Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa Đề thi học sinh giỏi toán quận đống đa v
Trang 1THI H C SINH GI I QU N N G A 2011-2012
MÔN: TOÁN
NGÀY THI: 10 tháng 12 n m 2012ă
TH I GIAN: 120 phút (không k th i gian giao )Ờ ể ờ đề
Bài 1: (4,0 i m )để
Rút g n bi u th c:ọ ể ứ
A=√2+√4−x2[ √(2+x)3−√(2−x)3]4+√4−x2
v iớ −2≤x≤2
Bài 2: (6,0 i m)đ ể
1) Cho trước s h u t m sao choố ữ ỷ 3√m là s vô t Tìm các s h u t a,b,c ố ỷ ố ữ ỷ để:
a3√m2+b3√m+c=0
2) Tìm s t nhiên có 4 ch s (vi t trong h th p phân) sao cho 2 i u ki n sau ố ự ữ ố ế ệ ậ đ ề ệ
ng th i th a mãn:
(i) M i ch s ỗ ữ ố đứng sau l n h n ch s ớ ơ ữ ố đứng li n trề ước
(ii) T ng p+q l y giá tr nh nh t, trong ó p là t s c a ch s hàng ch c và ch s ổ ấ ị ỏ ấ đ ỉ ố ủ ữ ố ụ ữ ố hàng đơn v còn q là t s ch s hàng nghìn và ch s hàng tr m.ị ỉ ố ữ ố ữ ố ă
Bài 3: (4,0 i m)đ ể
1) Tìm t t c các s nguyên x th a mãn:ấ ả ố ỏ
|x−10|+|x−11|+|x+101|+|x+990|+|x+1000|=2012
2) Ch ng minh r ng có th chia m t tam giác vuông có ứ ằ ể ộ độ dài 3 c nh là các s ạ ố nguyên thành 6 ph n di n tích b ng nhau và di n tích m i ph n là s nguyên.ầ ệ ằ ệ ỗ ầ ố
Bài 4: (4,0 i m)đ ể
1) Cho tam giác ABC có 3 góc nh n, trung tuy n AO có ọ ế độ dài b ng ằ độ dài c nh BC.ạ
ng tròn ng kính BC c t AB,AC th t t i M,N (M khác B, N khác C) ng
tròn ngo i ti p tam giác AMN và ạ ế đường tròn ngo i ti p tam giác ABC c t ạ ế ắ đường
th ng AO l n lẳ ầ ượ ạt t i I,K Ch ng minh t giác BOIM n i ti p ứ ứ ộ ế được m t ộ đường tròn
và t giác BICK là hình bình hành.ứ
2) Cho tam giác ABC, i m M di chuy n trên c nh BC G i P,Q l n lđ ể ể ạ ọ ầ ượt là hình chi u vuông góc c a M trên AB,AC Xác nh v trí M ế ủ đị ị để PQ có độ dài nh nh t.ỏ ấ
Bài 5: (2,0 i m)đ ể
Trong m t hình vuông c nh b ng 7, l y 51 i m Ch ng minh r ng có 3 i m trong ộ ạ ằ ấ đ ể ứ ằ đ ể
51 i m ã cho cùng n m trong 1 hình tròn có bán kính b ng 1.đ ể đ ằ ằ