Chuyển động brown

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown L ỜI NÓI ĐẦU Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown đã quan sát thấy một hiện tượng kỳ lạ của những hạt phấn hoa lơ lửng trong một cốc nướ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

- -

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô

giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Dr.Nguyễn Chí Long, người thầy

đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa

lu ận này

Đồng thời, em cũng xin cảm ơn Thư Viện Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, Thư Viện Tổng Hợp đã cung cấp nhiều tài liệu bổ ích cho em

Em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã ủng hộ và giúp đỡ em trong quá trình

h ọc tập và thời gian làm khóa luận này

M ặc dù em đã rất cố gắng nhưng do thời gian, kiến thức có hạn nên chắc chắn không tránh kh ỏi những thiếu sót, mong nhận được sự chỉ bảo đóng góp ý kiến từ quý

th ầy cô và bạn bè

Cu ối cùng, em xin chúc quý thầy cô, cùng các bạn dồi dào sức khỏe và thành công trong s ự nghiệp trồng người

Tp H ồ Chí Minh, tháng 4 năm 2012 Sinh viên th ực hiện

Nguy ễn Thiện Phi

M ỤC LỤC

L ỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁTRÌNH NG ẪU NHIÊN 3

1.1 LÝ THUY ẾT XÁC SUẤT 3

1.1.1 Đại số và σ −đại số 3

1.1.2 Độ đo xác suất 4

1.1.3 Định nghĩa không gian xác suất 4

1.1.4 Biến ngẫu nhiên 4

1.1.5 Không gian xác suất đầy đủ 4

1.16 Khái niệm hầu chắc chắn 4

1.1.7 Biến cố ngẫu nhiên độc lập 5

1.2 QUÁ TRÌNH NG ẪU NHIÊN 5

1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên 5

1.2.2 Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên 6

1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập 7

1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên dừng 8

1.2.5 Quá trình đo được 8

1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc 8

1.2.6 Kỳ vọng có điều kiện đối với σ - trường 9

1.2.7 Xác suất có điều kiện 10

1.2.8 Quá trình Gauss 10

1.2.9 Quá trình Martingale 11

1.2.10 Quá trình Levy 12

CHƯƠNG 2 CHUYỂN ĐỘNG BROWN 13

2.1 Định nghĩa 13

2.2 Các phương pháp xây dựng một chuyển động Brown 13

2.2.1 Sử dụng các hàm Haar 14

2.2.2 Khai triển Karhunen- Loeve 16

2.3 Các đặc trưng của chuyển động Brown 17

2.3.1 Hàm mật độ 17

2.3.2 Hiệp phương sai 18

2.4 M ột số tính chất quan trọng của chuyển động Brown 19

2.5 M ột số chuyển động Brown quan trọng 27

2.5.1 Chuyển động Brown bị phản xạ 27

2.5.2 Chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển 28

2.5.3 Chuyển động Brown hình học 31

2.5.4 Cầu Brown 32

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 34

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

L ỜI NÓI ĐẦU

Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown đã quan sát thấy một hiện tượng

kỳ lạ của những hạt phấn hoa lơ lửng trong một cốc nước Chúng liên tục lắc lư, chuyển động một cách ngẫu nhiên và dường như không bao giờ dừng lại ngay cả khi

cốc nước được giữ yên gần như tuyệt đối Năm 1928, Robert Brown giới thiệu mô hình chuyển động này Mô hình chuyển động Brown cũng giống như nhiều chuyển động bất thường khác trong lĩnh vực vật lý, sinh học, tài chính, kinh tế…

Năm 1905, Albert Einstein (1879-1955) giới thiệu mô hình chuyển động Brown

từ quỹ đạo các nguyên tử với những cú sốc qua những tính toán xác suất thống kê và

sử dụng thuyết động học phân tử Và Einstein đã thành lập được mật độ Gauss Nhà toán học Pháp Louis Bachelier (1870-1946) lần đầu tiên đã sử dụng chuyển động Brown như mô hình giá cổ phiếu trong luận án tiến sĩ của ông năm 1990

Người đầu tên xây dựng chặc chẽ chuyển động Brown (vào năm 1923) là Norbert Wiener (1894-1964) Ông đã đưa ra rất nhiều ứng dụng của chuyển động Brown trong lý thuyết truyền tín hiệu và truyền tin

Paul Levy (1886-1971) có nhiều đóng góp trong sự nghiên cứu các tính chất toán học của chuyển động Brown

Kyioshi Itô (1915-2008) đã đóng góp phát triển phép tính vi tích phân ngẫu nhiên trên nền tảng chuyển động Brown

Ứng dụng của chuyển động Brown trong việc nghiên cứu tài chính phải kể đến Samuelson (1915-2009), người đoạt giải Nobel kinh tế năm 1970, Fisher Black

(1938-1995), Myron Scholes (1941- ) và Nobert Merton (1944- ) nhóm này đã nhận được giải Nobel kinh tế năm 1997

Chính vai trò của chuyển động Brown trong phép tính vi tích phân ngẫu nhiên

và các ứng dụng rộng lớn trong nhiều ngành khoa học, đặc biệt là vai trò quan trọng trong nghiên cứu tài chính nên trong khóa luận này, em xin trình bày về “Chuyển động

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

Chương 1: Tóm tắt kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên Chương 2: Chuyển động Brown

Trong đó, chương 1 là một số kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên phục vụ trực tiếp cho việc nghiên cứu chuyển động Brown

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

VÀ QUÁ TRÌNH NG ẪU NHIÊN

Để thuận tiện cho việc nghiên cứu về chuyển động Brown, trong chương này

em xin trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

n n

1.1.3 Định nghĩa không gian xác suất

Gọi Ω là không gian các biến cố sơ cấp của một phép thử ngẫu nhiên

 là một σ −đại số trên Ω

P là một độ đo xác suất xác định trên

Khi đó (Ω, , P) là một không gian đo được và ta gọi là không gian xác suất

1.1.4 Bi ến ngẫu nhiên

Cho (Ω, , P) là không gian xác suất

Ánh xạ X :Ω →  sao cho: X−1( −∞ , ] x ∈  , ∀ ∈ x

được gọi là biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên

Ví dụ: Tung một con súc sắc gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con súc sắc thì

X là đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6

1.1.5 Không gian xác su ất đầy đủ

(Ω,, P) được gọi là KGXS đầy đủ nếu nó là KGXS với  chứa tất cả các tập

có xác suất 0 (Tập M được gọi là tập có xác suất 0 nếu∃ ∈A sao cho

1.16 Khái ni ệm hầu chắc chắn

Cho KGXS (Ω,, P), hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là bằng nhau hầu

chắc chắn (h c c) nếu ∃ ∈ N sao cho ( )P N = và ( )0 X ω =Y( )ω với ω ∉N

Khi đó ta viết X =Y h c c( )

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

Một cách tổng quát, ta nói một tính chất nào đó xảy ra hầu chắc chắn trên Ω

nếu nó xảy ra ở bên ngoài một tập có xác suất 0 Khi X =Y h c c( ), ta nói X tương đương với Y và viết X Y

1.1.7 Bi ến cố ngẫu nhiên độc lập

a) Định nghĩa

Cho không gian xác suất (Ω,, P), hai biến cố A B, ∈  được gọi là độc lập nhau nếu: P AB( )=P A P B( ) ( )

Hệ biến ngẫu nhiên A A1, 2, A n được gọi là độc lập với nhau nếu 1 k n∀ ≤ ≤ và

với bất kỳ sự lựa chọn chỉ số i i1, , 2 i k sao cho 1≤ ≤ ≤ ≤ ≤i1 i2 i k n ta có:

1.2 QUÁ TRÌNH NG ẪU NHIÊN

Hầu hết các quá trình xảy ra trong tự nhiên và xã hội đều có tính chất ngẫu nhiên, khi họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian thì ta nói nó là một quá trình ngẫu nhiên

1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên

Xét không gian xác suất (Ω,, P) và một tập hợp các chỉ số I ( vô hạn đếm được hay không đếm được) Ta xem I là một tập các chỉ số thời gian, I có thể là tập ,(−∞ +∞, ), (0,+∞)hay[0, ].T

 Xét một họ các biến ngẫu nhiên xác định trên ( , Ω  , )P

và lấy chỉ số trong I

 Họ không đếm được các biến ngẫu nhiên { }X

t t I∈ gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

 Họ đếm được các biến ngẫu nhiên { }Xt

t I∈ gọi là quá trình ngẫu nhiên với

thời gian rời rạc

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

Một cách tổng quát cho 2 không gian đo được ( , ),( , ) Ω F E ξ và I là tập hợp các chỉ số

 Một quá trình ngẫu nhiên xác định trên Ω, lấy giá trị trong E là ánh xạ:

:

X I ×Ω → E đo được đối với độ đo tích trên I ×Ω

Quá trình ngẫu nhiên X còn được viết X t ( , ), ( ) • X t hay X { t , t I ∈ }

 ( , ) Ω  được gọi là không gian cơ sở của quá trình ngẫu nhiên và ( , ) E ξ gọi

là không gian trạng thái Với t ∈ I, X t là trạng thái tại thời điểm t Nếu cố định

ω ∈Ω, thì { Xt( ) }

t I

ω ∈ gọi là quỹ đạo mẫu hay sự thể hiện hay hàm mẫu của quá

trình ngẫu nhiên (liên kết với ω)

Qui ước

Cho (Ω,, P) là không gian xác suất và { }X

t t I∈ là quá trình ngẫu nhiên xác định trên Ω Nếu " "γ là một tính chất nào đó của quỹ đạo mẫu ( chẳng hạn " "γ là liên

tục phải và có giới hạn trái với mọi t∈I) thì ta nói quá trình ngẫu nhiên { } X

t t I ∈ có tính " "γ

Thí dụ: Một quá trình ngẫu nhiên dạng sin

Cho I = −∞ +∞ ( , ) xét không gian xác suất (Ω,, P) trong đó Ω = [0,1], 

là σ −đại số Borel trên Ω và P là độ đo xác suất đều Ta định nghĩa quá trình ngẫu nhiên { } X

t t I ∈ bằng quỹ đạo mẫu có dạng:

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

X X

b) Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên { }X t t I∈ được xác định bởi:

c) Hàm phương sai của quá trình ngẫu nhiên { }X t t I∈ được xác định bởi:

d) Hệ số tương quan của quá trình ngẫu nhiên{ }X t t I∈ là:

1.2.3 Quá trình ng ẫu nhiên có số gia độc lập

Xét quá trình ngẫu nhiên { }X t t I∈ lấy giá trị rời rạc

Với mọi số nguyên n, cố định các chỉ số t t t1, , , ,2 3 t n∈I sao cho

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

1.2.4 Quá trình ng ẫu nhiên dừng

Định nghĩa: Xét quá trình ngẫu nhiên { }X t t I∈ Với bất kỳ số nguyên dương n,

gọi t t t1, , , ,2 3 t n là một dãy chỉ số thời gian tăng Ta nói quá trình ngẫu nhiên{ }X t t I∈

là quá trình dừng nếu hàm phân phối đồng thời có tính chất sau:

1 2 1, 2, , 1 2 1, 2, ,

F x x x =F + + + x x x , Với s∀ sao cho t k s+ ∈ ∀I, k

1.2.5 Quá trình đo được

i Mọi quá trình liên tục là đo được

ii Nếu X là một quá trình đo được thì quỹ đạo của nó X t( )ω đều là những hàm

thực Borel trên +

1.2.4 Quá trình ng ẫu nhiên thích nghi với bộ lọc

a) B ộ lọc

Một họ các σ- trường con (t,t≥0) của   , t∈ được gọi là một bộ lọc nếu

thỏa các điều kiện:

i Nếu s<t thì s ⊂t ( họ tăng theo t)

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

b) B ộ lọc tự nhiên

Cho quá trình ngẫu nhiên X ={X t t, ≥0} Xét σ - trường sinh bởi các biến ngẫu nhiên X svới s<t: t X =σ(X s:s≤t)

c) Quá trình thích nghi v ới bộ lọc

Một không gian xác suất (Ω , , P) gắn thêm vào một bộ lọc t gọi là một không gian xác suất được lọc và kí hiệu là (Ω  , ,( )t ,P)

Quá trình Y gọi là thích nghi với bộ lọc (t,t≥0) nếu với mọi t thì Yt đo được đối với σ - trường t

Nh ận xét:

i Ta thấy mọi quá trình {X t t, ≥0}thích nghi với lịch sử (t X,t≥ 0) của nó

ii Cho quá trình X = X( )ω với lịch sử của nó là (t X,t≥ 0) Một quá trình

ωω

Cho (Ω  , , P)là một không gian xác suất, G là một σ - trường con của  và X là

một biến ngẫu nhiên

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

 Một biến ngẫu nhiên X*

gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ - trường

G nếu:

i X* là một biến ngẫu nhiên đo được đối với G

ii Với mọi tập A G∈ ta có *

 Nếu chọn σ - trường G là trường σ( )Y sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào

đó thì kì vọng có điều kiện của X đối với σ( )Y cũng được kí hiệu là E X Y( | )

Tính ch ất: Các mệnh đề dưới đây được hiểu theo nghĩa hầu chắc chắn (h c c)

i Nếu G là σ - trường tầm thường {φ, Ω} thì E X G( | )=EX

ii Với hai biến ngẫu nhiên X và Y ta có E X( +Y G| )=E X G( | ) +E Y G( | ) iii Nếu X là hàm đo được đối với G thì E XY G( | )=XE Y G( | )

Đặc biệt, nếu c là hằng số thì E cY G( | )=cE Y G( | )

iv Nếu X độc lập đối với G thì E X G( | )=EX

1.2.7 Xác su ất có điều kiện

a) Định nghĩa: Xác suất có điều kiện của biến cố A ∈ đối với trường G là

một biến cố ngẫu nhiên xác định bởi P A G( | )=E I( A|G),

|

n n

a) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối

chuẩn nếu hàm mật độ xác suất có dạng:

( ) ( )

2 2

2

12

x

µ σ

−

−

=

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

Khi đó X có kỳ vọng µ và phương sai σ2

i t t itX

E e  = eµ− σ

1.2.9 Quá trình Martingale

a) Định nghĩa: Một quá trình ngẫu nhiên X =(X t t, ≥ 0) gọi là một martingale đối với bộ lọc t nếu:

i X thích nghi với bộ lọc t, tức là X t là t- đo được với mọi t

ii Xt khả tích với mọi t, tức là E X t < ∞ ∀ ≥ , t 0.

iii E X( t | s)=X s với mọi 0 s t≤ ≤

Chú ý:

Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta quy ước ( )t là bộ lọc tự nhiên của { }X t t I∈ ,

tức là t =σ(X s s, ≤ =t) t X

Ví d ụ: Các quá trình đối với số gia độc lập, khả tích

Cho X ={X t t, ≥ 0} là một quá trình ngẫu nhiên khả tích và giả sử rằng:

với mọi 0 s t≤ ≤ thì Xt – Xs độc lập với X

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

iii Có gia số dừng: phân bố xác suất củaX t2 −X t1 chỉ phụ thuộc vào t2−t1

iv Là quá trình có giới hạn từ bên trái, và liên tục từ bên phải

1.2.11 Quá trình Markov

Định nghĩa: Giả sử ( , , )Ω  P một KGXS và { }t t≥0 là một lọc trong  Khi đó {𝑋𝑡}𝑡≥𝑜 là một quá trình Markov nếu:

i Quá trình {𝑋𝑡}𝑡≥𝑜 thích nghi với bộ lọc { }t t≥0

ii (Tính Markov): Với mọi 𝑡, 𝑠 ≥ 0 Với mọi 𝑢 ∈ ℝ mà 𝐸𝑒𝑢𝑋 𝑡+𝑠 < ∞, ta có:

uB t s | uB t s |

E e +  = E e + X 

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

CHƯƠNG 2 CHUYỂN ĐỘNG BROWN 2.1 Định nghĩa

Cho một quá trình B={B t t, ≥ 0} được xác định trên một không gian xác suất đủ (Ω,, P) được gọi là một chuyển động Brown (Quá trình Wiener) xuất phát từ 0 với tham số phương sai σ2 nếu nó là một quá trình Gauss thỏa các tính chất sau:

• Nếu B0 =x thì ta có chuyển động Brown xuất phát từ x

2.2 Các phương pháp xây dựng một chuyển động Brown

Có nhiều phương pháp xây dựng một chuyển động Brown Ở đây ta nói tới hai phương pháp: Phương pháp sử dụng các hàm Haar và phương pháp khai triển Karhunen-Lòeve

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

( 1) 2

j

j

H + t =H + t− − j=

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

2 2 2

- Một kết quả của giải tích

Cho a j j( ), =1, 2, là một dãy số thực, và đặt b n =max{a(2n+k) ;k=1, , 2 n}

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

Người ta chứng minh được rằng:

n

n n

1

1 2

2.2.2 Khai tri ển Karhunen- Loeve

Người ta cũng chứng minh rằng mỗi chuyển động Brown {B t, 0 ≤ ≤t T} cũng có

thể xây dựng nhờ công thức khai triển sau:

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

Dãy{φn,n≥ 0} thực ra là một hệ trực chuẩn đủ trong L2[0,T], với

2 2

2

2 2

t s s

a t

e t

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

xt as

st t s s

t s t

as x t s

t s

t t

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

=

Suy ra: C v B Bo ( s, t)= min{ }s t,

Từ đây, ta cũng có một định nghĩa khác về chuyển động Brown như sau:

Định nghĩa: Một quá trình B={B t t, ≥ 0} là một chuyển động Brown với tham số phương sai σ2 nếu nó là một quá trình Gauss với E B[ ]t =0, ∀ ≥t 0 và hàm

Tính độc lập của các số gia của quá trình , được suy ra từ hệ thức:

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

2.4.2 Tính ch ất 2 (Sự hội tụ của gia số)

a= < < < < =t t t t b c ủa đoạn từ a đến b hội tụ đến b a − theo bình

phương trung bình khi làm mịn phân hoạch:

0 0

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

2

12

2 2

k k

k

u k

Khóa lu ận tốt nghiệp Chuy ển động Brown

lim sup 2 1 2 1 1

2

k k

 Quỹ đạo địa phương

 Cực đại và cực tiểu của địa phương

Đối với một hàm số liên tục f : 0,[ ∞ →) R, một điểm t gọi là cực đại địa phương (nghiêm ngặt) nếu ∀ >ε 0, ,s t≥ ∀ ∈ − 0, s (t ε,t+ε) ( ): f s ≤ f t( )

Đối với hầu hết các quỹ đạo, tập hợp các cực đại địa phương cho quỹ đạo của chuyển động Brown là đếm được ( một tập hợp đó có thể là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được) và dày đặc Lý thuyết tương tự cũng áp dụng cho cực tiểu địa phương

Một quỹ đạo chuyển động Brown có một cực đại địa phương hoặc một cực tiểu địa phương trong khoảng thời gian bất kỳ Điều này có nghĩa rằng mật độ của cực đại địa phương và cực tiểu địa phương là dày đặc Có một cực đại hoặc một cực tiểu địa phương tùy ý gần với số bất kỳ

 Điểm tăng và giảm

Một điểm t là tăng nếu ∃ >ε 0, ,s t≥ ∀ ∈ 0, s ( ) (0,ε , f t−s)≤ f t( )≤ f t( +s).

Hầu hết tất cả quỹ đạo của chuyển động Brown không có điểm tăng hoặc giảm