Xử lý tín hiệu số: Phần 1

[r]

Chương I

Chương1

GIỚI THIỆU XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Chương nêu tổng quát vấn đề liên quan đến môn học Nội dung chương là:

- Giải thích khái niệm như: “Tín hiệu”, “Tín hiệu số”, “Xử lý tín hiệu”, “Xử lý tín hiệu số”

- Các khâu hệ thống xử lý tín hiệu số

- Nêu sốứng dụng xử lý tín hiệu số

- So sánh xử lý tương tự xử lý số

- Giải thích khái niệm “Tần số”

- Các bước chuyển đổi tín hiệu từ tương tự sang số

- Các bước có chuyển đổi tín hiệu từ số sang tương tự 1.1 TÍN HIỆU, HỆ THỐNG XỬ LÝ TÍN HIỆU

Để hiểu “Xử lý tín hiệu” gì, ta tìm hiểu ý nghĩa từ Tín hiệu(signal) dùng để

chỉ đại lượng vật lý mang tin tức Về mặt tốn học, ta mơ tả tín hiệu

hàm theo biến thời gian, không gian hay biến độc lập khác Chẳng hạn như, hàm:

2

( ) 20

x t = t mơ tả tín hiệu biến thiên theo biến thời gian t Hay ví dụ khác, hàm:

2

( , )

s x y = x+ xy y+ mơ tả tín hiệu hàm theo hai biến độc lập x y, x y biểu diễn cho hai tọa độ không gian mặt phẳng

Hai tín hiệu ví dụ thuộc lớp tín hiệu có thểđược biểu diễn xác hàm theo biến độc lập Tuy nhiên, thực tế, mối quan hệ đại lượng vật lý biến độc lập thường phức tạp nên khơng thể biểu diễn tín hiệu hai ví dụ vừa nêu

Hình 1.1Ví dụ tín hiệu tiếng nói

Lấy ví dụ tín hiệu tiếng nói- biến thiên áp suất khơng khí theo thời gian Chẳng hạn ta phát âm từ “away”, dạng sóng từđó biểu diễn hình 1.1

Một ví dụ khác tín hiệu điện tâm đồ (ECG)- cung cấp cho bác sĩ tin tức tình

trạng tim bệnh nhân, tín hiệu điện não đồ (EEG) cung cấp tin tức hoạt động não

Các tín hiệu tiếng nói, ECG, EEG ví dụ tín hiệu mang tin biểu diễn hàm

Chương I

hiệu ảnh (image)- thay đổi cường độ ánh sáng theo khơng gian, xem hàm

độ sáng theo hai biến không gian

Tất tín hiệu nguồn tạo ra, theo cách thức Ví dụ tín hiệu

tiếng nói tạo cách ép khơng khí qua dây âm Một ảnh có

bằng cách phơi sáng phim chụp cảnh/ đối tượng Q trình tạo tín

hiệu thường liên quan đến hệ thống, hệ thống đáp ứng lại kích thích

nào Trong tín hiệu tiếng nói, hệ thống hệ thống phát âm, gồm môi, răng, lưỡi, dây

thanh Kích thích liên quan đến hệ thống gọi nguồn tín hiệu (signal source). Như

vậy ta có nguồn tiếng nói, nguồn ảnh nguồn tín hiệu khác

Có thểđịnh nghĩa hệ thống (system) thiết bị vật lý thực tác động lên tín hiệu Ví dụ, lọc dùng để giảm nhiễu tín hiệu mang tin gọi hệ thống Khi ta truyền tín hiệu qua hệ thống, lọc chẳng hạn, ta nói ta xử lý tín hiệu

đó Trong trường hợp này, xử lý tín hiệu liên quan đến lọc nhiễu khỏi tín hiệu mong muốn Như vậy, xử lý tín hiệu (signal processing) là ý muốn nói đến loạt cơng việc hay phép tốn thực tín hiệu nhằm đạt mục đích đó, tách lấy tin tức chứa bên tín hiệu truyền tín hiệu mang tin từ nơi đến nơi khác

Ởđây ta cần lưu ý đến định nghĩa hệ thống, khơng chỉđơn thiết bị vật lý mà phần mềm xử lý tín hiệu kết hợp phần cứng phần mềm.Ví dụ xử

lý số tín hiệu mạch logic, hệ thống xử lý ởđây phần cứng Khi xử lý máy

tính số, tác động lên tín hiệu bao gồm loạt phép toán thực chương trình

phần mềm Khi xử lý vi xử lý- hệ thống bao gồm kết hợp phần cứng phần mềm, phần thực cơng việc riêng

1.2 PHÂN LOẠI TÍN HIỆU

Các phương pháp ta sử dụng xử lý tín hiệu phụ thuộc chặt chẽ vào đặc điểm tín

hiệu Có phương pháp riêng áp dụng cho số loại tín hiệu Do vậy, trước

tiên ta cần xem qua cách phân loại tín hiệu liên quan đến ứng dụng cụ thể

1.2.1 Tín hiệu nhiều hướng tín hiệu nhiều kênh

Nhưđã nói mục 1.1, tín hiệu mơ tả hàm theo nhiều biến độc

lập Nếu tín hiệu hàm theo biến, ta gọi tín hiệu hướng (one-dimention signal), tín hiệu tiếng nói, ECG, EEG Ngược lại ta gọi tín hiệu nhiều hướng (multi-dimention signal), ví dụ tín hiệu ảnh trắng đen, điểm ảnh hàm theo biến độc lập

Hình 1.2Ví dụ tín hiệu ảnh màu (2 hướng- kênh)

I(x1,y1)

x1

y1

y

Chương I

Trong sốứng dụng, tín hiệu tạo khơng phải từ mà nhiều nguồn hay nhiều cảm biến Các tín hiệu gọi tín hiệu đa kênh (multi-channel signal). Bức

ảnh hình 1.2 ví dụ tín hiệu hướng, kênh Ta thấy độ sáng I(x,y)

điểm hàm theo biến không gian độc lập, độ sáng lại phụ thuộc vào độ sáng

màu red, green blue Một ví dụ khác, tín hiệu ảnh TV màu tín hiệu hướng-

kênh, biểu diễn vector sau :

r

g

b

I (x, y, t) I(x, y, t) I (x, y, t) I (x, y, t)

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Trong giáo trình này, ta tập trung xét tín hiệu hướng- kênh, biến biến thời gian

(mặc dù thực tế lúc biến biến thời gian)

1.2.2 Tín hiệu liên tục tín hiệu rời rạc

Tín hiệu liên tục (continuous-time signal) hay cịn gọi tín hiệu tương tự tín hiệu xác định tất giá trị thời gian Về mặt tốn học, mơ tả tín hiệu hàm biến liên tục, ví dụ tín hiệu tiếng nói

Tín hiệu rời rạc (discrete-time signal) xác định số thời điểm Khoảng cách thời điểm khơng thiết phải nhau, thực tế

thường lấy để dễ tính tốn Có thể tạo tín hiệu rời rạc từ tín hiệu liên tục cách Một lấy mẫu tín hiệu liên tục, hai đo hay đếm đại lượng vật lý theo chu kỳ định, ví dụ cân em bé hàng tháng, đo áp suất khơng khí theo

Tín hiệu tn

n

x(t ) e= − , n 0, 1, 2, 3, = ± ± ± ví dụ tín hiệu rời rạc Ta dùng

biến nguyên n thay cho biến thời gian rời rạc tn Lúc này, tín hiệu trở thành hàm theo

biến ngun, mặt tốn ta biểu diễn tín hiệu rời rạc dãy số (thực phức) Ta sử dụng ký hiệu x(n) thay cho x(tn), nghĩa tn = nT với T số- khoảng cách

hai thời điểm rời rạc cạnh Hình 1.3 ví dụ tín hiệu tiếng nói rời rạc

Hình 1.3Ví dụ tín hiệu rời rạc

1.2.3 Tín hiệu biên độ liên tục tín hiệu biên độ rời rạc

Biên độ tín hiệu liên tục rời rạc liên tục hay rời rạc

Nếu tín hiệu có tất giá trị dải biên độ ta gọi tín hiệu biên độ

Chương I

Khoảng cách mức biên độ hay khơng Thường

ta biểu diễn mức biên độ số nguyên, bội số khoảng cách hai mức biên độ cạnh Tín hiệu rời rạc theo thời gian biên độđược gọi tín hiệu số

(digital signal) Hình 1.4 ví dụ tín hiệu số

Hình 1.4Ví dụ tín hiệu số với mức biên độ khác

Để xử lý tín hiệu, trước hết phải thu lấy tín hiệu Ví dụ ta thu lấy tín hiệu âm microphone, chuyển đổi tín hiệu âm sang tín hiệu điện Hay tín hiệu ảnh, ta

thu lấy máy ảnh Trong máy ảnh tương tự chẳng hạn, tín hiệu ánh sáng điều khiển phản ứng hóa học phim ảnh Về chất, tín hiệu tự nhiên tương tự, có số mức biên độ số thời điểm vô hạn Do vậy, tín hiệu tương tự khơng phù hợp để

xử lý hệ thống số Để xử lý số, tín hiệu tương tựđược lấy mẫu vào thời điểm rời rạc, tạo thành tín hiệu rời rạc, sau lượng tử hóa biên độ thành tập mức biên

độ rời rạc Quá trình lượng tử hóa (quantization) tín hiệu, q trình xấp xỉ

hóa Nó có thểđược thực dễ dàng cách làm tròn hay cắt gọt Ví dụ tín hiệu có giá

trị 8.62 có thểđược xấp xỉ hóa thành (nếu lượng tử hóa cách cắt gọt) (nếu

lượng tử hóa cách làm trịn)

1.2.4 Tín hiệu xác định tín hiệu ngẫu nhiên

Q trình phân tích tốn học xử lý tín hiệu u cầu phải mơ tảđược tín hiệu Sự mô tả

liên quan đến mô hình tín hiệu Dựa vào mơ hình tín hiệu, ta có cách phân loại tín

hiệu khác

Các tín hiệu mơ tả biểu diễn toán học rõ ràng đồ thị, bảng liệu gọi tín hiệu xác định (deterministic signal). Từ “xác định” ý muốn nhấn mạnh ta biết rõ chắn giá trị tín hiệu khứ, tương lai

Tuy nhiên nhiều ứng dụng thực tế, có tín hiệu khơng thể biểu diễn xác

bằng cơng thức tốn học hay mơ tả tốn q phức tạp Ta khơng thể

đốn trước biến thiên giá trị loại tín hiệu Ta gọi tín hiệu ngẫu nhiên (random signal) Ví dụ tín hiệu nhiễu tín hiệu ngẫu nhiên

Ta cần lưu ý việc phân loại tín hiệu thực thành xác định hay ngẫu nhiên khơng phải lúc

nào rõ ràng Đôi khi, xem tín hiệu xác định hay ngẫu nhiên dẫn đến kết

quả có ý nghĩa Nhưng đơi khi, việc phân loại sai dẫn đến kết bị lỗi, có cơng cụ tốn áp dụng cho tín hiệu xác định, công cụ khác lại áp

dụng cho tín hiệu ngẫu nhiên Điều trở nên rõ ràng ta kiểm tra công cụ

toán cụ thể

1.3 HỆ THỐNG XỬ LÝ TÍN HIỆU

1.3.1 Các khâu hệ thống xử lý số tín hiệu

Chương I

này, ta nói tín hiệu xử lý trực tiếp dạng tương tự, minh họa hình 1.5 Cả tín hiệu vào tín hiệu tương tự

Hình 1.5Xử lý tín hiệu tương tự

Xử lý số phương pháp khác để xử lý tín hiệu tương tự, minh họa hình 1.6 Tín hiệu tương tự phải chuyển đổi thành dạng số (A/D) trước xử lý Điều không

may q trình chuyển đổi tương tự/ số khơng hồn hảo, nghĩa tín hiệu số

khơng phải biểu diễn xác cho tín hiệu tương tự ban đầu Khi tín hiệu tương tựđược chuyển thành tín hiệu số gần nhất, q trình xử lý sẽđược thực bộ xử lý tín hiệu số DSP (Digital Signal Processor), tạo tín hiệu số Trong hầu hết ứng dụng, tín hiệu số cần chuyển đổi ngược lại thành tín hiệu tương tự (D/A) cuối q

trình xử lý Tuy nhiên, có ứng dụng liên quan đến phân tích tín hiệu,

khơng cần chuyển đổi D/A Hình 1.6 sơđồ khối hệ thống xử lý tín hiệu phương pháp số Bộ xử lý tín hiệu số DSP mạch logic, máy tính số

vi xử lý lập trình

Hình 1.6Xử lý số tín hiệu

1.3.2 Ưu điểm xử lý số so với xử lý tương tự

Có nhiều nguyên nhân khác khiến cho xử lý sốđược ưa chuộng xử lý trực tiếp

tín hiệu tương tự Trước tiên, hệ thống số lập trình được, tạo ta tính mềm dẻo việc cấu hình lại hoạt động xử lý cách đơn giản thay đổi chương trình,

đó để cấu hình lại hệ tương tự, ta phải thiết kế lại phần cứng, kiểm tra thẩm định xem hoạt động có khơng

Độ xác đóng vai trò qua trọng việc lựa chọn xử lý tín hiệu Độ sai lệch linh kiện tương tự khiến cho nhà thiết kế hệ thống vơ khó khăn việc điều khiển độ xác hệ thống tương tự Trong đó, việc điều khiển độ xác hệ thống số lại dễ dàng, cần ta xác định rõ yêu cầu vềđộ xác

định lựa chọn chuyển đổi A/D DSP có độ dài từ thích hợp, có kiểu định dạng dấu phẩy tĩnh hay dấu phẩy động

Tín hiệu số dễ dàng lưu trữ thiết bị băng đĩa từ mà không bị mát hay giảm chất lượng Như tín hiệu số truyền xa có thểđược xử lý từ xa Phương pháp xử lý số cho phép thực thuật toán xử lý tín hiệu tinh vi phức tạp nhiều so với xử

lý tương tự, nhờ việc xử lý thực phần mềm máy tính số

Trong vài trường hợp, xử lý số rẻ xử lý tương tự Giá thành thấp phần cứng số rẻ hơn, tính mềm dẻo xử lý số

Tuy nhiên, xử lý số có vài hạn chế Trước tiên hạn chế tốc độ hoạt động chuyển đổi A/D xử lý số DSP Sau ta thấy tín hiệu băng thông

T/h tương tự T/h tương

tự vào hiBệộu t xửươ lý tín ng tự

T/h tương tự T/h tương

tự vào Bđổộ chuyi A/D ển hiBệộu s xửố lý tín DSP Bđổộ chuyi D/A ển

Chương I

cực lớn yêu cầu tốc độ lấy mẫu A/D cực nhanh tốc độ xử lý DSP phải cực nhanh Vì vậy, phương pháp xử lý số chưa áp dụng cho tín hiệu tương tự băng thơng lớn

Nhờ phát triển nhanh chóng cơng nghệ máy tính công nghệ sản xuất vi mạch mà

lĩnh vực xử lý tín hiệu số (DSP) phát triển mạnh vài thập niên gần Ứng dụng

của DSP ngày nhiều khoa học công nghệ DSP đóng vai trị quan trọng

sự phát triển lĩnh vực viễn thông, đa phương tiện, y học, xử lý ảnh tương tác

người-máy

Để thấy rõ ảnh hưởng to lớn xử lý tín hiệu số, ta xem ví dụ phát triển máy ảnh, từ máy ảnh tương tự truyền thống đến máy ảnh số ngày Máy ảnh truyền thống hoạt động dựa đặc điểm vật lý thấu kính quang học, chất lượng ảnh đẹp hệ thống thấu kính to rộng Khi máy ảnh số đời với thấu kính nhỏ chất lượng ảnh chụp thấp nhiều so với tương tự Tuy nhiên, lực xử lý vi xử lý mạnh thuật toán xử lý tín hiệu số tinh vi áp dụng nhược điểm quang học khắc phục chất lượng ảnh cải thiện rõ rệt Hiện nay, máy ảnh số cho chất lượng ảnh vượt trội so với tương tự Hơn nữa, máy ảnh số

cài điện thoại di động có thấu kính nhỏ cho chất lượng

ảnh tốt Chất lượng ảnh ởđây phụ thuộc vào lực DSP phụ thuộc

vào kích thước thấu kính quang học Nói cách khác, cơng nghệ máy ảnh số sử dụng

năng lực tính tốn DSP để khắc phục hạn chế vật lý

Tóm lại, DSP lĩnh vực dựa nguyên ý tốn học, vật lý khoa học máy tính có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác

1.4 KHÁI NIỆM TẦN SỐ TRONG TÍN HIỆU LIÊN TỤC VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC

Từ vật lý biết tần số liên quan chặt chẽ với kiểu chuyển động có chu kỳ gọi dao động mô tả hàm sin Khái niệm tần số liên quan trực tiếp đến khái niệm thời gian Thực tế tần số có thứ nguyên đảo ngược thời gian Do chất thời gian (liên tục rời rạc) có ảnh hưởng đến chất tần số

1.4.1 Tín hiệu sin liên tục

Một dao động điều hịa đơn giản mơ tả toán học hàm sin liên tục sau:

a

x (t) Acos( t+ ), - <t<= Ω θ ∞ ∞

Tín hiệu xác định thông số: A biên độ, Ω tần số góc tính radian

giây (rad/s) θ góc pha tính radian (rad) (hình 1.7) Thay dùng Ω, ta dùng

F tính số chu kỳ giây hay hertz (Hz), ởđây: Ω =2 Fπ Vậy ta viết lại:

a

x (t) Acos(2 Ft+ ), - <t<= π θ ∞ ∞

Hình 1.7 Tín hiệu sin liên tục

xa(t)

t Acosθ

-A

Chương I

Tín hiệu sin liên tục có đặc điểm sau đây:

1 Với F cố định, tín hiệu sin liên tục xa(t) tuần hồn với chu kỳ Tp = 1/F,

nghĩa ta ln ln có:

a p a

x (t T ) x (t),+ = − ∞ < < ∞t

2 Các tín hiệu sin liên tục có tần số khác khác

3 Việc tăng tần số dẫn đến tăng tốc độ dao động tín hiệu, tức tăng số chu

kỳ dao động khoảng thời gian cho trước Vì thời gian t liên tục nên ta có

thể tăng F đến vô

Ta biểu diễn tín hiệu sin liên tục dạng khác, thường gọi phasor

sau:

j( t ) j( t ) a

A A

x (t) Acos( t+ )= e e

2

θ θ

θ Ω + − Ω +

= Ω +

Theo cách biểu diễn phasor, xem tín hiệu sin liên tục tổng tín hiệu điều hịa hàm mũ phức có biên độ liên hợp phức với nhau, tần số góc ởđây ±Ω: tần số

dương âm Để thuận tiện mặt toán, ta sử dụng khái niệm tần số dương âm Vậy dải tần số tín hiệu liên tục −∞ < < ∞F

1.4.2 Tín hiệu sin rời rạc

Tín hiệu sin rời rạc biểu diễn sau:

x(n) Acos( n+ ), - <n<= ω θ ∞ ∞

ởđây n biến nguyên gọi số mẫu, A biên độ, ω tần số góc tính radian mẫu

(rad/mẫu) θ góc pha tính radian (rad)

Thay dùng ω, ta dùng tần số f với quan hệ: ω =2 fπ Ta viết lại x(n) sau: x(n) Acos(2 fn+ ), - <n<= π θ ∞ ∞

Tần số f có thứ nguyên chu kỳ mẫu (chu kỳ/mẫu) Tạm thời chưa xét

đến mối quan hệ F f, ta xem tín hiệu sin rời rạc độc lập với tín hiệu sin liên tục Hình 1.8 biểu diễn tín hiệu sin rời rạc với ω π= / 6(rad/mẫu) pha θ π= / 3(rad)

-10 -5 10 15

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

Hình 1.8 Tín hiệu sin rời rạc

Khác với tín hiệu sin liên tục, tín hiệu sin rời rạc có đặc điểm sau đây:

1 Tín hiệu sin rời rạc tuần hoàn tần số f số hữu tỷ

Chương I

x(n N) x(n)+ = ∀n Giá trị N nhỏ gọi chu kỳ

Giả sử tín hiệu sin rời rạc tần số f0 tuần hồn, ta có:

0

cos[2 f (n+N)+ ]=cos(2 f n+ )π θ π θ Quan hệ chỉđúng tồn số nguyên k cho:

0

k f N 2k f

N

π = π ⇔ =

Theo đây, ta thấy tín hiệu sin rời rạc tuần hồn f0 biểu diễn dạng tỷ

của hai số nguyên, nghĩa f0 số hữu tỷ

Để xác định chu kỳ tín hiệu sin rời rạc, ta biểu diễn f0 dạng tỷ hai số

nguyên k/N, sau đưa k/N dạng phân số tối giản Lúc mẫu số phân số tối giản chu kỳ Ví dụ f1 = 31/50, nghĩa N1 = 50 hay N2 = 25/50 = 1/2 nghĩa

N2 =

2 Các tín hiệu sin rời rạc có tần số khác bội số nguyên lần 2π trùng

Ta xét tín hiệu sin rời rạc x(n) cos( n+ )= ω0 θ Dễ dàng nhận thấy rằng:

0 0

x(n) cos[( +2 )n+ ]=cos( n+2 n+ )=cos( n+ )= ω π θ ω π θ ω θ

Vậy tất tín hiệu sin rời rạc có dạng:

k k

x (n) cos( n+ ), k = 0,1,2, = ω θ

với

k 2k ,

ω =ω + π π ω− ≤ ≤π

đều trùng Nói cách khác, tín hiệu sin rời rạc có tần số nằm dải

π ω π

− ≤ ≤ hay 1

2 f

− ≤ ≤ khác biệt Vì lý nên ta gọi tín hiệu sin rời rạc có tần số nằm dải [- , ]π π phiên (alias) tín hiệu rời rạc có tần số nằm dải [- , ]π π tương ứng Dải tần − ≤ ≤π ω π gọi dải

bản Nói rộng hơn, dải dải tần số có bề rộng 2π Như vậy, dải dải 0≤ ≤ω 2π, π ω≤ ≤3π Nhưng thực tế thường chọn dải là:

π ω π

− ≤ ≤ 0≤ ≤ω 2π

3 Tốc độ cao tín hiệu sin rời rạc đạt ω = π hay ω = −π, tương

đương với

f = hay

f = −

Ta thấy rõ điều qua ví dụ minh họa với tín hiệu x(n) cos n= ω0 Lần lượt cho

0 0, , , ,

8

π π π

ω = π ta có chu kỳ tương ứng N = ∞,16,8,4,2 Ta thấy chu kỳ giảm

tần số tăng, độ dao động tín hiệu tăng

1.4.3 Tín hiệu điều hịa hàm mũ phức

Cũng tín hiệu sin điều hịa, tín hiệu điều hịa hàm mũ phức đóng vai trị quan trọng

trong phân tích tín hiệu hệ thống Trong phần xét tín hiệu điều hịa hàm mũ

Chương I 1 Tín hiệu điều hịa hàm mũ phức liên tục

Xét tín hiệu sau:

0

jk t jk F t k

s (t) e= Ω =e π k 0, 1, = ± ±

Lưu ý với k, tín hiệu sk(t) tuần hồn với chu kỳ 1/(kF0) = Tp/k chu kỳ

chung Tp Khi k khác tín hiệu sk (t) khác

Từ sk (t), ta tổ hợp tuyến tính tín hiệu sk(t) lại với để tạo thành tín hiệu

tuần hoàn xa(t) với chu kỳ Tp = 1/F0 sau:

0 jk t

a k k k

k k

x (t) ∞ c s (t) ∞ c e Ω

=−∞ =−∞

= ∑ =∑

Biểu diễn gọi khai triển Fourier xa (t), số phức ck hệ số

Fourier sk(t) hài bậc k xa(t) 2 Tín hiệu điều hịa hàm mũ phức rời rạc

Vì tín hiệu sin rời rạc tuần hoàn tần số số hữu tỷ nên ta chọn f0 = 1/N định

nghĩa tín hiệu điều hịa hàm mũ phức rời rạc là:

0

jk f n jk n / N k

s (n) e= π =e π k 0, 1, = ± ±

Khác với tín hiệu liên tục, ởđây ta thấy:

j2 (k N)n / N j2 n

k N k k

s + (n) e= π + =e π s (n) s (n)=

Điều nghĩa chọn k sai khác bội số nguyên N sk(n) trùng nhau,

do ta cần xét với k = n0đến k = n0 + N -1 Để cho tiện, ta thường chọn n0 = Vậy ta

có:

0

jk f n jk n / N k

s (n) e= π =e π k 0,1,2, , N 1= −

Theo đó, tín hiệu s(n) tuần hoàn với chu kỳ N khai triển thành chuỗi Fourier sau:

N N

j2 kn / N k k k

k k

x(n) − c s (n) − c e π

= =

=∑ =∑

ởđây ck hệ số Fourier sk (n) hài bậc k x(n) 1.5 BIẾN ĐỔI TƯƠNG TỰ - SỐ (A/D)

Hầu hết tín hiệu thực tế tiếng nói, tín hiệu sinh học, tín hiệu địa chấn, radar, sonar, tín hiệu thơng tin audio, video tín hiệu tương tự Để xử lý tín hiệu tương tự phương pháp số, trước hết phải chuyển tín hiệu tương tự sang dạng số Quá trình gọi biến đổi A/D

Quá trình A/D gồm bước minh họa hình 1.9

T/h số

010011 T/h tương

tự xa(t) Lấy mẫu Lượng tử hóa Mã hóa

Chương I

Hình 1.9 Bộ chuyển đổi A/D

1 Lấy mẫu (sampling) q trình chuyển đổi tín hiệu từ liên tục thành rời rạc cách lấy mẫu (sample) tín hiệu liên tục thời điểm rời rạc Vậy tín hiệu xa(t) đưa vào lấy mẫu đầu xa(nT) ≡ x(n) với T chu kỳ lấy

mẫu Sau lấy mẫu, tín hiệu liên tục trở thành dãy giá trị rời rạc lưu trữ

trong nhớ máy tính để xử lý Thực tế giá trị tín hiệu thời điểm lấy

mẫu thường trì mẫu Do q trình lấy mẫu cịn

gọi lấy mẫu giữ mẫu (sample and hold). Có thể nói q trình lấy mẫu cầu nối giới tương tự giới số

2 Lượng tử hóa (quantization) q trình chuyển đổi tín hiệu rời rạc có biên độ liên tục thành tín hiệu rời rạc có biên độ rời rạc (cịn gọi tín hiệu số) Mỗi mẫu tín hiệu

được biểu diễn giá trị chọn từ tập hữu hạn giá trị có Sự

khác giá trị mẫu chưa lượng tử hóa x(n) giá trị mẫu lượng tử

hóa xq(n) gọi sai số lượng tử hóa (quantization error). Nếu bỏ qua sai số

thuật ngữ tín hiệu rời rạc tín hiệu số sử dụng thay cho

3 Số hóa (digitization) là q trình biểu diễn giá trị rời rạc xq(n) dãy số

nhị phân b bit

Hình 1.10 minh họa q trình biến đổi A/D qua ví dụ cụ thể

Hình 1.10 Biến đổi A/D bit

Trong phần này, ta xét chi tiết trình chuyển đổi A/D, gồm lấy mẫu, lượng tử hóa

mã hóa Nếu băng thơng tín hiệu tương tự hữu hạn tần số lấy mẫu đủ lớn việc

lấy mẫu khơng làm mát tín tức khơng làm méo tín hiệu Trong đó, lượng tử hóa

là q trình xấp xỉ hóa nên gây méo tín hiệu Độ méo phụ thuộc vào số bit b Số bit

tăng làm giảm méo dẫn đến giá thành tăng

1.5.1 Lấy mẫu tín hiệu tương tự

Chương I

x(n) ≡ xa(nT)

ởđây x(n) tín hiệu rời rạc có cách lấy mẫu tín hiệu tương tự xa(t) vào thời điểm cách T giây Khoảng thời gian T mẫu cạnh gọi chu kỳ lấy mẫu Fs = 1/T gọi tốc độ lấy mẫu (mẫu/s) hay tần số lấy mẫu (Hz)

Từđây suy mối quan hệ biến thời gian liên tục t biến thời gian rời rạc n sau:

s

n t nT

F

= =

Như tồn quan hệ biến tần số F (hay Ω) tín hiệu liên tục biến tần số f (hay ω) tín hiệu rời rạc Để thiết lập mối quan hệ này, ta xét tín hiệu sin liên tục sau:

a

x (t) Acos(2 Ft+ )= π θ

Lấy mẫu tín hiệu với tần số Fs = 1/T (mẫu/s), ta tín hiệu rời rạc sau: a

s

2 nF x (nT) x(n) Acos(2 FnT+ )=Acos

F

⎛ π ⎞

≡ = π θ ⎜ + θ⎟

⎝ ⎠

So sánh tín hiệu với tín hiệu sin rời rạc xét (1.4.2), ta quan hệ F f quan hệ tuyến tính sau:

s

F f

F

= Điều tương đương với:

T

ω = Ω

Tần số f gọi tần số chuẩn hóa (normalized frequency) hay tần số số Ta sử

dụng tần số f để tính tần số F (Hz) biết tần số lấy mẫu

Kết hợp dải biến thiên tần số F (hay Ω) f (hay ω) với quan hệ vừa tìm ra, ta có bảng tóm tắt 1.1 sau:

Tín hiệu liên tục Tín hiệu rời rạc

Ω = Fπ ω = fπ

[rad/s] [Hz] [rad/mẫu] [chu kỳ/mẫu]

F

−∞ < Ω < ∞

−∞ < < ∞

Bảng 1.1 Quan hệ biến tần số

s

/ T, F f.F

Ω = ω =

s

T, f F / F

ω = Ω =

1/ f 1/

−π ≤ ω ≤ π

− ≤ ≤

s s

/ T / T

F / F F /

−π ≤ Ω ≤ π

Chương I

Từ quan hệ trên, ta thấy điểm khác biệt tín hiệu liên tục tín hiệu rời rạc dải biến thiên tần số F f (hay Ω ω) Việc lấy mẫu tín hiệu liên tục xếp dải tần số vơ hạn biến F (hay Ω) vào dải tần số hữu hạn biến f (hay ω) Vì tần số cao tín hiệu rời rạc f = ½ (hay ω = π) nên với tần số lấy mẫu Fs, tần số tương ứng

cao F Ω là:

s max

max s

F

F

2 2T F

T

= =

π

Ω = π =

Như vậy, tần số cao tín hiệu liên tục lấy mẫu với tần số Fs Fmax = Fs /2 Khi

tần số tín hiệu liên tục lớn tần số Fs /2 xảy sựmập mờ (ambiguity)hay cịn

gọi chồng phổ (aliasing). Ta thấy rõ điều qua ví dụ minh họa sau:

Cho tín hiệu sin khác có tần số 10 Hz 50 Hz :

1

2

x (t) cos2 (10)t x (t) cos2 (50)t

= π

= π

Lấy mẫu tín hiệu với tần số Fs = 40Hz, tín hiệu rời rạc :

2

10

x (n) cos2 n cos n

40

50

x (n) cos2 n cos n

40

π

⎛ ⎞

= π⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

π

⎛ ⎞

= π⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

Nhận xét thấy x2 (n) = x1 (n) Như vậy, tín hiệu sin rời rạc khơng phân biệt với

nhau Ta nói tần số 50 Hz phiên tần số 10 Hz tần số lấy mẫu 40 Hz

Ta suy tổng quát tần số (F0 + kFs) (Hz) phiên tần số F0 (Hz) tần số

lấy mẫu Fs (Hz)

Từ ví dụ trên, ta dễ dàng thấy tần số cao để không xảy chồng phổ 20 Hz

Đây Fs /2 tương ứng với ω = π Tần số Fs /2 gọi tần số gập (folding frequency), để xác định tần số phiên (lớn Fs / 2), ta chọn Fs / làm điểm

chốt gập (hay phản xạ) tần số phiên vào dải sở [0, Fs /2]

Ví dụ 1.1

Cho tín hiệu tương tự:

a

x (t) 3cos100 t= π

(a) Xác định tần số lấy mẫu nhỏ để tránh chồng phổ

(b) Giả sử tín hiệu lấy mẫu với tần số Fs = 200 Hz, tín hiệu rời rạc sau lấy mẫu

là ?

(c) Giả sử tín hiệu lấy mẫu với tần số Fs = 75 Hz, tín hiệu rời rạc sau lấy mẫu

là ?

(d) Xác định tần số (0 < F < Fs) tín hiệu sin mà có mẫu trùng với mẫu

Chương I

1.5.2 Định lý lấy mẫu

Cho tín hiệu tương tự, ta chọn tần số lấy mẫu ? Để trả lời câu hỏi này, ta phải có số thơng tin chi tiết đặc điểm tín hiệu lấy mẫu, bao gồm biên độ, tần số pha thành phần tần số khác Tuy nhiên, thông tin ta lại khơng biết trước Ta biết tần số lớn lớp tín hiệu (như lớp tín hiệu tiếng nói, lớp tín hiệu video ) Dựa vào tần số lớn này, ta xác

định tần số lấy mẫu cần thiết để chuyển tín hiệu từ tương tự sang số

Vì tần số lớn thay đổi chút tín hiệu lớp (ví dụ tiếng nói người nói khác có tần số lớn khác nhau) nên đểđảm bảo tần số lớn không vượt Fs /2 (để tránh chồng phổ) trước lấy mẫu tín hiệu, ta cho qua

một lọc, lọc bỏ tần số Fs/2 Bộ lọc gọi lọc chống chồng phổ (anti-aliasing filter)

Từ tần số Fmaxđã biết, ta chọn tần số lấy mẫu tương ứng Fs > 2Fmax

Với tần số lấy mẫu này, tất thành phần tần số tín hiệu tương tựđược biểu diễn dạng mẫu mà không bị chồng phổ, vậy, ta khơi phục lại tín hiệu tương tự từ mẫu rời rạc mà không bị méo cách sử dụng phương pháp nội suy thích hợp Cơng thức nội suy trình bày định lý lấy mẫu sau :

Nếu tần số cao tín hiệu liên tục xa(t) Fmax tín hiệu lấy mẫu với tần số

Fs>2Fmax khơi phục xác xa(t) từ mẫu rời rạc xa(nT) cách sử dụng

Chương I max

a a

n max

sin F (t nT) x (t) x (nT)

2 F (t nT)

∞ =−∞

π −

=

π −

∑

Tần số lấy mẫu Fs = 2Fmaxđược gọi tần số Nyquist (do Nyquist tìm năm 1928)- tần số

lấy mẫu nhỏ để tránh chồng phổ

Chứng minh (xem SGK) Ví dụ 1.2

Cho tín hiệu tương tự :

a

x (t) 3cos50 t+10sin300 t-cos100 t= π π π

Xác định tần số Nyquist

Ví dụ 1.3

Cho tín hiệu tương tự :

a

x (t) 3cos2000 t+5sin6000 t+10cos12000 t= π π π

(a) Xác định tần số Nyquist

(b) Giả sử tín hiệu lấy mẫu với tốc độ 5000 (mẫu/s), tìm tín hiệu rời rạc có sau lấy mẫu

Chương I

1.5.3 Quan hệ phổ tín hiệu rời rạc phổ tín hiệu liên tục

Lấy mẫu tín hiệu tương tự xa(t), mặt tốn học là: s a

x (t) x (t).s(t)=

Trong xs(t) tín hiệu sau lấy mẫu, s(t) dãy xung vng tuần hồn chiều cao h, độ rộng

xung τ, chu kỳ T có τ→0, hτ→1 Khai triển Fourier cho dãy s(t) lấy giới hạn, ta :

2

jk t jk t

T T

0 k k

h

sin k

h T

s(t) lim e e

T k T

T π π ∞ ∞ τ→ =−∞ =−∞ τ→ τ π τ = τ = π ∑ ∑

Vậy biểu diễn tín hiệu rời rạc dạng sau :

2 jk t T s a k

x (t) x (t) e T

π ∞ =−∞

= ∑

Từđây ta tìm phổ tín hiệu rời rạc theo công thức biến đổi Fourier sau :

( )

2 j( k )t

j t T

s s a

k k

a a s

k k

1

X ( ) x (t)e dt x (t)e dt

T

1

X k X kF

T T T

∞ ∞ ∞ − Ω− π − Ω =−∞ −∞ =−∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞ Ω = = π ⎛ ⎞ = ⎜Ω − ⎟= Ω − ⎝ ⎠ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑

Từđây ta có kết luận: phổ tín hiệu rời rạc xếp chồng tuần hồn phổ tín hiệu liên tục với chu kỳ Fs

Như việc lấy mẫu tín hiệu liên tục tạo dãy mẫu rời rạc miền thời gian

đồng thời có ảnh hưởng miền tần số Hình vẽ 1.11a phổ phía tín hiệu gốc chưa lấy mẫu hình vẽ 1.11b phổ tín hiệu rời rạc lấy mẫu với tần số lấy mẫu khác nhau, ởđây W băng thơng tín hiệu tương tự- tần số cao Fmax

Qua ta thấy phổ tín hiệu rời rạc khác lấy mẫu với tần số khác Nếu lấy mẫu với tần số tần số Nyquist Fs ≥2Fmax =2W copy phổ gốc (gọi ảnh phổ) không bị chồng lên Lúc ta khơi phục lại tín hiệu gốc ban

đầu từ tín hiệu rời rạc cách cho tín hiệu rời rạc qua lọc thơng thấp tần số cắt Fmax = W Bộ lọc gọi lọc khôi phục hay bộ lọc ảnh phổ (anti-imaging filter).

Nếu lấy mẫu với tần số thấp tần số Nyquist ảnh phổ bị chồng lên nhau, phổ

tổng đường nét đứt hình 1.11b(iii), lúc ta khơng thể khơi phục lại tín hiệu gốc ban

đầu

Chng I

Hỗnh 1.11 Phổ tín hiệu gốc tín hiệu rời rạc

Hình 1.11 Phổ tín hiệu liên tục tín hiệu rời rạc

vị trí phổ trục tần số Tần số lấy mẫu gấp đôi băng thông tín hiệu Điều quan trọng ởđây phải chọn tần số lấy mẫu cho tượng chồng phổ không xảy

Ví dụ 1.4

Cho tín hiệu liên tục có phổ từ 120-160 kHz Vẽ phổ phía tín hiệu rời rạc có bằng cách lấy mẫu tín hiệu với tần số lấy mẫu khác sau :

(a) Fs = 80 kHz

(b) Fs = 100 kHz

(c) Fs = 120 kHz

Chương I

1.5.4 Lượng tử hóa tín hiệu có biên độ liên tục

Nhưđã trình bày đây, lượng tử hóa biến đổi tín hiệu rời rạc có biên độ liên tục thành tín hiệu có biên độ rời rạc cách biểu diễn mẫu x(n) giá trị xq(n)

chọn từ tập hữu hạn giá trị biên độ Hình 1.12 minh họa hoạt động lượng tử hóa Qua

đây ta thấy lượng tử hóa gây lỗi lượng tử, sai khác giá trị lượng tử giá trị thực

của mẫu Gọi eq(n) sai số lượng tử hóa, ta có :

Hình 1.12 Minh họa lượng tử hóa

Về mặt tốn, lượng tử hóa làm trịn hay cắt gọt giá trị mẫu rời rạc Gọi giá trị lượng tử hóa mức lượng tử hóa, khoảng cách hai mức lượng tử hóa cạnh bước lượng tử hóa ∆, sai số lượng tử hóa trường hợp làm tròn nằm giới hạn là:

q

e (n)

2

∆ ∆

− ≤ ≤

Nếu xmin xmax giá trị nhỏ lớn x(n) L số mức lượng tử hóa : max

x x

L

− ∆ =

−

Ta gọi xmax – xmin dải động tín hiệu ∆ độ phân giải Lưu ý dải động cố định việc tăng số mức lượng tử hóa làm giảm kích thước bước lượng tử hóa, lỗi lượng tử hóa giảm độ xác chuyển đổi A/D tăng lên

Về lý thuyết lượng tử hóa ln làm mát thông tin Lý tất mẫu có giá trị

Xq(n)

Mức lượng tử hóa Bước lượng

tử hóa

q q

Chương I

nằm dải x(n)

2

∆ ∆

− ≤ < lượng tử hóa thành giá trị

Chất lượng tín hiệu chuyển đổi A/D biểu diễn tỷ số tín hiệu nhiễu

lượng tử hóa SQNR (signal-to-quantization noise ratio) :

x q P SQNR P =

Trong Px cơng suất trung bình tín hiệu liên tục Pq cơng suất trung bình lỗi

lượng tử hóa

Giả sử ta xét lượng tử hóa tín hiệu sin liên tục chu kỳ T0

Cơng suất trung bình tín hiệu :

0

T

2 x

0 0

1 A

P (Acos t) dt

T T

π

= ∫ =

Nếu lấy mẫu với định lý lấy mẫu lượng tử hóa q trình gây lỗi chuyển đổi A/D Do đó, ta tính lỗi lượng tử hóa cách lượng tử hóa tín hiệu xa(t)

thay cho tín hiệu rời rạc x(n) Tín hiệu xa(t) tuyến tính khoảng hai mức

lượng tử hóa cạnh Lỗi lượng tử hóa :

như hình 1.13

Hình 1.13 Lỗi lượng tử hóa trường hợp lượng tử hóa tín hiệu sin

Cơng suất lỗi Pqđược tính là:

2

q q q

0

1

P e (t)dt e (t)dt

τ τ

−τ

= =

τ ∫ τ∫

Vì e (t)q = ∆ τ( / t,) − τ ≤ ≤ τt nên ta có:

2

2 q

0

1

P t dt

2 12

τ ∆ ∆

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ =

τ∫⎝ τ⎠

Nếu lượng tử hóa có b bit dải động 2A ∆ =2A / 2b Do đó:

2 q 2b

A / P

2

=

q a q

e (t) x (t) x (t)= −

-τ τ t

eq(t) ∆/2 -∆/2 xa(t)

-τ τ t

Chương I

Như SQNR tính theo dB là:

b x

10 10

q

P

SQNR(dB) 10log 10log ( ) 6.02b 1.76

P

⎛ ⎞

= ⎜⎜ ⎟⎟= = +

⎝ ⎠

Qua ta thấy tăng số bit thêm SQNR tăng thêm 6dB

Ví dụ 1.5

Lượng tử hóa tín hiệu tương tựđiện áp từ -5V đến 5V dùng bit Xác định giá trị lượng tử

hóa lỗi lượng tử hóa cho mẫu sau: (a) -3.4V

(b) 0V (c) 0.625V

1.5.6 Mã hóa mẫu lượng tử hóa

Q trình mã hóa gán cho mẫu lượng tử hóa số nhị phân Nếu ta có L mức lượng

tử hóa, ta cần L số nhị phân Với từ mã dài b bit ta có 2b số nhị phân khác Như

vậy yêu cầu:

2

b log L≥

Nói chung, tốc độ lấy mẫu cao độ phân giải lượng tử hóa cao (b lớn) thiết bị

chuyển đổi A/D đắt tiền

Trong thực tế, trình lượng tử hóa mã hóa gộp chung lại thành Hình 1.14 trình

Chương I

Hình 1.14 Bộ chuyển đổi A/D thực tế

1.6 BIẾN ĐỔI SỐ - TƯƠNG TỰ (D/A)

Trong số trường hợp, dùng trực tiếp tín hiệu số sau xử lý Tuy nhiên, hầu hết

ứng dụng yêu cầu phải chuyển đổi tín hiệu số sau xử lý trở lại thành tín hiệu tương tự Bộ

chuyển đổi số-tương tự (D/A) trình bày hình 1.15 Trước tiên, mạch thực

hiên chuyển đổi từ mã b bit thành mức tương tự tương ứng Các mức

trì khoảng chu kỳ lấy mẫu nhờ giữ mẫu bậc (còn gọi ZOH-Zero Order Hold)

Tín hiệu ZOH có dạng bậc thang, sườn nhọn tín hiệu bậc thang chứa tần số cao Các tần số cao loại bỏ nhờ lọc khôi phục Bộ lọc lọc loại bỏ ảnh phổ tạo lấy mẫu

Hình 1.15 Bộ chuyển đổi D/A

Hình 1.16 minh họa trình chuyển đổi D/A bit

Hình 1.15 Chuyển đổi D/A

Hình 1.16 Chuyển đổi D/A bit

T/h số

010011 T/h tương

tự xa(t) Lấy mẫu

Lượng tử hóa & Mã hóa Lọc chống

chồng phổ

T/h rời rạc x(n)

T/h số

010011

T/h tương tự xa(t)

Giữ mẫu bậc

0 (ZOH) Lọc khôi phục

Đổi thành mức tương tự