Bài giảng cơ học lượng tử nguyễn văn khiêm bài 18

Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cơ học lượng tử Nguyễn Văn Khiêm Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bi 18 H NHIU HT S BO TON S HT, TNG NNG LNG V XUNG LNG Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong chng ny v chng sau, ta s xột cỏc bi toỏn v h nhiu ht Trng hp ỏng chỳ ý l h ht ng nht, tc l nhng ht cú cung c trng v lng, in tớch v spin (h electron, h proton, .) Trong chng ny ta mi ch xột chung v h nhiu ht, k c h gm cỏc ht khỏc loi Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.iu kin nhõn s bc t Trc ht ta hóy xem xột cõu hi sau Gi s cú mt h N ht, mi ht cú ba bc t (vớ d: ht th i cú ba to c lp xi, yi, zi) Khi no thỡ cú th coi rng h N ht ú cú 3N bc t do? Trng hp n gin nht m ú ta cú th coi nh vy hin nhiờn l trng hp cỏc ht c lp, khụng tng tỏc vi Trong trng hp chỳng tng tỏc vi nhau, tr nờn phc hn nhiu Trong nhiu trng hp, khụng th mụ t y cỏc tng tỏc, bi vỡ cỏc ht tng tỏc vi thong qua cỏc trng Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Do tc truyn tng tỏc l hu hn nờn tng tỏc s b tr, vỡ th s khụng th tớnh toỏn ni, c bit tc chuyn ng ca cỏc ht l ln Khi ú, h c xột phi tớnh n c cỏc trng, v s bc t s thay i Tuy nhiờn, mt s trng hp, chng hn: xột cỏc ht mt vựng khụng gian qua ln v tc chuyn ng ca cỏc ht l nh so vi tc truyn tng tỏc, ta cú th coi rng cỏc ht nhn tng tỏc tc thi Khi Khi ú, ú, cú cú th th coi coi rng rng nu nu mi mi ht ht cú cú kk bc bc t t do thỡ thỡ h h N N ht ht cú cú Nk Nk bc bc t t do, do, tc tc l l h h tho tho món iu iu kin kin nhõn nhõn s s bc bc t t do Trong ton b phn cũn li ca chng ny, ta s ch xột nhng h tho iu kin trờn Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trng thỏi ca h ht Trong biu din to , trng thỏi ca h N ht c mụ t bi hm cú dng: = ( r1 , r2 , rN , t ) (18.1) ú ri coi nh b to ng vi ht th i Chỳ ý rng, nu cỏc ht cú spin thỡ khụng phi hm vụ hng nhn giỏ tr l cỏc s phc, m l hm nhiu thnh phn (v bin i theo mt quy tc nht nh hộp quay khụng gian) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cng nh trng hp mt ht, ta cng nờu yờu cu sau i vi hm trng thỏi: + + nu = (hoc = trng hp hm nhiu thnh phn) thỡ ( r1 , r2 , rN , t ) l mt xỏc sut tỡm thy mi ht th i v trớ ri khụng gian ba chiu hay núi theo kiu toỏn hc h v trớ ( r1 , r2 , rN ) khụng gian 3N chiu ( thi im t) Trong ú, mun tỡm mt xỏc sut tỡm thy ht th i1 v trớ ri1 ht th ik v trớ rik (k < N), cn ly tớch phõn ca ( r1 , r2 , rN , t ) theo khụng gian ca tt c cỏc bin cũn li, tc l: Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ( r1 , r2 , rN , t ) dx j1 dy j1 dz j1 dx jN k dy jN k dz jN k ú, mi ch s jl u khụng nm hp { i1 , i2 , ik } Chng hn, vi N = thỡ xỏc sut tỡm thy ht th nht v trớ r1 (ti thi im t) s l: ( r1 , r2 , rN , t ) dx2 dy dz dx3 dy3 dz ú tớch phõn ly khụng gian chiu ca cỏc biộn s x ; y ; z ; x3 ; y ; z Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Phng trỡnh chuyn ng v s bo ton s ht Cng nh vi mt ht, ta coi rng hm trng thỏi ca h N ht cng tho phng trỡnh Schrửdinger: i = H t ú: (18.2) N p k H = + U k ( rk , t ) + U k j ( rk , r j ) k =1 2m k k ; j =1 N (18.3) Chỳ ý rng (18.3) ta cú p = p k = i k p = i ; i ; i x k y k z k k Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam mk l lng ca ht th k trng ngoi; U kj l th nng tng tỏc gia ht th k v ht th j T phng trỡnh (18.2) v ng thc (18.3), tin hnh vi thao tỏc ging nh trng hp mt ht, ta cng cú: * i = t ( t ) N ( * 2 * k k k =1 m k i Jk = * k k * 2mk N + k J k = t k =1 ( ) ) (18.4) ta cú: (18.5) õy chớnh l phng trỡnh liờn tc ca dũng Cng cú th gi nú l phng trỡnh mụ t s bo ton s ht Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam S bo ton tng nng lng v xung lng Trong C hc lng t, mt i lng c coi l bo ton, nu o hm ca toỏn t tng ng theo thi gian bng Nu L l toỏn t khụng ph thuc tng minh vo thi gian thỡ, nh ta ó bit ta cú: [ L i = L , H t ] Nh vy, i ng L c bo ton, nu hay L giao hoỏn vi H [ L, H ] = Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bõy gi ta xột xung lng ca h N N P = p k = i k k =1 k =1 T ú ta cú [ ] i L, P = U k + U kj U l U l U k + U kj k j k j l k k l (18.6) Ta cú: U k U l l U l l U k = k U k l l (18.7) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tip theo, ta gi thit rng U kj ch ph thuc khong cỏch gia ht th k v ht th j, tc l U kj = U kj (rkj ) Khi ú, U kj ch chu tỏc dng ca k hoc j Mt khỏc, U kj ( k + j ) = ( k + j )U kj = ( k + j )U kj Ta li cú k U kj = jU kj = dU kj drkj k rkj = dU kj r jk drkj rkj = dU kj rkj drkj rkj dU kj rkj drkj rkj (18.8) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam nờn: ( k T ú suy ra: + j )U kj = N dP = k U k dt k =1 (18.9) (18.10) cú ngha l tc bin thiờn tng xung lng bng cỏc lc tỏc dng t phớa trng ngoi lờn cỏc ht Trong trng hp khụng cú trng ngoi, t (18.10) ta cú dP =0 dt , tc l tng xung lng ca h bo ton Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chuyn ng ca tõm Xột h chu tỏc dng ca trng ngoi Khi ú, Hamiltonian ca h cú dng: H = F + U (18.11) N ú F = k k =1 m k U = U kj ( rkj ) k j (18.12) (18.13) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam t: m1 x1 = x1 x m x m1 x1 + m x x3 = m + m m x + + m N x N N = 1 xN m1 + + m N N X = m1 x1 + + m N x N m1 + + m N (18.14) v cỏc ký hiu j, j biu din qua yj, zj (i = 1, .N) ging nh j biu din qua cỏc to xi (N = Y, N = Z) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Rừ rng X, Y, Z cú th coi l ba to tõm ca h Vi cỏc ký hiu ú, d chng minh rng N 1 F = + j j M k =1 j ú: 2 2 + + = 2 X Y Z 2 2 j = + + j j j M = m + + m N 1 = + j m1 + + m j m j +1 (18.15) (18.16) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chỳ ý: N = , X k =1 x k 2 N 2j + U Do ú: H = 2M j =1 j (18.17) ú U bõy gi ph thuc cỏc to mi j, j ,j (j = 1, 2,,N-1) Nu t: T = 2M T ' = 2j j =1 j (18.18) N (18.19) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam thỡ cú th gi T l toỏn t ng nng ca tõm, cũn T ' l toỏn t ng nng chuyn ng tng i ca cỏc ht Chỳ ý rng, phn nng lng tng tỏc ca cỏc ht khụng cú mt cỏc to tõm, ú thỡ T li ch liờn quan n cỏc to tõm Vỡ vy: H = T + H ' (18.20) ú T ch cha cỏc phộp ly o hm theo to tõm cũn H ' ch lien quan n chuyn ng tng i v tng tỏc gia cỏc ht Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tip theo, vỡ N = , X j =1 x j nờn cỏc to ca tng xung lng s l: Px = i , PY = i , Pz = i X Y Z Bõy gi ta cng coi hm trng thỏi l hm ca X, Y, Z v cỏc bin j, j ,j (j = 1, 2,,N-1) v tỡm nghim ca phng trỡnh (18.2) dng: = ( X , Y , Z , t ) ( , N , t ) (18.21) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi ú: 2 i + i = + H ' t t 2M Chia hai v phng trỡnh ny cho v so sỏnh cỏc s hng cú cựng b bin s hai v vi nhau, ta c hai phng trỡnh: 2 i = t 2M i = H ' t (18.22) (18.23) Phng trỡnh (18.22) chớnh l phng trỡnh chuyn ng ca khI tõm, cũn (18.23) l phng trỡnh chuyn ng tng i Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta cng thy rng (18.22) l phng trỡnh chuyn ng t ca ht vI lng M Nghim n gin nht ca nú ng nhiờn cú dng: = C.e ú ( i Et PR ) R = ( X , Y , Z ) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam [...]...Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 4 Sự bảo toàn tổng năng lượng và xung lượng Trong Cơ học lượng tử, một đại lượng được coi là bảo toàn, nếu đạo hàm của toán tử tương ứng theo thời gian bằng 0 Nếu Lˆ là toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì, như ta đã biết ta có: [ ∂Lˆ i = − Lˆ , Hˆ ∂t  ] Như vậy, đại ượng L được bảo... drkj rkj dU kj rkj drkj rkj (18. 8) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam nên: (∇ k Từ đó suy ra: + ∇ j )U kj = 0 ˆ N dP = −∑ ∇ k U k dt k =1 (18. 9) (18. 10) có nghĩa là tốc độ biến thiên tổng xung lượng bằng các lực tác dụng từ phía trường ngoài lên các hạt Trong trường hợp không có trường ngoài, từ (18. 10) ta có ˆ dP =0 dt , tức là tổng xung lượng của hệ bảo toàn Hong... N  1 1 1 = + µ  j m1 + + m j m j +1 (18. 15) (18. 16) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú ý: N ∂ ∂ =∑ , ∂X k =1 ∂x k 2 2 N   ∇2 − ∑ ∇ 2j + U Do đó: Hˆ = − 2M j =1 2 µ j (18. 17) trong đó U bây giờ phụ thuộc các toạ độ mới ςj, ζj ,ξj (j = 1, 2,…,N-1) Nếu đặt: 2  Tˆ = − ∇2 2M 2  Tˆ ' = −∑ ∇ 2j j =1 2 µ j (18. 18) N (18. 19) Hong Duc University 307 Le Lai Str... hai phương trình: ∂Φ 2 2 i =− ∇ Φ ∂t 2M ∂ψ i = Hˆ 'ψ ∂t (18. 22) (18. 23) Phương trình (18. 22) chính là phương trình chuyển động của khốI tâm, còn (18. 23) là phương trình chuyển động tương đối Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta cũng thấy rằng (18. 22) là phương trình chuyển động tự do của hạt vớI khối lượng M Nghiệm đơn giản nhất của nó đương nhiên có dạng: Φ... Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam thì có thể gọi Tˆ là toán tử động năng của khối tâm, còn Tˆ ' là toán tử động năng chuyển động tương đối của các hạt Chú ý rằng, trong phần năng lượng tương tác của các hạt không có mặt các toạ độ khối tâm, trong khi đó thì Tˆ lại chỉ liên quan đến các toạ độ khối tâm Vì vậy: Hˆ = Tˆ + Hˆ ' (18. 20) trong đó Tˆ chỉ chứa các phép lấy đạo hàm theo toạ độ khối tâm... dạng: 2  Hˆ = − Fˆ + U 2 (18. 11) N trong đó 1 2 ˆ F =∑ ∇k k =1 m k U = ∑ U kj ( rkj ) k≠ j (18. 12) (18. 13) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đặt: m1 x1  ξ1 = x1 − x 2 ≡ m − x 2 1   m1 x1 + m 2 x 2 − x3 ξ 2 = m + m 1 2    m x + + m N −1 x N −1 ξ N −1 = 1 1 − xN m1 + + m N −1   ξ N ≡ X = m1 x1 + + m N x N  m1 + + m N (18. 14) và các ký hiệu ςj,... Viet nam Tiếp theo, vì N ∂ ∂ =∑ , ∂X j =1 ∂x j nên các toạ độ của tổng xung lượng sẽ là: ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ Px = −i , PY = −i , Pz = −i ∂X ∂Y ∂Z Bây giờ ta cũng coi hàm trạng thái là hàm của X, Y, Z và các biến ςj, ζj ,ξj (j = 1, 2,…,N-1) và tìm nghiệm của phương trình (18. 2) ở dạng: Ψ = Φ ( X , Y , Z , t )ψ ( ξ1 , ζ N , t ) (18. 21) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam... Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta xét xung lượng của hệ N ˆ N  P = ∑ pˆ k = −i ∑ ∇ k k =1 k =1 Từ đó ta có [ ]   i ˆ ˆ     L, P =  ∑ U k + ∑ U kj  ∑ U l  −  ∑ U l  ∑ U k + ∑ U kj   k≠ j k≠ j   l  k  k  l  (18. 6) Ta có:     U k  ∑ U l ∇ l  −  ∑ U l ∇ l U k = ∇ k U k  l   l  (18. 7) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh ... hoa, Viet nam Sự bảo toàn tổng lượng xung lượng Trong Cơ học lượng tử, đại lượng coi bảo toàn, đạo hàm toán tử tương ứng theo thời gian Nếu Lˆ toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian... =1 µ j (18. 18) N (18. 19) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam gọi Tˆ toán tử động khối tâm, Tˆ ' toán tử động chuyển động tương đối hạt Chú ý rằng, phần lượng. .. Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 18 HỆ NHIỀU HẠT SỰ BẢO TOÀN SỐ HẠT, TỔNG NĂNG LƯỢNG VÀ XUNG LƯỢNG Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa,