các nhóm con nguyên thủy của nhóm đối xứng s5

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH …0… NGUYỄN LÊ TRƯỜNG SƠN CÁC NHÓM CON NGUYÊN THỦY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG S5 Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 604605 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TS Bùi Xuân Hải Thành phố Hồ Chí Minh-2011 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Phòng Khoa Học Công Nghệ, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh, Phòng Giáo Dục Huyện Hóc Môn, trường Trung Học Cơ Sở Nguyễn An Khương, tạo điều kiện thuận lợi để học tập hoàn thành luận văn Xin chân thành biết ơn quý thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học chuyên ngành Đại số & lý thuyết số khóa 20 trang bị cho kiến thức làm tảng quý báu cho trình nghiên cứu Đặc biệt, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS – TS Bùi Xuân Hải tận tình dạy, hướng dẫn suốt trình thực luận văn Cảm ơn quý Thầy, Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Cảm ơn bạn lớp Cao học chuyên ngành Đại số & lý thuyết số khóa 20, nhiệt tình giúp đỡ, động viên tinh thần để hoàn thành tốt luận văn TP.HCM, ngày 30 tháng 08 năm 2011 Học viên thực NGUYỄN LÊ TRƯỜNG SƠN Mục lục LỜI MỞ ĐẦU BẢNG KÍ HIỆU CHƯƠNG 1- KIẾN THỨC CƠ SỞ Tác động nhóm lên tập hợp .7 Tác động liên hợp p-nhóm hữu hạn 10 Nhóm đối xứng 𝑺𝒏 11 Khối 16 Nhóm hoán vị nguyên thủy 17 CHƯƠNG 2- CÁC NHÓM CON CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 𝑆5 20 Các phần tử 𝑺𝟓 .20 Các nhóm tầm thường 𝑺𝟓 .21 Các nhóm cyclic 𝑺𝟓 .21 Các nhóm Sylow 𝑺𝟓 .23 Sự không tồn nhóm cấp 15, 30, 40 𝑺𝟓 25 Một số nhóm khác nhóm 𝑺𝟓 26 CHƯƠNG 3- NHÓM CON NGUYÊN THỦY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 𝑺𝟓 34 Các nhóm hoán vị bắc cầu 34 Các nhóm hoán vị nguyên thủy .36 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI MỞ ĐẦU Các nhóm hoán vị đóng vai trò quan trọng Lý thuyết nhóm theo Định lý Cayley nhóm nhúng vào nhóm đối xứng, nghĩa đẳng cấu với nhóm hoán vị Do hiểu biết cấu trúc nhóm hoán vị mang lại nhiều tiện lợi cho việc hiểu biết nhóm nói chung Với lý trên, khuôn khổ hạn hẹp đề tài, luận văn nghiên cứu nhóm nhóm đối xứng 𝑆5 tìm số chúng nhóm nguyên thủy Để thực mục đích đó, luận văn chia thành hai phần gồm: Phần nội dung: có ba chương Chương – Kiến thức sở Chương – Các nhóm nhóm đối xứng 𝑆5 Chương – Các nhóm nguyên thủy nhóm đối xứng 𝑆5 Phần kết luận Nhiệm vụ chủ yếu luận văn tìm nhóm nguyên thủy tập nhóm nhóm đối xứng 𝑆5 dựa vào tính bắc cầu nhóm hoán vị bậc nguyên tố chúng Chính thế, chương phân loại rõ ràng nhóm theo cấp chúng, thông tin số lượng loại, đồng thời dựa vào kết (dưới dạng Định lý, Bài tập) [1], [2] để mô tả cấu trúc nhóm hoán vị, từ hỗ trợ cho việc khảo sát tính bắc cầu tìm bậc chúng chương 3, nhằm tìm nhóm hoán vị nguyên thủy 𝑆5 Trong trình thực luận văn, tác giả có tham khảo Chương I [3], [4], Chương II [5], sử dụng kết Định lí [6] Cuối cùng, cố gắng quan tâm, dành nhiều thời gian để chăm chút, luận văn chắn có thiếu sót, mong đóng góp quý báu Thầy, Cô để luận văn hoàn thiện TP.HCM, ngày 30 tháng 08 năm 2011 Học viên thực NGUYỄN LÊ TRƯỜNG SƠN 𝐻≤𝐺 BẢNG KÍ HIỆU H nhóm nhóm 𝐺 𝐻≨𝐺 H nhóm thực nhóm 𝐺 𝐻⊲𝐺 H nhóm chuẩn tắc thực nhóm 𝐺 𝐻⊴𝐺 H nhóm chuẩn tắc nhóm 𝐺 𝐺𝑥 Nhóm đẳng hướng 𝑥 𝐺 𝐺� 𝐺𝑥 Tập thương 𝐺 𝐺𝑥 𝐺 𝑥 [𝐺: 𝐻 ] Quỹ đạo phần tử 𝑥 nhóm 𝐺 Chỉ số nhóm 𝐻 nhóm 𝐺 |𝐺 | Cấp nhóm 𝐺 𝑁𝐺 (𝐻 ) Chuẩn hóa tử nhóm 𝐻 nhóm 𝐺 𝐺𝐻 Nhóm đẳng hướng 𝐻 𝐺 𝑍 (𝐺 ) 𝐶(𝑎) Tâm nhóm 𝐺 Tâm hóa tử phần tử a 𝐺 𝐻 Quỹ đạo nhóm 𝐻 nhóm 𝐺 𝑝∤𝑛 𝑝 không ước 𝑛 𝑝|𝑛 〈𝑎 〉 [𝑚, 𝑛] 𝑛𝑝 𝑆𝑛 𝐴𝑛 𝑝 ước 𝑛 Nhóm cyclic sinh phần tử 𝑎 Bội chung nhỏ 𝑚 𝑛 Số 𝑝-nhóm Sylow Nhóm đối xứng bậc 𝑛 Nhóm thay phiên bậc 𝑛 𝐷𝑛 ℤ𝑚 × ℤ𝑛 Nhóm nhị diện cấp 2𝑛 Tích trực tiếp ℤ𝑚 ℤ𝑛 CHƯƠNG 1- KIẾN THỨC CƠ SỞ Tác động nhóm lên tập hợp Định nghĩa 1.1 Cho 𝐺 nhóm 𝑋 tập khác ∅ Khi đó, tác động (trái) nhóm 𝐺 vào tập X ánh xạ: 𝐺×𝑋 →𝑋 (g, x) ↦ g x thỏa mãn điều kiện sau: (𝑔ℎ) 𝑥 = 𝑔 (ℎ 𝑥) ∀𝑔, ℎ ∈ G, ∀𝑥 ∈ 𝑋 1𝐺 𝑥 = 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑋 Khi đó, ta gọi X G-tập Mệnh đề 1.2 Cho nhóm G tác động lên tập 𝑋 𝑥 ∈ 𝑋 Khi đó, tập hợp 𝐺𝑥 ≔ {𝑔 ∈ 𝐺| 𝑔 𝑥 = 𝑥} nhóm G, gọi nhóm đẳng hướng x G Định nghĩa 1.3 Cho nhóm G tác động lên tập X 𝑥 ∈ 𝑋 Khi đó, tập hợp 𝐺 𝑥 ≔ {𝑔 𝑥| 𝑔 ∈ 𝐺 } gọi quỹ đạo phần tử x nhóm G Mệnh đề 1.4 Hai quỹ đạo trùng có giao ∅ Hệ 1.5 Cho nhóm G tác động lên tập 𝑋 Khi 𝑋 = � 𝐺 𝑥 𝑥∈∆ ∆ tập hợp đầy đủ phần tử đại diện quỹ đạo Với X hữu hạn |𝑋 | = ∑𝑥∈∆|𝐺 𝑥| Mệnh đề 1.6 Cho nhóm G tác động lên tập X 𝑥 ∈ 𝑋 Khi đó, số lớp kề trái G theo nhóm đẳng hướng 𝐺𝑥 số phần tử quỹ đạo 𝐺 𝑥 Chứng minh Tương ứng 𝑓: 𝐺 𝑥 → 𝐺�𝐺 , xác đinh 𝑔 𝑥 ⟼ 𝑔𝐺𝑥 đơn ánh 𝑥 Thật vậy, ∀𝑔, 𝑔′ ∈ 𝐺, ta có: 𝑔 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 ⟺ 𝑔′ ⟺ 𝑔′ −1 𝑔 (𝑥) = 𝑥 ⟺ 𝑔′ −1 −1 (𝑔 𝑥) = 𝑥 𝑔 ∈ 𝐺𝑥 ⟺ 𝑔𝐺𝑥 = 𝑔′𝐺𝑥 Hơn nữa, 𝑓 toàn ánh nên 𝑓 song ánh Vậy |𝐺 𝑥| = �𝐺�𝐺 �  𝑥 Hệ 1.7 Cho nhóm G tác động lên tập X 𝑥 ∈ 𝑋 Khi đó, số nhóm đẳng hướng 𝐺𝑥 G số phần tử quỹ đạo 𝐺 𝑥, nghĩa Hệ 1.8 Cho X hữu hạn |𝐺 𝑥| = [𝐺: 𝐺𝑥 ] |𝑋 | = �[𝐺: 𝐺𝑥 ] 𝑥∈∆ ∆ tập hợp đầy đủ phần tử đại diện quỹ đạo Tác động liên hợp Định nghĩa 2.1 Một tác động nhóm 𝐺 lên tập 𝑋 = 𝐺, xác định bởi: 𝐺×𝐺 ⟼𝐺 (𝑥, 𝑦) ⟼ 𝑥𝑦𝑥 −1 gọi tác động liên hợp nhóm G Với 𝑎 ∈ 𝐺 Khi Nhóm đẳng hướng 𝐺𝑎 tâm hóa tử a, kí hiệu: 𝐶 (𝑎) 𝐺𝑎 = {𝑥 ∈ 𝐺| 𝑥𝑎𝑥 −1 = 𝑎} = 𝐶 (𝑎) Do đó, ta có: 𝐶 (𝑎) = 𝐺 ⟺ 𝑎 ∈ 𝑍(𝐺 ), với 𝑍(𝐺 ) tâm G Quỹ đạo 𝑎 nhóm G tập hợp tất phần tử nhóm G liên hợp với 𝑎, kí hiệu 𝐺 𝑎 = {𝑥𝑎𝑥 −1 | 𝑥 ∈ 𝐺 } Do đó, ta có 𝐺 = � 𝐺 𝑎 𝑎∈∆ ∆ tập hợp đầy đủ phần tử đại diện quỹ đạo Như vậy, nhóm G hữu hạn, theo Hệ 1.8, ta có: |𝐺 | = �[𝐺: 𝐶 (𝑎)] = |𝑍(𝐺 )| + �[𝐺: 𝐶 (𝑎)] 𝑎∈∆ 𝑎∈Γ gọi công thức lớp nhóm G, Γ tập hợp phần tử G đôi không liên hợp với không nằm tâm Định nghĩa 2.2 Cho 𝑆 = {𝐻| 𝐻 ≤ 𝐺 } tập hợp tất nhóm G Một tác động nhóm 𝐺 lên tập 𝑆, xác định bởi: 𝐺×𝑆⟼𝑆 (𝑥, 𝐻 ) ⟼ 𝑥𝐻𝑥 −1 gọi tác động liên hợp nhóm G lên tập hợp tất nhóm Với 𝐻 ∈ 𝑆 Khi đó, nhóm đẳng hướng 𝐺𝐻 chuẩn hóa tử 𝐻 𝐺𝐻 = {𝑥 ∈ 𝐺| 𝑥𝐻𝑥 −1 = 𝐻 } = 𝑁𝐺 (𝐻 ) Quỹ đạo 𝐻 nhóm G tập hợp tất nhóm nhóm G liên hợp với 𝐻, kí hiệu Theo Hệ 1.7, ta có 𝐺 𝐻 = {𝑥𝐻𝑥 −1 | 𝑥 ∈ 𝐺 } Hệ 2.3 Cho 𝐺 nhóm hữu hạn 𝐻 ≤ 𝐺 Khi đó, số nhóm 𝐺 liên hợp với 𝐻 số 𝑁𝐺 (𝐻 ) 𝐺 Do đó, số nhóm 𝐺 liên hợp với 𝐻 ước 𝐺 Mệnh đề 2.4 Cho 𝐺 nhóm hữu hạn i) Nếu 𝐻, 𝐾 ≤ 𝐺 cho 𝐻 ⊴ 𝐾 𝐾 ≤ 𝑁𝐺 (𝐻 ) ii) Nếu 𝐻, 𝐾 ≤ 𝐺, thỏa 𝐻 nhóm cấp m K 𝐻 ⊴ 𝐾 Hơn nữa, 𝑁𝐺 (𝐾) ≤ 𝑁𝐺 (𝐻 ) iii) Nếu 𝐻, 𝐾 liên hợp với 𝐺 𝑁𝐺 (𝐾), 𝑁𝐺 (𝐻 ) liên hợp với 𝐺 Chứng minh i) Lấy 𝑥 ∈ 𝐾 𝐻 ⊴ 𝐾 nên 𝑥𝐻𝑥 −1 = 𝐻 Do 𝑥 ∈ 𝑁𝐺 (𝐻 ) Suy 𝐾 ⊆ 𝑁𝐺 (𝐻 ) Hơn nữa, 𝐾, 𝑁𝐺 (𝐻 ) ≤ 𝐺 nên 𝐾 ≤ 𝑁𝐺 (𝐻 ) ii) Vì 𝐻 ≤ 𝐾 nên ∀𝑥 ∈ 𝐾, ta có: 𝑥𝐻𝑥 −1 ≤ 𝐾 Mà |𝑥𝐻𝑥 −1 | = |𝐻 | = 𝑚, nên theo tính nhóm cấp m 𝐾, suy 𝑥𝐻𝑥 −1 = 𝐻 Do 𝐻 ⊴ 𝐾 Nếu 𝑦 ∈ 𝑁𝐺 (𝐾), 𝑦𝐾𝑦 −1 = 𝐾 Do 𝐻 ≤ 𝐾 nên 𝑦𝐻𝑦 −1 ≤ 𝐾 |𝑆4 | = 24 = 23 3, nên 𝐻 2-nhóm Sylow 𝑆4 Hơn nữa, (1 4)−1 = (1 2) = (2 4)(1 4)(2 4)−1 , nên 𝐻 ≅ 𝐷4 Khi đó, 𝐻 ≤ 𝑆4 ≤ 𝑆5 , mà |𝐻 | = nên 𝐻 2-nhóm Sylow 𝑆5 Nhưng theo Định lý Sylow thứ II, 2-nhóm Sylow liên hợp với nhau, chúng đẳng cấu với đẳng cấu với 𝐷4  Như vậy, 𝐻 2-nhóm Sylow 𝑆5 𝐻 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 ), 𝜎 |𝜎 ∈ 𝑆4 \𝐴4 , 𝜎 = 𝑖𝑑, (𝜎𝑖1 𝜎𝑖2 𝜎𝑖3 𝜎𝑖4 ) = (𝑖1 𝑖4 𝑖3 𝑖2 )〉 𝑖𝑘 ∈ {1; 2; 3; 4; 5} đôi khác nhau, 𝑘 = ���� 1,4 Sự không tồn nhóm cấp 15, 30, 40 𝑺𝟓 Mệnh đề 7.1 Trong nhóm 𝑆5 , không tồn nhóm cấp 15, 40, 30 Chứng minh Giả sử 𝐺 nhóm cấp 15 𝑆5 𝐺 có 5-nhóm Sylow nhóm cấp Gọi 𝑛5 số 5-nhóm Sylow 𝐺 theo iii) 𝑛5 |15 , suy 𝑛5 = Giả sử 𝑃 5Định lý Sylow thứ II, ta có � 𝑛5 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) nhóm Sylow 𝐺 tính nên 𝑃 ⊴ 𝐺, mà theo Mệnh đề 2.4 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃), nên 15 = |𝐺 | ��𝑁𝑆5 (𝑃)� = 20 (!) Vậy không tồn nhóm cấp 15 nhóm 𝑆5 Giả sử 𝐺 nhóm cấp 40 𝑆5 𝐺 có 5-nhóm Sylow nhóm cấp Gọi 𝑛5 số 5-nhóm Sylow 𝐺 theo iii) 𝑛5 |40 , suy 𝑛5 = Giả sử 𝑃 5Định lý Sylow thứ II, ta có � 𝑛5 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) nhóm Sylow 𝐺 tính nên 𝑃 ⊴ 𝐺, mà theo Mệnh đề 2.4 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃), nên 40 = |𝐺 | ��𝑁𝑆5 (𝑃)� = 20 (!) Vậy không tồn nhóm cấp 40 nhóm 𝑆5 Giả sử 𝐺 nhóm cấp 30 𝑆5 𝐺 có 3-nhóm Sylow nhóm cấp 5-nhóm Sylow nhóm cấp Gọi 𝑛3 , 𝑛5 số 3-nhóm 5-nhóm Sylow 𝐺 theo iii) Định lý Sylow thứ II, ta có � � 𝑛5 |30 𝑛 =1 𝑛3 |30 và � Suy � 𝑛3 = 10 𝑛5 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) 𝑛3 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3) 𝑛5 = Giả sử 𝑛3 = gọi 𝑃 3-nhóm Sylow 𝐺 tính 𝑛5 = nên 𝑃 ⊴ 𝐺 Theo Mệnh đề 2.4 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃), 30 = |𝐺 | ��𝑁𝑆5 (𝑃)� = 12 (!) Giả sử 𝑛5 = gọi 𝑃 5-nhóm Sylow 𝐺 tính nên 𝑃 ⊴ 𝐺, theo Mệnh đề 2.4 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃), nên 30 = |𝐺 | ��𝑁𝑆5 (𝑃)� = 20 (!) Do 𝑛3 = 10 𝑛5 = Mặt khác, số nguyên tố nên nhóm cấp khác phần tử cấp chung, nhóm cấp khác phần tử cấp chung Do đó, tổng số phần tử cấp cấp nhóm 𝐺 2.10 + 4.6 = 44 phần tử (mâu thuẫn với |𝐺 | = 30) Vậy không tồn nhóm cấp 30 nhóm 𝑆5  Một số nhóm khác nhóm 𝑺𝟓 Nhóm cấp 60 Trong 𝑆5 , theo Mệnh đề 4.15, có nhóm số hay tồn nhóm cấp 60 nhóm 𝑆5 nhóm thay phiên 𝐴5 Vậy 𝑆5 có nhóm cấp 60 𝐴5 Nhóm không cyclic cấp Xét nhóm không cyclic cấp 𝑆5 , ta thấy nhóm đẳng cấu với đẳng cấu với nhóm ℤ2 × ℤ2 Hơn nữa, phần tử nhóm có cấp 2, tính đóng phép nhân, nên 𝐻 nhóm không cyclic cấp 𝑆5 có dạng sau: 𝐻 = 〈(𝑖1 𝑖2 ), (𝑖3 𝑖4 )〉 (1) 𝐻 = 〈(𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖4 ), (𝑖1 𝑖3 )(𝑖2 𝑖4 )〉 (2) 𝑖𝑘 ∈ {1; 2; 3; 4; 5} đôi khác nhau, 𝑘 = ���� 1,4 Nếu 𝐻 có dạng (1) 𝐻 có phần tử cấp dạng (𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖4 ), mà 𝑆5 có 15 phần tử dạng nên có 15 nhóm không cyclic cấp dạng (1) Hơn nữa, phần tử sinh có cấu trúc chu trình nên nhóm tương ứng liên hợp với Do đó, theo Mệnh đề 2.3, chuẩn hóa tử nhóm không cyclic cấp dạng 𝑆5 có cấp 120 15 = Nếu 𝐻 có dạng (2) cách chọn phần tử sinh nhóm dạng tổ hợp chập nên có 𝐶54 = nhóm không cyclic cấp dạng Mà phần tử sinh có cấu trúc chu trình nên nhóm tương ứng liên hợp với Do đó, theo Mệnh đề 2.3, chuẩn hóa tử nhóm không cyclic cấp dạng 𝑆5 có cấp Nhóm không cyclic cấp 120 = 24 Xét nhóm không cyclic cấp 𝑆5 , ta có nhóm đẳng cấu với đẳng cấu với nhóm 𝑆3 Mà 𝑆3 có phần tử cấp 3, phần tử cấp 2, phần tử đơn vị, nên tương ứng nhóm không cyclic cấp phải có phần tử cấp 3, phần tử cấp 2, phần tử đơn vị Hơn nữa, phần tử cấp nhóm có dạng chuyển vị, tích chuyển vị Mặt khác, tính đóng phép nhân nhóm, nên nhóm không cyclic cấp 𝑆5 có dạng sau: 〈(𝑖1 𝑖2 ), (𝑖1 𝑖3 )〉 (1) 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 ), (𝑖1 𝑖2 )(𝑖4 𝑖5 )〉 (2) 𝑖𝑘 ∈ {1; 2; 3; 4; 5} đôi khác nhau, 𝑘 = ���� 1,5 Vì 𝑆5 có 20 phần tử cấp 3, nên có 10 nhóm dạng (1) 10 nhóm dạng (2) Như vậy, 𝑆5 có 20 nhóm không cyclic cấp Hơn nữa, 𝐻 nhóm không cyclic cấp 𝑆5 theo Hệ 2.3, ta có �𝑁𝑆5 (𝐻 )� = 120 10 = 12 Nhóm cấp 20 Giả sử 𝐺 nhóm cấp 20 𝑆5 𝐺 có 5-nhóm Sylow nhóm cấp Gọi 𝑛5 số 5-nhóm Sylow 𝐺, theo iii) 𝑛5 |20 , nên 𝑛5 = Giả sử 𝑃 5-nhóm Định lý Sylow thứ II, ta có � 𝑛5 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) Sylow 𝐺 tính nên 𝑃 ⊴ 𝐺, nên theo Mệnh đề 2.4, suy 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃) Mà �𝑁𝑆5 (𝑃)� = 20 = |𝐺 | (do chuẩn hóa tử 5-nhóm Sylow có cấp 20), suy 𝐺 = 𝑁𝑆5 (𝑃) Mặt khác, 𝑆5 có 5-nhóm Sylow cấp nên 𝑆5 có nhóm cấp 20 Giả sử 𝑃 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 )〉, 𝑖𝑘 ∈ {1; 2; 3; 4; 5} đôi khác nhau, 𝑘 = ���� 1,5 Chứng minh 𝑁𝑆5 (𝑃) = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 ), (𝑖2 𝑖3 𝑖5 𝑖4 )〉 Thật vậy, đặt 𝜎 = (𝑖2 𝑖3 𝑖5 𝑖4 ), 𝜏 = (𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 ), ta có 𝜎𝜏𝜎 −1 = (𝑖1 𝑖3 𝑖5 𝑖2 𝑖4 ) = 𝜏 , 𝜎〈𝜏〉𝜎 −1 = 〈𝜏〉 nên 𝜎 ∈ 𝑁𝑆5 (𝑃) Do 〈𝜏, 𝜎〉 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃), mà |〈𝜏, 𝜎〉| = 20 = �𝑁𝑆5 (𝑃)� Suy 𝑁𝑆5 (𝑃) = 〈𝜏, 𝜎〉  Ngoài ra, 𝑃 5-nhóm Sylow cấp 𝐺, nên áp dụng ii) Mệnh đề 2.4, suy 𝑁𝑆5 (𝐺 ) ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃) Do 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝐺 ) ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃) = 𝐺 Suy 𝑁𝑆5 (𝐺 ) = 𝐺 Vì vậy, chuẩn hóa tử nhóm cấp 20 Nhóm cấp 10 Bổ đề 7.4 Trong nhóm 𝐺 cấp 10 phần tử cấp dạng (𝑖 𝑗) Chứng minh Thật vậy, xét tích phần tử cấp phần tử cấp dạng (𝑖 𝑗), chu trình ta thay đổi vị trí hệ số theo thứ tự định, để hệ số phần tử cấp cấp Do đó, không tính tổng quát, ta xét 𝜎 = (𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 ), 𝜏 = (𝑖1 𝑖𝑘 ) với 𝑘 ∈ {2, 3, 4, 5} Dễ dàng kiểm tra |𝜎𝜏| ∤ 10 Nên 𝜎𝜏 ∉ 𝐺 Do đó, nhóm G cấp 10 phần tử cấp dạng (𝑖 𝑗)  Như vậy, theo Bổ đề 7.4, phần tử cấp nhóm cấp 10 có dạng (𝑖 𝑗)(𝑘 𝑙) Do đó, phần tử nhóm cấp 10 𝑆5 có 𝑠𝑔𝑛 Nên 𝐺 nhóm cấp 10 𝑆5 nhóm cấp 10 nhóm thay phiên 𝐴5 Bổ đề 7.5 Chuẩn hóa tử nhóm cấp nhóm thay phiên 𝐴5 nhóm cấp 10 Chứng minh Giả sử 𝑃 nhóm cấp 𝐴5 𝑃 5-nhóm Sylow 𝐴5 , 𝑃 5-nhóm Sylow 𝑆5 Mà 𝑆5 có 5-nhóm Sylow, nên �𝐴5 : 𝑁𝐴5 (𝑃)� = 6, suy �𝑁𝐴5 (𝑃)� = 60 = 10  Bổ đề 7.7 Mọi nhóm cấp 10 nhóm thay phiên 𝐴5 chuẩn hóa tử 5-nhóm Sylow Chứng minh Giả sử 𝐺 nhóm cấp 10 𝐴5 𝐺 có 5-nhóm Sylow nhóm cấp Gọi 𝑛5 số 5-nhóm Sylow 𝐺, theo iii) Định lý Sylow thứ II, suy � 𝑛5 |10 , 𝑛5 = Giả sử 𝑃 5𝑛5 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) nhóm Sylow 𝐺 tính 𝑃 nên 𝑃 ⊴ 𝐺, theo i) Mệnh đề 2.4, suy 𝐺 ≤ 𝑁𝐴5 (𝑃) Mà theo Bổ đề 7.6 �𝑁𝐴5 (𝑃)� = 10, nên |𝐺 | = �𝑁𝐴5 (𝑃)� Do đó, 𝐺 = 𝑁𝐴5 (𝑃)  Trong 𝑆5 , 5-nhóm Sylow nằm nhóm 𝐴5 , mà có tất 5- nhóm Sylow nên 𝐴5 có tất 5-nhóm Sylow Theo Bổ đề 7.7, suy 𝐴5 có tất nhóm cấp 10 Mà 𝐴5 nên 𝑆5 có tất nhóm cấp 10 Vì 𝑆5 phần tử cấp 10, nên theo [1] (Bài tập 2.60) 𝐺 = 〈𝑎, 𝑏|𝑎2 = 𝑏5 = 1, 𝑏4 = 𝑎𝑏𝑎〉 ≅ 𝐷5 Do đó, giả sử 𝑃 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 )〉, 𝑖𝑘 ∈ {1; 2; 3; 4; 5} đôi khác nhau, 𝑘 = ���� 1,5 Khi đó, 𝐺 = 𝑁𝐴5 (𝑃) = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 ), (𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖5 )〉 Hơn nữa, 5-nhóm Sylow liên hợp với nhau, nên theo iii) Mệnh đề 2.4, chuẩn hóa tử chúng 𝑆5 , nhóm cấp 10, liên hợp với Vì vậy, theo Mệnh đề 2.3, suy �𝑁𝑆5 (𝐺 )� = Nhóm cấp 12 120 = 20 Giả sử 𝐺 nhóm cấp 12 𝑆5 𝐺 có 3-nhóm Sylow nhóm cấp Gọi 𝑛3 số 3-nhóm Sylow 𝐺, theo iii) Định lý Sylow II, ta có � 𝑛 =1 𝑛3 |12 , suy � 𝑛3 = 𝑛3 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3) Giả sử 𝑛3 = Khi đó, gọi 𝑃 3-nhóm Sylow 𝐺 tính 𝑃 nên 𝑃 ⊴ 𝐺 Do vậy, theo Mệnh đề 2.4, suy 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃) Mà theo trên, ta lại có �𝑁𝑆5 (𝑃)� = 12, nên |𝐺 | = �𝑁𝑆5 (𝑃)� Do 𝐺 = 𝑁𝑆5 (𝑃) Như vậy, nhóm cấp 12 trường hợp có 3-nhóm Sylow chuẩn tắc chuẩn hóa tử 3-nhóm Sylow Mà 𝑆5 có tất 10 3-nhóm Sylow nên số nhóm cấp 12 𝑆5 trường hợp 10 nhóm Bây giờ, ta chứng minh nhóm 𝑮 cấp 12 𝑺𝟓 trường hợp đẳng cấu với nhóm nhị diện 𝑫𝟔 Thật vậy, theo [6], ta có kết sau: Mệnh đề 7.8 Cho 𝐺 nhóm không abel có cấp 12 Khi đó, 𝐺 có 2-nhóm Sylow chuẩn tắc 𝐺 đẳng cấu với nhóm 𝐴4 , 𝐺 có 3-nhóm Sylow chuẩn tắc 2-nhóm Sylow không cyclic 𝐺 đẳng cấu với 𝐷6 Như vậy, ta cần chứng minh 𝐺 2-nhóm Sylow cyclic Thật vậy, giả sử 𝑃 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 )〉, 𝑖𝑘 ∈ 𝑋 = {1; 2; 3; 4; 5} đôi khác nhau, 𝑘 = ���� 1,3 𝐺 = 𝑁𝑆5 (𝑃) Lấy 𝜎 ∈ 𝑆5 , |𝜎| = đặt 𝜏 = (𝑖1 𝑖2 𝑖3 ) 𝜎𝜏𝜎 −1 = (𝜎𝑖1 𝜎𝑖2 𝜎𝑖3 ), mà |𝜎| = nên tồn 𝑖𝑘 ∈ 𝑋\{𝑖1 ; 𝑖2 ; 𝑖3 } cho 𝜎𝑖1 = 𝑖𝑘 ℎ𝑜ặ𝑐 𝜎𝑖2 = 𝑖𝑘 ℎ𝑜ặ𝑐 𝜎𝑖3 = 𝑖𝑘 Khi đó, 𝜎〈𝜏〉𝜎 −1 ≠ 〈𝜏〉 Do 𝜎 ∉ 𝑁𝑆5 (𝑃), hay nói cách khác 𝐺 phần tử cấp Suy 2-nhóm Sylow 𝐺 không cyclic Do đó, nhóm 𝐺 nhóm cấp 12, không abel, có 3-nhóm Sylow chuẩn tắc 2-nhóm Sylow không cyclic, nên theo Mệnh đề 7.8 suy 𝐺 ≅ 𝐷6 Như vậy, nhóm cấp 12 𝑆5 trường hợp đẳng cấu với nhóm nhị diện 𝐷6 Hơn nữa, 𝑃 nhóm cấp 𝐺 nên áp dụng ii) Mệnh đề 2.4, suy 𝑁𝑆5 (𝐺 ) ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃) Do 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝐺 ) ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃) = 𝐺 Suy 𝑁𝑆5 (𝐺 ) = 𝐺 Như vậy, chuẩn hóa tử nhóm cấp 12 trường hợp có 3-nhóm Sylow Giả sử 𝑛3 = Khi đó, số nguyên tố nên nhóm cấp khác phần tử cấp chung Do đó, số phần tử cấp nhóm 𝐺 là: = phần tử Số phần tử lại cấp 𝐺 phần tử Hơn nữa, 𝐺 có 2-nhóm Sylow nhóm cấp Gọi 𝑛2 số 2- nhóm Sylow cấp 𝐺, theo iii) Định lý Sylow thứ II, ta có � 𝑛2 |12 , suy 𝑛2 = 𝑛2 = Vì số phần tử cấp 𝑛2 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 2) lại 𝐺 4, nên 𝑛2 = Do 𝑃 nhóm cấp 𝑃 nên 𝑃 ⊴ 𝐺 Do vậy, trường hợp 𝐺 nhóm có cấp 12, không abel, có 2-nhóm Sylow chuẩn tắc, nên theo Mệnh đề 7.8 𝐺 đẳng cấu với nhóm thay phiên 𝐴4 Mà 𝑆5 có tất 𝐶5 = nhóm đẳng cấu với 𝐴4 Do đó, có nhóm cấp 12 dạng 𝑆5 Tóm lại, 𝑆5 có tất 15 nhóm cấp 12, nhóm cấp 12 có 3-nhóm Sylow chuẩn tắc có 2-nhóm Sylow chuẩn tắc Ngoài ra, trường hợp nhóm 𝐺 cấp 12 đẳng cấu với 𝐴4 chuẩn hóa tử có cấp 24 Thật vậy, giả sử 𝑃 2-nhóm Sylow chuẩn tắc cấp 𝐺 Khi đó, theo ii) Mệnh đề 2.4, suy 𝑁𝑆5 (𝐺 ) ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃) Do �𝑁𝑆5 (𝐺 )� = 12 �𝑁𝑆5 (𝐺 )� = 24 Nếu �𝑁𝑆5 (𝐺 )� = 12 𝑁𝑆5 (𝐺 ) = 𝐺 nên 𝐺 ⊲ 𝑆5 (mâu thuẫn với Mệnh đề 4.16) Do �𝑁𝑆5 (𝐺 )� = 24 Nhóm cấp 24 Theo trên, chuẩn hóa tử nhóm không cyclic cấp dạng (2), chuẩn hóa tử nhóm cấp 12 có 2-nhóm Sylow chuẩn tắc có cấp 24 Như vậy, tồn 𝑆5 nhóm cấp 24 Giả sử 𝐺 nhóm cấp 24 𝑆5 𝐺 có 3-nhóm Sylow nhóm cấp Nếu gọi 𝑛3 số 3-nhóm Sylow 𝐺 theo iii) định lý Sylow II, suy � 𝑛3 |24 , 𝑛3 = 𝑛3 = 𝑛3 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3) Giả sử 𝑛3 = Khi đó, gọi 𝑃 3-nhóm Sylow 𝐺 tính 𝑃 nên 𝑃 ⊴ 𝐺 Theo ii) Mệnh đề 2.4, suy 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃) Do |𝐺 | = 24 ��𝑁𝑆5 (𝑃)� = 12 (mâu thuẫn), 𝑛3 = Mà số nguyên tố nên nhóm cấp khác phần tử cấp chung Do đó, số phần tử cấp nhóm 𝐺 = phần tử Số phần tử lại cấp 𝐺 16 phần tử Hơn nữa, 𝐺 có 2-nhóm Sylow nhóm cấp nên gọi 𝑛2 số 2-nhóm Sylow 𝐺, iii) Định lý Sylow II, ta suy � 𝑛2 |24 , 𝑛2 = 𝑛2 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 2) 𝑛2 = Nếu 𝑛2 = 𝐺 có 2-nhóm Sylow cấp Giả sử 𝑃 2-nhóm Sylow cấp 𝐺 tính 𝑃 nên 𝑃 ⊴ 𝐺 Vì vậy, theo Mệnh đề 2.4, ta có 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃) Do |𝐺 | = 24 ��𝑁𝑆5 (𝑃)� = (mâu thuẫn), suy 𝑛2 = Như vậy, nhóm cấp 24 có 3-nhóm Sylow cấp 2-nhóm Sylow cấp Bây giờ, ta chứng minh nhóm cấp 24 𝑆5 đẳng cấu với nhóm 𝑆4 thông qua bổ đề sau Bổ đề 7.9 Trong 𝑆5 , nhóm cấp 24 đẳng cấu với nhóm 𝑆4 Chứng minh Trước tiên, ta nhắc lại Định lí mà sử dụng chứng minh Định lí 7.10 Cho 𝐺 nhóm Giả sử 𝐺 có nhóm 𝐻 số 𝑛 Khi đó, tồn đồng cấu nhóm 𝑓: 𝐺 → 𝑆𝑛 cho 𝑘𝑒𝑟𝑓 ≤ 𝐻 Giả sử 𝐺 ≤ 𝑆5 , |𝐺 | = 24 gọi 𝑃 3-nhóm Sylow 𝐺 Theo trên, 𝑛3 = 4, nên [𝐺: 𝑁𝐺 (𝑃)] = Theo Định lí 7.10 tồn đồng cấu nhóm 𝑓: 𝐺 → 𝑆4 cho 𝑘𝑒𝑟𝑓 ≤ 𝑁𝐺 (𝑃) Do |𝑘𝑒𝑟𝑓|�6 Giả sử |𝑘𝑒𝑟𝑓| = |𝑘𝑒𝑟𝑓 | = Khi đó, 𝑘𝑒𝑟𝑓 có 3-nhóm Sylow cấp 3, 𝑘𝑒𝑟𝑓 ⊴ 𝐺 nên bốn 3-nhóm Sylow cấp nằm 𝑘𝑒𝑟𝑓, 𝑘𝑒𝑟𝑓 có phần tử (mâu thuẫn với |𝑘𝑒𝑟𝑓| = 3; 6) Nếu |𝑘𝑒𝑟𝑓| = �𝐺�𝑘𝑒𝑟𝑓� = 12, mà 𝐺�𝑘𝑒𝑟𝑓 ≅ 𝐼𝑚𝑓 ≤ 𝑆4 Mặt khác, theo Mệnh đề 4.15, 𝑆4 có nhóm số hay nhóm cấp 12 nhóm thay phiên 𝐴4 , suy 𝐺�𝑘𝑒𝑟𝑓 ≅ 𝐴4 (mâu thuẫn 𝐴4 có 2-nhóm Sylow cấp 𝐺�𝑘𝑒𝑟𝑓 có 2-nhóm Sylow cấp 4) Do |𝑘𝑒𝑟𝑓| = 1, nên 𝐺 ≅ 𝐼𝑚𝑓, suy |𝐼𝑚𝑓| = 24 Mà 𝐼𝑚𝑓 ≤ 𝑆4 , nên 𝐼𝑚𝑓 = 𝑆4 Suy 𝐺 ≅ 𝑆4 Vậy S5 nhóm cấp 24 đẳng cấu với nhóm S4  Mà 𝑆5 , số nhóm đẳng cấu với 𝑆4 𝐶5 = nhóm nên S5 có nhóm cấp 24 Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.3, suy �𝑁𝑆5 (𝐺 )� = nhóm cấp 24 120 = 24 Do đó, chuẩn hóa tử CHƯƠNG 3- NHÓM CON NGUYÊN THỦY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 𝑺𝟓 ���� Cho 𝑋 = {1; 2; 3; 4; 5}; 𝑖𝑘 ∈ 𝑋 𝑖𝑘 đôi khác nhau, với 𝑘 = 1,5 Các nhóm hoán vị bắc cầu Nhóm cấp Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 )〉 Xét tập ∅ ≠ ∆1 = {𝑖1 ; 𝑖2 } ⊂ 𝑋, ta có ∆1 𝐺 = ∆1 , suy ∆1 khối cố định không tầm thường 𝐺 Còn 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖4 )〉 xét tập ∅ ≠ ∆2 = {𝑖1 ; 𝑖2 ; 𝑖3 ; 𝑖4 } ⊂ 𝑋, ta có ∆2 𝐺 = ∆2 Suy ∆2 khối cố định không tầm thường 𝐺 Do nhóm cấp 𝑆5 không bắc cầu Nhóm cấp Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 )〉 Xét tập ∅ ≠ ∆= {𝑖1 ; 𝑖2 ; 𝑖3 } ⊂ 𝑋, ta có ∆𝐺 = ∆, suy ∆ khối cố định không tầm thường 𝐺 Do nhóm cấp 𝑆5 không bắc cầu Nhóm cấp Nếu 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 )〉 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 ), (𝑖3 𝑖4 )〉 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖4 ), (𝑖1 𝑖3 )(𝑖2 𝑖4 )〉 ba trường hợp, với tập ∅ ≠ ∆= {𝑖1 ; 𝑖2 ; 𝑖3 ; 𝑖4 } ⊂ 𝑋, ta có ∆𝐺 = ∆ Suy ∆ khối cố định không tầm thường 𝐺 Do nhóm cấp nhóm 𝑆5 không bắc cầu Nhóm cấp Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 )〉 Lấy tập ∅ ≠ ∆⊂ 𝑋 bất kì, ta có ∆𝐺 = 𝑋 Do ∆𝐺 ≠ ∆, suy 𝐺 có khối cố định tầm thường Do nhóm cấp nhóm 𝑆5 bắc cầu Nhóm cấp Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 ) (𝑖3 𝑖4 𝑖5 )〉 Xét tập ∅ ≠ ∆1 = {𝑖1 ; 𝑖2 } ⊂ 𝑋, ta có ∆1 𝐺 = ∆1 Suy ∆1 khối cố định không tầm thường 𝐺 Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 ), (𝑖1 𝑖3 )〉 Xét tập ∅ ≠ ∆2 = {𝑖1 ; 𝑖2 ; 𝑖3 } ⊂ 𝑋, ta có: ∆2 𝐺 = ∆2 , nên ∆2 khối cố định không tầm thường 𝐺 Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 ), (𝑖1 𝑖2 ) (𝑖4 𝑖5 )〉 Xét tập ∅ ≠ ∆3 = {𝑖1 ; 𝑖2 ; 𝑖3 } ⊂ 𝑋, ta có: ∆3 𝐺 = ∆3 , suy ∆3 khối cố định không tầm thường 𝐺 Do nhóm cấp nhóm 𝑆5 tính bắc cầu Nhóm cấp Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 ), (𝑖2 𝑖4 )〉 Xét tập ∅ ≠ ∆= {𝑖1 ; 𝑖2 ; 𝑖3 ; 𝑖4 } ⊂ 𝑋, ta có ∆𝐺 = ∆, suy ∆ khối cố định không tầm thường 𝐺 Do nhóm cấp nhóm 𝑆5 không bắc cầu Nhóm cấp 10 Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 ), (𝑖2 𝑖4 )(𝑖3 𝑖5 )〉 ≅ 𝐷5 Xét tập ∅ ≠ ∆⊂ 𝑋 bất kì, ta có ∆𝐺 = 𝑋 Do ∆𝐺 ≠ ∆, suy 𝐺 có khối cố định tầm thường Do nhóm cấp nhóm 𝑆5 bắc cầu Nhóm cấp 12 Nếu 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 ), (𝑖1 𝑖2 𝑖4 )〉 ≅ 𝐴4 Xét tập ∅ ≠ ∆1 = {𝑖1 ; 𝑖2 ; 𝑖3 ; 𝑖4 } ⊂ 𝑋, ta có ∆1 𝐺 = ∆1 , nên ∆1 khối cố định không tầm thường 𝐺 Nếu 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖4 𝑖5 ), 𝜎〉 ≅ 𝐷6 với 𝜎 ∈ 𝑆5 , 𝜎 = 𝑖𝑑, (𝜎𝑖1 𝜎𝑖2 )(𝜎𝑖3 𝜎𝑖4 𝜎𝑖5 ) = (𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖5 𝑖4 ) Xét tập ∅ ≠ ∆2 = {𝑖1 ; 𝑖2 } ⊂ 𝑋, ta có ∆2 𝐺 = ∆2 Suy ∆2 khối cố định không tầm thường 𝐺 Do nhóm cấp 12 nhóm 𝑆5 không bắc cầu Nhóm cấp 20 Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 ), (𝑖2 𝑖3 𝑖5 𝑖4 )〉 Xét tập ∅ ≠ ∆⊂ 𝑋 bất kì, ta có ∆𝐺 = 𝑋 Do ∆𝐺 ≠ ∆, suy 𝐺 có khối cố định tầm thường Do nhóm cấp 20 nhóm 𝑆5 bắc cầu Nhóm cấp 24 Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 ), (𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 )〉 ≅ 𝑆4 Xét tập ∅ ≠ ∆= {𝑖1 ; 𝑖2 ; 𝑖3 ; 𝑖4 } ⊂ 𝑋, ta có ∆𝐺 = ∆, suy ∆ khối cố định không tầm thường 𝐺 Do nhóm cấp 24 nhóm 𝑆5 không bắc cầu Nhóm cấp 60 Giả sử 𝐺 = 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 ), (𝑖1 𝑖2 𝑖4 ), (𝑖1 𝑖2 𝑖5 )〉 ≅ 𝐴5 Xét tập ∅ ≠ ∆⊂ 𝑋 bất kì, ta có ∆𝐺 = 𝑋 Do ∆𝐺 ≠ ∆, nên 𝐺 có khối cố định tầm thường Do nhóm cấp 60 nhóm 𝑆5 nhóm bắc cầu Nhóm cấp 120 Vì 𝑆5 = 〈(1 2), (1 5)〉 nên hiển nhiên 𝑆5 nhóm bắc cầu Các nhóm hoán vị nguyên thủy Theo Định nghĩa 6.1, ta xét nhóm bắc cầu nhóm 𝑆5 Nhóm cấp Xét 𝐺 ≤ 𝑆5 cho |𝐺 | = Theo trên, 𝐺 nhóm bắc cầu, 𝐺 nhóm cyclic cấp nên có bậc Do theo Hệ 6.5, suy 𝐺 nhóm nguyên thủy 𝑆5 Như vậy, 5-nhóm Sylow cấp 𝑆5 nguyên thủy Mặt khác, theo Định lý Lagrange, nhóm cấp nhóm nhóm cấp 10, 20, 60, nên nhóm cấp 10, 20, 60 nhóm nguyên thủy Hơn nữa, nhóm cấp 120 nhóm nguyên thủy tầm thường 𝑆5 KẾT LUẬN Sau nghiên cứu đề tài: “Các nhóm nguyên thủy nhóm đối xứng 𝑺𝟓 ”, luận văn đạt số kết sau: Đã hệ thống phân loại dạng nhóm nhóm đối xứng 𝑆5 , tính số lượng cấp chuẩn hóa tử chúng Xác định cấu trúc tất nhóm con, nhận biết bậc kiểm chứng tính bắc cầu chúng, từ tìm nhóm nguyên thủy nhóm 𝑆5 (Bảng hệ thống nhóm nhóm nguyên thủy thống kê Phụ lục) thể: Rút số nhận xét nhóm nguyên thủy nhóm 𝑆5 , cụ Các nhóm nguyên thủy có cấp bội Do đó, nhóm có cấp không bội không nguyên thủy Các nhóm cyclic cấp nhóm hoán vị nguyên thủy Các nhóm cấp 10, cấp 20 nhóm hoán vị nguyên thủy Nhóm thay phiên 𝐴5 nhóm 𝑆5 nhóm hoán vị nguyên thủy Trong nhóm 𝑆5 , có tất 20 nhóm nguyên thủy Sau không nhắc đến việc mở rộng đề tài, cụ thể: Mở rộng việc nghiên cứu tính đa bắc cầu, tính đa nguyên thủy nhóm nguyên thủy xác định Mở rộng nghiên cứu nhóm đối xứng có bậc nhỏ Phụ lục Bảng hệ thống nhóm nhóm đối xứng 𝑆5 Cấp 10 12 20 24 60 Dạng 〈𝑖𝑑 〉 Số lượng Cấp chuẩn hóa tử Tính nguyên thủy 120 〈(𝑖1 𝑖2 )〉 ≅ ℤ2 10 12 〈(𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖4 )〉 ≅ ℤ2 15 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 )〉 ≅ ℤ3 10 12 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 )〉 ≅ ℤ4 15 〈(𝑖1 𝑖2 ), (𝑖3 𝑖4 )〉 ≅ ℤ2 × ℤ2 15 〈(𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖4 ), (𝑖1 𝑖3 )(𝑖2 𝑖4 )〉 ≅ ℤ2 × ℤ2 24 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 )〉 ≅ ℤ5 20 〈(𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖4 𝑖5 )〉 ≅ ℤ6 10 12 〈(𝑖1 𝑖2 ), (𝑖1 𝑖3 )〉 ≅ 𝑆3 10 12 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 ), (𝑖1 𝑖2 )(𝑖4 𝑖5 )〉 ≅ 𝑆3 10 12 〈(𝑖2 𝑖4 ), (𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 )〉 ≅ 𝐷4 15 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 ), (𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖5 )〉 ≅ 𝐷5 20 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 ), (𝑖1 𝑖2 𝑖4 )〉 ≅ 𝐴4 24 〈(𝑖1 𝑖2 )(𝑖3 𝑖4 𝑖5 ), (𝑖3 𝑖4 )〉 ≅ 𝐷6 10 12 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 𝑖5 ), (𝑖2 𝑖3 𝑖5 𝑖4 )〉 20 〈(𝑖1 𝑖2 ), (𝑖1 𝑖2 𝑖3 𝑖4 )〉 ≅ 𝑆4 24 〈(𝑖1 𝑖2 𝑖3 ), (𝑖1 𝑖2 𝑖4 ), (𝑖1 𝑖2 𝑖5 )〉 ≅ 𝐴5 120 Nguyên thủy 120 Nguyên thủy 120 〈(1 5), (1 2)〉 ≅ 𝑆5 ���� Với 𝑖𝑘 ∈ {1; 2; 3; 4; 5} 𝑖𝑘 đôi khác nhau, với 𝑘 = 1,5 Nguyên thủy Nguyên thủy Nguyên thủy Trong 𝑆5 có tất 156 nhóm con, có 20 nhóm nguyên thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1]: Mỵ Vinh Quang, Bài tập Đại số đại cương Nhà xuất Giáo dục, 1999 [2]: Bùi Xuân Hải, Trường Lý thuyết Galois Nhà xuất ĐHQG TPHCM, 2010 [3]: Nguyễn Viết Đông – Trần Ngọc Hội, Đại số đại cương Nhà xuất ĐHQG TPHCM, 2004 [4]: Trần Văn Vương, Một số vấn đề nhóm nhóm 𝑆5 , Luận văn tốt nghiệp, Trường ĐHSP TPHCM, 2004 Tiếng Anh [5]: Helmut Wielandt, Finite permutation Groups ACADEMIC PRESS, NEWYORK and LONDON, 1964 [6]: Keith Conrad, Groups of order 12, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory [...]... 2 -nhóm con Sylow là nhóm con cấp 8; 3 -nhóm con Sylow là nhóm con cấp 3; 5nhóm con Sylow là nhóm con cấp 5 Nhóm con cấp 3 và nhóm con cấp 5 là các nhóm con cyclic (đã xét ở trên), do đó, ta chỉ xét 2 -nhóm con Sylow cấp 8 của 𝑆5 2 -nhóm con Sylow trong 𝑺𝟓 Gọi 𝐻 là một 2 -nhóm con Sylow của nhóm 𝑆5 , và 𝑛2 là số các 2 -nhóm con Sylow cấp 8 Theo Định lý Sylow thứ II, các 2 -nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau... thì cấp lớn nhất của 𝜎 cũng 2 chỉ là 6 Do đó trong S5 không có phần tử cấp lớn hơn 6 3 Trong S5 , các tập {𝑖𝑑 }, 𝑆5 là các nhóm con tầm thường của S5  Các nhóm con tầm thường trong 𝑺𝟓 Các nhóm con cyclic trong 𝑺𝟓 Nhóm con cấp 2 Các nhóm con cấp 2 trong nhóm S5 là nhóm cyclic sinh bởi các phần tử cấp 2 Tất cả các nhóm con này đẳng cấu với nhau và đẳng cấu với nhóm ℤ2 Hơn nữa, tất cả các phần tử cấp... Do đó, mọi phần tử của nhóm con cấp 10 của 𝑆5 đều có 𝑠𝑔𝑛 bằng 1 Nên nếu 𝐺 là nhóm con cấp 10 của 𝑆5 thì cũng là nhóm con cấp 10 của nhóm thay phiên 𝐴5 Bổ đề 7.5 Chuẩn hóa tử của nhóm con cấp 5 trong nhóm thay phiên 𝐴5 là nhóm cấp 10 Chứng minh Giả sử 𝑃 là nhóm con cấp 5 của 𝐴5 thì 𝑃 là 5 -nhóm con Sylow của 𝐴5 , hơn nữa 𝑃 cũng là 5 -nhóm con Sylow của 𝑆5 Mà trong 𝑆5 có 6 5 -nhóm con Sylow, nên �𝐴5 :... 1(𝑚𝑜𝑑 5) nhóm con Sylow của 𝐺 thì do tính duy nhất nên 𝑃 ⊴ 𝐺, mà theo Mệnh đề 2.4 thì 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃), nên 40 = |𝐺 | ��𝑁𝑆5 (𝑃)� = 20 (!) Vậy không tồn tại nhóm con cấp 40 của nhóm 𝑆5 Giả sử 𝐺 là nhóm con cấp 30 của 𝑆5 thì trong 𝐺 có 3 -nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 3 và 5 -nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 5 Gọi 𝑛3 , 𝑛5 lần lượt là số các 3 -nhóm con và 5 -nhóm con Sylow của 𝐺 thì theo iii) của Định lý... 4.16) Do đó �𝑁𝑆5 (𝐺 )� = 24 Nhóm con cấp 24 Theo trên, chuẩn hóa tử của nhóm con không cyclic cấp 4 dạng (2), hoặc chuẩn hóa tử của nhóm con cấp 12 có 2 -nhóm con Sylow chuẩn tắc đều có cấp 24 Như vậy, tồn tại trong 𝑆5 các nhóm con cấp 24 Giả sử 𝐺 là nhóm con cấp 24 của 𝑆5 thì trong 𝐺 có 3 -nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 3 Nếu gọi 𝑛3 là số 3 -nhóm con Sylow của 𝐺 thì theo iii) của định lý Sylow II, suy... 7.7 Mọi nhóm con cấp 10 trong nhóm thay phiên 𝐴5 chính là chuẩn hóa tử của 5 -nhóm con Sylow Chứng minh Giả sử 𝐺 là nhóm con cấp 10 của 𝐴5 thì trong 𝐺 có 5 -nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 5 Gọi 𝑛5 là số các 5 -nhóm con Sylow của 𝐺, thì theo iii) của Định lý Sylow thứ II, suy ra � 𝑛5 |10 , do đó 𝑛5 = 1 Giả sử 𝑃 là 5𝑛5 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) nhóm con Sylow của 𝐺 thì do tính duy nhất của 𝑃 nên 𝑃 ⊴ 𝐺, theo i) của Mệnh... 𝑖5 )〉 Hơn nữa, vì các 5 -nhóm con Sylow liên hợp với nhau, nên theo iii) của Mệnh đề 2.4, chuẩn hóa tử của chúng trong 𝑆5 , là các nhóm con cấp 10, đều liên hợp với nhau Vì vậy, theo Mệnh đề 2.3, suy ra �𝑁𝑆5 (𝐺 )� = Nhóm con cấp 12 120 6 = 20 Giả sử 𝐺 là nhóm con cấp 12 của 𝑆5 thì trong 𝐺 có 3 -nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 3 Gọi 𝑛3 là số 3 -nhóm con Sylow của 𝐺, thì theo iii) của Định lý Sylow II,... thỏa 𝑝|𝑛 i) Mọi p -nhóm con của G đều nằm trong p -nhóm con Sylow nào đó của G ii) Mọi p -nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau iii) Số các p -nhóm con Sylow của G, kí hiệu: 𝑛𝑝 (𝐺 ), là ước của n và 4 Nhóm đối xứng 𝑺𝒏 𝑛𝑝 (𝐺 ) ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) Định nghĩa 4.1 Cho tập 𝑋 ≠ ∅ gồm n phần tử Khi đó, tập hợp tất cả các song ánh từ 𝑋 → 𝑋 là một nhóm với phép nhân là phép hợp nối ánh xạ, gọi là nhóm đối xứng bậc n trên tập... 10 = 12 Nhóm con cấp 20 Giả sử 𝐺 là nhóm con cấp 20 của 𝑆5 thì trong 𝐺 có 5 -nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 5 Gọi 𝑛5 là số các 5 -nhóm con Sylow của 𝐺, thì theo iii) của 𝑛5 |20 , nên 𝑛5 = 1 Giả sử 𝑃 là 5 -nhóm Định lý Sylow thứ II, ta có � 𝑛5 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) con Sylow của 𝐺 thì do tính duy nhất nên 𝑃 ⊴ 𝐺, nên theo Mệnh đề 2.4, suy ra 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃) Mà �𝑁𝑆5 (𝑃)� = 20 = |𝐺 | (do chuẩn hóa tử của 5 -nhóm con Sylow... 5) nhóm con Sylow của 𝐺 thì do tính duy nhất nên 𝑃 ⊴ 𝐺, mà theo Mệnh đề 2.4 thì 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5 (𝑃), nên 15 = |𝐺 | ��𝑁𝑆5 (𝑃)� = 20 (!) Vậy không tồn tại nhóm con cấp 15 của nhóm 𝑆5 Giả sử 𝐺 là nhóm con cấp 40 của 𝑆5 thì trong 𝐺 có 5 -nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 5 Gọi 𝑛5 là số các 5 -nhóm con Sylow của 𝐺 thì theo iii) của 𝑛5 |40 , suy ra 𝑛5 = 1 Giả sử 𝑃 là 5Định lý Sylow thứ II, ta có � 𝑛5 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 5) nhóm ... Chương – Các nhóm nhóm đối xứng