Xử lý tín hiệu số phần 2

Chương IV Chương PHÂN TÍCH TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ Trong chương III ta thấy phép biến đổi Z công cụ toán học hiệu việc phân tích hệ thống rời rạc LTI Trong chương này, ta tìm hiểu công cụ toán học quan trọng khác phép biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc, gọi tắt DTFT (DT-Fourier Transform) Phép biến đổi áp dụng để phân tích cho tín hiệu hệ thống Nó dùng trường hợp dãy rời rạc dài vô hạn không tuần hoàn Nội dung chương bao gồm: - Biến đổi Fourier - Biến đổi Fourier ngược - Các tính chất biến đổi Fourier - Phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc (cách gọi thông dụng phân tích phổ) - Phân tích tần số cho hệ thống rời rạc 4.1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 4.1.1 Biểu thức tính biến đổi Fourier Ta biết biểu diễn tín hiệu rời rạc tạo cách lấy mẫu tín hiệu tương tự dạng sau đây: xs (t ) = ∞ ∑ x(kT )δ (t − kT ) k =−∞ Bây ta tính biến đổi Fourier cho tín hiệu Các bước sau: Tính biến đổi Fourier δ (t − kT ) Sử dụng nguyên lý xếp chồng, tìm biến đổi Fourier xs (t ) F xs (t ) ↔ ∞ ∑ x(nT )e − jnωT n =−∞ Đặt x(nT ) = x[n] thay biến Ω = ωT (xem lại chương I, lưu ý đơn vị Ω [rad] ω [rad/s]), ta được: DTFT : X (Ω) = ∞ ∑ x[n]e − jΩn n =−∞ Ta nhận xét thấy tín hiệu rời rạc miền thời gian DTFT lại liên tục tuần hoàn miền tần số - 67 - Chương IV DTFT hàm phức theo biến tần số thực Ta gọi DTFT phổ phức (complex spectrum) hay ngắn gọn phổ tín hiệu rời rạc x[n] 4.1.2 Sự hội tụ phép biến đổi Fourier Không phải tất DTFT tồn (hội tụ) DTFT hội tụ khi: ∞ ∑ x[n]e − jΩn ? Ví dụ: Tìm Y (Ω) với y[n] = a nu[− n] , | a |> Nếu | a |< ? - 68 - − jΩn Chương IV Ví dụ: Cho p[n] = u[n] − u[n − N ] Tìm P (Ω) Hãy chứng tỏ biến đổi Fourier có pha tuyến tính (linear phase) Ví dụ: Tìm H (Ω) hệ LTI có đáp ứng xung sau h[n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + 2δ [n − 2] + δ [n − 3] Và chứng tỏ hệ có pha tuyến tính 4.1.4 Quan hệ biến đổi Z biến đổi Fourier Biểu thức tính ZT là: X(z) = ∞ ∑ x[n]z −n n = −∞ Giả sử ROC có chứa đường tròn đơn vị Tính X(z) đường tròn đơn vị, ta được: X(z) z =e jΩ = ∞ ∑ x[n]e − jΩn = X (Ω) n = −∞ Như vậy, biến đổi Fourier biến đổi Z tính đường tròn đơn vị Dựa vào đây, ta phát biểu lại điều kiện tồn DTFT sau: - 69 - Chương IV Biến đổi Fourier tín hiệu tồn ROC biến đổi Z tín hiệu có chứa đường tròn đơn vị Ví dụ: Làm lại ví dụ trên- Tìm biến đổi Fourier của: (a) x[n] = a n u[n] , | a |< Nếu | a |> ? (b) y[n] = a nu[− n] , | a |> Nếu | a |< ? (c) p[n] = u[n] − u[n − N ] (d) h[n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + 2δ [n − 2] + δ [n − 3] 4.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯỢC 4.2.1 Biểu thức tính biến đổi Fourier ngược Ta thấy X(Ω) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π , e jΩ tuần hoàn với chu kỳ 2π : e jΩ = e j ( Ω+ 2π ) = e jΩ e j 2π = e jΩ Do dải tần số tín hiệu rời rạc dải tần rộng 2π , thường chọn là: (−π, π) hay (0,2π) Vậy ta khai triển X(Ω) thành chỗi Fourier khoảng (−π, π) hay (0,2π) điều kiện tồn X(Ω) thỏa mãn Các hệ số Fourier x[n], ta tính x[n] từ X(Ω) theo cách sau: jΩl e lấy tích phân khoảng (− π, π) ta có: 2π π π ∞ ⎡ π jΩ ( l − n ) ⎤ 1 ⎡ ∞ − jΩn ⎤ jΩl jΩl X ( Ω ) e d Ω = x [ n ] e e d Ω = x [ n ] ∑ ∑ ⎢ 2π ∫ e dΩ⎥ = x[l] ⎥ 2π −∫π 2π −∫π⎢⎣ n =−∞ n = −∞ ⎦ ⎣ −π ⎦ Nhân vế biểu thức tính DTFT với Thay l = n thay cận tích phân, không thiết phải (− π, π) mà cần khoảng cách cận 2π , ta biểu thức tính biến đổi Fourier ngược (IDTFT) sau: - 70 - Chương IV x[n] = 2π ∫ π X (Ω )e jΩn dΩ Ta tính IDTFT hai cách: tính trực tiếp tích phân trên, hai chuyển biến đổi Z tính tính biến đổi Z ngược Tùy vào trường hợp cụ thể mà ta chọn phương pháp cho thuận tiện 4.2.2 Một số ví dụ tính biến đổi Fourier ngược Ví dụ: Tìm x[n] biết: ⎧⎪1, Ω ≤ Ω c X (Ω) = ⎨ ⎪⎩0, Ω c < Ω < π Ví dụ: Tìm x[n] biết: X(Ω) = cos Ω - 71 - Chương IV 4.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Sau ta xét số tính chất quan trọng DTFT, phần lại xem sách 4.3.1 Tính tuyến tính ax1[n] + bx2 [n] ←→ aX (Ω) + bX (Ω) 4.3.2 Tính dịch thời gian x[n] ←→ X (Ω) x[n − n0 ] ←→ e − jΩn0 X (Ω) Qua ta thấy dịch chuyển tín hiệu miền thời gian không ảnh hưởng đến biên độ DTFT, nhiên pha cộng thêm lượng 4.3.3 Tính dịch tần số/ điều chế x[n] ←→ X (Ω) e jΩ0n x[n ] ←→ X(Ω − Ω ) cos(Ω n ) x[n ] ←→ 1 X (Ω − Ω ) + X (Ω + Ω ) 2 Như vậy, việc điều chế tín hiệu gây dịch tần số - 72 - Chương IV 4.3.4 Tính chập thời gian Tương tự biến đổi Z, với biến đổi Fourier ta có: F x1[n] ∗ x2 [n] ←→ X (Ω) X (Ω) Ví dụ: Cho h[n] = a nu[n],| a |< Tìm hệ đảo hi [n] , không dùng biến đổi Z 4.3.5 Tính nhân thời gian x [n ].x [n ] ←→ X (λ)X (Ω − λ)dλ 2π ∫2 π 4.4 PHÂN TÍCH TẦN SỐ (PHỔ) CHO TÍN HIỆU RỜI RẠC 4.4.1 Ý nghĩa phổ Trong miền tần số, tín hiệu có đặc điểm riêng Ví dụ như, tín hiệu sin có tần số đơn, nhiễu trắng chứa tất thành phần tần số Sự biến thiên chậm tín hiệu tần số thấp, biến thiên nhanh sườn nhọn tần số cao Như xung vuông chẳng hạn, chứa tần số thấp tần số cao Hình sau minh họa cho điều Hình (a) sóng sin tần số thấp, hình sau (b)-(c) cộng thêm dần sóng sin tần số cao dần Hình cuối (e) tổng sóng sin Trong hình (e) ta thấy tổng sóng sin có dạng xấp xỉ với dạng xung vuông Phổ tín hiệu mô tả chi tiết thành phần tần số chứa bên tín hiệu Ví dụ với tín hiệu xung vuông vừa nói trên, phổ tất đỉnh nhọn sóng sin riêng kết hợp lại với tạo xung vuông Thông tin quan trọng nhiều lý Ví dụ như, thành phần tần số mẩu nhạc cho ta biết đặc trưng loa, để từ sản xuất lại ta cải tiến cho hay Một ví dụ khác, micro hệ thống nhận dạng tiếng nói phải có dải tần đủ rộng để bắt tất tần số quan trọng tiếng nói đầu vào Để dự đoán ảnh hưởng lọc tín hiệu, cần phải biết không chất lọc mà phải biết phổ tín hiệu - 73 - Chương IV 4.4.2 Phổ biên độ phổ pha Phổ tín hiệu gồm có hai phần: phổ biên độ (magnitude spectrum) phổ pha (phase spectrum) Phổ biên độ độ lớn hành phần tần số Phổ pha quan hệ pha thành phần tần số khác Trong phần này, ta xét tín hiệu rời rạc không tuần hoàn Công cụ để tính phổ tín hiệu rời rạc không tuần hoàn DTFT Để tính phổ tín hiệu, ta qua hai bước: tính DTFT tín hiệu- X(Ω) , hai tính biên độ pha X(Ω) : X ( Ω ) = X ( Ω ) e jθ ( Ω ) | X(Ω) | phổ biên độ θ(Ω) phổ pha Ta dễ dàng chứng minh tín hiệu thực, phổ biên độ hàm chẵn theo tần số Ω phổ pha hàm lẻ theo Ω Do đó, biết phổ X(Ω) khoảng đến π , ta suy phổ toàn dải tần số - 74 - Chương IV Để dễ giải thích phổ, tần số số Ω từ đến π thường chuyển đổi thành tần số tương tự f từ đến fS/2 tần số lấy mẫu fS Ví dụ: Tìm phổ biên độ phổ pha tín hiệu chữ nhật: x[n] = u[n] - u[n-4] Ví dụ: Một mẩu nguyên âm tiếng nói “eee” lấy mẫu tần số kHz Phổ biên độ tín hiệu hình Hỏi tần số tín hiệu bao nhiêu? - 75 - Chương IV 4.4.3 Mật độ phổ lượng Năng lượng tín hiệu x[n] định nghĩa là: ∞ ∑ | x[n ] | E= n = −∞ Bây ta biểu diễn lượng theo phổ: ⎡1 π * ⎤ − jΩn E = ∑ x[n ]x [n ] = ∑ x[n ]⎢ Ω Ω X ( ) e d ⎥ ∫ n = −∞ n = −∞ ⎣ 2π − π ⎦ ∞ ∞ * Thay đổi thứ tự lấy tổng tích phân, ta có: π π 1 ⎡ ∞ ⎤ * E= X ( ) x[n ]e − jΩn ⎥dΩ = Ω X ( Ω ) dΩ ∑ ⎢ ∫ ∫ 2π − π 2π − π ⎣ n = −∞ ⎦ Vậy quan hệ lượng x[n] X(Ω) là: E= ∞ ∑ | x[n ] |2 = n = −∞ π X(Ω) dΩ (quan hệ Parseval) ∫ 2π − π Đại lượng S xx (Ω) = X(Ω) gọi mật độ phổ lượng Ví dụ: Xác định mật độ phổ lượng tín hiệu sau: x[n] = an u[n] với -1 < a < 4.4.4 Băng thông Băng thông (bandwidth) dải tần số tập trung hầu hết lượng (công suất) tín hiệu Giả sử 95% lượng tín hiệu tập trung dải tần số F1 ≤ F ≤ F2 , ta nói băng thông 95% tín hiệu F2 − F1 Ta định nghĩa băng thông 75%, băng thông 90%, băng thông 99% theo kiểu tương tự băng thông 95% nói Dựa vào băng thông tín hiệu, ta phân loại tín hiệu sau: Nếu lượng tín hiệu tập trung quanh tần số tín hiệu tần số thấp (low-frequency signal) Nếu lượng tín hiệu tập trung miền tần số cao tín hiệu cao tần (highfrequency signal) - 76 - Chương V Ví dụ: Cho y[n] = δ [n − 2] N = Tìm Y [k ] Ví dụ: Cho x[n] = cWN− pn , n = 0,1,…, N − , với p số nguyên p ∈ [0,1,…, N − 1] WN = e Tìm DFT x[n] − j 2Nπ 5.2.2 Biểu thức tính biến đổi Fourier rời rạc ngược Trong mục này, ta thiết lập công thức khôi phục x[n] từ X [k ] Sự khôi phục gọi tổng hợp hay DFT ngược (IDFT) Từ biểu thức tính DTFT ngược thiết lập mục 5.2.1 tính tương hỗ miền thời gian tần số, ta suy biểu thức tính IDFT sau: x[n] = N N −1 ∑ X [k ]W k =0 − kn N - 98 - , n = 0,1,…, N − Chương V Sau ta chứng minh điều đúng: x[n] = = N N −1 N −1 ∑ ∑ x[l ]W k =0 l =0 WN− kn kl N N −1 N −1 [ ] x l WNk (l − n ) ∑ ∑ N l =0 k =0 Ta có N −1 ∑W k =0 k (l −n ) N ⎧N, l = n =⎨ ⎩ 0, l ≠ n Thay kết vào x[n] ta có biểu thức tính IDFT N −1 N −1 [ ] x l WNk (l − n ) = ∑ ∑ N l =0 N k =0 = ( Nx[n]) = x[n] N x[n] = N −1 ∑ x[l ]Nδ [n − l ] l =0 Ví dụ: Tìm IDFT X [k ] = 1, k = 0,1,…, Ví dụ: Cho x[n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + 3δ [n − 2] + δ [n − 3] N = , tìm X [k ] - 99 - Chương V Ví dụ: Cho X [k ] = 2δ [k ] + 2δ [k − 2] N = , tìm x[n] 5.2.3 Chọn số mẫu tần số N Qua mục 5.2.1 ta thấy biểu thức tính DFT thành lập từ việc lấy mẫu DTFT với số mẫu N Số mẫu N số mẫu tín hiệu rời rạc miền thời gian độ dài cửa sổ DFT, nói ngắn gọn số mẫu tần số số mẫu thời gian Ví dụ: Cho tín hiệu x[n] hình bên Tính vẽ hai loại phổ biên độ | X(Ω) | |X[k]| đồ thị Xem đồ thị ta thấy rõ ràng rằng: mẫu |X[k]| với | X(Ω) | tần số - 100 - Chương V Việc chọn N ảnh hưởng đến độ phân giải phổ rời rạc Chọn N lớn, độ phân giải tốt, nghĩa khoảng cách hai vạch phổ cạnh X[k] X[k+1] nhỏ, nghĩa đường bao phổ rời rạc X[k] gần với hình ảnh phổ liên tục | X(Ω) | Để việc tăng N không làm ảnh hưởng đến kết quả, ta kéo dài tín hiệu miền thời gian cách chèn thêm mẫu (zero-padding) vào phía cuối tín hiệu Ví dụ: Cho x[n] = u[n] − u[n − 5] Tìm X[k] với N sau: (a) N = - 101 - Chương V (b) N = 10 5.2.4 Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc Hầu hết tính chất DFT tương tự tính chất DTFT, có vài điểm khác Điểm khác DFT chu kỳ trích từ dãy DFS tuần hoàn với chu kỳ N Bây ta thay đổi ký hiệu, ký hiệu x%[n] dãy tuần hoàn chu kỳ N, x[n] chu kỳ trích từ x%[n] : x%[n] = x[n] ∗ = ∞ ∑ δ [n − kN ] k =−∞ ∞ ∑ x[n − kN] k = −∞ - 102 - Chương V Dịch vòng Nếu DFT x[n] ↔ X [k ] DFT x[n − m] ↔ W km X[k ] với WN = e − j 2Nπ Ví dụ: Dịch vòng m mẫu cho kết trùng với dich vòng (m mod N) mẫu Tổng chập vòng DFT , N x1[n] ⊗ x2 [n] ↔ X 1[k ] X [k ] đây: N −1 y[n] = x1[n] ⊗ x2 [n] = ∑ x1[ p]x2 [n − p]mod N p =0 Dấu ⊗ ký hiệu tổng chập vòng Nhắc lại công thức tổng chập tuyến tính: y[n] = x1[n] ∗ x2 [n] = ∞ ∑ p =−∞ - 103 - x1[ p ]x2 [n − p] Chương V Thoạt nhìn, ta thấy biểu thức tính tổng chập vòng giống tổng chập tuyến tính Tuy nhiên, hai phép chập khác điểm sau đây: - Phép chập vòng áp dụng cho hai dãy dài hữu hạn nhau, kết dãy chiều dài, nghĩa x1[n] , x2 [n] , and y[n] có chiều dài N Trong đó, phép chập tuyến tính áp dụng cho hai dãy có chiều dài bất kỳ: x1[n] dài N x1 , x2 [n] dài N x1 y[n] dài - Phép dịch tổng chập vòng phép dịch vòng, khác với phép dịch tổng chập tuyến tính phép dịch tuyến tính Vì điểm khác nên kết tổng chập vòng tổng chập tuyến tính hai dãy không trùng Tuy nhiên, ta có cách làm cho hai kết trùng sau: - Chuyển tổng chập tuyến tính sang miền tần số: Y(Ω) = X (Ω).X (Ω) - Lấy mẫu Y(Ω) với số mẫu N ≥ N y = N x1 + N x − , ta được: Y[k ] = X[k ].H[k ] - Tính DFT ngược, ta được: y[n] = x[n] * h[n] chiều dài y[n] , x[n] h[n] là: N ≥ N y = N x1 + N x − Như vậy, cách kéo dài tín hiệu x1[n] x2[n] đến chiều dài N ≥ N y = N x1 + N x − lấy chập vòng, ta hai kết tổng chập vòng chập tuyến tính trùng nhau: y[n ] = x [n ] ∗ x [n ] = x [n ] ⊗ x [n ] Ví dụ: Tìm x1[n] ⊗ x2 [n] = z[n] , với x1[n] = [1, 2, 0, 0] , x2 [n] = [1,1, 0, 0] N = Kết có trùng với tổng chập tuyến tính không? - 104 - Chương V Ví dụ: Tìm y[n] = x[n] ⊗ x[n] , với x[n] = [1, 0,1,1] hai trường hợp: (a) N = (b) N = N đủ để tổng chập vòng trùng với tổng chập tuyến tính? 5.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA DFT Phần giới thiệu sơ lược số ứng dụng DFT thực tế 5.3.1 Phân tích phổ tín hiệu Trong chương trước, ta biết ý nghĩa phổ việc phân tích tín hiệu, từ phổ tín hiệu ta biết số thông tin cần thiết Để tìm phổ tín hiệu (cả liên tục rời rạc), ta cần phải biết giá trị tín hiệu tất thời điểm Tuy nhiên thực tế, ta quan sát tín hiệu khoảng thời gian hữu hạn nên phổ tính xấp xỉ phổ xác DFT ứng dụng hiệu việc tính toán phổ xấp xỉ Trong thực tế, tín hiệu cần phân tích tín hiệu liên tục, trước hết ta cho tín hiệu qua lọc chống chồng phổ lấy mẫu với tần số Fs ≥ 2B , với B băng thông tín hiệu sau lọc Như vậy, tần số cao chứa tín hiệu rời rạc Fs/2 Sau đó, ta phải giới hạn chiều dài tín hiệu khoảng thời gian T0 = LT, với L số mẫu T khoảng cách hai mẫu Cuối cùng, ta tính DFT tín hiệu rời rạc L mẫu Như trình bày trên, muốn tăng độ phân giải phổ rời rạc, ta tăng chiều dài DFT cách bù thêm số vào cuối tín hiệu rời rạc trước tính DFT Ví dụ sau minh họa ứng dụng DFT việc phân tích phổ tín hiệu điện tâm đồ (ECG): Hình vẽ (a) đồ thị 11 nhịp tim bệnh nhân 11 nhịp tim xuất khoảng thời gian giây, tương đương với 11/9 = 1.22 nhịp giây, hay 73 nhịp phút Hình (b) chi tiết nửa đầu nhịp tim thứ tư Hình (c) đoạn phổ biên độ DFT có sau lấy mẫu đoạn 11 nhịp tim (a) với tần số lấy mẫu kHz Nhìn (c) ta thấy có hai điểm biên độ cao xuất tần số 88 Hz - 105 - Chương V 235 Hz Để tìm hiểu phổ kỹ hơn, ta tính DFT tín hiệu hình (b)- phổ thể hình (d), ta thấy rõ hai điểm biên độ cao tần số 88 Hz 235 Hz bên nhịp tim Tuy nhiên, ta không thấy tần số lặp lại nhịp tim 1.22 Hz DFT hình (c) Hình (e) giải thích rõ điều Nó phiên mở rộng đỉnh nhọn dải tần từ 60 Hz đến 100 Hz Trong tần số 1.22 Hz nhỏ nên không thấy rõ hình (c) hình (e) này, ta thấy rõ hài tần số 1.22 Hz thấy rõ khoảng cách hai đỉnh nhọn 1.22 Hz 5.3.2 Tính tín hiệu hệ thống rời rạc LTI Tín hiệu hệ thống rời rạc LTI tính cách chập tín hiệu vào với đáp ứng xung hệ thống: y[n ] = x[n ] ∗ h[n ] Ta có hai cách để tính tổng chập này: tính trực tiếp, hai tính thông qua tổng chập vòng phân tích mục 5.2.4 Cách tính qua tổng chập vòng có lợi mặt thời gian Lý tổng chập vòng tính thông qua DFT, mà DFT tính nhanh nhờ thuật toán tính nhanh FFT Để tính y[n], ta thực theo bước sau đây: - Kéo dài x[n] đến độ dài N = Nx + Nh - - 106 - Chương V - Kéo dài h[n] đến độ dài N = Nx + Nh - - Tính DFT x[n] N mẫu, ta X[k] - Tính DFT h[n] N mẫu, ta H[k] - Nhân X[k] với H[k], ta Y[k]: Y[k] = X[k].H[k] - Tính DFT ngược Y[k], ta y[n] Việc tính DFT DFT ngược thực nhờ thuật toán tính nhanh DFT, gọi FFT (Fast Fourier Transform) Phần sau trình bày thuật toán FFT 5.4 TÍNH NHANH DFT BẰNG THUẬT TOÁN FFT DFT ứng dụng rộng rãi xử lý tín hiệu rời rạc/ số nên nhiều nhà toán học, kỹ sư… quan tâm đến việc rút ngắn thời gian tính toán Năm 1965, Cooley Tukey tìm thuật toán tính DFT cách hiệu gọi thuật toán FFT Cần lưu ý FFT phép biến đổi mà thuật toán tính DFT nhanh gọn Để đánh giá hiệu thuật toán, ta sử dụng số phép tính nhân cộng phức Số phép nhân cộng phức liên quan trực tiếp đến tốc độ tính toán thuật toán thực máy tính xử lý chuyên dụng 5.4.1 Hiệu tính toán FFT Công thức tính DFT dãy dài N: N −1 X [k ] = ∑ x[n]W kn n =0 Qua ta thấy để tính giá trị DFT ta cần N phép nhân cộng phức Để tính toàn DFT ta cần N phép nhân cộng phức Tuy nhiên, tính DFT nhờ thuật toán FFT số phép nhân cộng phức giảm xuống N2 log N Ví dụ N = 210 = 1024 tính trực tiếp DFT cần N = 220 = 106 phép nhân cộng phức, tính qua FFT số phép nhân cộng phức giảm xuống N2 log N = 5120 Số phép tính giảm gần 200 lần! Hình sau cho thấy rõ hiệu thuật toán FFT: 10000 Number of Operations 8000 6000 4000 2000 0 20 40 60 N, Size of DFT or FFT - 107 - 80 100 Chương V Có nhiều thuật toán FFT khác bao gồm FFT phân chia theo thời gian FFT phân chia theo tần số Trong phần ta tập trung vào thuật toán FFT số ( N = 2i where i is an integer ) phân chia theo thời gian 5.4.2 Nguyên tắc FFT Nguyên tắc mà thuật toán FFT dựa vào phân chia DFT N mẫu thành DFT nhỏ cách liên tục: Với N = 2i, ta phân chia DFT N mẫu thành DFT N2 mẫu, sau phân chia DFT N N mẫu thành DFT mẫu tiếp tục DFT dài N = Việc tính DFT nhỏ rõ ràng cần phép tính nhân cộng phức Trước tiên, chia x[n] thành dãy chẵn lẻ: X [k ] = ∑ x[n]W + ∑ x[n]W kn kn neven nodd Đặt n = 2m với n chẵn n = 2m + với n lẻ: N −1 X [k ] = ∑ x[2m]W mk m=0 N −1 ∑ x[2m](W ) mk N −1 + ∑ x[2m + 1]W k (2 m +1) = m=0 +W m=0 k N −1 ∑ x[2m + 1](W mk ) = m =0 X [k ] = X e [k ] + W k X o [k ] = G[k ] + W k H [k ] X e [k ] X o [k ] DFT Tiếp theo chia dãy N N mẫu mẫu x[2m] làm đôi cách đặt m = p : N −1 X e [k ] = ∑ x[4 p](W ) + W kp 2k p =0 N −1 ∑ x[4 p + 2](W ) = kp p =0 Thực tương tự cho dãy x[2m+1] Ví dụ: N = Quá trình phân chia DFT mẫu thành DFT nhỏ minh họa lưu đồ Đầu tiên, chia x[n] thành dãy con, dãy thứ dãy chẵn x[0], x[2], x[4], x[6] dãy thứ hai dãy lẻ x[1], x[3], x[5], x[7] Tiếp theo, chia dãy chẵn thành dãy con, dãy thứ x[0], x[4] dãy thứ hai x[2], x[6] Tương tự, dãy lẻ chia thành dãy con, dãy x[1], x[5] dãy x[3], x[7] Các DFT mẫu tính đơn giản sau: G[k ] = ∑ g[n ]W , ≤ k ≤ 1, W = e nk −j 2π = −1 n =0 ⇒ G[0] = g[0]W 0.0 + g[1]W 1.0 = g[0] + g[1] G[1] = g[0]W 0.1 + g[1]W 1.1 = g[0] − g[1] - 108 - (chỉ cần phép cộng trừ) Chương V - 109 - Chương V FFT sở: A “Butterfly” WNr WN(r + N/2) Lưu ý: WN(r + N/2) giản sau: = WN N/2 WNr = -1 WNr = - WNr , vẽ lại lưu đồ FFT đơn - 110 - Chương V Phụ lục Summary: The Common Types of Fourier Transforms Continuous in Time x(t ) Discrete in Time x[n] = Aperiodic in Frequency = Periodic in Frequency Fourier Series (FS): Periodic in Time, = Discrete in Frequency ak = x(t )e− jkω0t dt ∫ T T x(t ) = ∞ ∑ae k =−∞ k Discrete Fourier Series (DFS) and Discrete Fourier Transform (DFT): N −1 X [k ] = ∑ x[n]WNkn , ≤ k ≤ N − jkω0t n=0 x[n] = N −1 N ∑ X [k ]W k =0 where WN = e Aperiodic in Time, = Continuous in Frequency Fourier Transform (FT): ∞ X (ω ) = ∫ x(t )e − jωt dt −∞ ∞ x(t ) = ∫ X (ω )e −∞ − jωt − j 2Nπ , ≤ n ≤ N −1 Discrete-Time Fourier Transform (DTFT): X (Ω) = dt − kn N ∞ ∑ x[n]e − jΩn n =−∞ x[n] = 2π - 111 - ∫ π X (Ω)e jΩn dΩ Chương V Phụ lục Some Fourier Relationships The Fourier transform is the Laplace transform evaluated on the j∞ axis ∞ ∞ X (ω ) = ∫ x(t )e − jωt dt = X ( s ) s = jω = ⎡ ∫ x(t )e− st dt ⎤ ⎢⎣ −∞ ⎥⎦ s = jω −∞ The discrete-time Fourier transform is the z-transform evaluated around the unit circle X (Ω) = ⎡ ∞ − jΩn −n ⎤ x [ n ] e X ( z ) = = j Ω ∑ ⎢ ∑ x[n]x ⎥ jΩ z =e n =−∞ ⎣ n =−∞ ⎦ z =e ∞ Discrete-time periodic signals can also be described by a Fourier Series expansion: x[n] = ∑ ak e jk Ω0 n ∑ x[n]e − jk Ω0 n k∈< N > synthesis equation and ak = N analysis equation n∈< N > then using the DTFT of the impulse train, P (Ω) that we previously found, the DTFT of an arbitrary discrete-time periodic signal can be found from X (Ω) the DTFT of one period x0 [n] ⎛ 2π X (Ω) = X (Ω) ⎜ ⎝ N = 2π N ∑X k ( ∑ δ (Ω − k 2π k ⎞ ) N ⎟⎠ 2π k 2π k )δ (Ω − ) N N The DFT is simply a scaled version of the terms of one period of the discrete time Fourier transform for a periodic sequence: X [k ] = X ( for Ω = 2π k N N −1 2π k ) = ∑ x[n]WNkn , ≤ k ≤ N − N n=0 , k = 0,1,…, N − , i.e only look at the N distinct sampled frequencies of X (Ω) Also important, the orthogonality of exponentials: N −1 ∑W n=0 where WN = e − j 2Nπ kn N = Nδ [k ] - 112 - [...]... vào biểu thức này, ta được: ⎛ 2 X (Ω) = X 0 (Ω) ⎜ ⎝ N = 2 N ∑X 0 ( k ∑ δ (Ω − k 2 k ⎞ ) N ⎟⎠ 2 k 2 k )δ (Ω − ) (t/c nhân với một xung) N N ở đây X 0 ( 2Nπ k ) có N giá trị phân biệt, nghĩa là k = 0,1 ,2, , N − 1 Biểu thức tính DTFT ngược là: x[n] = = 1 2 ∫π 1 N ∑ 2 X (Ω)e jΩn d Ω = ∞ k =−∞ X0( 1 2 ∫ 2 0 [ 2 N ∞ ∑ k =−∞ X0( 2 k 2 k jΩn )δ (Ω − )]e d Ω N N 2 k 2 2 k jΩn 1 ) ∫ δ (Ω − )e d Ω... so sánh với công thức chuỗi Fourier ở trên, ta được: ak = 1 ⎛ 2 k ⎞ X0 ⎜ ⎟ với k = 0,1 ,2, , N − 1 N ⎝ N ⎠ - 91 - ( 2 k j 2Nπ kn )e N Chương V Tóm lại, ta có: x[n] = x0 [n] ∗ ∞ ∑ δ [n − kN ] k =−∞ N −1 X 0 (Ω) = ∑ x0 [n]e − jΩn n =0 X (Ω) = 2 N x[n] = ∞ ∑ X0( k =−∞ 2 k 2 k )δ (Ω − ) N N N −1 1 N ∑X k =0 ak = 0 ( 2 k j 2Nπ kn )e N 1 2 k X0( ) N N Vậy, để tính DTFT X (Ω) của tín hiệu x[n] rời rạc... trường hợp tín hiệu vào có dạng sin/cos Ví dụ: Xác định đầu ra của hệ thống có đáp ứng xung là: h[n ] = (1 / 2) n u[n ] khi đầu vào có dạng: (a) x[n ] = Ae π j n 2 1 2 − j26.60 ⎛π⎞ , − ∞ < n < ∞ Cho biết H⎜ ⎟ = = e 1 5 ⎝ 2 ⎠ 1+ j 2 (b) x[n ] = 10 − 5 sin π n + 20 cos πn, − ∞ < n < ∞ 2 - 79 - Chương IV 2 Eigenfunction và eigenvalue Nếu ta có tín hiệu vào và tín hiệu ra có thể phân tích thành các hàm cơ sở... ngược: x[n] = 1 2 ∫ = 1 2 ∫ < 2 > Ω 0 +π Ω0 −π X (Ω)e jΩn d Ω 2 δ (Ω − Ω0 )e jΩn d Ω = e j Ω0 n Kết hợp kết quả DTFT của e jΩ0 n với khai triển chuỗi Fourier của x[n], tương tự như với tín hiệu liên tục, ta được: F x[n] ↔ 2 ∞ ∑ ∑ a δ (Ω − k Ω k∈< N > l =−∞ = 2 k ∞ 0 + 2 l ) ∑ a δ (Ω − k Ω ) (do ak tuần hoàn) k =−∞ k - 89 - 0 Chương V Với Ω0 = 2 N , ta có: F x[n] periodic with period N ↔ 2 ∞ ∑ a δ... và 23 5 Hz bên trong mỗi nhịp tim Tuy nhiên, ta không thấy tần số lặp lại nhịp tim là 1 .22 Hz trong DFT hình (c) Hình (e) giải thích rõ hơn điều này Nó là phiên bản mở rộng của các đỉnh nhọn trong dải tần từ 60 Hz đến 100 Hz Trong khi tần số 1 .22 Hz quá nhỏ nên không thấy rõ trong hình (c) thì trong hình (e) này, ta thấy rõ các hài của tần số 1 .22 Hz và thấy rõ khoảng cách giữa hai đỉnh nhọn là 1 .22 ... −∞ - 1 02 - Chương V 1 Dịch vòng Nếu DFT x[n] ↔ X [k ] thì DFT x[n − m] ↔ W km X[k ] với WN = e − j 2Nπ Ví dụ: Dịch vòng đi m mẫu sẽ cho kết quả trùng với dich vòng đi (m mod N) mẫu 2 Tổng chập vòng DFT , N x1[n] ⊗ x2 [n] ↔ X 1[k ] X 2 [k ] ở đây: N −1 y[n] = x1[n] ⊗ x2 [n] = ∑ x1[ p]x2 [n − p]mod N p =0 Dấu ⊗ là ký hiệu tổng chập vòng Nhắc lại công thức tổng chập tuyến tính: y[n] = x1[n] ∗ x2 [n] =... x[n] N x[n] = N −1 ∑ x[l ]Nδ [n − l ] l =0 Ví dụ: Tìm IDFT của X [k ] = 1, k = 0,1,…, 7 Ví dụ: Cho x[n] = δ [n] + 2 [n − 1] + 3δ [n − 2] + δ [n − 3] và N = 4 , tìm X [k ] - 99 - Chương V Ví dụ: Cho X [k ] = 2 [k ] + 2 [k − 2] và N = 4 , tìm x[n] 5 .2. 3 Chọn số mẫu tần số N Qua mục 5 .2. 1 ta thấy biểu thức tính DFT được thành lập từ việc lấy mẫu DTFT với số mẫu là N Số mẫu N này cũng chính là số mẫu... =e jk 2 n N =e jk 2 n N e jk 2 πn - 88 - =e j( k + N ) 2 n N = e j( k + N ) Ω 0 n Chương V 5.1 .2 Biểu thức tính biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn Ta có hai cách để xây dựng biểu thức tính biến dổi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn như sau: 1 Cách thứ nhất: Ta bắt đầu từ tín hiệu liên tục tuần hoàn Ta có: F e jω0t ←→ 2 δ (ω − ω0 ) Nên: x[n ] = ∞ ∞ F ∑ a k e jkω0t ←→ X(ω) = 2 ∑... lưu ý x0 [n] không tuần hoàn 2 Tìm DTFT của tín hiệu không tuần hoàn trên: X 0 (Ω) = ∑ n =−∞ x0 [n]e − jΩn ∞ 3 Tính X 0 (Ω) tại các giá trị Ω = 2 k N , k = 0,1,…, N − 1 4 Từ đây có DTFT của tín hiệu tuần hoàn theo như công thức vừa tìm: X (Ω) = 2 N ∞ ∑ k =−∞ X0( Ví dụ: Cho x[n] = 1 Tìm X (Ω) - 92 - 2 k 2 k )δ (Ω − ) N N Chương V Ví dụ: Cho x0 [n] = δ [n] + δ [n − 1] + 2 [n − 3] Giả sử N = 4 Tìm... (Ω) liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2 nên chỉ cần các mẫu ở trong dải tần số cơ bản Để thuận tiện, ta lấy N mẫu - 94 - Chương V cách đều nhau trong đoạn [0, 2 ) : 0, 2 / N, 4π / N, K, ( N − 1 )2 / N Nói cách khác, các điểm đó là: Ω= 2 k N , k = 0,1,…, N − 1 Ta định nghĩa phép biến đổi Fourier rời rạc DFT (Discrete Fourier Transform) như sau: X [k ] = X 0 ( 2 k ) với k = 0, 1, K, N − 1 N X[k] ... Biểu thức tính DTFT ngược là: x[n] = = 2 ∫π N ∑ X (Ω)e jΩn d Ω = ∞ k =−∞ X0( 2 ∫ 2 [ 2 N ∞ ∑ k =−∞ X0( 2 k 2 k jΩn )δ (Ω − )]e d Ω N N 2 k 2 2 k jΩn ) ∫ δ (Ω − )e d Ω = N N N N −1 ∑X... giảm xuống N2 log N Ví dụ N = 21 0 = 1 024 tính trực tiếp DFT cần N = 22 0 = 106 phép nhân cộng phức, tính qua FFT số phép nhân cộng phức giảm xuống N2 log N = 5 120 Số phép tính giảm gần 20 0 lần!... thức này, ta được: ⎛ 2 X (Ω) = X (Ω) ⎜ ⎝ N = 2 N ∑X ( k ∑ δ (Ω − k 2 k ⎞ ) N ⎟⎠ 2 k 2 k )δ (Ω − ) (t/c nhân với xung) N N X ( 2Nπ k ) có N giá trị phân biệt, nghĩa k = 0,1 ,2, , N − Biểu thức