Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015vĐề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015Đề thi IMO 2015v
Language: Vietnamese Day: Thứ Sáu, 10 tháng Bảy 2015 Bài Ta nói tập gồm hữu hạn điểm mặt phẳng tập cân đối với hai điểm phân biệt A B tùy ý thuộc , tồn điểm C thuộc cho AC BC Ta nói tập vô tâm với ba điểm phân biệt A, B, C tùy ý thuộc , không tồn điểm P thuộc cho PA PB PC (a) Chứng minh với số nguyên n ≥ 3, tồn tập cân đối gồm n điểm (b) Hãy tìm tất số nguyên n ≥ cho tồn tập cân đối vô tâm gồm n điểm Bài Hãy tìm tất số nguyên dương (a, b, c) cho số số ab – c, bc – a, ca – b lũy thừa (Lũy thừa số nguyên có dạng n , với n số nguyên không âm.) Bài Cho tam giác nhọn ABC với AB > AC Ký hiệu Г đường tròn ngoại tiếp, H trực tâm F chân đường cao hạ từ A tam giác Gọi M trung điểm BC Gọi Q điểm nằm Г cho HQA 90o , gọi K điểm nằm Г cho HKQ 90o Giả sử điểm A, B, C, K Q đôi phân biệt, nằm Г theo thứ tự Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KQH FKM tiếp xúc với Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 30 phút Mỗi toán cho tối đa điểm Language: Vietnamese Day: Thứ Bảy, 11 tháng Bảy 2015 Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường tròn Г tâm A cắt đoạn thẳng BC điểm D E cho B, D, E C đôi phân biệt nằm đường thẳng BC theo thứ tự Gọi F G giao điểm Г , cho A, F, B, C G nằm theo thứ tự Gọi K giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF đoạn thẳng AB Gọi L giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE đoạn thẳng CA Giả sử đường thẳng FK GL phân biệt cắt điểm X Chứng minh X nằm đường thẳng AO Bài Gọi tập hợp số thực Hãy tìm tất hàm số f : thỏa mãn phương trình f ( x f ( x y )) f ( xy ) x f ( x y ) yf ( x) với số thực x y Bài Dãy số nguyên a1 , a2 , thỏa mãn điều kiện sau: (i) a j 2015 với j ≥ 1; (ii) k ak a với k < Chứng minh tồn hai số nguyên dương b N cho n j m 1 ( a j b) 1007 với số nguyên m n thỏa mãn n > m ≥ N Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 30 phút Mỗi toán cho tối đa điểm ...Language: Vietnamese Day: Thứ Bảy, 11 tháng Bảy 2015 Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường tròn Г tâm A cắt đoạn thẳng BC điểm... y ) yf ( x) với số thực x y Bài Dãy số nguyên a1 , a2 , thỏa mãn điều kiện sau: (i) a j 2015 với j ≥ 1; (ii) k ak a với k < Chứng minh tồn hai số nguyên dương b N cho n