tối ưu nhiều mục tiêu với hàm mục tiêu là hàm phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Minh Tuấn TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU VỚI HÀM MỤC TIÊU LÀ HÀM PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Minh Tuấn TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU VỚI HÀM MỤC TIÊU LÀ HÀM PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Mã số: Toán giải tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH CÔNG DIỆU Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay, lý thuyết tối ưu ngành Toán học phát triển mạnh có nhiều ứng dụng thực tế Đây đáp ứng tích cực Toán học trừu tượng cho nhu cầu sống “Suy tính công việc cho tiến hành tốt nhất” Trong toán thực tiễn, tiêu chuẩn “ tốt nhất” thường dựa vào nhiều tiêu chí, vấn đề khảo sát luận văn Luận văn gồm phần sau: Lời nói đầu Mục lục Các ký hiệu Chương Lý thuyết tối ưu nhiều mục tiêu Chương Tối ưu vectơ dạng phân tuyến tính (MOLFP) Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung chương gồm:quan hệ hai ngôi, quan hệ thứ tự định nón, tập lồi, tập lồi đa diện, nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới, sơ lược toán tối ưu nhiều mục tiêu, định nghĩa nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu, nghiệm Pareto chặt, nghiệm Pareto thường theo Geoffrion, Borwein, Benson toán tối ưu nhiều mục tiêu mối quan hệ định nghĩa Pareto thường Nội dung chương gồm: giới thiệu toán qui hoạch nhiều mục tiêu phân tuyến tính theo Malivert gồm điều kiện tối ưu, xây dựng hàm phạt cho việc kiểm tra nghiệm Pareto nghiệm Pareto yếu, tính nửa liên tục trên, nửa liên tục hàm phạt Tôi xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc chân thành tới TS Trịnh Công Diệu – Khoa Toán Tin – Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ bảo thầy thời gian làm luận văn Tôi xin gởi lời cám ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy suốt khóa học Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Phòng Khoa Học Công Nghệ Phòng Sau Đại Học – Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gởi lời cám ơn đến quý thầy, cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè quan tâm, động viên giúp hoàn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2015 Học viên thực Lê Minh Tuấn MỤC LỤC Trang CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU 1.1 Một số khái niệm bản: 1.2 Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu: 1.3 Các khái niệm tối ưu: 1.3.1 Tối ưu Pareto: 1.3.2 Tối ưu Pareto yếu chặt: CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU VỚI HÀM MỤC TIÊU LÀ HÀM PHÂN TUYẾN TÍNH 20 2.1 Giới thiệu toán: 20 2.2 Các điều kiện tối ưu: 20 2.3 Hàm phạt: 25 2.4 Nghiệm toán tối ưu 29 KẾT LUẬN 34 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN  Tập số thực (  = 1 )  Tập hợp số thực mở rộng n Không gian Euclide n chiều trường số thực =  k+ {x ∈  k / x i ≥ 0,i = 1, , k} tập vectơ không âm M m× n (  ) Tập hợp ma trận cấp m × n ∅ Tập hợp rỗng E(P) Tập hợp nghiệm Pareto toán (MOLP) Ew(P) Tập hợp nghiệm Pareto yếu toán (MOLP) E(P ) Tập hợp nghiệm Pareto toán (P ) Ew(P ) Tập hợp nghiệm Pareto yếu toán (P ) E(P ) Tập hợp nghiệm Pareto toán (P ) Ew(P ) Tập hợp nghiệm Pareto yếu toán (P ) u.s.c Nửa liên tục l.s.c Nửa liên tục [ x1 , x ] = {x ∈  n : x= (1 − λ ) x1 + λx , ≤ λ ≤ 1} gọi đoạn thẳng đóng nối x1 x xi Tọa độ thứ i vectơ x xT Vectơ hàng ( chuyển vị x) x, y = x T y ( ) ∇f x int  k+ Tích vô hướng hai vectơ x y Gradient f x Tập hợp điểm  k+ CHƯƠNG BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU 1.1 Một số khái niệm bản: Định nghĩa 1.1: Quan hệ hai Cho tập hợp A ≠ ∅ , quan hệ hai A tập hợp ℜ A × A Khi ( x, y ) ∈ℜ ta nói x, y có quan hệ với theo quan hệ ℜ ghi: x ℜ y ℜ (x,y), ( x, y ) ∉ℜ ta ghi x ℜ y Định nghĩa 1.2 Cho ℜ quan hệ tập A, ta nói ℜ có tính chất: Phản xạ ( x, x ) ∈ℜ với x ∈ A Do đó, ℜ tính phản xạ ⇔ ∃x ∈ A, ( x, x ) ∉ℜ i Đối xứng ∀x ∈ A, ∀y ∈ A ( xℜy ⇒ yℜx ) ii Phản xứng nếu: ( ) ∀x, y ∈ A, x ≠ y, xℜy ⇒ yℜx Do ℜ có tính phản xứng ⇔ ( ( xℜy ∧ yℜx ) ⇒ x =y ) iii Bắc cầu ∀x, y, z ∈ A, xℜy ∧ yℜz ⇒ xℜz Do ℜ tính bắc cầu ⇔ ( ∃x, y, z ∈ A : xℜy ∧ yℜz ∧ xℜz ) Định nghĩa 1.3 Cho ℜ quan hệ tập A đó: i ℜ gọi quan hệ tương đương ℜ thỏa tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu ii ℜ gọi tiền thứ tự ℜ có tính chất phản xạ bắc cầu Trong trường hợp quan hệ ℜ tiền thứ tự cặp (A, ℜ ) gọi tập tiền thứ tự Để thuận tiện ta thay đổi quan hệ ℜ  Do ta quy ước viết: x  y thay cho xℜy , x  y thay cho x ℜy Với quan hệ  tiền thứ tự có hai quan hệ khác định nghĩa sau: x  y ⇔ x  y y  x x ∼ y ⇔ x  y y  x Mệnh đề 1.1 Cho  tiền thứ tự tập A Khi đó: • Quan hệ  định nghĩa không phản xạ bắc cầu • Quan hệ ∼ định nghĩa quan hệ tương đương Định nghĩa 1.4 Quan hệ hai  gọi quan hệ thứ tự  có tính chất: phản xạ, bắc cầu phản xứng Quan hệ hai  gọi quan hệ thứ tự phần  có tính chất phản xạ, bắc cầu Trong luận văn sử dụng quan hệ thứ tự không gian Euclide_  n Khi ta có số thứ tự  n Ký hiệu≼ Định nghĩa Tên gọi x≤y Nếu x i ≤ yi , ∀i =1, , n Thứ tự phần yếu x Ví dụ: K = 2+ ={x ∈  / x i ≥ 0,i =1, 2} nón Định nghĩa 1.6 Nón K  n gọi là: • Không tầm thường K ≠  n K ≠ ∅ • Lồi tx1 + (1 − t ) x ∈ K với x1 , x ∈ K t ∈ ( 0,1) • Nhọn K ∩ ( −K ) ⊂ {0} Mệnh đề 1.2: Cho quan hệ thứ tự   n , ta định nghĩa tập: K=  {y − x / x  y} Khi K  nón Chứng minh: Cho u ∈ K , u= y − x với x, y ∈ y n , x  y Ta có: λx  λy , với λ > ⇒ λu = λ ( x − y ) = λx − λy ∈ K , với λ > Vậy K nón  Mệnh đề 1.3` Cho  quan hệ hai  n , đó: i ∈ K  phản xạ ii K lồi  bắc cầu iii K nhọn  phản xứng Chứng minh: i.Giả sử quan hệ  phản xạ Khi đó: x  x, ∀x ∈  n ⇒ = x − x ∈ K ii Giả sử quan hệ  bắc cầu Cho u, v ∈ K , nên u − ∈ K − v ∈ −K , điều có nghĩa là:  u, − v  kéo theo − v  u (  bắc cầu) Do u + v ∈ K tức K lồi iii Lấy ≠ u ∈ K u = y − x ∈ K −u= x − y ∈ −K với x, y ∈ y n ⇒ y  x x  y nên x = y (mâu thuẫn u ≠ )  Định nghĩa 1.7 Cho K nón, ta định nghĩa quan hệ K  n sau: x K y ⇔ y − x ∈ K Định nghĩa 1.8 Tập K ⊂  n gọi lồi nếu: ∀x1 , x ∈ K, ∀λ ∈  : ≤ λ ≤ ⇒ (1 − λ ) x1 + λx ∈ K Nhận xét: Tập rỗng tập lồi, tập điểm tập lồi Định nghĩa 1.9 Cho x1 , x ∈  n , đoạn thẳng nối x1 , x định nghĩa sau: [ x1 , x ]= {x ∈  n : x= (1 − λ ) x1 + λx , ≤ λ ≤ 1} Nhận xét: Tập K lồi ∀x1 , x ∈ K ⇒ [ x1 , x ] ∈ K Mệnh đề 1.4: Cho K nón thứ tự theo nón K xác định bảo toàn với phép nhân vô hướng cộng thông thường  n Ta có: K phản xạ ∈ K K bắc cầu K lồi K phản xứng K nhọn Chứng minh: Cho x, y, z ∈ y n < λ ∈  Với x K y ⇔ y − x ∈ K Do K nón nên : λ ( y − x ) ∈ K ⇒ λx K λy   y − z = ( z + y ) − ( z + x ) ⇒ z + x K z + y Cho x ∈  n , x − x = ∈ K ⇔ x K x Cho x K y, y K z , y − x ∈ K, z − y ∈ K Do K lồi nên: y − x + z − y = z − x ∈ K ⇒ x K z Cho x, y ∈ y n với x K y, y K x Khi ta có y − x ∈ K, x − y ∈ K ⇒ y − x ∈ K ∩ ( −K )= {0} ⇒ x= y  21 Chứng minh: Theo định nghĩa gradient ta có: ( )( ) lim f ( x + t ( x − x ) ) − f ( x )   t    A ( x + t ( x − x )) + s A x + s  − lim t  B ( x + t ( x − x )) + t B x + t    ∇f i x , x − x = i t →0 i i i i i t →0 i i i i () () () ()        tA ( x ) + (1 − t ) A ( x ) + s   B ( x ) + t  − (1 − t ) B ( x ) + tB ( x ) + t   A ( x ) + s  = lim t ((1 − t ) B ( x ) + tB ( x ) + t ) ( B ( x ) + t ) tA ( x ) B ( x ) + s B ( x ) + tt A ( x ) + t (1 − t ) A ( x ) − (1 − t ) B ( x ) s − ts B ( x ) − tA ( x ) B ( x ) − t A ( x ) ( *) = lim t ((1 − t ) B ( x ) + tB ( x ) + t ) ( B ( x ) + t )  tAi ( x ) + (1 − t ) Ai x + si Ai x + si  lim  − t →0 t  − t ) Bi x + tBi ( x ) + t i Bi x + t i  (   i i i i i i i i i i t →0 i i i i i i i i i i i i i i i i i t →0 i i i i i Mặt khác: ( )( ( ) )( A i x − x Bi x + t i − Bi x − x A i x + si ) = A i xBi x + t i A i x − A i xBi x − t i A i x − Bi xA i x − si Bi x + A i xBi x + si Bi x = A i xBi x + t i A i x − t i A i x − Bi xA i x − si Bi x + si Bi x Suy (*) = ( )( ) ( (B x + t ) )( A i x − x Bi x + t i − Bi x − x A i x + si i i Bi x + t i ∇f i x , x − x Bi x + t i ( )( ) A ( x − x )( B x + t ) − B ( x − x )( A x + s ) = (B x + t )(B x + t ) (A x + s )(B x + t ) − (A x + s )(B x + t ) = (B x + t )(B x + t ) = f (x) − f (x) i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ) i i i i 22 Nhận xét: Cho x, y thuộc X với x ≠ y , ta lấy hai điểm thuộc vể đoạn thẳng [ x, y ] : zt = x + t (y − x), ( t ∈ [ 0,1] , t ' ∈ [0, t ) ) Từ bổ đề 1, zt ' = x + t '( y − x ) fi ( z t ) − fi ( z t ' ) = ( fi ( z t ) − fi ( x ) ) − ( fi ( z t ' ) − fi ( x ) ) Bi x + t i B x + ti ∇f i ( x ) , ( z t − x ) − i ∇f i ( x ) , ( z t ' − x ) Bi z t + t i Bi z t ' + t i = ( Bi x + t i ) = ∇f i ( x ) , ( y − x ) ( t − t ') ( Bi z t + t i )( Bi z t ' + t i ) Từ đó, ta có điều sau: i) Nếu ∇fi ( x ) , y − x > fi ( z t ' ) < fi ( z t ) với t ' ∈ [ 0, t ) ii) Nếu ∇fi ( x ) , y − x < fi ( z t ' ) > fi ( z t ) với t ' ∈ [ 0, t ) iii) Nếu ∇fi ( x ) , y − x = f i ( z t ' ) = f i ( z t ) với t ' ∈ [ 0, t ) Như hàm fi đơn điệu đoạn thẳng tia chứa X Định lý 2.1[3] Cho x ∈ X , x ∈ E ( P2 ) tồn số thực λ i > 0,i =1, , k thoả ∀y ∈ X : ∑ λ ( B x + t ) A − ( A x + s ) B  ( y − x ) ≥ k i =1 i i i i i i i Chứng minh: Ta có: ( ) ( ) ( ) x ∈ E ( P2 ) ⇔  Bi x + t i A i − A i x + si Bi  x − x ∉  k− \ {0} , ∀i =1, , k   ( ) ( ) ) ( )  B1 x + t1 A1 − A1 x + s1 B1     Đặt Q x =      Bk x + t k A k − A k x + s k Bk    ( ( 9.1) 23 ) {Q ( y − x ) : y ∈ X} ( Q x X − x= x Chứng minh ( 9.1) : () ( y) < f ( x ) fi ( y ) ≤ fi x , ∀i =1, , k  Thật giả sử x ∉ E ( P2 ) ⇔ ∃y ∈ X i0 thỏa:  fi0 i0 ( ) ( )  ∇f x , y − x ≤ 0, ∀i =1, , k i Từ bổ đề 1, hệ bất phương trình ⇔   ∇f i x , y − x <  ( )( ) ( (B x + t ) )( A i y − x Bi x + t i − Bi y − x A i x + si Từ ∇fi ( x ) , ( y − x ) = i ( ( ) ( i ) ( ) ) ( )   B x + t A − A x + s B  y − x ≤ 0, ∀i =1, , k i i i i i i Ta có:     Bi0 x + t i0 A i0 − A i0 x + si0 Bi0  y − x <   ) ( ) ( 9.2 ) Vậy x ∈ E ( P2 ) ⇔ ( Bi x + t i ) Ai − ( Ai x + si ) Bi  ( x − x ) ∉  k− \ {0} , ∀i =1, , k Đặt = D : Q x ( X − x ) , D tập đa diện lồi Theo hệ 19.7.1 từ Rockaller (1970), với K := coneD nón đa diện lồi, đặc biệt K nón lồi đóng ( 9.2 ) ⇔ Q x ( y − x ) ∈ y k− ( ) Qx y − x ≠ k k ( 9.1) ⇔ Q x ( y − x ) ∩ yy − = {0} ⇔ K ∩ − = {0} Đặt K + = {z ∈  k : z, v ≥ 0, ∀v ∈ K} , ( K + ) = K + Khi đó: K + ∩ int  k+ ≠ ∅ Thật vậy: giả sử K + ∩ int  k+ = ∅ theo định lý tách ta có: ∃ξ ∈  k \ {0} cho ξ, u ≤ ≤ ξ, z , ∀u ∈ int  k+ , ∀z ∈ K + Suy ξ ∈ − k+ ξ ∈ ( K + ) = K ⇒ ξ ∈ K ∩  k−= {0} (mâu thuẫn) + 24   λ Lấy λ ∈ K ∩ int  , đặt λ := + k +    λ1 + + λ k       k   i =1  ta λ ∈ K + ∩ riΛ , với riΛ = λ ∈  k+ : ∑ λ i = 1, λ i > 0∀i  Từ λ, v ≥ 0, ∀v ∈ K ta có: ( Q x T λ, y − x = λ, Q x y − x ) ≥ Điều có nghĩa là: x ∈ E ( P2 ) tồn số thực λ i > 0,i =1, , k thoả ∀y ∈ X : ∑ λ ( B x − t ) A − ( A x − s ) B  ( y − x ) ≥ k i i =1 Nếu x∈X , i Aj ( ) { i i i i i hàng thứ j ma trận A, tập hợp } I x = j ∈ {1, , m} : A j x = bj Nhắc lại nón tiếp xúc X x xác định bởi: { ( )} Tx X = d ∈  n : A jd ≤ 0, j ∈ I x  Hệ 2.1[3] Cho x ∈ X , x ∈ E ( P2 ) tồn số thực λ i > 0,i =1, , k ( ) µ j ≥ 0, j ∈ I x ∑ λ ( B x + t ) A − ( A x + s ) B  + ∑ µ A k i =1 i i i i i i i ( ) j j cho = j∈I x Định lý 2.2[3] Cho x ∈ X , x ∈ E w ( P2 ) tồn số thực λ i > 0,i =1, , k không đồng thời thoả ∀y ∈ X : ∑ λ ( B x + t ) A − ( A x + s ) B  ( y − x ) ≥ k i =1 i i i Chứng minh: i i i i 25 Với cách đặt Q x K định lý 2.1, ta dễ dàng chứng minh được: ( ) x ∈ E w ( P2 ) ⇔ Q x X − x ∩ ( − int  k+ ) = ∅ ⇔ K ∩ ( int  k− ) = ∅ ∅ , tồn ∃ξ ∈  k \ {0} Thật vậy, K + ∩  k+ \ {0} = cho ξ, u ≤ ≤ ξ, z , ∀u ∈  k+ , ∀z ∈ K + ⇒ ξ ∈ ( K + ) = K ξ ∈  k− + ⇒ ξ ∈ K ∩  k− ⇒ ξ ∈ ( K ∩  k− ) \ {0}   λ Lấy λ ∈ K ∩  \ {0} ≠ , đặt λ := + k +      λ1 + + λ k    ta λ ∈ K + ∩ riΛ : ⇒ λ, v ≥ 0, ∀v ∈ K ( ⇒ Q x T λ, y − x = λ, Q x y − x ) ≥0  Hệ 2.2[3] Cho x ∈ X , x ∈ E w ( P2 ) tồn số thực ( ) λ i ≥ 0,i =1, , k không đồng thời µ j ≥ 0, j ∈ I x cho ∑ λi ( Bi x + t i ) Ai − ( Ai x + si ) Bi  + k i =1 ∑µA () j j = j∈I x 2.3 Hàm phạt: Giả sử X tập compact Chúng ta định nghĩa P e P w , cho x ∈ X : 1 k  Pe ( x ) max  ∑ τi  = k  i =1   ( B x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  d ≤ −ti ;i = 1, , k Sao cho   i d ∈ X − x; ti ≥ Pw (= x ) max τ 26  ( B x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  d ≤ −t;i = 1, , k Sao cho   i d ∈ X − x Khi X compact, tồn cực đại theo sau từ ∈ X − x P e P w nhận giá trị  + Hơn nữa, ta dễ dàng thấy Pw ( x ) ≤ Pe ( x ) , ∀x ∈ X sau ta có tính chất: Mệnh đề 2.1[3] 0} ( i ) E ( P2 ) = {x ∈ X : Pe ( x ) = 0} ( ii ) E w ( P2 ) = {x ∈ X : Pw ( x ) = Chứng minh: 0} ( i ) E ( P2 ) = {x ∈ X : Pe ( x ) = Lấy x ∈ E ( P2 ) ⇒ ( Bi x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  d ≥ 0, ∀d ∈ X − x,i = 1, , k ⇒ −ti ≥ 0, ∀i = 1, , k Mà τi ≥ 0, ∀i = 1, , k ⇒ τi = 0, ∀i = 1, , k Vậy Pe ( x ) = Lấy x ∈ X : Pe ( x ) = ⇒ τi = 0, ∀i = 1, , k ⇒ ( Bi x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  ( X − x ) ≤ 0, ∀i =1, , k Giả sử tồn y ∈ X cho:  ( Bi x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  ( y − x ) ≤ 0, ∀i =1, , k     Bi0 x + t i0 A i0 − A i0 x + si0 Bi0  ( y − x ) < ( ) ( ) ⇒ τi0 > ⇒ Pe ( x ) > (mâu thuẫn) ⇒ x ∈ E ( P2 ) 0} ( ii ) E w ( P2 ) = {x ∈ X : Pw ( x ) = 27 Lấy x ∈ E w ( P2 ) ⇒ ( Bi x + t i ) Ai − ( Ai x + si ) Bi  d ≥ 0, ∀d ∈ X − x,i =1, , k ⇒ −τ ≥ ⇒ τ ≤ Vậy max τ =0 Lấy x ∈ X : Pw ( x ) = ⇒ ( Bi x + t i ) Ai − ( Ai x + si ) Bi  d ≤ 0, ∀d ∈ X − x,i = 1, , k Giả sử tồn y ∈ X cho: ( Bi x + t i ) Ai − ( Ai x + si ) Bi  ( y − x ) < 0, ∀i =1, , k ⇒ −τ < 0, = ∀i 1, , k ⇒ τ > ⇒ max τ > (mâu thuẫn) ⇒ x ∈ E w ( P2 ) Chú thích 1: Pe ( x ) Pw ( x ) lời giải toán tuyến tính theo mệnh đề cho ta cách kiểm tra điểm x ∈ X hữu hiệu, hữu hiệu yếu Chú thích 2: Trong N.Popovici, nói x ε − hữu hiệu Pe ( x ) ≤ e Trong định nghĩa điều kiện Pe ( x ) ≤ e thay Pw ( x ) ≤ ε ta gọi x ε − hữu hiệu yếu Mệnh đề 2.2[3] Pe Pw nửa liên tục tất điểm x ∈ X Chứng minh: Ta chứng minh cho Pe , chứng minh tương tự cho Pw Giả sử Pe không liên tục x ∈ X , tồn ε0 > dãy x n ∈ X cho lim x n = x cho n, Pe ( x n ) ≥ Pe ( x ) + e0 Điều n →∞ nghĩa với n, tồn d n ∈ X − x n i n ∈ {1, , k} cho:  ( Bi x n + t i ) A i − ( A i x n + si ) Bi  d n ≤ 0, ∀i =1, , k     Bi0 x n + t i0 A i0 − A i0 x n + si0 Bi0  d n ≤ − ( Pe ( x ) + e0 ) ( ) ( ) Tập số {1, 2, , k} xác định, giả sử i n không phụ thuộc vào n, với i n= i0 ∈ {1, , k} 28 Khi X tập compact lim x n = x d n hội tụ d ∈ X − x , n →∞  ( Bi x n + t i ) A i − ( A i x n + si ) Bi  d n ≤ 0, ∀i =1, , k với  ( ) ( )   Bi0 x n + t i0 A i0 − A i0 x n + si0 Bi0  d n ≤ − ( Pe ( x ) + e )  ( Bi x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  d ≤ 0, ∀i =1, , k ta có  ( ) ( )   Bi0 x + t i0 A i0 − A i0 x + si0 Bi0  d ≤ − ( Pe ( x ) + e ) điều trái với định nghĩa Pe ( x ) Vậy Pe liên tục x ∈ X  Mệnh đề 2.3[3] Pe nửa liên tục tất điểm x ∉ E w ( P2 ) \ E ( P2 ) Nó xảy vấn đề Pe không nửa liên tục x ∈ E w ( P2 ) \ E ( P2 ) Ví dụ: − x1 + 4x ≤ 0,   − x + x1 −    , , x1 − x  cho  x1 − x ≤ 4,  − x + x +    x1 ≥ 0, x ≥ Kiểm tra được= x ( 4, 0.5 ) ∈ E w ( P2 ) \ E ( P2 ) với n ∈ *   x n = x , Pe ( x n ) = Pe ( x ) > xn =  − , 0.5  ∈ E ( P2 ) Ta có lim n →∞ n   Mệnh đề 2.4[3] Pw nửa liên tục tất điểm x ∈ X Chứng minh: Nếu x ∈ E w ( P2 ) ta có Pw ( x ) = Pw nhận giá trị  + , hiển nhiên Pw nửa liên tục x ∈ E w ( P2 ) Bây giả sử x ∉ E w ( P2 ) Pw ( x ) > cho ε > Từ định nghĩa Pw tồn d cho x + d ∈ X ( Bi x + t i ) Ai − ( Ai x + si ) Bi  d ≤ −Pw ( x ) ,i ∈ {1, , k} 29 Xét lân cận V x chứa tất x ∈ X cho ( Bi x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  d ≤ − ( Pw ( x ) − ε ) ,i ∈ {1, , k} Chúng ta có với x ∈ V, Pw ( x ) ≥ Pw ( x ) − ε Pw nửa liên tục điểm x  Từ mệnh đề 2.2 mệnh đề 2.4, Pw liên tục X 2.4 Nghiệm toán tối ưu Tập nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu thường rộng không lồi trường hợp tuyến tính Ta cần tìm điểm tối ưu nghiệm toán tối ưu Cụ thể việc cực tiểu hoá hàm E ( P2 ) E w ( P2 ) Chúng ta nghiên cứu việc cực tiểu hoá hàm khả vi E ( P2 ) E w ( P2 ) Ta xét hai toán: ( Qe ) inf f ( x ) x ∈E ( P2 ) ( Qw ) f ( x ) x ∈E w ( P2 ) Với f :  n →  hàm khả vi E ( P2 ) không cần thiết đóng, ta có inf thay cho ( Qe ) ta biểu thị giá trị tối ưu kí hiệu f Mặt khác E w ( P2 ) com pact, giá trị tối ưu ( Q w ) viết f ( x* ) , x* ∈ E w ( P2 ) Từ mệnh đề 2.1 ta viết lại toán sau: ( Qe ) inf f ( x ) Pe ( x ) ≤ x ∈X ( Qw ) f ( x ) Pw ( x ) ≤ x ∈X 30 Chú ý Pe Pw nói chung hai không lồi khả vi, tương ứng với hàm Lagrangian là: Le ( x, = λ ) f ( x ) + λPe ( x ) L w ( x, = λ ) f ( x ) + λPw ( x ) Cho λ ≥ , ta định nghĩa hàm đối ngẫu: D w ( λ ) L w ( x, λ ) De ( λ ) inf Le ( x, λ ) = = x∈X x∈X Chú ý với X compact Pe dương có De ( λ ) ∈  Hơn Pe không hoàn toàn nửa liên tục E w ( P2 ) \ E ( P2 ) , ta thay inf Từ định nghĩa D w , mệnh đề 2.4 cho phép ta viết thay cho inf với ∀λ ≥ , tồn x ( λ ) thỏa D w= ( λ ) Lw ( x ( λ ) , λ ) ∈  Với ∀x ∈ X , Pw ( x ) ≤ Pe ( x ) ta nhận thấy ∀λ ≥ , D w ( λ ) ≤ De ( λ ) Ta có kết sau: Mệnh đề 2.5[3] De D w hàm tăng  + Mệnh đề 2.6[3] Với λ ∈  + , ta có De ( λ ) ≤ f D w ( λ ) ≤ f ( x* ) Xét dãy tăng ( λ k ) → +∞ dãy ( ε k ) với ε k → ε > Cho k ∈  ta lấy x k ∈ X cho: f ( x k ) + λ k Pe ( x k ) ≤ De ( λ k ) + e k (tương tự f ( x k ) + λ k Pw ( x k ) ≤ D w ( λ k ) + ε k ) Khi X compact tập điểm tụ ( x k ) không đổi Mệnh đề 2.7[3] Kí hiệu x điểm tụ ( x k ) Ta có: (i) ( ) lim Pe ( x k ) = (tương tự Pw x = ), k 31 ( ii ) ( ) f0 x ≤ f + ε (tương tự f ( x ) ≤ f ( x* ) + ε ) Chứng minh: ( i ) Xét dãy ( x k ) hội tụ x Từ mệnh đề 2.6 ta có với k ∈  thì: f ( x k ) + λ k Pe ( x k ) ≤ f + e k (tương tự f ( x k ) + λ k Pw ( x k ) ≤ f ( x * ) + ε k ) Vì f liên tục nên lim f ( x k ) = f ( x ) kết hợp bất đẳng thức đòi hỏi k dãy λ k Pe ( x k ) (tương tự λ k Pw ( x k ) ) bị chặn Khi ( λ k ) → +∞ ta nhận lim Pe ( x k ) = (tương tự Pw ( x ) = ) k ( ii ) Vì λ k Pe ( x k ) ≥ (tương tự λ k Pw ( x k ) ≥ ) với f ( x k ) + λ k Pe ( x k ) ≤ f + e k (tương tự f ( x k ) + λ k Pw ( x k ) ≤ f ( x * ) + ε k ) ta suy ra: ( ) f ( x k ) ≤ f + ε (tương tự f ( x k ) ≤ f ( x * ) + ε k ) dẫn đến f x ≤ f + ε (tương tự f ( x ) ≤ f ( x* ) + ε ) Chú thích Cho hai số thực ν > 0, ε > mệnh đề 2.7 rõ k đủ lớn, x k ν − hữu hiệu (tương tự ν − hữu hiệu yếu) nhắc đến thích thỏa: f ( x k ) ≤ f + ε (tương tự f ( x k ) ≤ f ( x * ) + ε ) Để tìm x k ta phải giải toán dạng: = De ( λ ) inf ( f ( x ) + λPe ( x ) ) = D w ( λ ) ( f ( x ) + λPw ( x ) ) x∈X x∈X Ta muốn đưa dạng khác toán sau dùng phương pháp số tối ưu tối ưu khả vi Ta gọi lại: 1 k  Pe ( x ) max  ∑ τi  = k  i =1  32  ( Bi x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  d + ti ≤ 0;i =1, , k  Sao cho Ad ≤ b − Ax; t ≥  i Pw (= x ) max τ  ( B x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  d + t ≤ 0;i =1, , k Sao cho   i Ad ≤ b − Ax; Viết lại đối ngẫu cho toán tuyến tính ta có được: Pe ( x )= ( b − Ax ) γ k T ∑ δi ( Bi x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  + Aγ =0  i =1 Sao cho δi ≤ i =1, , k; k  γ ≥ δ ≥   Và Pw ( x )= ( b − Ax ) γ k T ∑ δi ( Bi x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  + Aγ =0  i =1 k Sao cho ∑ δi =1;  i =1 γ ≥ δ ≥   Dùng công thức tương ứng ta có sau: De ( λ ) inf ( f ( x ) + λ ( b − Ax ) γ ) = 33 Ax ≤ b k ∑ δi ( Bi x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  + T Aγ =0    Sao cho  i =1 δi ≤ i =1, , k;  k γ ≥ δ ≥  Và = D w ( λ ) ( f ( x ) + λ ( b − Ax ) γ ) Ax ≤ b k ∑ δi ( Bi x + t i ) A i − ( A i x + si ) Bi  + T Aγ =0   i =1  Sao cho  k ∑ δi =1;  i =1 γ ≥ δ ≥  Đối với toán, hàm đa mục tiêu ràng buộc khả vi phụ thuộc vào biến x, γ δ Những giải pháp cho toán cho dãy ( λ k ) → +∞ , nhận từ mệnh đề 2.7 dãy x k mà Pe ( x ) Pw ( x ) dần đến 34 KẾT LUẬN Sau trình tìm hiểu, luận văn đạt số kết sau: Trong chương giới thiệu sơ lược toán tối ưu nhiều mục tiêu, định nghĩa nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu, nghiệm Pareto chặt, nghiệm Pareto thường theo Geoffrion, Borwein, Benson toán tối ưu nhiều mục tiêu chứng minh mối quan hệ định nghĩa Pareto Trong chương giới thiệu toán qui hoạch nhiều mục tiêu phân thường, minh họa sơ đồ.tuyến tính chứng minh lại điều kiện tối ưu với bổ đề 1, từ rút nhận xét tính đơn điệu hàm thành phần Luận văn trình bày chứng minh định lý định lý 10 cho ta tính chất cụ thể nghiệm Pareto nghiệm Pareto yếu, xây dựng hàm phạt cho việc kiểm tra nghiệm Pareto nghiệm Pareto yếu, thấy tính nửa liên tục trên, nửa liên tục hàm phạt qua mệnh đề 8, mệnh đề 9, mệnh đề 10 Tìm hiểu vấn đề cực tiểu hóa hàm khả vi tập nghiệm Pareto tập nghiệm Pareto yếu Các kết trình bày sách [1], [3], [4],[5] (phần tài liệu tham khảo) Hơn nữa, kết toán qui hoạch nhiều mục tiêu phân tuyến tính chương cho toán qui hoạch nhiều mục tiêu chương Vì hiểu biết thân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý bảo Quý Thầy Cô hội đồng để luận văn hoàn thiện 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Bùi Thế Tâm – Trần Vũ Thiệu, Các phương pháp tối ưu hóa, Nxb Giao thông vận tải ,1998 [2] Bùi Minh Trí, Tối ưu hóa Tập 1,2 NXB Khoa học kỹ thuật, 2005 Tài liệu tiếng Anh [3] Christian Malivert, Multicriteria Fractional Optimization, Université de Limoges, France, 1995 [4] Rockafellar R.T., Convex Analysis, Princeton University Press, 1970 [5] Matthias Ehrgott., Multicriteria Optimization, Second edition, Auckland, 2005 [6] Kornbluth J., Steuer R., Multiple objective linear fractional programming, Management Science 27, (1981) 9, 1024-1039 [...]... ∈ X = {x ∈  n | g ( x ) ≤ 0} 20 CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU VỚI HÀM MỤC TIÊU LÀ HÀM PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1 Giới thiệu bài toán: Với fi :  n →  ( i = 1, 2, , k ) là k hàm phân tuyến tính, cụ thể: fi ( x ) = A i x + si , Bi x + t i trong đó Ai , Bi là các ánh xạ tuyến tính từ  n vào  , si , t i ∈  Đặt f(x) = ( f1 (x), , f k (x) ) Cho X là tập lồi đa diện trong  n : X = {x ∈  n | Ax ≤... toán tối ưu nhiều mục tiêu với hàm thành phần phân tuyến tính có dạng: Min f(x) ( P2 ) x∈X Các hàm thành phần không lồi, dạng đặc biệt của chúng cùng với việc sử dụng vô hướng ta có tính chất đặc trưng cho bài toán tối ưu thể hiện qua bổ đề 1 sau đây (trong phần 2.2) 2.2 Các điều kiện tối ưu: Bổ đề 1: (Xem Malivert (1995)) Cho fi ( x ) = A i x + si với mọi i ∈ {1, 2, , k} là k hàm phân tuyến tính, ... hàm f :  n →  , x0 ∈  n , hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c) tại x0 nếu lim inf f ( x ) ≥ f ( x0 ) x→ x 0 Hàm f nửa liên tục trên (u.s.c) tại x0 và nửa liên tục dưới (l.s.c) tại x0 thì hàm f liên tục tại x0 6 1.2 Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu: Ta xét bài toán tối ưu nhiều mục tiêu sau: M in f(x) = ( f1 (x), , f k (x) ) x∈X ( MOLP ) Trong đó: • fi :  n →  ( i = 1, , k ) là các hàm tuyến. .. gọi là bài toán tổng trọng số, trong đó λi ,i = 1, , k là các trọng số không âm đối với các hàm mục tiêu và k ∑λ i =1 i =1 Định lý 1.2 (Geoffrion (1968)) Cho λi > 0,i =1, , k với ( P1 ) thì k ∑λ i =1 i =1 nếu x * ∈ X là nghiệm tối ưu của bài toán x * là nghiệm tối ưu Pareto chính thường của bài toán ( MOLP ) Chứng minh: Cho x* ∈ X là nghiệm tối ưu của bài toán ( P1 ) Ta muốn chứng minh: x * ∈ X là. .. niệm tối ưu: 1.3.1 Tối ưu Pareto: Định nghĩa 1.17: Một điểm x* ∈ X được gọi là một nghiệm tối ưu Pareto (nghiệm hữu hiệu) của bài toán ( MOLP ) nếu không tồn tại x ∈ X, x ≠ x* sao cho x trội hơn x* , nghĩa là: f ( x ) < f ( x* ) Ký hiệu tập hợp nghiệm Pareto của bài toán ( MOLP ) là E (P) Nếu x* ∈ X là một nghiệm tối ưu Pareto thì f ( x* ) gọi là điểm hữu hiệu, tập tất cả các điểm hữu hiệu ký hiệu là. .. k} Chúng ta có được với mọi x ∈ V, Pw ( x ) ≥ Pw ( x 0 ) − ε và Pw là nửa liên tục dưới tại điểm x 0  Từ mệnh đề 2.2 và mệnh đề 2.4, Pw là liên tục trên X 2.4 Nghiệm bài toán tối ưu Tập nghiệm hữu hiệu hoặc hữu hiệu yếu thường rộng và không lồi ngay cả khi trong trường hợp tuyến tính Ta cần tìm giữa các điểm tối ưu là nghiệm của bài toán tối ưu Cụ thể là việc cực tiểu hoá một hàm mới trên cả E (... cách khác một nghiệm lý tưởng là một nghiệm mà nó phải thỏa mãn tất cả các hàm mục tiêu cần tối ưu ứng với miền chấp nhận được là X Thực tế thì những nghiệm như vậy rất ít khi tồn tại nên ta đưa ra một số khái niệm khác về tối ưu có vẻ “mềm dẻo” hơn đó là nghiệm tối ưu Pareto Định nghĩa 1.16 Một nghiệm x = ( x1 , , x n ) được gọi là trội hơn nghiệm y = ( y1 , , y n ) ký hiệu x ≤ y nếu: f i ( x ) ≤ f... không là nghiệm Pareto chính thường theo định nghĩa của Benson  Khi X = {x ∈  n | ( g1 ( x ) , , g m ( x ) ) ≤ 0} , ta giả sử rằng các hàm mục tiêu f i ,i = 1, , k cũng như các hàm ràng buộc g j , j = 1, , m là khả vi liên tục Ta xét bài toán tối ưu đa mục tiêu sau: min f ( x ) với x ∈ X = {x ∈  n | ( g1 ( x ) , , g m ( x ) ) ≤ 0} Định nghĩa 1.24[5] (Kuhn và Tucker (1951)) Một điểm x gọi là nghiệm... sử là sai, khi đó x* là nghiệm tối ưu Pareto chính thường của bài toán ( MOLP )  Định lý 1.3 Cho X ⊂  n là một tập lồi và các hàm fi :  n →  là các hàm lồi, i = 1, , k Khi đó bất đẳng thức f i < 0 với i = 1, , k vô nghiệm trên X thì tồn tại k λ i ≥ 0,i =1, , k , ∑ λ i =1 và với mọi x ∈ X thỏa mãn: i =1 k ∑λ f (x) ≥ 0 i =1 i i Định lý 1.4 (Geoffrion (1968)) Cho X ⊂  n là một tập lồi và các hàm. .. 1.3.2 Tối ưu Pareto yếu và chặt: Định nghĩa 1.18: Một điểm x* ∈ X được gọi là một nghiệm tối ưu Pareto yếu (nghiệm hữu hiệu yếu) của bài toán ( MOLP ) nếu không tồn tại x ∈ X sao cho: f ( x )  f ( x * ) Ký hiệu tập hợp nghiệm Pareto yếu của bài toán ( MOLP ) là E w ( P ) Nếu x* ∈ X là một nghiệm tối ưu Pareto yếu thì f ( x* ) gọi là điểm hữu hiệu yếu, tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu ký hiệu là Yw ... x ) ≤ 0} 20 CHƯƠNG BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU VỚI HÀM MỤC TIÊU LÀ HÀM PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1 Giới thiệu toán: Với fi :  n →  ( i = 1, 2, , k ) k hàm phân tuyến tính, cụ thể: fi ( x ) = A i... 1.3.2 Tối ưu Pareto yếu chặt: CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU VỚI HÀM MỤC TIÊU LÀ HÀM PHÂN TUYẾN TÍNH 20 2.1 Giới thiệu toán: 20 2.2 Các điều kiện tối ưu: ... Tuấn MỤC LỤC Trang CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU 1.1 Một số khái niệm bản: 1.2 Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu: 1.3 Các khái niệm tối ưu: 1.3.1 Tối ưu