểm M có tính chất
Lưu ý:Ta có thể chứng minh gộp 2 phần bằng các lập luận tương đương
Để giải một bài toán quỹ tích ta cần phải:
Đọc kỹ nội dung đề bài :
Phân tích đề bài để thấy được:
• Những yếu tố nào cố định, yếu tố không đổi ,yếu tố chuyển động
• Chỉ ra được tính chất của điểm mà ta phải tìm quỹ tích
Phác họa hình vẽ ( thay đổi vị trí di động ở trên hình vẽ
• Nên vẽ 3 vị trí khác nhau của điểm chuyển động để đoán nhận dạng hình của quỹ tích cần tìm ( đối với dạng 2)
Cần nắm vững các dạng quỹ tích cơ bản
Trang 33 Một số quỹ tích cơ bản
Quỹ tích các điểm cách điều 2 điểm A , B đã cho là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Quỹ tích các điểm cách đều 2 cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó
Quỹ tích của các điểm cách đều một đoạn thẳng đã cho là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó
Quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng song song là đường thẳng song song và các đều hai đường thẳng đó
Quỹ tích các điểm cách một điểm O cố định là đường tròn
Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới góc không đổi là hai cung tròn chứa góc đi qua A ,B và đối xứng với nhau qua AB
Quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới hai điểm cố định A, B cho trước bằng số k1,k > 0, là một đường tròn đường kính PQ (P, Q lần lượt chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k và -k ).
Quỹ tích các điểm có hiệu bình phương khoảng cách từ đó đến hai điểm A,
B cố định bằng số k không đổi là đường thẳng vuông góc với AB tại H sao cho 2 =k ,trong đó I là trung điểm của AB
Phần II:Bài tập
Dạng 1:Bài toán đã cho biết quỹ tích
+Tìm tập hợp điểm thỏa mản một đẳng thức tích vô hướng hoặc độ dài
Bài 1: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Tìm quỹ tích điểm M trong tam giác sao cho
Với A’ ,B’ ,C’ lần lượt là giao điểm của AM ,BM ,CM với O
Trang 4Suy ra: G là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra M thuộc đường tròn đường kính OG
Giới hạn trong tam giác ABC
Trang 5Bài 2:Cho 2 đường tròn ngoài nhau ( O;R) và (O’;r) một điểm M thay đổi sao cho các tiếp tuyến MA ,MB với đường tròn ( O ) và MC ,MD là tiếp tuyến của đường tròn ( O’) thỏa mản:
Chứng minh quỹ tích điểm M là đường tròn Apoloniut
Ta có OO’ cố định ta chứng minh tỉ số không đổi
+ Nối OO’ , MO xét OMB và O’MC có
Trang 6Suy ra = = không đổi
Suy ra M chuyển động nhưng tỉ số khoảng cách không đổi
Hay M thuộc đường tròn Apoloniut có đường kính là EF, E,F là điểm chia trong
và điểm chia ngoài của OO’
+ Nối M’ với O,O’.xét 2
theo tính chất của đường tròn Apoloniut
Mặt khác
( Tính chất tiếp tuyến )
(đpcm)
Kết luận: Quỹ tích M là đường tròn đường kính EF hay là đường tròn Apoloniut
Dạng 2:Bài toán chưa cho biết quỹ tích
Trang 7Bài 3: Cho hình vuông ABCD có tâm O.Vẽ đường thẳng quay quanh O cắt 2 cạnh AD và BC lần lượt tại E và F ( E ,F không trùng với các đỉnh của hình vuông) Từ E và F lần lượt vẽ các đoạn thẳng song song với BD và AC cắt nhau tại I Tìm quỹ tích điểm I
Ta thấy: điểm I thuộc vào (AB)
Giới hạn: Khi k chạy trong khoảng từ 0 thì I cũng chạy trong khoảng ( -a;0) ( 0; a) hay từ A
Vậy quỹ tích điểm I thuộc trên đoạn thẳng (AB)
Theo phương pháp tìm quỹ tích cơ bản:
Phần thuận:
Ta thấy BD là đường trung trung trực của IF ( vì IF vuông góc BD và BD là trụcđối xứng của hình vuông ABCD)
Trang 8Bài 4: Cho tam giác đều
ABC biến thiên có đỉnh A
tam giác đều ABC thay đổi
,ta thấy khoảng cách từ B
đến A thay đổi, khoảng cách
vuông góc từ B đến xy cũng
thay đổi Do đó điểm B
không có mối lien hệ cố định
Trang 9Khi C chạy trên xy (
Thì BI =AH cố định vậy B nằm trên đường thẳng
d // x’y’ cách đương x’y’ một khoảng AH không đổi
Giới hạn: với mọi C ta luôn vẽ được một đều ABC có điểm B d
Mặt khác : mỗi C thuộc xy ,ta có đối xứng với C qua chân đường cao H thuộc xy
Và ta có qua trục là đường thẳng chứa AH
Vậy đỉnh B của khi C chạy trên xy là đường thẳng d và d’ đối xứng với d qua AH
Phần đảo:
Lấy B’ nối B’A
Vẽ cung có bán kính AB’ tâm A cắt xy tại C’
Nối B’ với C’ chứng minh tam giác AB’C’ đều
Kẻ B’I’ vuông góc với x’y’
Ta có B’I’ =AH
AB’ =AC’
Trang 10Phân tích
+ lấy vị trí của M trên đường tròn đường kính BC
Trang 11Lấy điểm M bất kỳ trên cung BC nối B với M và trên
BM lấy MD =MC ta được điểm D
Trên cung BC lấy điểm M gần đến điểm C và cũng làm
như trên ta cũng có điểm D thứ 2,
Tương tự lấy điểm M gần điểm B trên cung Bc ta cũng
được điểm D thứ 3
+ Nhìn vào hình ta thấy ba điểm D không thẳng hang
.Nên ta đoán quỹ tích là một đường tròn hay một cung
tròn
Mặt khác :
= 90(góc nội tiêp chắn nữa cung tròn)
( MD =MC
Nên ta thấy quỹ tích của điểm D có khả năng là cung
chứa góc 45 trên đường kính BC
Hay D nằm trên cung chứa góc 45 vẽ trên cung BC
Giới hạn:kẻ tiếp tuyến với đường tròn cho trước tại B có cung chứa góc 45 vẽ trên cạnh BC tại D’
Khi M lúc này thì tia BD cũng gần
Vậy khi M chạy trên đường tròn đường kính BC thì D nằm trên toàn bộ đường cong D’C D” trừ D’,D”.C
Phần đảo:
Trang 12Lấy điểm E cung D’C D”
Cho đường tròn ( O;R) Tam giác
ABc nội tiếp đường tròn BC cố
định ,I là trung điểm của ABC
Tìm quỹ tích M đối xứng với G qua I
khi A di chuyển
Giải
Phân tích:
+ Ta thấy BC cố định nên I cố định
+ Dựa vào tính chất trọng tâm ta có
+ Chứng tỏ G là ảnh của A qua một phép biến hình
+Xác định phếp biến hình, rồi suy ra quỹ tích A
Khi A di chuyển trên (O ;R) thì G di chuyển trên ( tương ứng sao cho:
Phép vị tự : H biến B,O,C,A thành B’,O’,C’,G
Ta có B,O,C cố định tương đương B’,O’,C’ cố định
Khi đó quỹ tích điểm M đối xứng với G qua O là đường tròn ( ) là ảnh của ( qua phép đối xứng tâm I
Giới hạn : Khi A dần tới C (A C)
,
Khi A dần tới B (A B)
Vậy quỷ tích M là đường tròn tâm O’’ bán kính R=1/3
Trang 13Bài 1: Cho đường tròn đường kính BC cố định lấy
điểm M di động trên đường tròn Trên tia đối của tia
BM lấy điểm D sao cho
MD =DB Tìm quỹ tích của điểm D
Hay D nằm trên cung chứa góc 45 vẽ trên cung BC
Giới hạn:kẻ tiếp tuyến với đường tròn cho trước tại B có cung chứa góc 45 vẽ trên cạnh BC tại D’
Khi M lúc này thì tia BD cũng gần
Vậy khi M chạy trên đường tròn đường kính BC thì D nằm trên toàn bộ đường cong D’C D” trừ D’,D”.C
Trang 15• Phần đảo:
Lấy I’ thuộc cung chứa góc
Nối AI’ và BI’
Vẽ tia Ax hợp với AI’ một góc bằng
Vẽ tia By hợp với BI’ một góc bằng
Ta chứng minh hay C di động trên cung AB
Xét
Có
Xét
(đpcm)
Vậy quỹ tích của điểm I khi C di động trên cung AB là cung chứa góc vẽ trên AB
và đối xứng với nhau qua AB Trừ 2 điểm A ,B
Bài 3:
Cho 2 điểm A, B và 1 điểm C di động sao cho góc không đổi Trên tia AC lấy điểm M sao cho AM = BC Tìm quỹ tích điểm M
• Phần thuận
Qua 3 điểm A ,B, C cho trước ta cung tròn ABC
Vẽ tiếp tuyến xA và Ax’ tại A Trên xAx’ lấy lần lươt điểm A’ và A” sao cho AA’ = AA” = AB
Suy ra A’, A” cùng thuộc nữa mặt phẳng có bờ AB
Ta có AB cố định nên AA’ và AA” cũng cố định
Xét
ung AC )
Trang 16Lấy điểm M’ thuộc đường tròn chứa dây cung như trên
Nối A với M’ AM’ cắt ( O; R) tại C’
Cho đoạn thẳng AB = a Hai nửa đường thẳng Ax, By nằm cùng phía đối với
AB và cùng vuông góc với AB Hai điểm M, N di động lần lượt trên Ax, By sao cho MN = AM + BN Tìm quỹ tích
hình chiếu H của trung điểm AB lên
Khi đó IH vuông góc với MN (1)
Ta có AM vuông góc với AI (AM
vuông góc với AB)
Nên AM là hình chiếu vuông góc của
Trang 17thì không thỏa mản điều kiện của bài toán
Khi M, N di động trên Ax và By thì H cũng di động theo
Vậy quỹ tích điểm H khi M, N di động trên Ax và By là nữa đường tròn ( I; IA) trừ 2 điểm A , B
• Phần đảo:
Lấy điểm H’ thuộc nữa đường tròn ( I; IA)
Từ M’ kẻ tiếp tuyến tại M’ cắt Ax, By lần lượt tại M’, N’
Xét
Xét
Mà
Hay IH’ vuông góc với M’N’ tại H’(đpcm)
Vậy quỹ tích điểm H khi M, N di động trên Ax và By là nữa đường tròn ( I; IA) trừ 2 điểm A , B
Bài 5:
Cho bốn đường thẳng cắt nhau tạo thành một hình vuông có cạnh a Chứng minh rằng quỹ tích của điểm M mà tổng khoảng cách từ nó đến 4 đường thẳng bằng 2a là miền hình vuông nói trên
:
• Phần thuận
Gọi giao điểm của 4 đường thẳng
trên là A,B,C,D
Lấy điểm M bất kỳ Từ M kẻ đường
thẳng vuông góc với AB, BC, CD,
DA cắt nhau lần lượt tại N, P ,Q ,O
Trang 18Lấy điểm M’ thuộc miền hình vông ABCD
Từ M’ kẻ các đường thẳng vuông góc với AB, AC, BC, BD lần lượt tại các điểm N’, P’ , Q’, O’
Vậy M thuộc miền trong của
tam giác ABC
• Phần đảo
Lấy điểm M’ thuộc miền
trong của tam giác ABC
Trang 19Từ M’ kẻ đường thẳng vuông góc với AB, AC, BC lần lượt tại N’, P’ ,Q’
Ta có:
( đpcm)
Vậy quỹ tích điểm M sao cho tổng khoảng cách từ đó tới 3 cạnh của tam giác bằng
là miền tam giác đó
Bài 7:
Cho góc xAy.Hai điểm B, C lần lượt thay đổi trên Ax và Ay sao cho AB +AC =
d không đổi Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại M Tìm quỹ tích điểm M
Trang 20(2)
Từ (1), (2),(3)
+ Trên tia Ax lấy điểm B’ sao cho AB’ = d
Trên tia By lấy điểm C’ sao cho AC’ = d
Nên B’, C’ cố định
Khi
Trang 21
Gọi K là trung điểm của BC
Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với BC tại K
Chọn hệ trục tọa độ XOY sao cho
Trang 22• Phần thuận:
Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA hay đường tròn ( O; R) tiếp xúc với a,b lần lượt tại A, B
Lấy điểm I ( O; OA)
Qua tiếp tuyến tại I cắt a, b lần lượt tai M,N
Ta có
AM = MI( t/c tiếp tuyến )
AN =NI ( t/c tiếp tuyến )
Mà MI + NI = AM + AN =MN
Suy ra : OI vuông góc với MN
I là hình chiếu của O lên MN
Lấy điểm H’ ( O; OA)
Vẽ đường thẳng đi d qua H’ sao cho : d vuông góc với OH’ tại H
Ta cm: AM’ + BN’ = M’N’
Ta có:
M’N’ v uông góc với OH’
tại H’ hay M’N’ tiếp tuyến
của đường tròn tại H’
Nên ta có a là tiếp tuyến
của O tại tiếp điểm A