Trong nhóm𝑆5, không tồn tại các nhóm con cấp 15, 40, 30.
Chứng minh
Giả sử 𝐺 là nhóm con cấp 15 của 𝑆5 thì trong 𝐺 có 5-nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 5. Gọi 𝑛5 là số các 5-nhóm con Sylow của 𝐺 thì theo iii) của
Định lý Sylow thứ II, ta có � 𝑛5|15
𝑛5 ≡1(𝑚𝑜𝑑 5), suy ra 𝑛5 = 1. Giả sử 𝑃 là 5- nhóm con Sylow của 𝐺 thì do tính duy nhất nên 𝑃 ⊴ 𝐺, mà theo Mệnh đề 2.4 thì 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5(𝑃), nên 15 = |𝐺|��𝑁𝑆5(𝑃)�= 20 (!).
Vậy không tồn tại nhóm con cấp 15 của nhóm 𝑆5.
Giả sử 𝐺 là nhóm con cấp 40 của 𝑆5 thì trong 𝐺 có 5-nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 5. Gọi 𝑛5 là số các 5-nhóm con Sylow của 𝐺 thì theo iii) của
Định lý Sylow thứ II, ta có � 𝑛5|40
𝑛5 ≡1(𝑚𝑜𝑑 5), suy ra 𝑛5 = 1. Giả sử 𝑃 là 5- nhóm con Sylow của 𝐺 thì do tính duy nhất nên 𝑃 ⊴ 𝐺, mà theo Mệnh đề 2.4 thì 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5(𝑃), nên 40 = |𝐺|��𝑁𝑆5(𝑃)�= 20 (!).
Vậy không tồn tại nhóm con cấp 40 của nhóm 𝑆5.
Giả sử 𝐺 là nhóm con cấp 30 của 𝑆5 thì trong 𝐺 có 3-nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 3 và 5-nhóm con Sylow là các nhóm con cấp 5. Gọi 𝑛3,𝑛5 lần lượt là số các 3-nhóm con và 5-nhóm con Sylow của 𝐺 thì theo iii) của Định lý
Sylow thứ II, ta có � 𝑛3|30
𝑛3 ≡1(𝑚𝑜𝑑 3) và � 𝑛5|30
𝑛5 ≡1(𝑚𝑜𝑑 5). Suy ra � 𝑛𝑛33= 10= 1 và �𝑛𝑛5 = 1
5 = 6. Giả sử 𝑛3 = 1 và gọi 𝑃 là 3-nhóm con Sylow của 𝐺 thì do tính duy nhất nên 𝑃 ⊴ 𝐺. Theo Mệnh đề 2.4 thì 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5(𝑃), do đó 30 = |𝐺|��𝑁𝑆5(𝑃)� = 12 (!).
Giả sử 𝑛5 = 1 và gọi 𝑃 là 5-nhóm con Sylow của 𝐺 thì do tính duy nhất nên 𝑃 ⊴ 𝐺, theo Mệnh đề 2.4 thì 𝐺 ≤ 𝑁𝑆5(𝑃), nên 30 = |𝐺|��𝑁𝑆5(𝑃)�= 20 (!). Do đó 𝑛3 = 10 và 𝑛5 = 6. Mặt khác, do 3 và 5 là các số nguyên tố nên các nhóm con cấp 3 khác nhau sẽ không có phần tử cấp 3 nào chung, các nhóm con cấp 5 khác nhau sẽ không có phần tử cấp 5 nào chung. Do đó, tổng số phần tử cấp 3 và cấp 5 trong nhóm 𝐺 là 2.10 + 4.6 = 44 phần tử (mâu thuẫn với |𝐺| = 30).
Vậy không tồn tại nhóm con cấp 30 của nhóm 𝑆5.