M ỤC LỤC
2.3. Dạng của các lân cận tại biên
Ở đây chúng ta nghiên cứu dạng của các lân cận tại các điểm trên biên S. Chúng ta ký hiệu
d
τ tôpô Euclide trên đĩa đóng . Nếu h Jc: →(0,1 là một hàm hằng có giá trị c∈(0,1, lân cận dạng gối V h( )c thuộc Euclide τd.
Tổng quát, cho một lân cận V∈τ , chúng ta gọi điểm x V∈ ∩S là một điểm Euclide của V
nếu x có một lân cận Euclide U∈τd được chứa trong V.
Một điểm của V∩S khác những điểm Euclide, chúng ta gọi là những điểm phi Euclide của
V.
Chúng ta ký hiệu tập tất cả những điểm Euclide của V bởi Ec V( ) và gọi nó là phần Euclide của V.
Tập tất cả những điểm phi Euclide của V ký hiệu bởi Nec V( ), chúng ta gọi là phần phi Euclide của V. Rõ ràng, Ec V( ) là một tập mở trong V∩S.
Tính chất 2.3.1. Ec V( ) là một tập con mở trù mật trong V ∩S. Chứng minh. Chog J: →(0,1.Đặt 1(( ) 1 ,1 n G =g− n , J là hợp đếm được của G nn( ≥2). Do J là một đồng phôi của đường thẳng thực nên chúng ta có thể áp dụng định lý phạm trù Baire để có được một số m mà bao đóng của Gm có một phần trong khác rỗng trong J. Nghĩa là, chúng ta có thể tìm một số cung mở riêng I trong J mà I∩Gm là trù mật trong I. Theo định nghĩa của
m
G , với mọi x∈ ∩I Gm, quả cầu cực hạn V x( ;1m)kích thước1m được chứa trong
( )
( ; ) ( )
V x g x ⊆V g . Vì I∩Gm là trù mật trong I nên tập I∪{V x( ;1m):x∈ ∩I Gm} là tương tự như tập mở V h( ) cho một hàm hằng h I: →(0,1 có giá trị 1m. Do V h( )∈τd nên chúng ta có I ⊂Ec V( ). Thay thế g bởi thu hẹp của nó cho bất kỳ cung con của J, chúng ta có thể kết luận rằng Ec V( ) là mở trù mật trong J. □
Nói cách khác, phần phi Euclide Nec V( ) là không đâu trù mật đóng trong V ∩S. Cho mỗi điểm a trong S, lấy ha:S→(0,1 ký hiệu một hàm sao cho
( ) (1 cos ) 2
a
h x = − θ trong đó 0≤ ≤θ π là độ dài cung của a x
.
Cho J =a b là một cung mở độ dài <π trên biên S, và xác định một hàm hJ :J →(0,1 bởi
a b
h ∧h , nghĩa là, hJ ( )x =Min h x h x{ a( ) ( ), b }. Chúng ta gọi hàm hJ này là hàm ceiling trên J. Khi một hàm h được xác định trên một số hợp rời của các cung mở và h là hàm ceiling trên mỗi cung mở, chúng ta cũng gọi một hàm h như vậy là hàm ceiling.
Bổ đề 2.3.2.
( )J
Chứng minh. Cố định một điểm x∈J và cho θ là độ dài cung của a x
. Bởi tính đối xứng chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng V x h x( ; a( )) là tách rời từ V a( );1 . Cho Bd( )x;ε là quả cầu mở Euclide (trong mặt phẳng) tâm x và bán kính ε sao cho tiếp xúc với V a( );1 . Vậy thì
5 4 cos 1 2
ε = − θ −
và ε này là lớn hơn (1 cos− θ) 2=h xa( ). Do đó, quả cầu cực hạn V x h x( ; a( ))được chứa trong
( );
d
B x ε và tách rời từ V a( );1 . □ Cho Sa b, là hình quạt tròn của đĩa đơn vị được sinh bởi cung J =a b , và đặt
( ) ( ) ( )
( )
, \ ;1 ;1
aAb =Sa b V a ∪V b ∪V hJ .
Tập này là một tam giác cong có dạng như “arbelos”, và do đó chúng ta gọi tập aAb này như arbelos được xác định bởi a và b. Tập aAb này là đóng đối với τ , nhưng chú ý rằng tập này là
không đóng đối với tôpô Euclide τd, nghĩa là nó bao gồm hai điểm a và b trong bao đóng Euclide của nó.
Ví dụ 2.3.3.
Chúng ta trình bày một ví dụ điển hình của một lân cận với phần phi Euclide không đếm được:
Cho J =a b là một cung mở độ dài <π trên biên S và cho C là một đồng phôi của tập hợp Cantor trong J. Tập con mở trù mật \J C của J có thể được viết như một hợp rời n∈ωJn của các cung mở Jn =a bn n . Cho h J: →(0,1 là một hàm mà h lấy giá trị hằng số 1 trên C và h là hàm ceiling trên J C\ . Chúng ta chứng tỏ rằng Nec V h( ( ))=C. Đặt VC =y C∈ V y( );1 . Do
{a b nn, n| ∈ω} là trù mật trong C nên chúng ta có ( ) ( ) ( n;1 n;1 ) C n V C V a V b ω ∈ = ∪ ∪ . Do đó, bổ đề 2.3.2 chứng tỏ rằng V h( ) tạo thành một hợp rời ( ) C n ( )Jn V h V V h ω ∈ = ∪ .
Các điểm an và bn phụ thuộc vào bao đóng Euclide của arbelos anAbn , và arbelos này xác định vị trí bên ngoài của V h( ). Điều này có nghĩa là a bn, n∈Nec V h( ( )). Vì {a b nn, n| ∈ω} là trù mật trong C và Nec V h( ( )) là tập đóng nên chúng ta có C⊂Nec V h( ( )). Do hàm h của chúng ta là liên tục trên \J Cnên J C\ ⊂Ec V h( ( )).
Như vậy, chúng ta có Nec V h( ( ))=C .
Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, nếu V1⊂V2 thì V1∩Nec V( )2 ⊂Nec V( )1 . Bằng cách sử dụng điều này và ví dụ 2.3.3, chúng ta chứng minh mệnh đề sau.
Tính chất 2.3.4.
Mọi cơ sở lân cận mở tại mọi điểm của S đối với τ chứa một phần tử có các điểm phi
Euclide không đếm được.
Chứng minh. Cho ( )x0 ⊂τ là cơ sở lân cận bất kỳ tại x0∈S. Chọn một cung mở J độ dài
π
< và bản sao của tập Cantor C sao cho x0∈ ⊂ ⊂C J S. Xét lân cận V h( ), h J: →(0,1
trong ví dụ 2.3.3 với C =Nec V h( ( )). Chọn bất kỳ W∈( )x0 được chứa trong V h( ). Vậy
( )
( ) ( )
W ∩ = ∩C W Nec V h ⊂Nec W . Do W ∩C là không đếm được nên tập W này có các
điểm phi Euclide không đếm được. □
Tính chất 2.3.5.
Giả sử V∈τ có các điểm phi Euclide không đếm được. V chứa một đường cong đóng l mà
l∩S là một cung đóng riêng và miền Euclide được chứa bởi l bao gồm một số điểm của \V
. Do đó, V là không đơn liên.
Chứng minh. Giả sử V∈τ có các điểm phi Euclide không đếm được. Thế thì, doV ∩S là một hợp của các cung mở rời đếm được nên ít nhất một trong những cung mở chứa các điểm phi Euclide không đếm được.
\ n n n
J C= ∈ωa b và đặt C*=C\{a b nn, n: ∈ω}. Những điểm trong C* thông thường được gọi là những điểm trongcủa C.
Với mỗi điểm trong x C∈ * xét quả cầu cực hạn V x g x( ; ( )). Do C* là không đếm được và không tồn tại tập hợp của những quả cầu rời không đếm được trong đĩa đóng nên chúng ta có thể tìm ra những điểm phân biệt x x1, 2∈C* sao cho V x g x( 1; ( )1 ) giao V x g x( 2; ( )2 ).
Đặt Bi =V x g x( i; ( )i ), trong đó i=1, 2 và ký hiệu zi tâm Euclide của Bi. Nối z1 và z2 bởi một số cung z z1 2 trong B1∪B2 . Xét đường cong đóng đơn l sao cho nối z z1 2 với z x1 1 ( bán kính của B1 ), x x1 2
( vòng cung trong S ), và z x2 2( bán kính của B2 ).
Đường cong đóng đơn l này được chứa trong V g( )⊂V . Xét miền D trong mặt phẳng được chứa bởi l.
Để chứng minh V là không đơn liên, ta chứng minh miền D chứa một điểm ngoài của V. Giả sử ngược lại, x x1 2∪ ∈D τd được chứa trong V. Do đó, x x1 2 ⊂Ec V( ).
Nhưng vì những điểm x1 và x2 được chọn từ C* , nên cung mở x x1 2
chứa một số điểm
3
x ∈Csao cho phải là một điểm phi Euclide của V do cách chọn C của chúng ta. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng miền D không hoàn toàn được chứa trong V.
Nhận xét 2.3.6.
Trong trường hợp tổng quát, V g( ) được hoàn toàn xác định bởi một số tập con đếm được của J, trong đó g J: →(0,1].
Do tập mở Euclide V g( )\J làLindelof nên phủ mở của nó x J∈ (V x g x( ; ( ))\{ }x )
có một số phủ con i∈ω(V x g x( i; ( )i )\{ }xi ). Vì vậy chúng ta có: ( ) ( i; ( )i ) i V g J V x g x ω ∈ = ∪ .
Chúng ta cũng lưu ý ở đây rằng , cho V h( )1 và V h( )2 trong đó h h1, 2:J →(0,1], bất đẳng thức h1≤h2 hàm ý V h( )1 ⊆V h( )2 , nhưng ngược lại không hẵn đúng. Ví dụ, trong công thức trên của V g( ), xác định h J: →(0,1] là một hàm bất kỳ mà h x( )i =g x( )i , trong đó
i∈ω và 0<h x( )≤g x( ). Do đó V h( )=V g( ).