tôpô metric mở rộng của trái đất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vương Hiển TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vương Hiển TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 ii MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm mở đầu không gian tôpô 1.1.1 Không gian tôpô 1.1.2 Cơ sở, tiền sở tôpô 1.1.3 Lân cận, sở lân cận 1.1.4 Không gian tôpô 1.1.5 Phần trong, bao đóng, biên 1.1.6 Điểm hội tụ điểm cô lập 1.1.7 Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng 10 1.1.8 Các tiên đề tách 10 1.1.9 Các tiên đề đếm 11 1.2 Không gian compact 11 1.2.1 Không gian compact 11 1.2.2 Không gian compact đếm 12 1.2.3 Không gian compact địa phương 12 1.2.4 Ánh xạ đầy đủ 12 1.2.5 Không gian Cech-đầy đủ 12 1.2.6 Không gian giả compact 12 1.3 Không gian mêtric, không gian mêtric hóa 12 1.3.1 Không gian mêtric 12 1.3.2 Không gian mêtric hóa 13 1.3.3 Định lý phạm trù Baire 13 1.3.4 Định lý HANAI – MORITA – STONE 13  1.3.5 Phép biến đổi Mobius số tính chất 14 1.3.6 Tỷ số kép 14 1.3.7 Metric hyperbolic 15 1.4 Không gian paracompact 16 1.4.1 Không gian paracompact 16 1.4.2 Không gian paracompact đếm 16 1.4.3 Không gian Fréchet điểm 16 1.5 Không gian phân tầng 16 1.5.1 Định nghĩa 16 1.5.2 M - không gian, M - không gian 16 1.6 Không gian Nagata 16 1.7 Hàm ceiling 17 1.8 Arbelos 17 CHƯƠNG 2: TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT 18 2.1 Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic 18 2.2 Tôpô phân tầng 21 2.3 Dạng lân cận biên 27 2.4 Các tôpô đơn giản hóa 32 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU KHAM KHẢO 41 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa clU ,U : Bao đóng tập U B ( x, r ) : Quả cầu mở tâm x , bán kính r V ( x, s ) : Quả cầu cực hạn x kích thước s ω : Tập số bao gồm số tự nhiên x : Họ lân cận x g J : Hạn chế hàm g lên cung J Trong lịch sử tồn phát triển, nhân loại luôn phải đương đầu với tai họa thiên nhiên, lũ lụt, hạn hán, bão tố, động đất, sóng thần, núi lửa… Trong tai họa thiên nhiên đó, có lẽ động đất tai họa khủng khiếp nhất, vài giây đồng hồ thành phố bị sụp đổ hoàn toàn, khu vực bị sụt lún dòng sông bị đổi dòng hậu trận động đất cực mạnh Điều đáng sợ khoa học kỹ thuật đương đại chưa dự báo xác thời điểm địa điểm động đất xảy Do đó, người chưa có biện pháp phòng chống chủ động trận động đất, phòng chống bão hay lũ lụt Theo kết thống kê tỉ mỉ nhà địa chấn, năm toàn địa cầu xảy triệu trận động đất với độ mạnh khác nhau, số có khoảng 100 ngàn động đất người cảm nhận được, 100 trận động đất gây tác hại trận động đất gây thảm họa lớn, nghĩa nửa phút xảy động đất Có thể nói động đất yếu xảy nơi địa cầu, lòng đất không lúc yên tĩnh MỞ ĐẦU Xuất phát từ trận động đất, nhà toán học giới có nhà toán học Nhật Bản quan tâm nghiên cứu chế trận động đất đưa chúng vào mô hình toán học nhằm tìm nguyên nhân để khắc phục giảm tối đa thiệt hại trận động đất gây Lấy ý tưởng từ trận động đất nhà toán học người Nhật Akio Kato, Department of Mathematics; National Defense Acedemy nghiên cứu sóng địa chấn để khái quát quát hóa chúng thành mô hình toán học Một trận động đất truyền hai loại sóng: sóng khối sóng bề mặt Đầu tiên chúng lan truyền xuyên qua Trái Đất sau bề mặt Trái Đất Tốc độ truyền sóng khối có xu hướng tăng với độ sâu, sóng bề mặt tương đối chậm sóng khối Ý tưởng đưa sóng khối lấy đường trắc địa đĩa Poincaré  (đĩa mở đơn vị) với metric hyperbolic ρ để tôpô phần Trái Đất cảm sinh metric hyperbolic ρ Mặt khác sóng bề mặt lan truyền đường tròn lớn bề mặt Trái Đất, đường tròn biên tiết diện ngang Trái Đất Do đó, sóng bề mặt đo độ dài đường cong Euclide thông thường đường tròn biên Vì vậy, thấy mô hình đơn giản hóa  Trái Đất có cấu trúc đa metric: metric hyperbolic ρ  metric Euclide d đường cong biên S = ∂ Dĩ nhiên, metric Euclide xác định không biên mà toàn  Chúng ta xác định cấu trúc tôpô tương ứng theo hai metric Chúng ta muốn định nghĩa tôpô đĩa đóng đơn vị  tiết diện ngang trái đất mà có tôpô đặc trưng dựa theo tượng Dĩ nhiên, phải đơn giản hóa tiết diện ngang Trái Đất để loại bỏ chi tiết địa chất Hình 1.1 Mô hình đơn giản hóa Trái Đất Luận văn nhằm nghiên cứu số phương pháp mà Akio Kato đưa bốn tôpô Trái Đất lấy ý tưởng từ truyền sóng địa chấn Tất chúng  phân tầng, không metric hóa được, chúng không không gian Lindelof gian Fréchet không đơn liên Chúng ta đơn giản hóa tôpô để có ba tôpô địa phương co rút được, số đếm thứ Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu phần sau, Chương giới thiệu số Tôpô metric mở rộng Trái Đất số nhận xét, bổ đề, tính chất quan trọng chúng Trong phần kết luận trình bày số nhận xét kết định hướng mở rộng cho luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Trong trình học tập viết luận văn, lúc đầu bỡ ngỡ việc nghiên cứu luận văn thầy động viên giúp đỡ nhiều từ việc nghiên cứu báo khoa học, cách tìm tài liệu bổ sung kiến thức thiếu sót Nhờ tận tình dạy nghiên cứu khoa học thầy giúp tự tin việc hoàn thành luận văn mà giúp nhiều đời sống xã hội Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp Hình Học Tôpô khóa 22 quý thầy Tổ Hình Học, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp tiếp cận làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành Chính, Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau đại học, Phòng Kế Hoạch – Tài Chính Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, đưa sở lí thuyết nhằm phục vụ cho chương Các kiến thức chủ yếu chương nhằm mục đích giới thiệu khái niệm không gian tôpô, không gian metric hóa kiến thức liên quan luận văn Hầu hết kiến thức đưa ngắn gọn, dễ hiểu để tiện việc theo dõi tiếp phần sau Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta tham khảo thêm tài liệu [2], [3], [4], [6] 1.1 Các khái niệm mở đầu không gian tôpô 1.1.1 Không gian tôpô Một không gian tôpô cặp ( X ,τ ) bao gồm tập hợp X họ τ tập X thỏa điều kiện sau: (τ ) ∅ ∈τ X ∈τ (τ ) Nếu U1 ∈τ U ∈τ U1 ∩ U ∈τ (τ ) Nếu A ⊂ τ  A ∈τ Tập X gọi không gian, phần tử X gọi điểm không gian X, tập X thuộc τ gọi tập mở X, họ τ tập mở X gọi tôpô X 1.1.2 Cơ sở, tiền sở tôpô  Giả sử ( X ,τ ) không gian tôpô Một họ B ⊂ τ gọi sở không gian tôpô ( X ,τ ) tập mở khác rỗng X hợp họ tập thuộc B  Một họ σ ⊂ τ gọi tiền sở không gian tôpô ( X ,τ ) họ tất giao hữu hạn tập thuộc σ sở τ  Một tôpô hoàn toàn xác định biết sở hay tiền sở  Chúng ta nhận xét ( X ,τ ) khả đối xứng không gian khả đối xứng biết dãy Theo A.V.Arhangel’skii, không gian ( X ,τ ) khả đối xứng có hàm δ : X × X → 0, ∞ ) (không thiết liên tục) cho: (1) δ ( x, y ) = x = y (2) δ ( x, y ) = δ ( y, x ) (3) U ∈τ tồn ε > cho x ∈ Bδ ( x; ε ) ⊂ U , với x ∈U Bδ ( x; ε ) = {z ∈ X : δ ( x, z ) < ε } ký hiệu “quả cầu” δ Ở lưu ý rằng, thiếu điều kiện bất đẳng thức tam giác, điều kiện (3) không xác định Bδ ( x; ε ) ∈τ Cho không gian X=  ∪ S , xác định δ ( x, y ) trường hợp hai x, y ∈ x, y ∈ S , cho δ ( x, y ) khoảng cách Euclide d ( x, y ) ; x ∈ S y ∈ xác định δ= ( x, y ) δ= ( y, x ) s , < s < , điểm y nằm biên cầu cực hạn V ( x ; s ) Dễ dàng thấy , δ thỏa mãn điều kiện (1), (2), (3) “quả cầu” x ∈ S bán kính s δ Bδ= ( x; s) V ( x; s) ∪ J ,  J = a b , d= ( a, x ) d= ( x, b ) s , tập hợp đề cập cuối phần 2.1 2.3 Dạng lân cận biên Ở nghiên cứu dạng lân cận điểm biên S Chúng ta ký hiệu τ d tôpô Euclide đĩa đóng  Nếu hc : J → ( 0,1 hàm có giá trị c ∈ ( 0,1 , lân cận dạng gối V ( hc ) thuộc Euclide τ d Tổng quát, cho lân cận V ∈τ , gọi điểm x ∈V ∩ S điểm Euclide V x có lân cận Euclide U ∈τ d chứa V Một điểm V ∩ S khác điểm Euclide, gọi điểm phi Euclide V Chúng ta ký hiệu tập tất điểm Euclide V Ec (V ) gọi phần Euclide V 27 Tập tất điểm phi Euclide V ký hiệu Nec (V ) , gọi phần phi Euclide V Rõ ràng, Ec (V ) tập mở V ∩ S Tính chất 2.3.1 Ec (V ) tập mở trù mật V ∩ S Chứng minh Cho g : J → ( 0,1 Đặt Gn = g −1 ( (1 n ,1 ) , J hợp đếm Gn ( n ≥ ) Do J đồng phôi đường thẳng thực nên áp dụng định lý phạm trù Baire để có số m mà bao đóng Gm có phần khác rỗng J Nghĩa là, tìm số cung mở riêng I J mà I ∩ Gm trù mật I Theo định nghĩa Gm , với x ∈ I ∩ Gm , cầu cực hạn V ( x ;1 m ) kích thước m chứa V ( x ; g ( x ) ) ⊆ V ( g ) Vì I ∩ Gm trù mật I nên tập I ∪  {V ( x ;1 m ) : x ∈ I ∩ Gm } tương tự tập mở V ( h ) cho hàm h : I → ( 0,1 có giá trị m Do V ( h ) ∈τ d nên có I ⊂ Ec (V ) Thay g thu hẹp cho cung J, kết luận Ec (V ) mở trù mật J □ Nói cách khác, phần phi Euclide Nec (V ) không đâu trù mật đóng V ∩ S Cho điểm a S, lấy : S → ( 0,1 ký hiệu hàm cho  ( x )= (1 − cos θ ) ≤ θ ≤ π độ dài cung a x  Cho J = a b cung mở độ dài < π biên S, xác định hàm hJ : J → ( 0,1 { } ∧ hb , nghĩa là, hJ ( x ) = Min ( x ) , hb ( x ) Chúng ta gọi hàm hJ hàm ceiling J Khi hàm h xác định số hợp rời cung mở h hàm ceiling cung mở, gọi hàm h hàm ceiling Bổ đề 2.3.2  V ( hJ ) tách rời từ V ( a ;1) ∪ V ( b ;1) , J = a b 28  Chứng minh Cố định điểm x ∈ J cho θ độ dài cung a x Bởi tính đối xứng cần chứng tỏ V ( x ; ( x ) ) tách rời từ V ( a ;1) Cho Bd ( x ; ε ) cầu mở Euclide (trong mặt phẳng) tâm x bán kính ε cho tiếp xúc với V ( a ;1) Vậy ε = − cos θ − ( x ) Do đó, cầu cực hạn V ( x ; ( x ) ) chứa ε lớn (1 − cos θ ) = Bd ( x ; ε ) tách rời từ V ( a ;1) □  Cho Sa ,b hình quạt tròn đĩa đơn vị  sinh cung J = a b , đặt = Sa ,b \ (V ( a;1) ∪ V ( b;1) ∪ V ( hJ ) ) a Ab Tập tam giác cong có dạng “arbelos”, gọi tập a Ab arbelos xác định a b Tập a Ab đóng τ , ý tập không đóng tôpô Euclide τ d , nghĩa bao gồm hai điểm a b bao đóng Euclide Ví dụ 2.3.3 Chúng ta trình bày ví dụ điển hình lân cận với phần phi Euclide không đếm được:  Cho J = a b cung mở độ dài < π biên S cho C đồng phôi tập hợp Cantor J Tập mở trù mật J \ C J viết hợp rời  n∈ω J n  cung mở J n = an bn Cho h : J → ( 0,1 hàm mà h lấy giá trị số C h hàm ceiling J \ C Chúng ta chứng tỏ Nec (V ( h ) ) = C Đặt VC =  y∈C V ( y;1) Do {an , bn | n ∈ ω} trù mật C nên có VC = C ∪  (V ( an ;1) ∪ V ( bn ;1) ) n∈ω Do đó, bổ đề 2.3.2 chứng tỏ V ( h ) tạo thành hợp rời ( ) V ( h=) VC ∪  V hJ n n∈ω 29 Các điểm an bn phụ thuộc vào bao đóng Euclide arbelos an Abn , arbelos xác định vị trí bên V ( h ) Điều có nghĩa an , bn ∈ Nec (V ( h ) ) Vì {an , bn | n ∈ ω} trù mật C Nec (V ( h ) ) tập đóng nên có C ⊂ Nec (V ( h ) ) Do hàm h liên tục J \ C nên J \ C ⊂ Ec (V ( h ) ) Như vậy, có Nec (V ( h ) ) = C Chú ý trường hợp tổng quát, V1 ⊂ V2 V1 ∩ Nec (V2 ) ⊂ Nec (V1 ) Bằng cách sử dụng điều ví dụ 2.3.3, chứng minh mệnh đề sau Tính chất 2.3.4 Mọi sở lân cận mở điểm S τ chứa phần tử có điểm phi Euclide không đếm Chứng minh Cho  ( x0 ) ⊂τ sở lân cận x0 ∈ S Chọn cung mở J độ dài < π tập Cantor C cho x0 ∈ C ⊂ J ⊂ S Xét lân cận V ( h ) , h : J → ( 0,1 ví dụ 2.3.3 với C = Nec (V ( h ) ) Chọn W ∈ ( x0 ) chứa V ( h ) Vậy W ∩ C = W ∩ Nec (V ( h ) ) ⊂ Nec (W ) Do W ∩ C không đếm nên tập W có điểm phi Euclide không đếm □ Tính chất 2.3.5 Giả sử V ∈τ có điểm phi Euclide không đếm V chứa đường cong đóng l mà l ∩ S cung đóng riêng miền Euclide chứa l bao gồm số điểm  \V Do đó, V không đơn liên Chứng minh Giả sử V ∈τ có điểm phi Euclide không đếm Thế thì, V ∩ S hợp cung mở rời đếm nên cung mở chứa điểm phi Euclide không đếm Không tính tổng quát giả sử C ⊂ J ⊂ V ( g ) ⊂ V C ⊂ Nec (V ) ⊂ Nec (V ( g ) ) cho số tập Cantor C số hàm g : J → ( 0,1 Cho 30  { } đặt C* C \ an , bn : n∈ω Những điểm C* thông thường gọi J \ C =  n∈ω an bn= điểm C Với điểm x ∈C* xét cầu cực hạn V ( x; g ( x ) ) Do C* không đếm không tồn tập hợp cầu rời không đếm đĩa đóng nên tìm điểm phân biệt x1 , x2 ∈ C* cho V ( x1 ; g ( x1 ) ) giao V ( x2 ; g ( x2 ) ) ( ) Đặt Bi = V xi ; g ( xi ) , i = 1, ký hiệu zi tâm Euclide Bi Nối z1 z2 số cung  z1 z2 B1 ∪ B2 Xét đường cong đóng đơn l cho nối  z1 z2 với z1 x1 ( bán  kính B1 ), x1 x2 ( vòng cung S ), z2 x2 ( bán kính B2 ) Đường cong đóng đơn l chứa V ( g ) ⊂ V Xét miền D mặt phẳng chứa l Để chứng minh V không đơn liên, ta chứng minh miền D chứa điểm V Giả   sử ngược lại, x1 x2 ∪ D ∈τ d chứa V Do đó, x1 x2 ⊂ Ec (V )  Nhưng điểm x1 x2 chọn từ C* , nên cung mở x1 x2 chứa số điểm x3 ∈C cho phải điểm phi Euclide V cách chọn C Điều mâu thuẫn chứng tỏ miền D không hoàn toàn chứa V Nhận xét 2.3.6  Trong trường hợp tổng quát, V ( g ) hoàn toàn xác định số tập đếm J, g : J → ( 0,1] ( ( )  nên phủ mở  x∈J V x ; g ( x ) \ { x}  Do tập mở Euclide V ( g ) \ J Lindelof có số phủ ( )  i ∈ω V ( xi ; g ( xi ) ) \ { xi } Vì có: V ( g )= J ∪  V ( xi ; g ( xi ) ) i∈ω Dĩ nhiên, tập đếm { xi : i∈ω} J phụ thuộc vào V ( g ) 31 )  Chúng ta lưu ý , cho V ( h1 ) V ( h2 ) h1 , h2 : J → ( 0,1] , bất đẳng thức h1 ≤ h2 hàm ý V ( h1 ) ⊆ V ( h2 ) , ngược lại không hẵn Ví dụ, công thức V ( g ) , xác định h : J → ( 0,1] hàm mà h ( xi ) = g ( xi ) , i ∈ ω < h ( x ) ≤ g ( x ) Do V ( h ) = V ( g ) 2.4 Các tôpô đơn giản hóa Trong phần trước nghiên cứu dạng lân cận tôpô τ , dạng chúng phức tạp đặc biệt liên quan đến điểm phi Euclide không đếm Phản ánh kết trên, muốn đơn giản hóa tôpô τ Ý tưởng đơn giản tránh lân cận có điểm phi Euclide không đếm Nhưng phải cẩn thận chút kỹ thuật, tìm thấy hàm g mà thu hẹp V ( 3−1 g ) có điểm phi Euclide không đếm ban đầu V ( g ) Nói cách khác, tập hợp V ( g ) với điểm phi Euclide không tốt phép toán g  3−1 g Để làm điều này, cần xem xét nhiều cấu trúc lân cận τ Cho hàm g : J → ( 0,1] , lấy D g ký hiệu phần không liên tục g, nghĩa là, tập tất điểm x ∈ J mà g không liên tục x Do điểm g liên tục thuộc phần Euclide Ec (V ( g ) ) nên có: Nec (V ( g ) ) ⊂ D g Nhưng nói chung, hai tập không trùng nhau, D g không đóng J Vì vậy, tìm số điều kiện mà đảm bảo hai tập trùng Chúng ta xét hàm g : J → ( 0,1] thoả điều kiện (*) : “g liên tục số tập mở trù mật U J bị chặn hàm ceiling hU U” Điều có nghĩa U hợp rời cung mở tục J n g ≤ hJn Dĩ nhiên, U phụ thuộc vào g 32 J n ( n ∈ ω ) g liên Chúng ta ký hiệu  ( ∗) tập tất hàm g thỏa mãn ( ∗) , J chạy tất cung mở S,  ( J ; ∗) ký hiệu tất g với J cố định Tính chất 2.4.1 Nec (V ( g ) ) = D g với g ∈ G ( ∗) Chứng minh Cho g ∈  ( ∗) đặt F = J \ U U ( ∗) Chúng ta F ⊂ Nec (V ( g ) ) tương tự cách chứng minh ví dụ 2.3.3 Kết quả, F ⊂ Nec (V ( g ) ) ⊂ D g Mặc khác, g hàm liên tục U nên có D g ∩ U = ∅ , nghĩa D g ⊂ F Như vậy, có F Nec = = (V ( g ) ) D g □ Tính chất 2.4.2 (1) Cho f : J → ( 0,1] , chọn g ∈  ( J ; ∗) cho V ( g ) ⊂ V ( f ) Nec (V ( g ) ) = Nec (V ( f ) ) Min { g1 ( x ) , g ( x )} , (2) Cho g1 , g ∈ ( J ; ∗) , xác định ( g1 ∧ g )( x ) = có g1 ∧ g ∈G ( J ; ∗) V ( g1 ∧ g ) ⊂ V ( g1 ) ∩ V ( g ) Chứng minh (1) Đặt U = Ec (V ( f ) ) , biểu thị  n ∈ω J n hợp rời cung mở Cho f n thu hẹp f J n Do V ( f n ) tập mở Euclide chứa J n nên chọn hàm liên tục gn ≤ hJn cho J n ⊂ V ( g n ) ⊂ V ( f n ) Cho g hàm cho g = g n J n g = f bên U Hàm g hàm cần tìm (2) Cho U i ( i = 1, ) tập mở trù mật ( ∗) g i ( i = 1,2 ) Vậy tập mở trù mật g1 ∧ g U1 ∩ U Cho hàm ceiling hi ( i = 1, ) biên g i ( i = 1,2 ) U i ( i = 1, ) Vậy hàm ceiling h1 ∧ h2 U1 ∩ U biên g1 ∧ g 33 □ Tính chất 2.4.1 2.4.2 cho biết  ( ∗) với sở lân cận {V ( g ) : g ∈  (∗)} τ điểm S, với tính chất bổ sung phần phi Euclide V ( g ) trùng với phần không liên tục g Chúng ta xác định tôpô đơn giản hóa Từ  ( ∗) chọn g cho: () “ D g đếm vô hạn” ký hiệu tập tất hàm g  ( ctbl ) ; tập hợp g ∈  ( ctbl ) với dom ( g ) = J ký hiệu  ( J ; ctbl ) Vì tính chất 2.4.1, điều kiện (  ) tương đương với “ D g đếm vô hạn đóng dom ( g ) ” Xác định τ ( ctbl ) tôpô tạo tất lân cận V ( g ) cho g ∈  ( ctbl ) đĩa mở  Đây tôpô đơn giản hóa tìm Chúng ta chứng minh tôpô τ ( ctbl ) có cấu trúc đơn giản τ Đầu tiên, ý g1 , g ∈  ( J ; ctbl ) hàm ý g1 ∧ g ∈  ( J ; ctbl ) Từ tính chất 2.4.2 ( 2) từ bao hàm thức D g1 ∧ g ⊂ D g1 ∪ D g khẳng định D g1 ∧ g đếm Do đó, {V ( g ) : g ∈  ( ctbl )} dạng sở lân cận điểm S tôpô τ ( ctbl ) Tiếp theo, ý  ( J ; ctbl ) có tính chất g ∈  ( J ; ctbl ) t ⋅ g ∈  ( J ; ctbl ) D t⋅g = D g số thực t ∈ ( 0,1] Do tính chất này, chứng minh, tương tự phần 2.2, không gian ( X ,τ ( ctbl ) ) quy phân tầng Cho g ∈  ( J ; ctbl ) đánh số D= g {c n : n ∈ ω} điểm phân biệt Theo quy nạp, chọn kích thước < sn < g ( cn ) cầu cực hạn cho  hàm lấy giá trị s c trùng với g V ( cn ; sn )( n ∈ ω ) rời Cho g n n  thuộc  ( J ; ctbl ) J \ D g Vậy g 34 ( )  Cho J \ D g =  i∈ω J i hợp rời cung mở, lân cận tương ứng V g biểu thị dạng hợp rời  V ( cn ; sn ) ∪  V ( g  J i ) , n ∈ω i∈ω ( ) với t biến đổi từ tới 0;  Trong V ( g  J i ) tập mở Euclide Xét V t ⋅ g ( ) ( ) V g co rút thành điểm Do đó, V g co rút Nói cách khác, có tính chất sau Tính chất 2.4.3 Không gian ( X ,τ ( ctbl ) ) co rút địa phương Do tập co rút đơn liên, nên tính chất 2.4.3 ngược lại với tính chất 2.3.5, điều chứng tỏ tôpô biến đổi τ ( ctbl ) khác với tôpô τ , thật thô τ Chúng ta xét thêm hai tôpô thô τ ( ctbl ) Đầu tiên, xem điều kiện sau thay (  ) , ( ) “ D g hữu hạn” Ký hiệu tập tất g  ( fn ) cho τ ( fn ) tôpô tương ứng Rõ ràng, thay điều kiện (   ) “ D g tập đơn vị ” Do điểm x ∈ S , tôpô có sở lân cận bao gồm V ( g ) cho V ( g )= V ( x ; g ( x ) ) ∪ V ( g  J ) ∪ V ( g  J1 ) Trong g hàm liên tục J \ { x= } J ∪ J1 , tập V ( x ; g ( x ) ) , V ( g  J ) V ( g  J1 ) rời Tương tự trường hợp τ ( ctbl ) , chứng tỏ  , phân tầng, co rút địa phương Lưu ý tập τ ( fn ) quy, Lindelof ( )  đếm chia V ( g ) vào nhiều ba thành phần, lân cận V g ( )  thành mô tả trước tính chất 2.4.3 có tập đếm vô hạn tách V g 35 thành phần đếm vô hạn Do đó, kết luận tôpô τ ( fn ) thô ngặt τ ( ctbl ) Tiếp theo, xác định tôpô đếm thứ thô τ ( fn ) Cho x ∈ S < ε ≤ Cho J x ,ε cung mở chứa x cho J x ,ε \ { x} hợp rời hai cung độ dài ε Xác định hàm hx ,ε J x ,ε cách thiết lập hx ,ε ( x ) = , hàm ceiling hx,ε J x ,ε \ { x} Xét tôpô τ ( N ) X =  tạo tôpô thông thường  tất tập hợp có dạng V ( t ⋅ hx ,ε ) với x ∈ S ,0 < t , ε ≤ ( Vì tập V t ⋅ hx , ε ) với t= ε= n ( n= 1, ) sở lân cận điểm x, nên không gian ( X ,τ ( N ) ) đếm thứ Dễ dàng thấy không gian quy,  , phân tầng Lindelof Không gian phân tầng thường hay gọi không gian Nagata, điều giải thích sử dụng ký hiệu τ ( N ) Chú ý chứng minh tương tự tính chất 2.2.8 chứng tỏ τ ( ctbl ) τ ( fn ) không không gian Fréchet (xem nhận xét 2.4.5) Nhưng tôpô τ ( N ) không gian Fréchet đếm thứ Tuy nhiên, chứng minh tính chất sau Tính chất 2.4.4 Không gian ( X ,τ ( N ) ) biểu diễn ảnh đóng không gian metric Chứng minh Định lý Hanai-Morita-Stone ( xem [ 4,4.4.17 ]) chứng tỏ ảnh đóng không gian metric metric hóa đếm thứ Như vậy, cần chứng tỏ τ ( N ) không metric hóa  nên τ ( N ) phải đếm Giả sử τ ( N ) metric hóa được; không gian Lindelof thứ hai Do đó, chúng có tập đếm V 36 (t n ⋅ hxn ,ε n ) xn ∈ S , < tn , ε n ≤ 1, n ∈ ω , dạng sở mở điểm S ( xem [ 4, 1.1.15]) Chọn điểm z ∈S khác ( ) xn trên, xét lân cận V ( hz ,1 ) Tồn k ∈ ω cho ( ) ( ) z ∈V tk ⋅ hxk , ε k ⊂ V hz ,1 Do z điểm phi Euclide V h z ,1 , nên phải có thêm điểm phi Euclide V (t ⋅ h ) , đó, có z = x k xk , ε k k Điều mâu thuẫn lựa chọn điểm z □ Nhận xét 2.4.5  Trong nhận xét 2.2.9 tôpô τ khả đối xứng, dãy Chúng ta ý τ ( ctbl ) lẫn τ ( fn ) không dãy (nên chúng không khả đối xứng)  Chúng ta thấy khái niệm “ dãy hội tụ” X=  ∪ S không phụ thuộc vào cách chọn ba tôpô τ ,τ ( ctbl ) , τ ( fn ) Cho xn ( n ∈ ω ) → x dãy hội tụ tùy ý X ba tôpô τ ⊃τ ( ctbl ) ⊃ τ ( fn ) , đặt = C { xn | n ∈ω} Trường hợp x ∈ : dãy hội tụ xn → x rõ ràng đồng với đĩa đóng Euclide  Trường hợp x ∈ S : Do C \ S S \ { x} tập đóng rời không gian Euclide  \ { x} nên tìm cung mở J S chứa x hàm liên tục g : J \ { x} → ( 0,1] cho= V ( g ) V ( g  J ) ∪ V ( g  J1 ) J \ { x= } J ∪ J1 Mở rộng g đến g : J → ( 0,1] cách đặt C\S g ( x ) = Vậy ( ) V= g V ( g ) ∪ V ( x ;1) phụ thuộc τ ( fn ) ⊂τ ( ctbl ) ⊂τ Do τ ( fn ) thô ba tôpô, nên C ∪ { x} dãy hội tụ τ ( fn ) Do đó, phần lớn điểm C ( )  x Điều có nghĩa phần lớn C chứa S ∪ V ( x ;1) chứa lân cận V g Đặt 37 1 k k +1 Fk = V ( x ; )﹨V ( x ; 1 k k ) , k = 1, 2, , V ( x; ) nghĩa bao đóng V ( x ; ) Vậy V ( x;1) \ { x} ⊂ F1 ∪ F2 ∪ Do Fk đóng X ba tôpô , nên Fk chứa số hữu hạn điểm C Tóm tắt, nói C = ( C ∩ S ) ∪ ( C \ S ) có tính chất: (1) Nếu C ∩ S vô hạn ( C ∩ S ) ∪ { x} dãy hội tụ đường tròn Euclide S; (2) Nếu C \ S vô hạn ( C \ S ) ∪ { x} dãy hội tụ cho cầu cực hạn V ( x ; s ) kích thước < s ≤ x chứa phần lớn C \ S Do đó, dãy hội tụ X giống ba tôpô τ ⊃ τ ( ctbl ) ⊃ τ ( fn ) Xét tập U ∈τ với số điểm phi Euclide không đếm được, cho U = V ( h ) ví dụ 2.3.3 U rõ ràng dãy mở τ , tập mở τ (Một tập U dãy mở dãy hội tụ với điểm giới hạn U gần chứa U) Do dãy hội tụ giống ba tôpô τ , τ ( ctbl ) τ ( fn ) , U dãy mở đối  tập mở τ ( ctbl ) với τ ( ctbl ) τ ( fn ) Dễ thấy rằng, sử dụng tính Lindelof τ ( fn ) có số điểm phi Euclide đếm Vì vậy, U không mở τ ( ctbl ) τ ( fn ) Điều chứng minh τ ( ctbl ) lẫn τ ( fn ) không dãy 38 KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu động đất, sóng thần nhiều nhà khoa học giới quan tâm Đặc biệt lĩnh vực toán học, nhà toán học nghiên cứu chế trận động đất, sóng thần để khái quát hóa chúng mô hình toán học Ở đây, luận văn lấy ý tưởng truyền sóng địa chấn để làm đối tượng nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày bốn tôpô khác τ ,τ ( ctbl ) ,τ ( fn ) , τ ( N ) tiết diện ngang Trái Đất, tương ứng theo hai metric biết ρ d Về mặt tính chất thấy tôpô τ ( N ) thô bốn tôpô Do đó, so sánh chúng sau: τ ρ ⊃ τ ⊃ τ ( ctbl ) ⊃ τ ( fn ) ⊃ τ ( N ) ⊃ τ d Những tôpô có tính chất: (1)  quy phân tầng ( “metric hóa được” ) Chúng không gian Lindelof ( ) Chúng không ảnh đóng không gian metric (không “metric hóa được” ) Hơn nữa, τ khả đối xứng; τ ( ctbl ) ,τ ( fn ) τ ( N ) co rút địa phương; τ ( N ) đếm thứ Chúng ta thấy tôpô thể số chất cấu trúc đa metric Trái Đất mở rộng kết cho mô hình phức tạp Trái Đất Thực Trái Đất không gian ba chiều biết phần bao gồm chủ yếu năm lớp, lớp có metric riêng mình: lõi trong, lõi ngoài, lớp phủ dưới, lớp phủ lớp vỏ Cuối cùng, muốn nhận xét tất tôpô tôpô Euclide tạo đường trắc địa Cho L (α , β ) đường trắc địa với hai điểm α , β ∈S , đặt L= [α , β ] L (α , β ) ∪ {α , β } 39 Do đường trắc địa trực giao với S hai đầu mút, nên cung đóng L [α , β ] với bốn tôpô giống cung đóng Euclide Cho P khối đa diện bao quanh số hữu hạn đường trắc địa này, thường gọi “khối đa diện hyperbolic lý tưởng” Vậy, hình P hợp với S P ∪ S có bốn tôpô giống với tôpô Euclide Như vậy, tổng thể luận văn trình bày Tôpô metric mở rộng Trái Đất hướng mở rộng luận văn Mặc dù, cố gắng trình bày hệ thống chi tiết kiến thức tảng sở để nghiên cứu vấn đề đặt Do thời gian nghiên cứu luận văn có hạn trình độ nghiên cứu hạn chế nên trình bày luận văn thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô bạn quan tâm đến vấn đề góp ý để luận hoàn thiện 40 TÀI LIỆU KHAM KHẢO A V Arhangel'skii, Mappings and Spaces, Russian Math, Surveys 21 (1966), no.4, 115-162 H.S.Bear, Part metric and hyperbolic metric, Amer, Math Monthly 98 (1991), no 2, 109123 Carlos J.R.Borges, On stratifiable spaces, Pacific J Math 17 (1966), no 1, 1-16 Ryszard Englking, General Topology Translated from the Polish by the author.Mongorafie Matematyczne, Tom 60 Warsaw: PWN-Polish Scientific Pulishers, 1977 Gary Gruenhage, Generalized metric spaces in Handbook of Set –Theoretic Topology Ed Kenneth Kunen and Jerry E Vanghan Amsterdam: North-Holland, 1984, 423-501 Miroslav Husek and Jan van Mill, Recent Progress in General Topology Amsterdam: North-Holland, 1992, 239-274 J G Ceder, Some generalizations of metric spaces, Pacific J Math 11 (1961), 105-126 J L Kelly, General Topology, Van Nostrand, New York, 1955 Alan F Beardon, Algebra and geometry, Cambridge 10 Marvin Jay Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries, University of California, Santa Cruz 41 [...]... r và 1 − r Hình 1.2 Arbelos 17 CHƯƠNG 2: TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT Trong chương này của luận văn, chúng ta sẽ tìm hiểu một số cấu trúc của các tôpô bao gồm: Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic τ ρ , tôpô phân tầng τ , tôpô τ ( ctbl ) , tôpô τ ( fn ) và tôpô τ ( N ) Trong phần 2.1 chúng ta giới thiệu Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic τ ρ , không gian ( X ,τ ) của  khả đối xứng và phân tầng, nhưng không... G ∈τ } là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô τ trên X Không gian ( A,τ A ) gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô ( X ,τ ) 1.1.5 Phần trong, bao đóng, biên  Cho không gian tôpô ( X ,τ ) và tập A ⊂ X , phần trong Ao của A là hợp của tất cả các tập mở bị chứa trong A, bao đóng A của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, và biên của A là ∂A = A − A o  Một tập của các tập hợp... cận  Cho X là không gian tôpô và x ∈ X Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x  Một họ  x các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận U ∈  x sao cho U ⊂ V 1.1.4 Không gian tôpô con Cho ( X ,τ ) là một không gian tôpô và một tập A ⊂ X Khi... paracompact 1.4.1 Không gian paracompact Cho không gian tôpô X -Hausdorff Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu mỗi phủ mở của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương 1.4.2 Không gian paracompact đếm được Cho không gian tôpô X -Hausdorff Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact đếm được nếu mỗi phủ mở đếm được của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương 1.4.3 Không gian Fréchet... Nhận xét tôpô τ thô hơn τ ρ (những quả cầu cực hạn không còn mở) , và ( X ,τ ) là hợp của những đĩa Poincaré  và các đường tròn Euclide S = S 1 Tôpô τ là một trong những tôpô 21 chúng ta nghiên cứu trong luận văn, chúng ta sẽ chỉ ra ( X ,τ ) là một không gian chính quy với một cơ sở mở σ -bảo toàn bao đóng, nghĩa là , một M 1 -không gian Nhận xét 2.2.1 Trong lý thuyết của các không gian metric mở rộng: ... cực  Chúng ta có thể mở rộng ρ để X =  bằng cách xác định ρ ( x, y ) = ∞ khi một trong x hoặc y là trên biên S Phần mở rộng ρ này mặc dù không phải là một metric , ý tưởng đưa ra rằng biên S là nằm vô cùng xa từ bên trong và những điểm biên là “rời rạc”  Chú ý bên trong  , metric hyperbolic ρ và metric Euclide d cảm sinh cùng tôpô Nhưng khi chúng ta xét tương ứng những quả cầu mở, chúng ta phải quan... ; s 2 )  Xác định τ ρ là một tôpô trên X=  ∪ S được tạo ra bởi tất cả các quả cầu cực hạn với tôpô metric thông thường trên  Chúng ta gọi một tôpô đĩa tiếp xúc hyperbolic này được cảm sinh từ các mở rộng metric ρ Không gian ( X ,τ ρ ) này là hợp của các đĩa Poincaré  với không gian đóng S rời rạc không đếm được  Ký hiệu Ct = ∂V ( x ; t ) là đường tròn biên của quả cầu cực hạn V ( x; t ) ... gian: Không gian tôpô X là T1 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x T2 -không gian ( hay không gian Hausdorff): Không gian tôpô X là T2 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X tồn tại lân cận U của x và một lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅ T3 -không gian (Không gian chính quy): Không gian tôpô X có điều... Chúng ta nghiên cứu cấu trúc của tôpô τ này trong phần 2.3 và sau đó trong phần 2.4 chúng ta sẽ hoàn thiện nó để có được ba tôpô địa phương co rút được, một trong số đó là đếm được thứ nhất 2.1 Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic Trong phần còn lại của luận văn này, chúng ta dùng ρ để chỉ metric hyperbolic, d là { } metric Euclide trên mặt phẳng phức   =z ∈  z < 1 là đĩa mở đơn vị trong mặt phẳng phức... phủ mở của X có một phủ con hữu hạn, nghĩa là mọi phủ mở {U s }s⊂ S của không gian X tồn tại một tập hữu hạn {s1 , s2 , , sk } ⊂ S thỏa X = U s1 ∪ U s2 ∪ ∪ U sk 11 1.2.2 Không gian compact đếm được Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được nếu X là một không gian Hausdorff và mọi phủ mở đếm được của X có một phủ con hữu hạn 1.2.3 Không gian compact địa phương Một không gian tôpô ... CHƯƠNG 2: TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT Trong chương luận văn, tìm hiểu số cấu trúc tôpô bao gồm: Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic τ ρ , tôpô phân tầng τ , tôpô τ ( ctbl ) , tôpô τ ( fn ) tôpô τ... Chúng ta thấy tôpô thể số chất cấu trúc đa metric Trái Đất mở rộng kết cho mô hình phức tạp Trái Đất Thực Trái Đất không gian ba chiều biết phần bao gồm chủ yếu năm lớp, lớp có metric riêng mình:... 17 CHƯƠNG 2: TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT 18 2.1 Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic 18 2.2 Tôpô phân tầng 21 2.3 Dạng lân cận biên 27 2.4 Các tôpô đơn giản