Bài giảng cơ học lượng tử nguyễn văn khiêm bài 18

Trường hợp đơn giản nhất mà trong đó ta có thể coi như vậy hiển nhiên là trường hợp các hạt độc lập, không tương tác với nhau.. Trong trường hợp chúng tương tác với nhau, vấn đề trở nên

Cơ học lượng tử

Nguyễn Văn Khiêm

Bài 18

HỆ NHIỀU HẠT SỰ BẢO TOÀN SỐ

HẠT, TỔNG NĂNG LƯỢNG VÀ

XUNG LƯỢNG

Trong chương này và chương sau, ta sẽ xét các bài toán về hệ

1.Điều kiện nhân số bậc tự do.

Trước hết ta hãy xem xét câu hỏi sau Giả sử có một hệ N hạt, mỗi

hạt có ba bậc tự do (ví dụ: hạt thứ i có ba toạ độ độc lập x i , y i , z i)

Khi nào thì có thể coi rằng hệ N hạt đó có 3N bậc tự do?

Trường hợp đơn giản nhất mà trong đó ta có thể coi như vậy hiển

nhiên là trường hợp các hạt độc lập, không tương tác với nhau

Trong trường hợp chúng tương tác với nhau, vấn đề trở nên phức

tạp hơn nhiều

Trong nhiều trường hợp, không thể mô tả đầy đủ các tương tác,

bởi vì các hạt tương tác với nhau thong qua các trường

sẽ không thể tính toán nổi, đặc biệt khi vận tốc chuyển động của các

Khi đó, có thể coi rằng nếu mỗi hạt có k bậc tự do thì hệ N hạt có Nk

bậc tự do, tức là hệ thoả mãn điều kiện nhân số bậc tự do Khi đó, có thể coi rằng nếu mỗi hạt có k bậc tự do thì hệ N hạt có Nk bậc tự do, tức là hệ thoả mãn điều kiện nhân số bậc tự do

Trong toàn bộ phần còn lại của chương này, ta sẽ chỉ xét những hệ thoả mãn điều kiện trên

Chú ý rằng, nếu các hạt có spin thì ψ không phải hàm vô hướng

nhận giá trị là các số phức, mà là hàm nhiều thành phần (và biến

đổi theo một quy tắc nhất định trong hép quay không gian)

hàm trạng thái:

nếu ω = ψ + ψ (hoặc ω = Ψ+Ψ trong trường hợp hàm nhiều thành phần) thì

(r1,r2, rN ,t)

ω là mật độ xác suất tìm thấy mỗi hạt thứ i ở vị trí ri

trong không gian ba chiều

hay nói theo kiểu toán học – hệ ở vị trí (r1,r2, rN )

trong không gian 3N chiều (ở thời điểm t)

Trong khi đó, muốn tìm mật độ xác suất tìm thấy hạt thứ i1 ở vị trí r i1

hạt thứ ik ở vị trí

k i

r 

(k < N), cần lấy tích phân của ω ( r 1, r 2, r N , t )

theo không gian con của tất cả các biến còn lại, tưc là:

2 1





ω

trong đó, mỗi chỉ số j l đều không nằm trong tập hợp {i1,i2, i k}

Chẳng hạn, với N = 3 thì xác suất tìm thấy hạt thứ nhất ở vị trí r1

(tại thời điểm t) sẽ là:

( r1, r2 , rN , t ) dx2 dy2 dz2 dx3 dy3 dz3

trong đó tích phân lấy trong không gian con 6 chiều của các bién số

3 3

3 2

2

2; y ; z ; x ; y ; z x

Cũng như với một hạt, ta coi rằng hàm trạng thái của hệ N hạt cũng

thoả mãn phương trình Schrödinger:

j k k N

k

k k k

m

p H

j

1

; 1

2

,

, 2

k k

i z

i y

i x

m k là khối lượng của hạt thứ k trong trường ngoài;

kj

U là thế năng tương tác giữa hạt thứ k và hạt thứ j

Từ phương trình (18.2) và đẳng thức (18.3), tiến hành vài thao tác giống như trường hợp một hạt, ta cũng có:

k

k J t



ω

(18.5)Đây chính là phương trình liên tục của dòng Cũng có thể gọi nó là

phương trình mô tả sự bảo toàn số hạt

Trong Cơ học lượng tử, một đại lượng được coi là bảo toàn, nếu đạo

hàm của toán tử tương ứng theo thời gian bằng 0

Nếu Lˆ là toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì,

như ta đã biết ta có:

[ ]L H

i t

, ˆ

Như vậy, đại ượng L được bảo toàn, nếu [ ] L ˆ , H ˆ = 0

hay Lˆ giao hoán với Hˆ

Bây giờ ta xét xung lượng của hệ

k i p

P

1 1

k l

l l

l j

k

kj k

U P

l

l l l

l l

U chỉ phụ thuộc khoảng cách giữa hạt thứ k và hạt thứ j, tức là

) ( kj

kj kj kj

k kj

kj kj

k

r dr

r

dU r

dr

dU U

kj kj kj

kj

jk kj kj

j

r dr

r

dU r

dr

r

dU U

.

.

P d

1

ˆ

(18.10)

có nghĩa là tốc độ biến thiên tổng xung lượng bằng các lực tác

dụng từ phía trường ngoài lên các hạt

Trong trường hợp không có trường ngoài, từ (18.10) ta có

5 Chuyển động của khối tâm

Xét hệ chịu tác dụng của trường ngoài Khi đó, Hamiltonian của hệ

có dạng:

U F

kj

kj r U

U (18.13)

N N

N

N N

m m

x m x

m X

x m

m

x m

x m

x m

m

x m x

m

x m

x

m x

1 1

1 1

1

1 1

3 2

1

2 2 1

1 2

2 1

1 1 2

1 1

ξ ξ

ξ ξ

(18.14)

và các ký hiệu ςj, ζj biểu diễn qua y j , z j (i = 1, ….N) giống như ξj biểu

diễn qua các toạ độ x i (ςN = Y, ζN = Z)

Rõ ràng X, Y, Z có thể coi là ba toạ độ khối tâm của hệ

Với các ký hiệu đó, dễ chứng minh rằng

∑−

=

∇+

j M

+

=

+ +

=

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

1

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

1

1 1

j j

j

N

j j

j j

m m

m

m m

M

Z Y

X

µ

ζ ς

ξ (18.16)

2 2

T

1

2

2 '

2

ˆ

µ

 (18.19)

Tˆ là toán tử động năng của khối tâm, còn

'

ˆ

T là toán tử động năng chuyển động tương đối của các hạt.

Chú ý rằng, trong phần năng lượng tương tác của các hạt không

có mặt các toạ độ khối tâm, trong khi đó thì

Tˆ lại chỉ liên quan đến các toạ độ khối tâm

Vì vậy:

'

ˆ ˆ

H = (18.20)+

trong đó Tˆ chỉ chứa các phép lấy đạo hàm theo toạ độ khối tâm

còn Hˆ ' chỉ lien quan đến chuyển động tương đối và tương tác giữa các hạt

i

P X

Khi đó: ψ ψ ψ 2 ˆ ψ'

t

i t

i = − ∇ Φ + Φ

∂

∂ Φ

Chia hai vế phương trình này cho Φψ và so sánh các số hạng có cùng

bộ biến số ở hai vế với nhau, ta được hai phương trình:

Ta cũng thấy rằng (18.22) là phương trình chuyển động tự do của hạt vớI

khối lượng M Nghiệm đơn giản nhất của nó đương nhiên có dạng:

(Et P R)

i

e C