NHỊ THỨC NEWTON Công thức nhị thức Newton (Niu-tơn) ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2b + + Cnk a n −k b k + + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n = Cn0b n + Cn1b n−1a + Cn2b n−2 a + + Cnk b n −k a k + + Cnn −1ba n −1 + Cnn a n n = ∑ Cnk a n −k b k (coi a = b = 1) k =0 gKí hiệu ∑ Leonhard Euler (1707– 1783) đề xuất gCông thức nhị thức Newton (còn gọi Định lí nhị thức Newton) độc lập chứng minh bởi: - Nhà toán học học Sir Isaac Newton (1643-1727) vào năm 1665; - Nhà toán học James Gregory (1638 - 1675) vào năm 1670 Trong khai triển trên, số hạng tổng quát có dạng Tk +1 = Cnk a n −k b k (k = 0, n) Các hệ số khai triển xác định theo tam giác Pascal sau 1 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 15 1 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 15 Phương pháp làm trội Để tính tổng có dạng Sn = n ∑ uk , ta phân tích uk = vk − vk +1, k = 1, 2, , n, k =1 Sn = n n n k =1 k =1 ∑ uk = ∑ (vk − vk +1) = v1 − +1 Để tính tích có dạng Sn = ∏ uk ≠ 0, ta phân tích uk = k =1 n vk v v , k = 1, 2, , n, Sn = ∏ k = vk +1 v +1 k =1 k + Tổng hệ số đa thức Ta xét đa thức bậc n ( n ∈ ¥ * ) với hệ số thực f ( x) = an x n + + a1 x + a0 ( a0 , a1 , , an ∈ ¡ ; an ≠ ) o Số hạng tự (số hạng không chứa x ) f ( x) a0 = f (0) o Tổng tất hệ số f ( x) S = n ∑ ak = an + an−1 + + a1 + a0 = f (1) k =0 o Tổng tất hệ số bậc chẵn f ( x) S1 = a0 + a2 + a4 + + a2 n = ( f (1) + f (−1) ) 2 o Tổng tất hệ số bậc lẻ f ( x) S = a1 + a3 + a5 + + a2 n+1 −1 = ( f (1) − f (−1) ) Hệ công thức nhị thức Newton 1) ( a − b ) = Cn0 a n − Cn1a n−1b + Cn2 a n −2b − + (−1) k Cnk a n −k b k + + (−1) n −1 Cnn −1ab n −1 + (−1) n Cnnb n n n = ∑ Cnk (−1) k a n −k b k (coi a = b = 1) k =0 2) (1 + x) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnk x k + + Cnn x n n 3) (1 − x) n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − + (−1)k Cnk x k + + (−1) n Cnn x n 4) (1 + x) n ≥ Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnk x k ; ∀n, k ∈ ¥ , n ≥ k , ∀x ≥ 5) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnk + + Cnn = 2n 6) Cn0 − Cn1 + Cn2 − + (−1) k Cnk + + (−1) n Cnn = 7) C + C + C + + C n n n n 2 2 n = C + C + C + + C n n n n +1 2 −1 n = 2n −1 8) C02 n+1 + C21n+1 + C22n+1 + + C2nn−+11 + C2nn+1 = 4n (do C22nn++11−k = C2kn+1 , ∀k = 0,1, , n) Một số tập 5.1 Viết dạng khai triển đa thức Bài Viết dạng khai triển đa thức a) ( a − 3b ) Bài 2 b) ( − x )5 , x > x c) (2 x + 1)8 a) Tìm số hạng thứ khai triển (1 − x)12 viết theo thứ tự lũy thừa tăng dần x 20 x b) Tìm hệ số số hạng thứ khai triển − 1÷ 3 viết theo thứ tự lũy thừa giảm dần x 5.2 Xác định hệ số, xác định số hạng khai triển đa thức Bài a) Tìm hế số số hạng chứa x9 khai triển ( x − 2)15 2 b) Tìm số hạng tự khai triển x3 − ÷ x c) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển (2 x − 1)3 + (2 x − 1)4 + + (2 x − 1)10 d) Tìm số hạng chứa x3 khai triển (1 − x)( x + 3)13 e) Tìm hệ số số hạng chứa x5 y z khai triển ( x − y − z )10 f) Xác định hệ số có giá trị lớn nhỏ khai triển (1 + x) n = a0 + a1x + + an x n , biết a0 + a1 a + + nn = 4096 2 Bài a) Biết hệ số x khai triển (1 − x) n 90 Tìm số nguyên dương n n b) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển + x5 ÷ biết Cnn++41 − Cnn+3 = 7(n + 3) x c) Tìm số hạng chứa x10 khai triển (2 + x)n biết 3n Cn0 − 3n−1Cnn−1 + 3n−2 Cnn−2 + + (−1)n Cnn = 2048 d) Tìm số nguyên dương n biết hệ số số hạng chứa x3n−3 khai triển ( x + 1) n ( x + 2)n 26n n n n−1 −x x−1 x −1 x−1 0 ÷ 1 ÷ ÷ e) Cho khai triển + = Cn + Cn ÷ ÷ ÷ n−1 −x x−1 − x ÷ + + Cnn−1 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ n −x n ÷ + Cn ÷ Tìm số thực x số nguyên dương n biết khai triển số hạng thứ 20n Cn3 = 5Cn1 n Bài Khai triển f ( x ) = + x ÷ , x > 0, thành đa thức, biết tổng tất hệ só f ( x ) x 486 784 401 Hãy xác định a) Số hạng tự (số hạng không phụ thuộc vào x ) f ( x ) b) Số hạng chứa x10 f ( x ) c) Hệ số có giá trị lớn nhất, nhỏ f ( x ) Bài a) Tìm số hạng chứa x 29 y8 khai triển ( x − xy)15 b) Tìm số hạng có hệ số lớn nhỏ khai triển (2 x + 1)19 c) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển (1 − x )n biết An2 + Cn2 = 315 d) Tìm hệ số số hạng chứa x n −2 3 f ( x ) = x x + ÷ x 3n + +x + ÷ x , x > 0, biết An2Cnn−1 = 48 n e) Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển + x ÷ , x ≠ 0, biết x C21n+1 + C22n +1 + + C2nn+1 = 220 − f) Tìm hệ số số hạng chứa x10 y z khai triển ( x − y + 3z ) 20 g) Tìm hệ số x khai khai triển f ( x ) = (2 x + 1)4 + ( x − 1)( x − 2)5 + (2 x − 1)( x + 3)6 Tính tổng tất hệ số tương ứng với x bậc lẻ f ( x ) h) Tìm số hạng có hệ số lớn số hạng có hệ số nhỏ khai triển f ( x) = (3 − x) n , biết tổng tất hệ số số hạng bậc chẵn (gồm số hạng tự do) f ( x) 4882813 ( ) i) Tìm số hạng chứa x8 khai triển + x (1 − x) Bài Tính giá trị biểu thức 2015 T1 = C2015 + C2015 + C2015 + C2015 ; 2014 T2 = C2015 + C2015 + C2015 + + C2015 ; 1006 1007 T3 = C2015 + C2015 + C2015 + + C2015 + C2015 ; T4 = 1 2 3 n An + An + An + + Ann , n ∈ ¥ *; 0! 2! ( n − 1)! (−1) k 2k k T5 = ∑ Cn , n ∈ ¥ * k +1 k =0 n Bài Rút gọn biểu thức 4n −2 4n S1 = C 4n − C 4n + C 4n − C 64n + − C 4n + C 4n , −3 −1 S = C14n − C 34n + C 54n − C 74n + + C 4n − C 4n 4n 4n , 2014 S = C 2015 − C 22015 + C 2015 − C 62015 + + C 2012 2015 − C 2015 , 2013 2015 S = C12015 − C 32015 + C 52015 − C 2015 + + C 2015 − C 2015 , 2012 S = C 20 15 + C 2015 + C 2015 + + C 2015 ; 48 S = C 50 − 3C 50 + 32 C 50 − + 324 C 50 − 325 C 50 50 Bài Cho T = Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + + 2n Cnn , n ∈ ¥ * a) Rút gọn T b) Tìm số nguyên dương n cho T = 243 c) Tìm số nguyên dương n cho T = 252 Bài 10 Chứng minh bất đẳng thức n + 3n + n ≥ 7n2 − n + 3, ∀n ∈ ¥ Bài 11 Giải phương trình tập số nguyên dương a) Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + (n + 1)Cnn = 6144 b) 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + + n( n − 1).Cnn = 1344 c) C20n + C22n 32 + + C22nn−2 32 n−2 + C22nn 32 n = 2147516416 ... khai triển + x (1 − x) B i Tính giá trị biểu thức 2015 T1 = C2015 + C2015 + C2015 + C2015 ; 2014 T2 = C2015 + C2015 + C2015 + + C2015 ; 1006 1007 T3 = C2015 + C2015 + C2015 + + C2015 + C2015... + C 2015 − C 62015 + + C 2012 2015 − C 2015 , 2013 2015 S = C 12015 − C 32015 + C 52015 − C 2015 + + C 2015 − C 2015 , 2012 S = C 20 15 + C 2015 + C 2015 + + C 2015 ; 48 S = C 50 − 3C 50 + 32... Một số tập 5.1 Viết dạng khai triển đa thức B i Viết dạng khai triển đa thức a) ( a − 3b ) B i 2 b) ( − x )5 , x > x c) (2 x + 1)8 a) Tìm số hạng thứ khai triển (1 − x)12 viết theo thứ tự lũy