Chuyen dong Brown

CHUYỂN ĐỘNG BROWN Nguyễn Hữu Thái Khoa Toán - Thống kê, ĐH Kinh Tế Tp.HCM Ngày 14 tháng năm 2009 (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Mở đầu (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Mở đầu Xét chuyển động chất điểm Trong khoảng thời gian ∆t chất điểm liên xuống với vận tốc ∆x (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Mở đầu Xét chuyển động chất điểm Trong khoảng thời gian ∆t chất điểm liên xuống với vận tốc ∆x Ký hiệu X (t ) vị trí thời điểm t, ta có: h i X (t ) = ∆x X1 + X2 + + X[ t ] ∆t (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 (1) / 56 Mở đầu Xét chuyển động chất điểm Trong khoảng thời gian ∆t chất điểm liên xuống với vận tốc ∆x Ký hiệu X (t ) vị trí thời điểm t, ta có: h i X (t ) = ∆x X1 + X2 + + X[ t ] ∆t (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 (1) / 56 Mở đầu Xét chuyển động chất điểm Trong khoảng thời gian ∆t chất điểm liên xuống với vận tốc ∆x Ký hiệu X (t ) vị trí thời điểm t, ta có: h i X (t ) = ∆x X1 + X2 + + X[ t ] (1) chất điểm xuống chất điểm lên (2) ∆t Xi = (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Mở đầu Xét chuyển động chất điểm Trong khoảng thời gian ∆t chất điểm liên xuống với vận tốc ∆x Ký hiệu X (t ) vị trí thời điểm t, ta có: h i X (t ) = ∆x X1 + X2 + + X[ t ] (1) chất điểm xuống chất điểm lên (2) ∆t Xi = fXi g dãy biến ngẫu nhiên độc lập với P fXi = 1g = P fXi = 1g = 1/2 (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Mở đầu Xét chuyển động chất điểm Trong khoảng thời gian ∆t chất điểm liên xuống với vận tốc ∆x Ký hiệu X (t ) vị trí thời điểm t, ta có: h i X (t ) = ∆x X1 + X2 + + X[ t ] (1) chất điểm xuống chất điểm lên (2) ∆t Xi = fXi g dãy biến ngẫu nhiên độc lập với P fXi = 1g = P fXi = 1g = 1/2 Ta có: E [Xi ] = 0; Var [Xi ] = (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Mở đầu Xét chuyển động chất điểm Trong khoảng thời gian ∆t chất điểm liên xuống với vận tốc ∆x Ký hiệu X (t ) vị trí thời điểm t, ta có: h i X (t ) = ∆x X1 + X2 + + X[ t ] (1) chất điểm xuống chất điểm lên (2) ∆t Xi = fXi g dãy biến ngẫu nhiên độc lập với P fXi = 1g = P fXi = 1g = 1/2 Ta có: E [Xi ] = 0; Var [Xi ] = (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Mở đầu Xét chuyển động chất điểm Trong khoảng thời gian ∆t chất điểm liên xuống với vận tốc ∆x Ký hiệu X (t ) vị trí thời điểm t, ta có: h i X (t ) = ∆x X1 + X2 + + X[ t ] (1) chất điểm xuống chất điểm lên (2) ∆t Xi = fXi g dãy biến ngẫu nhiên độc lập với P fXi = 1g = P fXi = 1g = 1/2 Ta có: E [Xi ] = 0; Var [Xi ] = E [X (t )] = ∆x.0 = 0; Var [X (t )] = ∆x (Institute) Chuyển động Brown t ∆t Ngày 14 tháng năm 2009 (3) / 56 Theorem (Đẳng cự Itô) E Ig2 Z t (t ) = E Để đơn giản ta giả sử = t0 g (u ) du (125) t1 tn = t,ta viết k Ig (t ) = ∑ g (tj ) ∆Bj (126) j =0 Chú ý ∆Bj độc lập có kỳ vọng Ta có: k Ig2 (t ) = ∑ g (tj ) ∆Bj2 + ∑ g (tj ) g (ti ) ∆Bj ∆Bi j =0 (127) i [...]... chuyển động Brown (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 3 / 56 Định nghĩa (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 4 / 56 Định nghĩa Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau: (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 4 / 56 Định nghĩa Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất... gọi B (t ) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn Chú ý rằng hàm mật độ của B (t ) là ft (x ) = p1 e 2πt x2 2t Nếu B(0) = x ta có chuyển động Brown xuất phát từ x (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 4 / 56 Tính thuần nhất không gian quỹ đạo Lemma Nếu fB (t ) , t 0g là một chuyển động Brown tiêu chuẩn xuất phát từ 0 thì B (t ) = B (t ) + x là một chuyển động Brown tiêu chuẩn xuất phát... B (t ) (Institute) N 0, σ2 t Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 4 / 56 Định nghĩa Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau: 1 B (0) = 0 2 B (t ) có gia số dừng và độc lập 3 Với mọi t > 0, B (t ) N 0, σ2 t Khi σ = 1 ta gọi B (t ) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 4 / 56 Định... chuyển động Brown xuất phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau: 1 B (0) = 0 2 B (t ) có gia số dừng và độc lập 3 Với mọi t > 0, B (t ) N 0, σ2 t Khi σ = 1 ta gọi B (t ) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn Chú ý rằng hàm mật độ của B (t ) là ft (x ) = (Institute) p1 e 2πt x2 2t Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 4 / 56 Định nghĩa Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất... B (0) = 0 (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 4 / 56 Định nghĩa Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất phát từ 0 nếu thỏa các tính chất sau: 1 B (0) = 0 2 B (t ) có gia số dừng và độc lập (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 4 / 56 Định nghĩa Một quá trình fB (t ) , t 0g được gọi là một chuyển động Brown xuất phát từ 0 nếu thỏa các tính... (Institute) t1 Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 6 / 56 Hàm mật độ (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 7 / 56 Hàm mật độ Với s < t ta có hàm mật độ xác suất B (s ) với điều kiện B (t ) = a là: (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 7 / 56 Hàm mật độ Với s < t ta có hàm mật độ xác suất B (s ) với điều kiện B (t ) = a là: (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng... chuyển động Brown tiêu chuẩn xuất phát từ x (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 5 / 56 Hàm mật độ (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 6 / 56 Hàm mật độ Với t1 < t2 < < tn thì hàm mật độ đồng thời của các biến B (tn ) B (tn 1 ) , , B (t2 ) B (t1 ) , B (t1 ) được xác định bởi (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng 5 năm 2009 6 / 56 Hàm mật độ Với t1 < t2 < ... động Brown (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Định nghĩa (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Định nghĩa Một trình fB (t ) , t 0g gọi chuyển động Brown. .. động Brown tiêu chuẩn xuất phát từ B (t ) = B (t ) + x chuyển động Brown tiêu chuẩn xuất phát từ x (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Hàm mật độ (Institute) Chuyển động Brown. .. động Brown xuất phát từ thỏa tính chất sau: B (0) = B (t ) có gia số dừng độc lập (Institute) Chuyển động Brown Ngày 14 tháng năm 2009 / 56 Định nghĩa Một trình fB (t ) , t 0g gọi chuyển động Brown