môđun sigma nội xạ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Tuấn Anh MÔĐUN SIGMA - NỘI XẠ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Tuấn Anh MÔĐUN SIGMA - NỘI XẠ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.PHAN DÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phan Dân – người định hướng cho lựa chọn đề tài hướng dẫn hoàn thành công việc Tôi xin chân thành cám ơn: Ban Chủ nhiệm Khoa Quý Thầy Cô tổ Bộ môn Đại số Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp hoàn thành tất học phần khóa học Cao học, giúp nâng cao trình độ kiến thức chuyên môn phương pháp học tập, nghiên cứu Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, phòng Tổ chức - Hành chính, Phòng Kế hoạch - Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ suốt trình học tập Trường Các đồng nghiệp, bạn khóa học gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh, 29/03/ 2012 Tác giả Hồ Tuấn Anh MỤC LỤC Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu Danh mục thuật ngữ Mở đầu Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 12 1.1 Các khái niệm vành 12 1.2 Các khái niệm môđun 13 1.3 Chiều Goldie môđun 19 1.4 Một số lớp vành 19 Chương MÔĐUN ∑ -NỘI XẠ 22 2.1 Khái niệm ∑ -nội xạ, tính chất: 22 2.2 Một số ứng dụng khái niệm ∑ -nội xạ: 25 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU , , , ,  : Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ số thực, số phức (theo thứ tự) A ≤ B ( A < B) : A môđun (con thực sự) B A ≤e B : A môđun cốt yếu B A ≤⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A≅ B : Môđun A đẳng cấu với môđun B A⊕ B : Tổng trực tiếp hai môđun A B ⊕ Ma α∈ I M (I ) : Tổng trực tiếp họ môđun M α : Tổng trực tiếp môđun M với lực lượng lực lượng tập I E(M) : Bao nội xạ môđun M Rad(M), J(R) : Căn môđun M vành R (theo thứ tự) Soc(M) : Đế môđun M Z(M) : Môđun suy biến môđun M Im(f) : Ảnh đồng cấu f Ker(f) : Hạt nhân đồng cấu f End(M) : Vành tự đồng cấu môđun M Z2 (M ) : Môđun suy biến cấp hai môđun M Mod-R (R-Mod) : Phạm trù R-môđun phải (trái, tương ứng) DANH MỤC THUẬT NGỮ CÁC THUẬT NGỮ CHUNG Ascending chain condition (ACC) : điều kiện dây chuyền tăng Descending chain condition (DCC) : điều kiện dây chuyền giảm Completely indecomposable : hoàn toàn không phân tích Idempotent : lũy đẳng CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ VÀNH Annihilator : linh hóa tử Nonsingular ring : vành không suy biến Local ring : vành địa phương Perfect ring : vành hoàn chỉnh Quasi continuos ring : vành tựa liên tục Regular ring : vành quy Right (left) hereditary ring : vành di truyền phải (trái) Right (left) semihereditary ring : vành nửa di truyền phải (trái) Self injective ring : vành tự nội xạ Semi regular ring : vành nửa quy Semilocal ring : vành nửa địa phương Semiperfect ring : vành nửa hoàn chỉnh CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ MÔĐUN Essential submodule : môđun cốt yếu Extending module (CS module) : môđun mở rộng Goldie dimension : chiều Goldie Indecomposable module : môđun không phân tích Injective hull : bao nội xạ Local module : môđun địa phương Nonsingular module : môđun không suy biến Projective cover : phủ xạ ảnh Semilocal module : môđun nửa địa phương Uniserial module : môđun đơn chuỗi Singular module : môđun suy biến Small module : môđun bé Uniform module : môđun MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài Trong phạm trù R-môđun phải vành R ta có lớp môđun quan trọng thường đối tượng xét nhiều việc nghiên cứu tính chất môđun đặc trưng cấu trúc vành qua môđun, lớp: môđun xạ ảnh môđun nội xạ Trên vành tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun xạ ảnh Nhưng điều không môđun nội xạ Khi giải toán xác định điều kiện vành để tổng trực tiếp môđun nội xạ nội xạ, người ta nhận kết quả: “Vành R Noether phải môđun nội xạ tổng trực tiếp môđun không phân tích được, tổng trực tiếp họ môđun nội xạ nội xạ” (các định lý Cartan – Eilenberg – Bass, Matlis, Papp,…) Khi hạn chế điều kiện nói thành “Tổng trực tiếp họ tùy ý đẳng cấu môđun nội xạ nội xạ” C.Faith (1966) đề xuất khái niệm môđun ∑ - nội xạ cho mô tả đầy đủ đặc trưng môđun thông qua điều kiện dây chuyền tăng lớp iđêan phải vành tương ứng Về sau, khái niệm sử dụng nhiều người ta đưa nhiều ứng dụng hiệu lớp môđun ∑ - nội xạ việc đặc trưng lớp vành tựa Frobenius (QF) vành QF – Vì lẽ lựa chọn đề tài là: “Môđun ∑ - nội xạ ứng dụng” để giới thiệu kết tính chất lớp môđun – đồng thời trình bày số ứng dụng chúng I.2 Lịch sử vấn đề Hướng nghiên cứu mà đề tài tiếp cận dựa trên: a) Các đặc trưng môđun nội xạ, tiêu chuẩn Baer để xác định tính nội xạ môđun b) Khái niệm môđun ∑ - nội xạ (Faith, 1966) c) Đặc trưng vành QF (tựa Frobenius) Faith (1966), Faith – Walker(1967) d) Các đặc trưng lớp vành nửa nguyên sơ QF – nửa nguyên sơ QF – di truyển Colby – Rutters (1971) Các kết tiếp tục mở rộng phát triển cho trường hợp xét lớp vành tổng quát Harada (1978), Oshiro (1984, 1990), Pardo – Asensio (2000),… Nhiệm vụ đặt luận văn trình bày môđun ∑ - nội xạ giới thiệu số ứng dụng khái niệm việc nghiên cứu cấu trúc vành I.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn xét vành kết hợp, có đơn vị (không thiết giao hoán) môđun vành môđun unita Đề tài giới hạn phạm vi xét vành phạm trù môđun chúng thông qua khái niệm nội xạ, xạ ảnh, ∑ - nội xạ, ∑ -CS…Ngoài ra, liên hệ với vấn đề nêu, luận văn đề cập tới khái niệm suy biến, không suy biến, khái niệm mở rộng cốt yếu, môđun cốt yếu, linh hóa tử,… (singular, non-singular, essential extension, essential submodule, annihilator,…) I.4 Mục đích nghiên cứu - Mô tả tính chất môđun ∑ - nội xạ thông qua điều kiện dây chuyền tăng lớp iđêan phía vành Xét số trường hợp vành có kèm theo giả thiết tính không suy biến, chiều Goldie hữu hạn… - Nghiên cứu tính đối xứng cấu trúc vành liên hệ tới đặc trưng môđun ∑ - nội xạ phía - Chứng minh số kết đặc trưng vành nhờ khái niệm môđun ∑ - nội xạ I.5 Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng tính chất đặc trưng môđun nội xạ thông qua tiêu chuẩn nội xạ Baer để liên kết đặc trưng với tính chất iđêan phía vành - Sử dụng ánh xạ đồng cấu môđun, điều kiện để đồng cấu mở rộng được,… để mô tả tính nội xạ tổng trực tiếp II NỘI DUNG II.1 Luận văn gồm chương Chương 1: Kiến thức Chương trình bày số kiến thức vành môđun, có: môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, tổng trực tiếp môđun xạ ảnh, nội xạ Một số khái niệm cần thiết cho chương sau giới thiệu như: suy biến, không suy biến, môđun cốt yếu mở rộng cốt yếu, linh hóa tử,… Chương 2: Môđun ∑ - nội xạ 10 Ta định nghĩa r1 theo cách sau Nếu r1z = z ≠ = r1y1 ⊕ K1 L Nếu y1 ≠ , y1 = ⊕ K1 Li r1 = ta có cốt yếu L K1 y1 ∈ Y1 ≤ L K1 , ta lấy r1 ∈ R cho ≠ r1y1 ∈ ⊕ K1 Li Giả sử r1z = r1y1 Ta ( ) có r1z= r1y1 ∈ L K ∩ ⊕ K1 Li ≤ N Do r1z ∈ Z ∩ N = nên = r1z r1= y1 ( mâu thuẫn) Vậy r1z ≠ r1y1 Giả sử với n ≤ r ta định nghĩa r1, ,rn −1 ∈ R cho rn rn −1 r1y j ∈ ⊕ K j Li với =j 1, ,n − rn −1rn −2 r1z ≠ rn −1rn −2 r1y1 + rn −1rn −2 r1y + + rn −1rn −2 r1y n −1 Nếu rn −1rn −2 r1y n = ta định nghĩa rn = Ta có rn rn −1 r1y j ∈ ⊕ K j Li với j = 1, ,n rn rn −1 r1z ≠ rn rn −1 r1y1 + rn rn −1 r1y + + rn rn −1 r1y n Mặt khác, rn −1rn −2 r1y n ≠ , ta chọn rn ∈ R cho ≠ rn rn −1 r1y n ∈ ⊕ K n Li Khi đó, rn rn −1 r1y j ∈ ⊕ K j Li với j = 1, ,n Giả sử rn rn= rn rn −1 r1y1 + rn rn −1 r1y + + rn rn −1 r1y n −1 r1z   Khi đó, rn rn −1 r1z ∈ L K ∩  ⊕ r Li  ≤ N nên rn rn −1 r1z ∈ N ∩ Z = Kj  j =   Do đó:   ≠ rn rn −1 r1y n =−rn rn −1 r1y1 − − rn rn −1 r1y n −1 ∈ ⊕ K n Li ∩  ⊕ n −1 Li  =H n   j=1 K j  ( ) Do đó, rn rn −1 r1y n ∈ H n ∩ Yn = , mâu thuẫn Vậy ta xây dựng dãy phần tử r1,r2 , ,rn , ∈ R cho với n ≤ r ta có rn rn −1 r1y j ∈ ⊕ K j Li ∀j =1, ,n rn rn −1 r1z ≠ rn rn −1 r1y1 + rn rn −1 r1y + + rn rn −1 r1y n Với n = r , ta gặp mâu thuẫn Vậy z = nên Z =  29 J Mệnh đề 2.2.3: Cho M môđun thỏa M ( ) CS–môđun với J tập không đến Giả sử M chứa môđun cốt yếu cyclic Khi đó, M tổng trực tiếp (hữu hạn) môđun Chứng minh: Giả sử M không tổng trực tiếp môđun Vì M CS–môđun nên M không tổng trực tiếp môđun không phân tích Theo [18, Định lí 2.17] ta có M có hạng tử trực tiếp địa phương {Li i ∈ J} {Li i ∈ J} không hạng tử Vì vậy, tồn tập vô hạn đếm I J cho Li ≠ với i ∈ I {Li i ∈ I} hạng tử trực tiếp địa phương thỏa I = ℵ0 Hơn nữa, ⊕ I Li không cốt yếu M ta lấy bao đóng cốt yếu M’ ⊕ I Li đặt M = M '⊕ N Khi đó, {Li i ∈ I} ∪ { N} hạng tử trực tiếp địa phương đếm M ( ⊕ I Li ) ⊕ N cốt yếu M nên ta thay {Li i ∈ I} {Li i ∈ I} ∪ { N} Vì vậy, ta giả sử ⊕ I Li cốt yếu M Xét tập ℘, ℑ 2I thỏa điều kiện Mệnh đề 2.2.2 nên với K ∈ ℑ ta kí hiệu L K bao đóng cốt yếu ⊕ K Li M, K,K1, ,K r ( ) phần tử ( rời đôi ℑ ) zri0 = ς zri0 ∈ L K ∩ L K1 + + L K n = ⊕ F Li Với K ∈ ℑ , đặt f K : L K → ∑ K∈ℑ L K phép nhúng tắc Các phép nhúng cảm sinh toàn cấu f : ⊕ L K → K∈ℑ Khi đó, = f (L) ∑ LK Đặt K∈ℑ L = ⊕ A∈℘ L A ≤ ⊕ K∈ℑ L K ∑ A∈℘LA ≤ ∑ K∈ℑ LK Theo Mệnh đề 2.2.2, tổng ∑ A∈℘LA trực tiếp f L đồng cấu ảnh f chứa ⊕ I Li cốt yếu ∑ K∈ℑ LK Vì K⊕∈ℑ LK hạng tử trực tiếp M(Q) 30 ∑ A∈℘LA ℑ =ℵ1 nên ⊕ ℑ L K CS–môđun Đặt X bao đóng cốt yếu ker f ⊕ ℑ L K Vì X hạng tử trực tiếp ⊕ ℑ L K ker f ∩ L = nên X ∩ L = Vì ker f ≤ X X ∩ L = nên f (X) ∩ f (L) = Vì f (L) cốt yếu ∑ K∈ℑ LK nên f ( X ) = ker f = X hạng tử trực tiếp ⊕ℑ LK f toàn cấu chẻ Vì vậy, tồn đồng cấu ε : ∑ K∈ℑ L K → ⊕ ℑ L K cho f  ε =1∑ L ℑ K Xét môđun cốt yếu cyclic xR M Với i ∈ I , xR ∩ Li ≠ đó, tồn ri ∈ R cho ≠ xri ∈ Li Đặt Y ≤ ∑ K∈ℑ L K môđun sinh họ {xri }i∈I Vì I đếm nên Y môđun sinh họ đếm ∑ K∈ℑ LK Hơn nữa, tồn tập đếm Ω ⊆ ℑ cho ε ( Y ) ⊆ ⊕ K∈J L K Vì ℑ không đến được, tồn K ∈ ℑ − Ω Đặt phép chiếu p K : M → L K đặt = z p K ( x ) ∈ L K Với ≠ xri ∈ Li ≤ L K i ∈ K , ta có zr =i p K ( x )= ri p K ( xr= xri ≠ i) Đặt α : ⊕ ℑ L K → ⊕Ω L K β : ⊕Ω L K → ⊕ ℑ L K phép chiếu phép nhúng tắc Xét đồng cấu ς= f  β  α  ε : ∑ ℑ L K → ∑ ℑ L K Khi đó, Im ς ≤ ∑ Ω L K đặc biệt {K,K1, ,K n } ⊆ Ω ς ( z ) ∈ ∑ Ω L K Vậy tồn tập hữu hạn cho ς ( z ) ∈ L K1 + + L K n Đặt F = K ∩ ( K1 ∪ ∪ K n ) Vì K ∉ Ω nên F hữu hạn Vì K vô hạn nên tồn i0 ∈ K − F Ta có zr = xri0 ≠ Mà ς Y phép nhúng tắc Y i0 ∑ ℑ LK ( ) zri0 = ς zri0 zri0 ∈ Y ( ) ( ) Do zri0 = ς zri0 ∈ L K ∩ L K1 + + L K n = ⊕ F Li Vì zri0 ∈ Li0 i0 ∉ F (mâu thuẫn)  31 Định lý 2.2.4: Cho M môđun ∑ − CS Khi đó, M tổng trực tiếp môđun Chứng minh: Giả sử M môđun ∑ − CS đặt Λ tập tất hạng tử trực tiếp địa phương {Qi }I M cho Qi môđun Rõ ràng Λ ≠ ta thứ tự Λ theo quan hệ bao hàm để Λ thành tập thứ tự Theo bổ đề Zorn, Λ chứa phần tử tối đại {Qi }I Ta chứng minh ⊕ I Qi cốt yếu M Giả sử ngược lại, đặt L bao đóng cốt yếu ⊕ I Qi M Ta có L hạng tử trực tiếp M nên tồn N ≠ để M= L ⊕ N Chọn ≠ x ∈ N đặt N x bao đóng cốt yếu xR N Ta có N x hạng tử trực tiếp, hữu hạn sinh, cốt yếu M Theo Mệnh đề 2.2.3, N x tổng trực tiếp môđun Nếu U hạng tử trực tiếp, đều, khác không N x {Qi }I ∪ {U} ∈ Λ Mâu thuẫn với tính tối đại Λ Vậy ⊕ I Qi cốt yếu M Ta cần chứng minh M ∈ σ [ ⊕ I Qi ] Chọn ≠ x ∈ M đặt L x bao đóng cốt yếu xR M Theo Mệnh đề 2.2.3, L x tổng trực tiếp (hữu hạn) môđun đều, L x = ⊕ nj=1 U j Hơn nữa, ⊕ I Qi cốt yếu M nên U j ∩ ( ⊕ I Qi ) ≠ với j = 1,2, ,n Chọn y j ∈ U j ∩ ( ⊕ I Qi ) Khi đó, tồn tập hữu hạn I j ⊆ I cho y jR ⊆ ⊕ I j Qi Vì {Qi }I hạng tử trực tiếp địa phương M nên {Qi }I hạng tử trực tiếp địa phương M ta có phép chiếu π j : M → ⊕ I j Qi Ta có π j πj y jR y jR trùng với phép nhúng y jR ⊕ I j Qi nên đồng cấu Vì U j nên π j Uj đồng cấu Vậy U j nhúng vào ⊕ I Qi nên L x nhúng vào tổng trực tiếp hữu hạn ⊕ I Qi 32 Vậy L x ∈ σ [ ⊕ I Qi ] với x ∈ M ta lấy bao đóng cốt yếu L x xR M ta có M ∈ σ [ ⊕ I Qi ] M sinh {L x x ∈ M} Do đó, ta có σ [ ⊕ I Qi ] =σ [ M ] Đặt Q bao tựa nội xạ M, tức Q bao nội xạ M phạm trù σ [ M ] Khi đó, Q bao nội xạ M phạm trù σ [ ⊕ I Qi ] Mặt khác ⊕ I Qi cốt yếu M nên Q bao tựa nội xạ ⊕ I Qi Mà ⊕ I Qi hạng tử trực tiếp môđun ∑ − CS I M ( ) nên ⊕ I Qi môđun ∑ − CS Do đó, Q ∑ − tựa nội xạ (theo [1, Hệ 3.20]) Lại theo [1, Hệ 3.20], M tổng trực tiếp môđun  Ứng dụng kết vừa nêu môđun ∑ -CS, ta chứng minh kết sau: Định lý 2.2.5: Giả sử R vành không suy biến phải Khi E ( R R ) ∑ -nội xạ R R có chiều Goldie hữu hạn Chứng minh: Trước hết ta chứng minh rằng: R không suy biến phải E ( R R ) ∑ -nội xạ G.dim ( R R ) < ∞ Thật vậy: Vì E ( R R ) ∑ -nội xạ nên E ( R R ) ∑ -CS Do đó, theo Định lý 2.2.4 E ( R R ) = ⊕ E i với E i môđun Mà: R R ⊂ e E ( R R ) R cyclic i∈I nên Card ( I ) < ∞ Do R R có chiều Goldie hữu hạn, vì: R R ⊂e ⊕ Ei , F hữu i∈F hạn, E i Bây ta chứng minh điều ngược lại, nghĩa là: Nếu R không suy biến phải G.dim ( R R ) < ∞ E ( R R ) ∑ -nội xạ 33 Đặt E = E ( R R ) Thế Z ( E ) = , G.dim ( E ) < ∞ Giả sử I tập số bất kỳ, E i ≅ E, ∀i ∈ I Ta chứng minh rằng: Q = ⊕ E i môđun nội xạ (tức i∈I E ≅ E i môđun ∑ -nội xạ) ( ) Theo định nghĩa môđun suy biến, ta suy Z ⊕ E i = i∈I Giả sử I R ≤e R R θ I R f Q ánh xạ đồng cấu, với θ phép nhúng tự nhiên Trước hết ta chứng minh rằng: “Nếu M môđun có chiều Goldie hữu hạn K ≤e M tồn x1, x , , x n ∈ K cho [ x1, x , , x n ] ≤e M ” [ x1, x , , x n ] môđun sinh {x1, x , , x n } Thực giả sử G.dim ( M ) = n , tồn môđun (khác 0) U1, U , , U n cho ⊕ U i ≤e K Với U i chọn x i ∈ U i Ta có n ∑ x i R ≤e K ≤e M i =1 Bây ta tiếp tục chứng minh định lý: Theo kết vừa chứng minh, ta tìm hữu hạn phần tử a1, ,a n ∈ I (vì cho J I ≤e R R ) = n ∑ a iR ≤ R R Giả sử f’ hạn chế f lên J Vì J hữu i =1 hạn sinh nên f ' ( J ) chứa tổng trực tiếp hữu hạn môđun nội xạ E i , f’ có mở rộng f ∗ ∈ Hom ( R R ,E R ) Ta chứng tỏ f ∗ mở rộng f 34 Giả sử i ∈ I , K = {r ∈ R / xr ∈ J} ≤e R R Đối với r ∈ K , ta có : (f ( x ) − f ∗ ( x ) ) r =f ( xr ) − f ∗ ( xr ) =f ' ( xr ) − f ' ( xr ) =0 f ( x ) − f ∗ ( x ) ∈ Z(Q) = Vì f ∗ ( x ) = f ( x ) Vậy ta chứng tỏ f mở rộng tới f ∗ ∈ Hom ( R R ,Q ) Do Q môđun nội xạ. Khái niệm môđun ∑ -nội xạ C.Faith [11] C.Faith-E.Walker [9] dùng để đặc trưng vành QF thể qua nội dung sau: “Vành R tựa Frobenius (vành QF) ⇔ Mỗi R-môđun phải nội xạ xạ ảnh ⇔ Mỗi R-môđun phải xạ ảnh nội xạ ⇔ R R ∑ -nội xạ” (kết tương ứng cho môđun trái) Các kết môđun ∑ -nội xạ xem thêm [16], [17] Trong phần tiếp sau giới thiệu ứng dụng môđun ∑ -nội xạ việc mô tả đặc trưng tính chất lớp vành artin chuỗi di truyền Lớp vành có cấu trúc mô tả qua tổng trực tiếp vành ma trận tam giác thể Các kết trình bày sau liên quan tới nhiều kết nghiên cứu thuộc Goldie (1964), Mochizaki (1965), Harada (1965), Colby-Rutter (1971), Goodearl (1972), Harada (1978), Oshiro (1984),… Mệnh đề 2.2.6: Nếu P môđun phải hữu hạn sinh xạ ảnh nội xạ vành di truyền phải R Hom R ( P;P ) vành nửa đơn với điều kiện tối tiểu iđêan phía Chứng minh: Xem [5, bổ đề 3.1] 35 Định lý 2.2.7: Các điều kiện sau tương đương vành R 1) R di truyền phải bao nội xạ R-môđun phải xạ ảnh xạ ảnh 2) R di truyền phải E ( R R ) xạ ảnh 3) R di truyền phải, R chứa iđêan phải nội xạ trung thành R không chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao 4) R di truyền phải R chứa iđêan phải ∑ -nội xạ trung thành 5) R vành Artin chuỗi di truyền 6) R biểu diễn dạng tổng trực tiếp iđêan phía mà chúng đẳng cấu với vành ma trận phía trên, thể, nghĩa R= e1 Re1 ⊕ e Re ⊕ ⊕ e n Re n  Di Di Di  0 D D  i i   ei Rei ≅      0 Di  ti×ti Chứng minh: Ta chứng minh theo lược đồ sau: 1) 2) 3) 4) 5) 1) ⇒ 2) hiển nhiên 5) ⇔ 6) : Kết chứng minh [12] 2) ⇒ 3) 36 6) Vì R không suy biến phải, E ( R R ) xạ ảnh nên E ( R R ) hữu hạn sinh [22, Định lý 2.1] Khi đó, E ( R R ) R – môđun phải xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 2.2.6 ta có Λ =Hom R ( E ( R ) ,E ( R ) ) vành nửa đơn thỏa điều kiện tối tiểu Vậy E ( R R ) ≅ I1 ⊕ ⊕ I t với I j iđêan phải nội xạ không phân tích hữu hạn sinh R [9, Hệ 2.5] Vậy I j đều, E ( R R ) có chiều hữu hạn nên R có chiều Goldie phải hữu hạn Vậy R chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao Hơn nữa, ta giả sử iđêan đánh số để iđêan phải xuất phân tích đẳng cấu với I1, ,Is ≤ s ≤ t Khi đó, I = I1 ⊕ ⊕ Is nội xạ trung thành E ( R R ) trung thành Ta phải chứng minh R chứa iđêan phải đẳng cấu với I Vì R chứa iđêan phải đẳng cấu với I1 nên chọn r số nguyên lớn với r ≤ s , cho R chứa iđêan phải đẳng cấu với I1 ⊕ ⊕ I r Nếu r ≠ s , ta có R = I1 ⊕ ⊕ I r ⊕ L Đặt ∏ k phép chiếu R lên I k với k = 1, ,r Ta có R chứa I r +1 với k = 1, ,r , thu hẹp ∏ k I r +1 đơn cấu R di truyền I r +1 không phân tích Vậy thu hẹp ∏ k I r +1 I r +1 nội xạ, I k không phân tích I k , I r +1 không đẳng cấu Vậy I r +1 ≤ L (mâu thuẫn) 3) ⇒ 6) Đặt e R , e = e , iđêan phải nội xạ trung thành R Vì R không chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao nên ta viết e = e1 + + e r − e= e r +1 + + es cho ei với i = 1, ,s tập lũy đẳng trực giao nguyên thủy R Vì với i = 1, ,r , ei R môđun nội xạ không phân tích nên ei R môđun Hơn nữa, e j R trung thành nên với e j , 37 r + ≤ j ≤ s , tồn ei với ≤ i ≤ r cho ei Re j ≠ Vì tồn đồng cấu khác không e j R vào ei R Do R di truyền e j R không phân tích được, đồng cấu phải đơn cấu Vì vậy, ei R bao nội xạ ei R đẳng cấu với e j R Do đó, R R có chiều hữu hạn E ( R R ) R – môđun xạ ảnh hữu hạn sinh Vì Z ( R R ) = R R có chiều hữu hạn nên theo [21, Định lí 1.6] vành thương phải đẳng cấu với E ( R R ) (theo [10]) Hơn nữa, R di truyền phải R R có chiều hữu hạn nên theo [22, Hệ 2], R vành Noether phải Vì eQ R mở rộng cốt yếu eR R , eQ = e R nên eQe = e Re Mặt khác, Q nửa đơn, e Re nửa đơn, e R e Re -môđun hữu hạn sinh nên e R thỏa điều kiện dây chuyền giảm e Re -môđun Vậy dây chuyền eN ≥ eN ≥ ≥ eN k ≥ dừng, nghĩa tồn t cho eN t = eN t +1 Theo bổ đề Nakayama ta có eN t = ( ) Mà e R trung thành nên N t = ( ) Vì ei R với i = 1, ,s eiQ R cốt yếu ei R , nên eiQ R R – môđun eiQ R iđêan phải không phân tích Q Vậy eiQei vành chia Nếu ≠ x ∈ ei R ei , x có nghịch đảo a ∈ eiQei nghĩa xa = ax = ei Khi đó, y = (1 − ei ) + x ∈ R có nghịch đảo y −1 = (1 − ei ) + a ∈ Q Vì R ≤ y −1R ≤ ≤ y − k R ≤ dãy tăng R – môđun Q Dãy dừng − q +1 sau hữu hạn bước nên tồn số nguyên q r ∈ R cho y ( ) = y − q r Khi đó, y −1 ∈ R nên y −1ei =[1 − ei + a ] ei =a ∈ R Vậy ei R ei vành chia Theo [15, Mệnh đề 1, trang 65], R N ( ei + N ) R N - môđun đơn Vậy R N vành nửa đơn thỏa điều kiện tối tiểu 38 Do ta có R vành nửa nguyên sơ Mà R vành Noether phải Từ suy R vành di truyền phải chứa iđêan phải nội xạ trung thành tinh chất biết R đối xứng Ta chứng minh R chuỗi suy rộng, nghĩa iđêan hai phía không phân tích R có chuỗi hợp thành, R có tính chất đối xứng hai phía nên ta cần chứng minh phía.Ta cần chứng minh g = g lũy đẳng nguyên thủy R k số nguyên cho gN k ≠ gN k / gN k +1 đơn Ta lại có gR đều, R di truyền nên ta có gN k R-môđun xạ ảnh không phân tích Do R nửa nguyên sơ nên gN k đẳng cấu với iđêan ( ) không phân tích phải gN k N iđêan phải tối đại gN k Theo [12, định lý 8.11] ta có điều phải chứng minh 4) ⇒ 3) Giả sử R thỏa mãn 4) Đặt e R iđêan phải ∑ − nội xạ trung thành Khi đó, e R ≤ R ≤ ∏ e R nên dàn linh hóa tử tập R e R R Theo Định lý 2.1.4, R thỏa điều kiện dây chuyền tăng iđêan linh hóa tử phải R không chứa tập vô hạn lũy đẳng trực giao 5) ⇒ 4) Giả sử R artin chuỗi Khi ta có: R = e1R ⊕ e R ⊕ ⊕ e n R ⊕ f1R ⊕ f R ⊕ ⊕ f m R với ei R,fi R môđun chuỗi, ei R nội xạ, fi R không nội xạ với fi , tồn ei cho 39 E ( fi R ) ≅ ei R Khi ta có W = ∑ ⊕ eik R môđun nội xạ trung thành với {e R} tập đại diện lớp đẳng cấu họ {e R} i ik 5) ⇒ 1) Giả sử R vành artin chuỗi di truyền Khi ta có: R = e1R ⊕ e R ⊕ ⊕ e n R ⊕ f1R ⊕ f R ⊕ ⊕ f m R ei R nội xạ, i = 1,n f jR không nội xạ, j = 1,m đồng thời với j ∈ {1, ,m} tồn i ∈ {1, ,n} cho có phép nhúng:  → f jR  → ei R Kết rút từ tính chất đặc trưng vành artin chuỗi (còn gọi vành Nakayama): “Trên vành artin chuỗi, môđun phải tổng trực tiếp môđun chuỗi hữu hạn sinh” Pα ≅ ei R ,i = 1,n Giả sử P môđun xạ ảnh Khi đó: P ≅ ⊕ Pα với  α∈I 1,m Pα ≅ f jR , j = Khi ta xét bao nội xạ: E ( P ) = ⊕ E ( Pα ) (vì R artin phải R α∈I noether phải nên ta áp dụng Định lý 2.2.1 để có công thức này) Khi đó: Qα E ( Pα ) ∈ {e1R,e R, ,e n R} E ( P ) = ⊕ E ( Pα ) ≅ ⊕ Qα , đó= α∈I α∈I Vậy E ( P ) xạ ảnh Ta có điều phải chứng minh  40 KẾT LUẬN Môđun ∑ -nội xạ khái niệm C.Faith đưa năm 1966 ngiên cứu chi tiết tài liệu [11] C.Faith E.A.Walker dùng để mô tả đặc trưng cấu trúc vành QF [9], [11] Về sau [16], [17] tác giả J.Lawrence C.Megibben tiếp tục phát triển kết trường hợp môđun (hay vành) có lực lượng đếm Khái niệm ∑ -nội xạ mở rộng thành khái niệm ∑ -CS, dựa khái niệm môđun CS nhiều tác giả tiếp tục quan tâm nghiên cứu khoảng gần năm mươi năm qua Nhiều toán đặt giải triệt để sở sử dụng khái niệm Trong luận văn tác giả tìm hiểu số tính chất môđun nội xạ, ∑ -nội xạ, ∑ -nội xạ đếm môđun CS, môđun ∑ -CS để từ tiếp cận số phương pháp đặc trưng lớp vành quen biết Cụ thể kết trình bày thuộc mảng sau đây: - Một là, trình bày chứng minh tương đương tính ∑ -nội xạ ∑ -nội xạ đếm mô tả đặc trưng điều kiện dây chuyền tăng (a.c.c) linh hóa tử (Định lý 2.1.4) Đây kết C.Faith - Hai là, chứng minh Định lý 2.2.5 đặc trưng vành không suy biến phải có chiều Goldie phải hữu hạn qua tính ∑ -nội xạ E ( R R ) - Ba là, chứng minh Định lý 2.2.7 đặc trưng vành artin chuỗi di truyền qua vành di truyền có chứa iđêan (một phía) ∑ -nội xạ trung thành Bài toán thuộc vấn đề nhiều nhà Toán học giải theo nhiều giả thiết khác vành (tính không suy biến, tính di truyền, tính chất QF-3, tính hoàn chỉnh,…) Vấn đề trình bày luận văn mô tả chi tiết diễn giải kết Colby-Rutters (1971) 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) A.O Al-attas and N Vanaja: On extending modules, Comm Algebra 25 (1997), 2365-2393 2) M Auslander: On the dimension of modules and algebras III: Global dimension, Nagoya Math J (1955), 67-77 3) H Bass: Finitistic dimension and a homological generalization of semi- primary rings, Trans Amer Math Soc 95 (1960), 466-488 4) A W Chatters and C R Hajarnavis: Rings with chain conditions, Vol 44, Pitman, London, 1980 5) R.R Colby and E.A Rutter Jr: Generalization of QF – Algebras, Trans Amer Math Soc 173 (1971), 371 – 386 6) N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer: Extending modules, London: Pitman, 1994 7) S Eilenberg: Homological dimension and syzygies, Ann of Math (2) 64 (1956), 328-336 8) C Faith: Algebra II: Ring Theory, Springer-Verlag, 1976 9) C Faith and E.A.Walker: Direct sum representations of injective modules J Algebra 5, 203 – 222 (1967) 10) C Faith: Lectures on injective modules and quotient rings, Lecture Notes in Math, no 49,Springer-Verlag, Berlin and New York, 1967 11) C Faith: Rings with ascending condition on annihilators Nagoya Math J 27 (1966), 179 – 191 12) A.W Goldie: Torsion-free modules and rings, J Algebra (1964), 268- 287 13) K R Goodearl: Singular torsion and the splitting properties , Memoirs Amer Math Soc., No 124 (1972) 42 14) M Harada: QF-3 and semi-primary PP-rings I, Osaka J Math (1965), 357-368 15) N Jacobson: Structure of rings, 2nd rev ed., Amer Math Soc Colloq Publ., vol 37, Amer Math Soc., Providence, R I., 1964 16) J Lawrence: A countable self –injective ring is quasi – Frobenius, Proc Amer Math Soc 65 (1977), 217 – 220 17) C Megibben: Countable injective modules are sigma injective Proc Amer Math Soc 84 (1982), 8-10 18) S.H Mohamed and B.J Muller: Continuous and discrete modules, Cambridge University Press, Cambridge 19) T Nakayama: On Frobeniusean Algebras I, II, Ann Math 40, 611-613, (1939) 42, 1-21, (1941) 20) J.L Gómez Pardo and P.A Guil Asensio: On the Goldie dimension of injective modules, Proc Edinburgh Math Soc 41 (1998), 265-275 21) F L Sandomierski: Semisimple maximal quotient rings, Trans Amer Math Soc 128 (1967), 112-120 22) : Nonsingular rings, Proc Amer Math Soc 19 (1968), 225-230 43 [...]... ∗ ∈ Hom ( R R ,Q ) Do đó Q là môđun nội xạ.  Khái niệm môđun ∑ -nội xạ đã được C.Faith [11] và C.Faith-E.Walker [9] dùng để đặc trưng vành QF được thể hiện qua nội dung sau: “Vành R là tựa Frobenius (vành QF) ⇔ Mỗi R -môđun phải nội xạ là xạ ảnh ⇔ Mỗi R -môđun phải xạ ảnh là nội xạ ⇔ R R là ∑ -nội xạ (kết quả tương ứng cho các môđun trái) Các kết quả về môđun ∑ -nội xạ có thể xem thêm trong [16], [17]... môđun ∑ - nội xạ, các tính chất 2.2 Một số ứng dụng của khái niệm môđun ∑ - nội xạ - Đặc trưng vành không suy biến R với điều kiện E ( R R ) là ∑ nội xạ - Đặc trưng vành nửa nguyên sơ QF – 3 và di truyền II.2 Kết luận: Trong luận văn sẽ giới thiệu chi tiết khái niệm môđun ∑ - nội xạ và trình bày một số ứng dụng của khái niệm này trong đặc trưng vành, đặc biệt là lớp vành không suy biến có bao nội xạ. .. trực tiếp của một môđun tự do nào đó 18 Môđun P thỏa mãn một trong 3 điều kiện tương đương trên được gọi là một môđun xạ ảnh Một môđun E được gọi là bao nội xạ của môđun M nếu E là môđun nội xạ và M là môđun con cốt yếu của E Bao nội xạ của một môđun M luôn tồn tại và chúng đều đẳng cấu với nhau Ta kí hiệu bao nội xạ của M là E(M) và trong nhiều trường hợp ta có thể đồng nhất M là một môđun con của E(M)... R -môđun phải xạ ảnh là xạ ảnh (ii) Mọi môđun con của R -môđun trái (hoặc phải) phẳng là môđun phẳng (iii) Mọi R-môđunphải xạ ảnh hữu hạn sinh đẳng cấu với một tổng trực tiếp của các iđêan phải của R 21 Chương 2 MÔĐUN ∑ -NỘI XẠ 2.1 Khái niệm ∑ - nội xạ, các tính chất: Định nghĩa 2.1.1: Môđun M được gọi là ∑ - nội xạ nếu tổng trực tiếp của một họ bất kỳ các bản sao của M là nội xạ Định nghĩa 2.1.2: Môđun. .. bao đóng cốt yếu của L trong M Môđun M được gọi là CS nếu mọi môđun con đóng là hạng tử trực tiếp Khái niệm môđun CS là một khái niệm mở rộng của khái niệm môđun nội xạ Tương tự khái niệm môđun ∑ -nội xạ, ta cũng có khái niệm môđun ∑ -CS và ∑ -CS đếm được Vào năm 1970 các tác giả A.Cailleu và G.Renault đã chứng minh được rằng mỗi môđun ∑ -nội xạ là tổng trực tiếp của các môđun không phân tích được (Etude... Tổng trực tiếp các môđun phải nội xạ là nội xạ 3) Tổng trực tiếp của một họ đếm được các môđun phải nội xạ là nội xạ 25 Từ định lý này ta có nhận xét (xem như hệ quả): Nếu R là noether phải thì mọi môđun phải nội xạ là ∑ -nội xạ ` Môđun K của R – môđun M được gọi là đóng trong M nếu K không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M Nếu L ≤ M thì môđun con đóng K của M chứa L, L là môđun con cốt yếu của K, được... di truyền và nửa di truyền (Các kết luận sau đây thuộc về Định lý Cartan – Eilenberg và Định lý Albrecht, Kaplansky) Đối với vành di truyền phải R (i) Mọi môđun con của R -môđun phải xạ ảnh là xạ ảnh (ii) Mọi môđun thương của R -môđun phải nội xạ là nội xạ 20 (iii) Mọi R -môđun phải xạ ảnh đẳng cấu với một tổng trực tiếp của các iđêan phải của R Nếu R là vành nửa di truyền phải thì: (i) Mọi môđun con... M( A ) nội xạ Vậy ta đã chứng minh được 2) ⇒ 3) 3) ⇒ 1) là hiển nhiên. 2.2 Một số ứng dụng của khái niệm ∑ - nội xạ: Như ta đã biết, một vành R là noether phải khi và chỉ khi tổng trực tiếp các môđun phải nội xạ là nội xạ, được thể hiện qua định lý sau Định lý 2.2.1: (Định lý Cartan – Eilenberg – Bass) Đối với vành R các điều kiện sau là tương đương: 1) R là noether phải 2) Tổng trực tiếp các môđun. .. giao hoán 0 I f θ R g Q Đối với vành R bất kì, luôn có một lớp môđun phải đặc biệt, được gọi là môđun tự do (còn gọi là môđun có cơ sở ) Môđun phải tự do F trên vành R là môđun F = ⊕ RR = R (I) R α∈I Môđun xạ ảnh được định nghĩa một cách đối ngẫu với môđun nội xạ Đối với một môđun P ba điều kiện sau là tương đương : (i) Với mọi R -môđun phải M, N, P và R-toàn cấu p : M → N và mọi R-đồng cấu α : P → N đều... đề 2.2.6: Nếu P là môđun phải hữu hạn sinh xạ ảnh nội xạ trên vành di truyền phải R thì Hom R ( P;P ) là vành nửa đơn với điều kiện tối tiểu đối với iđêan một phía Chứng minh: Xem [5, bổ đề 3.1] 35 Định lý 2.2.7: Các điều kiện sau đây là tương đương đối với một vành R 1) R là di truyền phải và bao nội xạ của mỗi R -môđun phải xạ ảnh là xạ ảnh 2) R là di truyền phải và E ( R R ) là xạ ảnh 3) R là di truyền ... 2: Môđun ∑ - nội xạ 10 2.1 Khái niệm môđun ∑ - nội xạ, tính chất 2.2 Một số ứng dụng khái niệm môđun ∑ - nội xạ - Đặc trưng vành không suy biến R với điều kiện E ( R R ) ∑ nội xạ - Đặc trưng vành... “Vành R tựa Frobenius (vành QF) ⇔ Mỗi R -môđun phải nội xạ xạ ảnh ⇔ Mỗi R -môđun phải xạ ảnh nội xạ ⇔ R R ∑ -nội xạ (kết tương ứng cho môđun trái) Các kết môđun ∑ -nội xạ xem thêm [16], [17] Trong... niệm ∑ - nội xạ, tính chất: Định nghĩa 2.1.1: Môđun M gọi ∑ - nội xạ tổng trực tiếp họ M nội xạ Định nghĩa 2.1.2: Môđun M gọi ∑ - nội xạ đếm tổng trực tiếp tập hợp vô hạn đếm M nội xạ Cho M R-môđun