BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vương Hiển TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vương Hiển TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 ii MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm mở đầu không gian tôpô 1.1.1 Không gian tôpô 1.1.2 Cơ sở, tiền sở tôpô 1.1.3 Lân cận, sở lân cận 1.1.4 Không gian tôpô 1.1.5 Phần trong, bao đóng, biên 1.1.6 Điểm hội tụ điểm cô lập 1.1.7 Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng 10 1.1.8 Các tiên đề tách 10 1.1.9 Các tiên đề đếm 11 1.2 Không gian compact 11 1.2.1 Không gian compact 11 1.2.2 Không gian compact đếm 12 1.2.3 Không gian compact địa phương 12 1.2.4 Ánh xạ đầy đủ 12 1.2.5 Không gian Cech-đầy đủ 12 1.2.6 Không gian giả compact 12 1.3 Không gian mêtric, không gian mêtric hóa 12 1.3.1 Không gian mêtric 12 1.3.2 Không gian mêtric hóa 13 1.3.3 Định lý phạm trù Baire 13 1.3.4 Định lý HANAI – MORITA – STONE 13 1.3.5 Phép biến đổi Mobius số tính chất 14 1.3.6 Tỷ số kép 14 1.3.7 Metric hyperbolic 15 1.4 Không gian paracompact 16 1.4.1 Không gian paracompact 16 1.4.2 Không gian paracompact đếm 16 1.4.3 Không gian Fréchet điểm 16 1.5 Không gian phân tầng 16 1.5.1 Định nghĩa 16 1.5.2 M - không gian, M - không gian 16 1.6 Không gian Nagata 16 1.7 Hàm ceiling 17 1.8 Arbelos 17 CHƯƠNG 2: TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT 18 2.1 Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic 18 2.2 Tôpô phân tầng 21 2.3 Dạng lân cận biên 27 2.4 Các tôpô đơn giản hóa 32 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU KHAM KHẢO 41 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa clU ,U : Bao đóng tập U B ( x, r ) : Quả cầu mở tâm x , bán kính r V ( x, s ) : Quả cầu cực hạn x kích thước s ω : Tập số bao gồm số tự nhiên x : Họ lân cận x g J : Hạn chế hàm g lên cung J Trong lịch sử tồn phát triển, nhân loại luôn phải đương đầu với tai họa thiên nhiên, lũ lụt, hạn hán, bão tố, động đất, sóng thần, núi lửa… Trong tai họa thiên nhiên đó, có lẽ động đất tai họa khủng khiếp nhất, vài giây đồng hồ thành phố bị sụp đổ hoàn toàn, khu vực bị sụt lún dòng sông bị đổi dòng hậu trận động đất cực mạnh Điều đáng sợ khoa học kỹ thuật đương đại chưa dự báo xác thời điểm địa điểm động đất xảy Do đó, người chưa có biện pháp phòng chống chủ động trận động đất, phòng chống bão hay lũ lụt Theo kết thống kê tỉ mỉ nhà địa chấn, năm toàn địa cầu xảy triệu trận động đất với độ mạnh khác nhau, số có khoảng 100 ngàn động đất người cảm nhận được, 100 trận động đất gây tác hại trận động đất gây thảm họa lớn, nghĩa nửa phút xảy động đất Có thể nói động đất yếu xảy nơi địa cầu, lòng đất không lúc yên tĩnh MỞ ĐẦU Xuất phát từ trận động đất, nhà toán học giới có nhà toán học Nhật Bản quan tâm nghiên cứu chế trận động đất đưa chúng vào mô hình toán học nhằm tìm nguyên nhân để khắc phục giảm tối đa thiệt hại trận động đất gây Lấy ý tưởng từ trận động đất nhà toán học người Nhật Akio Kato, Department of Mathematics; National Defense Acedemy nghiên cứu sóng địa chấn để khái quát quát hóa chúng thành mô hình toán học Một trận động đất truyền hai loại sóng: sóng khối sóng bề mặt Đầu tiên chúng lan truyền xuyên qua Trái Đất sau bề mặt Trái Đất Tốc độ truyền sóng khối có xu hướng tăng với độ sâu, sóng bề mặt tương đối chậm sóng khối Ý tưởng đưa sóng khối lấy đường trắc địa đĩa Poincaré (đĩa mở đơn vị) với metric hyperbolic ρ để tôpô phần Trái Đất cảm sinh metric hyperbolic ρ Mặt khác sóng bề mặt lan truyền đường tròn lớn bề mặt Trái Đất, đường tròn biên tiết diện ngang Trái Đất Do đó, sóng bề mặt đo độ dài đường cong Euclide thông thường đường tròn biên Vì vậy, thấy mô hình đơn giản hóa Trái Đất có cấu trúc đa metric: metric hyperbolic ρ metric Euclide d đường cong biên S = ∂ Dĩ nhiên, metric Euclide xác định không biên mà toàn Chúng ta xác định cấu trúc tôpô tương ứng theo hai metric Chúng ta muốn định nghĩa tôpô đĩa đóng đơn vị tiết diện ngang trái đất mà có tôpô đặc trưng dựa theo tượng Dĩ nhiên, phải đơn giản hóa tiết diện ngang Trái Đất để loại bỏ chi tiết địa chất Hình 1.1 Mô hình đơn giản hóa Trái Đất Luận văn nhằm nghiên cứu số phương pháp mà Akio Kato đưa bốn tôpô Trái Đất lấy ý tưởng từ truyền sóng địa chấn Tất chúng phân tầng, không metric hóa được, chúng không không gian Lindelof gian Fréchet không đơn liên Chúng ta đơn giản hóa tôpô để có ba tôpô địa phương co rút được, số đếm thứ Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu phần sau, Chương giới thiệu số Tôpô metric mở rộng Trái Đất số nhận xét, bổ đề, tính chất quan trọng chúng Trong phần kết luận trình bày số nhận xét kết định hướng mở rộng cho luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Trong trình học tập viết luận văn, lúc đầu bỡ ngỡ việc nghiên cứu luận văn thầy động viên giúp đỡ nhiều từ việc nghiên cứu báo khoa học, cách tìm tài liệu bổ sung kiến thức thiếu sót Nhờ tận tình dạy nghiên cứu khoa học thầy giúp tự tin việc hoàn thành luận văn mà giúp nhiều đời sống xã hội Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp Hình Học Tôpô khóa 22 quý thầy Tổ Hình Học, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp tiếp cận làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành Chính, Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau đại học, Phòng Kế Hoạch – Tài Chính Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, đưa sở lí thuyết nhằm phục vụ cho chương Các kiến thức chủ yếu chương nhằm mục đích giới thiệu khái niệm không gian tôpô, không gian metric hóa kiến thức liên quan luận văn Hầu hết kiến thức đưa ngắn gọn, dễ hiểu để tiện việc theo dõi tiếp phần sau Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta tham khảo thêm tài liệu [2], [3], [4], [6] 1.1 Các khái niệm mở đầu không gian tôpô 1.1.1 Không gian tôpô Một không gian tôpô cặp ( X ,τ ) bao gồm tập hợp X họ τ tập X thỏa điều kiện sau: (τ ) ∅ ∈τ X ∈τ (τ ) Nếu U1 ∈τ U ∈τ U1 ∩ U ∈τ (τ ) Nếu A ⊂ τ A ∈τ Tập X gọi không gian, phần tử X gọi điểm không gian X, tập X thuộc τ gọi tập mở X, họ τ tập mở X gọi tôpô X 1.1.2 Cơ sở, tiền sở tôpô Giả sử ( X ,τ ) không gian tôpô Một họ B ⊂ τ gọi sở không gian tôpô ( X ,τ ) tập mở khác rỗng X hợp họ tập thuộc B Một họ σ ⊂ τ gọi tiền sở không gian tôpô ( X ,τ ) họ tất giao hữu hạn tập thuộc σ sở τ Một tôpô hoàn toàn xác định biết sở hay tiền sở