Chng BK TP.HCM Faculty of Computer Science and Engineering HCMC University of Technology 268, av Ly Thuong Kiet, District 10, HoChiMinh city Telephone : (08) 864-7256 (ext 5843) Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu BIN I FOURIER NHANH (FFT) T.S inh c Anh V Ni dung Tớnh DFT IDFT Tớnh trc tip Bin ủ Chia-Tr C s C s DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE N Lc tuyn tớnh Tỏch c s Goertzel Chirp-z DFT IDFT Tớnh DFT: xỏc nh chui N giỏ tr phc {X ) {x ) chiu di N N FT IDFT X (k ) = x ( n )W kn N t trc chui k N WN = e n=0 x(n) = N N kn ( ) X k W N j 2N n N k =0 Gii thut tớnh DFT cng c ỏp dng cho vic tớnh IDFT Tớnh trc tip N2 phộp nhõn phc phộp cng phc phc : O ) Bin i WN 2N2 phộp tớnh lng giỏc 4N2 phộp nhõn s thc phộp cng s thc Mt s phộp toỏn ch s v a ch np x(n) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE N X R (k ) = xR (n) n=0 N X (k ) = xR (n) I n=0 kn N ) + xI (n) kn N ) xI (n) kn N kn N Gii thut tớnh DFT ti u mi phộp toỏn theo nhng cỏch khỏc ẹoỏi xửựng WNk + N / = WNk Tuan hoaứn WNk + N = WNk Phng phỏp chia-tr Nguyờn t c: phõn ró nh vic tớnh DFT N im thnh vic tớnh cỏc DFT kớch thc nh hn cỏc gii thut FFT Phng phỏp Gi s N=L.M Lu tr x(n) vo mng chiu LxM (l: ch s hng, m: ch s ct) n N-1 x(0) x(1) x(2) x(N-1) l M-1 x(0,0) x(0,1) x(0,M-1) x(1,0) x(1,1) x(1,M-1) x(2,0) x(2,1) x(2,M-1) x(L-1,0) x(L-1,1) x(L-1,M-1) m Cỏch lu tr Theo dũng n = Ml + m Theo ct n = l + mL L-1 Tng t, cỏc giỏ tr DFT X(k) tớnh c cng s (p: ch s hng, q: ch s ct) Theo dũng k = Mp + q Theo ct k = p + qL DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE c lu tr ma trn LxM Phng phỏp chia-tr X (k ) = N x ( n )W kn N n=0 Vi: x(n) X(k) M L X ( p, q ) = x(l , m)WN( Mp + q )( mL +l ) : theo c t : theo hng m =0 l =0 WN( Mp+q)(mL+l ) = WNMLmpWNmLqWNMplWNlq lq M mq lp X ( p, q) = WN x(l , m)WM WL l =0 m =0 L 1 k N DFT M ủim F(l q) WNNmp = WNmqL = WNmq/ L = WMmq WNMpl = WNpl/ M = WLpl (1): Tớnh L DFT M ủi m Nhõn phc : LM2 Cng phc : LM(M-1) (2): Tớnh G(l,q) Nhõn phc : LM (3): Tớnh X(p,q) G(l q) DFT L ủim X(p q) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE Nhõn phc : ML2 Cng phc : ML(L-1) phc Nhõn phc : N(M+L+1) Cng phc : N(M+L-2) Phng phỏp chia-tr Hi u qu PP tớnh trc tip Nhõn phc : N2 Cng phc : N(N-1) PP chia-tr Nhõn phc : N(M+L+1) Cng phc : N(M+L-2) N=1000 L=2, M=500 106 nhõn phc 503,000 (~ N/2) PP chia tr rt hiu qu Phõn ró nh hn n (v-1) ln N= r1r2r3rv Gii thut n = Ml + m k = qL + p n = l + mL k = Mp + q Gii thut Gii thut 1 Lu tr t/h theo ct Tớnh DFT M im ca mi hng Nhõn ma trn kt qu vi h s pha WNlq Tớnh DFT L im ca mi ct c ma trn kt qu theo hng DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE Lu tr t/h theo hng Tớnh DFT L im ca mi ct Nhõn ma trn kt qu vi h s pha WNpm Tớnh DFT M im ca mi hng c ma trn kt qu theo ct Phng phỏp chia-tr Mụ hỡnh tớnh toỏn DFT ủi m thụng qua vic tớnh DFT im v DFT im W6lq X(5) X(1) DFT ủim x(3) x(0) 3ủ im x(5) x(2) X(2) DF T x(4) x(1) X(4) X(0) X(3) Gii thut tớnh FFT c s Nu N = r1r2r3rv = rv mụ hỡnh tớnh DFT cú cu trỳc r = FFT c s Chn M = N/2 v L = x(0) Gii thut chia theo thi gian m=0 x(1) x(2) m=1 u (ch dựng DFT r im) x(N-1) m=M-1 l=0 x(0) x(2) x(N-2) f1(2n) l=1 x(1) x(3) x(N-1) f2(2n+1) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE n= 0,1, , N/2-1 FFT c s X (k ) = N x ( n )W k = ,1, , N kn N n=0 = x ( n )W Nkn + n even n old ( N / ) = x ( n )W Nkn ( N / ) x ( m )W mk N + m =0 m =0 ( N / ) X (k ) = x ( m + 1)W Nk ( m +1 ) f1 ( m)W WN2 = WN / ( N / ) km N /2 +W m =0 = F1 (k ) + WNk F2 (k ) k N f (m)WNkm/ m =0 k = 0,1, , N F1 (k ) f1 ( m) DFTN / k = 0,1, , N / F1(k), F2(k) tun hon chu k N/2 F2 ( k ) f ( m) DFTN / k = 0,1, , N / F1(k+ N/2) = F1(k) F2(k+ N/2) = F2(k) X (k ) = F1 (k ) + WNk F2 (k ) k = 0,1, , N2 X (k + N2 ) = F1 (k ) WNk F2 (k ) k = 0,1, , N2 DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE WNk + N / = WNk FFT c s k = 0,1, , N2 k = 0,1, , N2 G1(k) DFT2 G2(k) X (k ) = G1 (k ) + G2 (k ) N X k ( + ) = G1 ( k ) G2 ( k ) k=0,1,,(N/2-1) 1) /2 N N -1 ) DFT ủim X( (1 ) (1 ) W 0) X N X /2 ( ) N/ 2+ 1) X( X( G DFT ủim DFT ủim DFT ủim (0 )G G (0 ) N W N W (2 ) (1 )F F (0 ) N N/ -1 1) /2 (N F (2 ) (1 )F m F (0 ) F F DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE F m ủi ủi /2 N /2 N G (N (N /2 - /2 - 1) 1) k = 0,1, , N2 -2 ) -2 ) X(k+ N/2) k = 0,1, , N2 x( N x( N FT D FT D x( x( 1) 0) x( x( 3) 2) x( x( 4) 4) X(k) X( G1 (k ) = F1 (k ) G2 (k ) = WNk F2 (k ) FFT c s Ti p t c phõn f1(n) v f2(n) thnh cỏc chui N/4 ủi m v11 ( n ) = v12 ( n ) = v 21 ( n ) = v ( n ) = 22 f1 ( n ) n = ,1, , N f ( n + 1) n = ,1, , N f (2n) n = ,1, , N f ( n + 1) n = ,1, , N F1 ( k ) = V11 ( k ) + W Nk / 2V12 ( k ) k N F k V k W ( ) ( ) + = 11 N / 2V12 ( k ) k F2 ( k ) = V 21 ( k ) + W N / 2V 22 ( k ) F (k + N ) = V (k ) W k V (k ) 21 N / 22 DFT N/4 ủim vij(n) k = ,1, , N k = ,1, , N k = ,1, , N k = ,1, , N Vij(k) Hiu qu DFT trc tip N=2v im Nhõn phc: N2 Cng phc: N2 N DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE FFT c s Cỏc DFT im Nhõn phc: (N/2)log2N Cng phc: Nlog2N 10 FFT c s Th t chui d liu vo sau phõn (v-1) ln Biu din cỏc ch s dng nh phõn Chui sau phõn chia s l ly theo th t ủo cỏc bit B nh a ch x(0) Phõn chia B nh a ch 000 x(0) x(1) 001 x(2) Phõn chia B nh a ch 000 x(0) 000 x(2) 010 x(4) 100 010 x(4) 100 x(2) 010 x(3) 011 x(6) 110 x(6) 110 x(4) 100 x(1) 001 x(1) 001 x(5) 101 x(3) 011 x(5) 101 x(6) 110 x(5) 101 x(3) 011 x(7) 111 x(7) 111 x(7) 111 DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 14 FFT c s Phõn chia theo tn s Phng phỏp chia v tr M=2 L=N i d Ph hi X(k) thnh X(2k) v X(2k+1) Sau ú cú th phõn chia tip tc mi X(k ch n) v X(k l) x(0) X(0) x(1) DFT ủim x(2) x(3) -1 x(5) -1 x(6) X(4) -1 x(7) -1 b W N B = (ab)WN X(1) W W1 W2 W3 A = (a+b) WN X(2) X(6) x(4) a DFT ủim DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE X(3) X(5) X(7) 15 FFT c s x(0) x(2) x(4) x(N-1) l,p = 0,1,2,3 m,q = 0,1,,N/4 L = 4, M = N/4 N = 4v n = 4m + l k = (N/4)p + q m=0 m=1 m=(N/4)-1 l=0 x(0) x(4) x(N-4) x(4n) l=1 x(1) x(5) x(N-3) x(4n+1) n = 0,1,,N/4-1 l=2 x(2) x(6) x(N-2) x(4n+2) l=3 x(3) x(7) x(N-1) x(4n+3) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 16 FFT c s lq M mq X ( p , q ) = W N x ( l , m )W M W Llp l =0 m =0 L [ ] X ( p, q) = WNlq F (l , q) W4lp p = 0,1,2,3 l =0 l = 0,1,2,3 N q = , , , ( 1) N /4 F (l , q) = x(l , m)W mq N /4 m=0 DFT N/4 ủim x(l , m) = x(4m + l ) N X p q X = ( , ) ( p + q) X (0, q ) 1 X (1, q ) j = X ( 2, q ) X (3, q ) j W N0 F (0, q ) j W Nq F (1, q ) W N2 q F ( 2, q ) 3q j W N F (3, q ) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 17 FFT c s WN0 WNq -j -1 j -1 WN2q -1 j -1 WN3q -j q 2q Dng rỳt gn 3q DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 18 FFT c s phc tp: tớnh toỏn cn nhõn phc ng phc N=4v ng tớnh toỏn : v = log4N i tng cú : N tớnh toỏn 3vN/4 = (3N/8)log2N 12vN/4 = (3N/2)log2N : Nhõn phc : Cng phc (gim 25% vs FFT2) (tng 50% vs FFT2) Biu di n li nhõn ma trn X (0, q ) X (1, q ) = X ( 2, q ) X q ( , ) (3N/8)log2N Nlog2N 1 j j : Nhõn phc : Cng phc DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 1 1 0 W N0 F ( , q ) W Nq F ( , q ) W N2 q F ( , q ) 3q W N F ( , q ) (gim 25% vs FFT2) (bng FFT2) 19 Hin thc cỏc gii thut FFT FFT c s Tớnh toỏn hỡn m: (N/2)log2N ln H s quay WNk: c tớnh mt ln v lu bng B nh: 2N nu mun vic tớnh toỏn c thc hin ti ch 4N nu mun n gin húa cỏc tỏc v ch s v iu khin; chui nhp v xut theo ỳng th t IDFT x(n) = N N kn ( ) X k W N ng thi cho phộp n N k =0 Khỏc c bn gia vic tớnh DFT v IDFT l h s 1/N v du ca h s pha WN o chiu s IDFT tớnh DFT, i du h s pha, v chia kt qu cui cựng cho N DFT vi s im khỏc 2v hoc 4v phc m thờm cỏc s Tỏc v s hc (nhõn phc, cng phc) Cu trỳc hin thc ca gii thut (qui t c vs bt qui t c) Kin trỳc ca cỏc b DSPs (x lý song song cỏc tỏc v) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 20 ng dng ca cỏc gii thut FFT Tớnh DFT ca chui thc x1(n) v x2(n): chui thc di N cn tớnh DFT nh ngha chui x(n) = x1(n) + jx2(n) 0nN1 X(k) = X1(k) + jX2(k) (tớnh tuyn tớnh ca DFT) x ( n) + x * ( n) x1 (n) = x ( n) x * ( n) x2 ( n ) = 2j DFTN x* (n) X * ( N k ) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE [ ] [ ] X ( k ) = {DFT [x ( n) ] + DFT x * ( n) } X ( k ) = {DFT [x ( n) ] DFT x * ( n) } X (k ) = X (k ) = [X (k ) + X ( N k )] [X (k ) X ( N k )] * * 21 ng dng ca cỏc gii thut FFT Tớnh DFT ca chui thc 2N im g(n): chui thc di 2N cn tớnh DFT Tỏch thnh chui x1(n) = g(2n) v x2(n) = g(2n+1) n N-1 nh ngha chui x(n) = x1(n) + jx2(n) n N-1 X(k) = X1(k) + jX2(k) (tớnh tuyn tớnh ca DFT) X (k ) = X (k ) = [X ( k ) + X [X ( k ) X * * ] ( N k )] (N k) N N G (k ) = g ( n )W nk 2N n=0 + g ( n + 1)W 2(N2 n +1) k n=0 N N n=0 n=0 = x1 ( n )W Nnk + W 2kN x ( n )W Nnk G (k ) = X (k ) + W2kN X (k ) k = 0,1, , N G (k + N ) = X (k ) W2kN X (k ) k = 0,1, , N DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE ng dng ca cỏc gii thut FFT Lc tuyn tớnh cỏc chui d liu di Overlap add Overlap save + FFT Phng phỏp h(n) ỏp ng xung n v ca b lc (chiu di M) c m thờm L-1 s khụng cho N = L + M = 2v H(k): DFT N im ca h(n), theo th t o nu h(n) c s p theo th t thun (Gii thut FFT suy gim theo tn s) xm(n) d liu chiu di L ( ó c phõn c t) c m thờm M1 im (giỏ tr tựy theo PP lc c dựng) Xm(k): DFT N im ca xm(n), cng theo th t o (Gii thut FFT suy gim theo tn s) Ym(k) = H(k)Xm(k) H(k) v Xm(k) cựng cú th t o Ym(k) theo th t o ym(n) = IDFTN{Ym(k)} s ỳng theo th t thun nu dựng gii thut FFT suy gim theo thi gian Khụng cn thit o v trớ cỏc d liu vic tớnh DFT v IDFT Tớnh tng quan (tng t) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 23 Phng phỏp lc tuyn tớnh FFT khụng hiu qu tớnh DFT (IDFT) ti mt s tớnh trc tip Gii thut Goertzel im (< log2N) Da vo tớnh chu k ca WNk v biu din vic tớnh toỏn DFT nh lc tuyn tớnh X (k ) = W kN N N x ( m )W km N m =0 t yk (n) = = N k ( N m) ( ) x m W N m =0 N k (nm ) ( ) = x ( n ) * hk ( n ) x m W N H k ( z) = 1 WN k z m =0 vúi hk ( n ) = W N kn u ( n ) Mt pole trờn vũng trũn ủn v ti tn s k=2k/N X (k ) = yk (n) n= N Thay vỡ tớnh tng chp trc tip, ta cú th dựng PTSP yk (n) = WN k yk (n 1) + x( n) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE yk (1) = Vic tớnh DFT ti mt ủim k cú th ủc thc hin bng cỏch cho t/h ủi vo b cng hng mt pole ti tn s k=2k/N 24 Gii Gi i thut Goertzel K t h p tng cp cỏ H k ( z) = Hin th cng hng cú pole liờn hp phc W N k z k / N ) z + z ng dng chun t c (dng II) vk (n ) = 2 k N v k ( n 1) v k ( n ) + x ( n ) y k ( n ) = v k ( n ) W Nk v k ( n 1) Vi /k u vk (1) = vk (2) = n = ,1, , N n=N ( + yk(n) c tớnh nht mt ln cho n = N + ( Z1 vk(n) c lp li cho n = 0, 1, , N Mi vũng cn phộp nhõn thc ( + 2 k N W nk ) Z1 Nu x(n) l t/h thc, cn N+1 phộp nhõn thc tớnh X(k) v X(N-k) {do tớnh i xng} Gii thut Goertzel ch thớch hp s giỏ tr DFT cn tớnh khỏ nh ( log2N) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 25 Gii thut B Chirp-z DFT N ủi m ~ X(zk) vi zk = ej2kn/N , k=0,1, ,N-1 (cỏc im cỏch u trờn vũng trũn n v) N B Z ca x(n) ti cỏc im zk X ( zk ) = x ( n ) z k n k = ,1, , L n=0 Nu zk = rej2kn/N (zk l N im cỏch X (zk ) = N u trờn vũng trũn bk r) x ( n ) r n e j kn / N k = ,1, , N n=0 Vic tớnh DFT cú th c thc hin bng gii thut FFT cho chui x(n)r-n Tng quỏt, zk nm trờn cung xo n c b t u t hoc i gc ta ) z = r e j ( R e j ) k k ( ủ im z0 = r0 e j ( i vo k = 0,1, , L ( ( ( 0 ( 0 ( 1 0 0 DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 0 ( ( 26 Gii thut B Chirp-z y (k ) X ( zk ) = k = 0,1, , L h( k ) V = R0 e j h( n) = V n2 / g (n) = x(n)(r0 e j n ) V n2 / N y ( k ) = g ( n) h( k n) k = 0,1, , L n =0 R0 = h(n) = e =n /2 j 0n2 / = e j (n / 2) n ej n Tn s ca t h m phc h(n), tng tuyn tớnh theo thi gian h(n): chirp signal DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 27 Gii thut B Chirp-z Xỏc ủnh t ng chp vũng ca chui g(n) N im v chui h(n) M im (M > N) N-1 im u l cỏc im lp li M-(N-1) im cũn li cha kt qu N y ( k ) = g ( n) h( k n) k = 0,1, , L n =0 Gi s M = L + (N-1) M ủi m ca chui h(n) c xỏc nh (N1) n (L1) nh ngha chui M im h1(n) = h(nN+1) n = 0,1,,M1 H1(k) = DFTM{h1(n)} G(k) = DFTM{g(n)} (sau ó m thờm vo g(n) L-1 s 0) Y1(k) = G(k)H(k) y1(n) = IDFT{Y1(k)} n = 0,1,,M1 N-1 im u tiờn ca y1(n) l cỏc im lp loi b chỳng Cỏc im kt qu l giỏ tr ca y1(n) N-1 n M1 y(n) = y1(n+N-1) X(zk)= y(k)/h(k) n = 0,1,,L-1 k = 0,1,,L-1 DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE 28 [...]...FFT cơ số 2 Ví dụ: tính DFT x(0) ñi m x(1) x(2) x(3) Phân theo th i gian x(0) x(2) x(4) x (6) x(1) x(3) x(5) x(7) x(4) x(5) x (6) x(7) 7] x(0) x(4) x(2) x (6) x(1) x(5) x(3) x(7) DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE [0,2,4 ,6] [0,4] [1,3,5,7] [2 ,6] [1,5] [3,7] FFT cơ số 2 x(0) X(0) x(4) W 0 X(1) -1 x(2) x (6) W 0 -1 W 0 W 2 X(2) -1 X(3) -1 x(1) W 0 x(5)... tần số) Ym(k) = H(k)Xm(k) • H(k) và Xm(k) cùng có thứ tự o → Ym(k) theo thứ t o • ym(n) = IDFTN{Ym(k)} s úng theo thứ tự thuận nếu dùng giải thuật FFT suy giảm theo thời gian Không cần thiết o vị trí các dữ liệu trong việc tính DFT và IDFT Tính tương quan (tương tự) DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 23 Phương pháp lọc tuyến tính FFT không hiệu quả khi tính DFT (IDFT) tại một s tính... Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE -1 X(4) X(5) X (6) X(7) 12 FFT cơ số 2 ản cho DFT 2 iểm (hình con bướm) Kh i tính toán c a A = a+WN’b b B = a–WN’b W N’ –1 Độ phức tạp • 1 nhân phức • 2 cộng phức N= 2v: + Log2N : tầng tính toán + N/2 : khối tính toán cơ bản cho mỗi lớp Bộ nhớ: + Vào : (a,b) – số phức + Ra : (A,B) – số phức + Có thể lưu (A,B) ñè lên (a,b) Chỉ cần N ô nhớ phức (2N ô nhớ thực) Tính... – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE Ứng dụng của các giải thuật FFT Lọc tuyến tính các chuỗi dữ liệu dài Overlap add Overlap save + FFT Phương pháp h(n) – Đáp ứng xung n vị của bộ lọc (chiều dài M) • Được m thêm L-1 số không sao cho N = L + M – 1 = 2v • H(k): DFT N iểm của h(n), theo thứ tự o nếu h(n) ược s p theo thứ tự thuận (Giải thuật FFT suy giảm theo tần số) xm(n) – khối dữ liệu chiều... giản hóa các tác vụ chỉ số và iều khiển; chuỗi nhập và xuất theo úng thứ tự IDFT 1 x(n) = N N −1 − kn ( ) X k W ∑ N ng thời cho phép 0 ≤ n ≤ N −1 k =0 Khác nhau cơ bản giữa việc tính DFT và IDFT là hệ số 1/N và dấu của hệ số pha WN • Đảo chiều sơ IDFT tính DFT, i dấu hệ số pha, và chia kết quả cuối cùng cho N → DFT với s iểm khác 2v hoặc 4v → Độ phức tạp m thêm các số 0 Tác vụ số học (nhân phức, cộng... DSPs (x lý song song các tác vụ) DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 20 Ứng dụng của các giải thuật FFT Tính DFT của 2 chuỗi thực x1(n) và x2(n): chuỗi thực dài N cần tính DFT Định nghĩa chuỗi x(n) = x1(n) + jx2(n) 0≤n≤N–1 X(k) = X1(k) + jX2(k) (tính tuyến tính của DFT) x ( n) + x * ( n) x1 (n) = 2 x ( n) − x * ( n) x2 ( n ) = 2j DFTN x* (n) ← → X * ( N − k ) DSP – Lecture 6, © 2007,... q ) 3q − 1 − j W N F (3, q ) DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 1 17 FFT cơ số 4 WN0 WNq -j -1 j -1 1 WN2q -1 j -1 WN3q 0 -j q 2q Dạng rút gọn 3q DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 18 FFT cơ số 4 Độ phức tạp: 1 khối tính toán cần nhân phức ộng phức N=4v ầng tính toán : v = log4N ỗi tầng có : N khối tính toán 3vN/4 = (3N/8)log2N 12vN/4 = (3N/2)log2N : Nhân... tại chỗ DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 13 FFT cơ số 2 Thứ t chuỗi dữ liệu vào sau khi phân (v-1) lần Biểu diễn các chỉ số ở dạng nhị phân Chuỗi sau khi phân chia sẽ là lấy theo thứ tự ñảo các bit Bộ nhớ Địa chỉ x(0) Phân chia Bộ nhớ Địa chỉ 000 x(0) x(1) 001 x(2) Phân chia Bộ nhớ Địa chỉ 000 x(0) 000 x(2) 010 x(4) 100 010 x(4) 100 x(2) 010 x(3) 011 x (6) 110 x (6) 110 x(4) 100 x(1)... x(1) 001 x(5) 101 x(3) 011 x(5) 101 x (6) 110 x(5) 101 x(3) 011 x(7) 111 x(7) 111 x(7) 111 DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 14 FFT cơ số 2 Phân chia theo tần số Phương pháp chia và trị M=2 L=N ỗi dữ ệ ậ ượ ế ộ Ph hi X(k) thành X(2k) và X(2k+1) Sau ó có thể phân chia tiếp tục mỗi X(k ch n) và X(k lẻ) x(0) X(0) x(1) DFT 4 ñiểm x(2) x(3) -1 x(5) -1 x (6) X(4) -1 x(7) -1 b –1 W N’ B = (a–b)WN’... Cộng phức DSP – Lecture 6, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 0 1 0 −1 1 0 1 0 0 W N0 F ( 0 , q ) 0 W Nq F ( 0 , q ) 1 W N2 q F ( 0 , q ) 3q − 1 W N F ( 0 , q ) (giảm 25% vs FFT2) (bằng FFT2) 19 Hiện thực các giải thuật FFT FFT c số 2 Tính toán hìn ướm: (N/2)log2N lần Hệ số quay WNk: ược tính một lần và lưu trong bảng Bộ nhớ: 2N nếu muốn việc tính toán ược thực hiện ... x(5) x (6) x(7) 7] x(0) x(4) x(2) x (6) x(1) x(5) x(3) x(7) DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE [0,2,4 ,6] [0,4] [1,3,5,7] [2 ,6] [1,5] [3,7] FFT c s x(0) X(0) x(4) W X(1) -1 x(2) x (6) W... x(4) 100 x(2) 010 x(3) 011 x (6) 110 x (6) 110 x(4) 100 x(1) 001 x(1) 001 x(5) 101 x(3) 011 x(5) 101 x (6) 110 x(5) 101 x(3) 011 x(7) 111 x(7) 111 x(7) 111 DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu... x(0) X(0) x(1) DFT ủim x(2) x(3) -1 x(5) -1 x (6) X(4) -1 x(7) -1 b W N B = (ab)WN X(1) W W1 W2 W3 A = (a+b) WN X(2) X (6) x(4) a DFT ủim DSP Lecture 6, â 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu CSE X(3) X(5)