Chương BK TP.HCM Faculty of Computer Science and Engineering HCMC University of Technology 268, av Ly Thuong Kiet, District 10, HoChiMinh city Telephone : (08) 864-7256 (ext 5843) Fax : (08) 864-5137 Email : anhvu@hcmut.edu.vn http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu BIẾN ĐỔI Z T.S Đinh Đức Anh Vũ Nội N i dung Biến ñổi Z BĐ thuận BĐ ngược Các tính chất BĐ Z BĐ Z hữu tỉ Điểm không (Zero) – Điểm cực (Pole) Pole t/h nhân miền thời gian Mô tả h/t LTI hàm hệ thống Biến ñổi Z ngược Phương pháp tích phân Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa Phương pháp phân rã thành hữu tỉ Biến ñổi Z phía (Z+) Tính chất Giải PTSP BĐ Z+ Phân tích hệ LTI Đáp ứng hệ Đáp ứng tức thời, ñộ Tính ổn ñịnh nhân DSP – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE Biến ñổi Z Tổng quát Một cách biểu diễn t/h khác mặt toán học Biến ñổi t/h từ miền thời gian sang miền Z Dễ khảo sát t/h v h/t nhiều trường hợp (dựa vào t/c BĐ Z) Định nghĩa Công thức +∞ X (z) = ∑ x(n)z − n n =−∞ Quan hệ Ký hiệu z x(n) ← → X (z ) X(z) ≡ Z{x(n)} Biến z Điểm thuộc mặt phẳng z z = a + jb hay z = rejδ Miền hội tụ (ROC) {z │ |X(z)| < ∞} Chỉ quan tâm X(z) ñiểm z thuộc ROC DSP – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE Biến ñổi Z Ví d x(n) = anu(n) T/h nhân qu +∞ X ( z) = ∑ x(n) z −n +∞ = ∑ ( az −1 ) n n = −∞ n =0 Khi az −1 < (i.e z > a ), X ( z) = ⇒ ROC z > a T/h phả n nhân x(n) = –anu(–n–1) +∞ X ( z) = ∑ x ( n) z −n n = −∞ −1 = −1 ∑ (−a ) z n = −∞ Khi a z < 1(i.e z < a ), Ý nghĩa n −n 1 − az −1 ∞ = −∑ ( a −1 z ) l l =1 a −1 z X ( z) = − = − a −1 z − az −1 ⇒ ROC z < a • T/h RRTG x(n) ñược xác ñịnh biểu thức BĐ Z ROC • ROC t/h nhân phần vòng tròn bán kính r2, ROC t/h phản nhân phần vòng tròn bán kính r1 DSP – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE Biến ñổi Z ROC t/h T/h hữu hạn T/h Nhân [x(n)=0 n0] bên T/h vô hạn ROC T/h ROC Mpz \ {0} Nhân (t/h bên phải) [x(n)=0 n r2 Mpz \ {∞} Phản nhân (t/h bên trái) [x(n)=0 n>0] │z│< r1 bên Vành khuyên r1 >│z│> r2 Mpz \ {0 ∞} +∞ BĐ Z phía X + ( z ) = ∑ x ( n) z − n n =0 DSP – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE Img Re Biến ñổi Z Tích phân Cauchy 1 k = n n −1− k z dz = ∫ jC 0 k ≠ n Biến ñổi Z ngược Từ +∞ X ( z) = −k x ( k ) z ∑ k = −∞ zn–1 Nhân vế với Tích phân vế theo ñường cong kín C bao gốc O thuộc ROC X(z) ∫ C X ( z ) z n −1dz = ∫ C Áp dụng tích phân Cauchy ∫ C +∞ n −1 X ( z ) z dz = n −1−k x ( k ) z dz ∑ k = −∞ +∞ ∑ k = −∞ x(k ) ∫ z n−1−k dz = jx(n) C ⇒ DSP – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE n −1 x ( n) = X ( z ) z dz ∫ jC Biến ñổi Z – ính chất ROC = ROC1 ∩ ROC2 ∩ ∩ ROCn z → X1 ( z) Tuyến tính x1 (n) ← z x2 ( n ) ← → X ( z) ⇒ z x(n) = ax1 (n) + bx2 (n) ← → X ( z ) = aX ( z ) + bX ( z ) Ví dụ x(n) = anu(n) + bnu(–n–1) ROC z > a −1 − az z n x2 (n) = −b u (−n − 1) ← ROC z < b → X ( z ) = −1 − bz 1 z Do ñó x ( n ) = x1 ( n ) − x2 ( n ) ← → X ( z) = X 1( z) − X ( z) = − − az −1 − bz −1 ROC a < z < b z x1 (n) = a n u (n) ← X1 ( z) = → DSP – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE Biến ñổi Z – ính chất z x ( n) ← → X ( z) z → x(n − k ) ← z −k X ( z) Dịch theo thời gian ⇒ ROC = ROC x ( n ) 0 k > ∞ k < ROC việc kết hợp BĐ Z Nếu kết hợp tuyến tính BĐ Z có khoảng thời gian hữu hạ ROC BĐ Z ñược xác ñịnh chất hữu hạn t/h mà ROC BĐ riêng lẻ 1 ≤ n ≤ N −1 Ví dụ x(n) = N −1 X ( z ) = ∑ z 0 −n others −1 = 1+ z +Λ + z n =0 − ( N −1) N = 1 − z − N − z −1 z =1 z ≠1 Mặt khác biểu diễn x(n) = u(n) – u(n–N) X(z) = Z{u(n)} – Z{u(n–N)} = (1–z-N)Z{u(n)} Z u (n = 1 − z −1 ROC z > DSP – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE ROC mpz Biến ñổi Z – ính chất z x ( n) ← → X ( z) Co giãn mi n Z z a n x(n) ← X ( a −1 z ) → ⇒ ROC r1 < z < r2 ∀a (thuc hay phuc) ROC a r1 < z < a r2 Ý nghĩa a = r0 e j z = re j w = a −1 z Im(z) r 1 w = a z = r0 j( − ) r e co r0 > 1 Thay bien ⇔ + quay mpz gian r0 < 1 DSP – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE ω Re(z) Z x(n = X ( z ) ⇒ Z a n x(n = X ( w) −1 z =a–1z Im(w) r/r0 w ω–ω0 Re(w) Biến ñổi Z – ính chất z x ( n ) ← → X ( z) Đảo thời gian −1 x (−n) ←→ X ( z ) Z ⇒ ROC r1 < z < r2 1 ROC pk ( ) k −1 = Z n −1 ( ) p z p u( −n − 1) ROC z < pk − − k k Nên x(n) = ( A1 p1n + A2 p2n + Λ + AN p Nn )u (n) ( nhân qua ) ( phan nhân qua ) Nếu có pole liên hợp phức kết hợp pole ñó xk (n) = Ak ( pk ) n + Ak* ( pk* ) n u (n) Ak = Ak e j❛ k Nếu j❜ k pk = rk e 1 * n + Z −1 Ak A = A r k k k −1 − pk* z −1 − pk z Nếu có pole kép k n+ pz −1 n Z = np u ( n) −1 (1 − pz ) −1 – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE k )u (n) neu ROC z > pk = rk ROC z > p Biến ñổi Z ngược Xác ñịnh biểu thức khai triển + z −1 X ( z) = − z −1 + 0.5 z − X ( z) = (1 + z −1 )(1 − z −1 ) p1 = + j p2 = − j X (z) A1 A2 = + z z − p1 z − p2 A1 = − j A2 = + j X ( z) A1 A2 A3 = + + z z + z − ( z − 1) A1 = 14 , A2 = 34 , A3 = – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 34 Biến ñổi Z ngược Phân rã BĐ Z hữu tỉ Dùng việc thực h/t RRTG (các chương sa ả BĐ Z ñược biểu diễn (ñể ñơn giản a0≡1) M ∑b z M ∏ (1 − z z −k X ( z) = k =0 N + ∑ ak z − k −1 k k = b0 k =1 k =1 N ∏ (1 − p z ) −1 k ) k =1 ế M ≥ N X(z) ñược biến ñổi thành X (z) = M −N −k c z ∑ k + X pr ( z ) k =0 Nếu Xpr(z) có pole ñơn riêng biệt, Xpr(z) ñược phân rã thành 1 X pr ( z ) = A1 + A + Λ + A N − p1 z − 1 − p z −1 − p N z −1 Nếu Xpr(z) có nghiệm phức (liên hợp), nghiệm liên hợp ñược nhóm lại ñể tránh tạo hệ số phức A A* b + b1 z − + = − pz −1 − p * z −1 + a1 z −1 + a z − – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE với b0 = b1 = A) Ap * ) a1 = − a2 = p p) 35 Biến ñổi Z ngược Tóm lại X ( z) = M −N −k c z ∑k k =0 với K2 bk b0 k + b1k z −1 +∑ +∑ −1 −1 −2 1 + + + a z a z a z k =1 k =1 1k 2k k K1 K1 + K = N – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 36 Biến ñổi Z ngược Phân rã BĐ Z hữu tỉ X(z) ñược biểu diễn dạng tích Các pole phức (liên hợ zero phức (liên hợp) ñược kết hợp ñể tránh hệ số phức cho phân rã X(z) (1 − z k z −1 )(1 − z k* z −1 ) + b1k z −1 + b2 k z −2 = −1 * −1 (1 − pk z )(1 − pk z ) + a1k z −1 + a2 k z − ñó zk ) b1k = −2 = b z 2k k pk ) a1k = −2 = a p 2k k Để ñơn giản, cho M = N, X(z) ñược biểu diễn thành + bk z −1 K + b1k z −1 + b2 k z −2 X ( z ) = b0 ∏ −1 ∏ −1 −2 1 + + + a z a z a z k =1 k =1 1k 2k k K1 ñó K1 + K = N – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 37 Biến ñổi Z m t phía Giới thiệu Trong kỹ thuật tác ñộng thường bắt ñầu từ thời ñiểm n0 ñó Đáp ứng thường bắt ñầu từ n0 thời ñiểm sau n0 với ñiều kiện ñầu ñó Biến ñổi Z phía (Z ) quan tâm ñến phần tín hiệu x(n), n≥0 Định nghĩa ∞ X + ( z ) ≡ ∑ x ( n) z − n n =0 Ký hiệu Đặ Z {x z+ x( n) ←→ X + ( z ) + ( ) không chứa thông tin x(n) n < BĐ Z ñối với t/h nhân Z {x(n) = Z{x(n) ( bên vòng tròn • Không xét ñến ROC tính BĐ Z – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 38 Biến ñổi Z m t phía Tính chất Các tính chất BĐ Z ñều ñúng cho BĐ Z theo thời gian z+ x(n) ←→ X + ( z ) Dịch theo thời gian • Trễ z+ x(n − k ) ←→ z −k ngoại trừ tính chất dịch k X ( z ) + ∑ x ( − n) z n + k >0 n =1 Nếu x(n) t/h nhân quả, ta có z+ x(n − k ) ←→ z − k X + ( z ) • Nhanh k >0 k −1 z x(n + k ) ←→ z k X + ( z ) − ∑ x( n) z − n + k [...]... – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 18 ế ñổ ữ ỉ Vị trí pole và hành vi của t/h nhân quả ở miền thời gian Vị trí pole ảnh hưởng tính chất bị chậ phân kỳ của tín hiệu nhân quả ở miền thời gian Vị trí pole quyết ñịnh tính ổn ñịnh của hệ thống nhân quả Tính chất của tín hiệu ở miền thời gi trong trường hợp pole nằm ngoài hay trong hay trên v ng tr ñơn vị qua những ví dụ sau – Lecture 3, © 2007,... >1 và b) ROC |z| < 0.5 • x(n) là t/h nhân quả 1 −2 3 −1 15 3 1 X ( z) = = + + + z z z +Λ 2 4 −1 −2 1 − 1.5 z + 0.5 z ⇒ x(n) = {1, 3/ 2, 7/4, 15/8, …} • x(n) là t/h phản nhân quả 1 2 3 4 X ( z) = = 2 + + 14 +Λ z z z −1 −2 1 − 1.5 z + 0.5 z ⇒ x(n) = {…, 14, 6, 2, 0, 0} – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 30 Biến ñổi Z ngược PP khai triển phân số cục bộ và tra bảng Nguyên tắc • Nếu X(z) ñược biểu... – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE k )u (n) neu ROC z > pk = rk ROC z > p Biến ñổi Z ngược Xác ñịnh biểu thức khai triển của 1 + z −1 X ( z) = 1 − z −1 + 0.5 z − 2 1 X ( z) = (1 + z −1 )(1 − z −1 ) 2 p1 = 1 2 + j 1 2 p2 = 1 2 − j 1 2 X (z) A1 A2 = + z z − p1 z − p2 A1 = 1 2 − j 3 2 A2 = 1 2 + j 3 2 X ( z) A1 A2 A3 = + + z z + 1 z − 1 ( z − 1) 2 A1 = 14 , A2 = 34 , A3 = – Lecture 3, © 2007,... phân số cục bộ • Tra bảng ñể xác ñịnh BĐ Z ngược của từng phân số Phương pháp – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 31 Biến ñổi Z ngược Khai triển phân số cục bộ Tìm pole bằng cách giải PT zN … 1z (giả sử các pole p1 p2 … pN) e ñơn riêng biệt X ( z ) = A1 + A2 + Λ + AN • Xác ñịnh Ak z z − p1 z − p2 ( z − pk ) X ( z ) Ak = z z = pk N =0 z − pN • Các pole liên hợp phức sẽ tạo ra các hệ số liên... Xác ñịnh Y(z) Tìm y(n) bằng cách tính BĐ Z ngược của Y(z) Tìm ñáp ứng ñơn vị ∞ Y ( z) H ( z) = = ∑ h( n) z − n X ( z ) n = −∞ Hàm h/t: H(z) H ( z) = X ( z) = 1 1 − 12 z −1 1 1 − 13 z −1 ⇒ Y ( z) = = 1 1 1 − 12 z −1 1 − 13 z −1 ( z −1 − 2)( z −1 − 3) H(z): ñặc trưng cho h/t trong miền Z h(n): ñặc trưng cho h/t trong miền TG – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 23 BĐ Z hữu tỉ – Hàm h/t của h LTI... a0 ≡ 1 k k =0 – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 24 Biến ñổi Z ngược ng c Tổng quát Tìm t/h trong miền th i gian t BĐ Z của nó Ký hiệu x(n) = Z–1{X(z)} Biểu thức tổng quát 1 n −1 x ( n) = X z z dz ( ) ∫ 2 j C C bao dong quanh goc O, thuoc ROC Phương pháp Tính tích phân trực tiếp Khai triển thành chuỗi theo biến z và z–1 Khai triển phân số cục bộ và tra bảng – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc... tránh tạo ra hệ số phức A A* b 0 + b1 z − 1 + = 1 − pz −1 1 − p * z −1 1 + a1 z −1 + a 2 z − 2 – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE với b0 = 2 b1 = 2 A) Ap * ) a1 = − 2 a2 = p p) 2 35 Biến ñổi Z ngược Tóm lại X ( z) = M −N −k c z ∑k k =0 với K2 bk b0 k + b1k z −1 +∑ +∑ −1 −1 −2 1 1 + + + a z a z a z k =1 k =1 1k 2k k K1 K1 + K 2 = N – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 36 ... z) z x2 ( n ) ← → X 2 ( z) z ⇒ x(n) = x1 (n) * x2 (n) ← → X ( z) = X1 ( z) X 2 ( z) Tính tích ch p của 2 t/h g phép BĐ Z Xác ñịnh BĐ Z của 2 t/h X1(z) = Z{x1(n)} X2(z) = Z{x2(n)} Miền thời gian → miền Z Nhân 2 BĐ Z với nhau X(z) = X1(z)X2(z) Xử lý trong miền Z Tìm BĐ Z ngược của X(z) x(n) = Z-1{X(z)} – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE Miền Z → miền thời gian Biến ñổi Z – ính chất z x1... Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 19 ế ñổ ữ ỉ – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE ị 20 ế ñổ ữ ỉ – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE ị 21 ế ñổ ữ ỉ ị p=0.8e±jπ/4 p=1.2e±jπ/4 p=e±jπ/4 p=0.8e±jπ/4 – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE BĐ Z hữu ữ tỉỉ – Hàm h/t /t của hệ h LTI x(n) Hệ thống LTI h(n) y(n) y(n) = x(n)*h(n) z z VD h(n) = (1/2)nu(n) x(n) = (1 /3) nu(n) z Y(z) = X(z) H(z) Xác ñịnh y(... Do do, X ( z ) hoi tu r1l r2l < z < r1u r2u – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 13 Biến ñổi Z – ính chất Định lý giá trị ñầu Nếu x(n) nhân quả [x(n) = 0 ⇒ x (0) = z→∞ ∀n ... ( z) A1 A2 A3 = + + z z + z − ( z − 1) A1 = 14 , A2 = 34 , A3 = – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 34 Biến ñổi Z ngược Phân rã BĐ Z hữu tỉ Dùng việc thực h/t RRTG (các chương sa ả... ñịnh hệ thống nhân Tính chất tín hiệu miền thời gi trường hợp pole nằm hay hay v ng tr ñơn vị qua ví dụ sau – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 19 ế ñổ ữ ỉ – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc... −1 1 − 13 z −1 ⇒ Y ( z) = = 1 − 12 z −1 − 13 z −1 ( z −1 − 2)( z −1 − 3) H(z): ñặc trưng cho h/t miền Z h(n): ñặc trưng cho h/t miền TG – Lecture 3, © 2007, Dr Dinh-Duc Anh-Vu – CSE 23 BĐ Z hữu